高一数学复习考点知识讲解课件§1.3两条直线的平行与垂直第1课时两条直线平行考点知识1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.导语魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行．一、两条直线平行的判定问题1在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．问题2平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？提示两直线平行，倾斜角相等．知识梳理对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注意点：(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．例1判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．解(1)k1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k2＝－1－4－1－3＝54，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，故l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2. 又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1，则A ，B ，M 不共线．故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2.反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1(1)已知l 1经过点A (0,3)，B (5,3)，l 2经过点M (2,5)，N (6,5)，判断直线l 1与l 2是否平行．解∵l 1与l 2都与y 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解由题意知直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证，当m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.二、求与已知直线平行的直线方程例2(1)过点(5,0)且与x ＋2y －2＝0平行的直线方程是()A ．2x ＋y ＋5＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x ＋2y ＋5＝0答案C解析由题意可设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0(c ≠－2)．因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c ＝0，得c ＝－5，故该直线方程为x ＋2y －5＝0.(2)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解方法一设直线l 的斜率为k ，∵直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34，又∵直线l 经过点(1,2)，∴所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.方法二设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵直线l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.反思感悟与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程．跟踪训练2(1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为() A．y＝－4x－7B．y＝4x－7C．y＝4x＋7D．y＝－4x＋7答案D解析过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y ＝－4x＋7，故选D.(2)求过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程．解设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，所以所求直线方程为x－2y＋7＝0.三、直线平行的应用例3已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，即(m －3)(m ＋1)≠0，即m ≠3，且m ≠－1.故当m ≠3，且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，∴m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3. 故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．反思感悟已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．跟踪训练3l 1：9x －y ＋a ＋2＝0；l 2：ax ＋(a －2)y ＋1＝0.求当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解由题意得A 1＝9，B 1＝－1，C 1＝a ＋2，a 2＝a ，B 2＝a －2，C 2＝1.(1)若l 1与l 2相交，则a 1B 2－a 2B 1≠0，即9(a －2)－a ×(－1)≠0，∴a ≠95.故当a ≠95时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 9(a －2)－a ×(－1)＝0，－1－(a 2－4)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝95，a ≠±3.∴当a ＝95时，l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0， 由(2)知⎩⎨⎧ a ＝95，a ＝±3，不成立，∴直线l 1与l 2不重合．综上所述，当a ≠95时，两直线相交，当a ＝95时，两直线平行，不论a 为何值两直线不会重合．1．知识清单：(1)两直线平行的条件． (2)由两直线平行求参数值．(3)求与已知直线平行的直线方程．2．方法归纳：分类讨论、数形结合．3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．1．已知直线l 1的倾斜角为30°，直线l 1∥l 2，则直线l 2的斜率为()A.3B ．－ 3C.33D ．－33答案C解析因为l 1∥l 2，所以kl 2＝kl 1＝tan30°＝33.2．直线x ＋ay －7＝0与直线(a ＋1)x ＋2y －14＝0平行，则a 的值是()A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或2答案B解析由已知，得a (a ＋1)－2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝1时，两直线重合，∴a ＝－2.3．已知过点A (－2，m )和B (m ,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为()A ．－8B ．0C ．2D ．10答案A解析由已知，得4－m m ＋2＝－2，∴m ＝－8. 4．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 2的斜率为k ＝m 2－3，若l 1∥l 2，则m 的值为________． 答案±2解析由题意知m 2－3＝tan45°，解得m ＝±2.课时对点练1．(多选)若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，则下列选项中正确的是()A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2B．若k1＝k2，则l1∥l2C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，则l1∥l2答案BCD2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是() A．相交B．平行C．重合D．以上都不对答案B解析斜率都为0且不重合，所以平行．3．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为()A．0B．1C．6D．0或6 答案C解析由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a＝6.4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1. 5．设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案C解析当m ＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.6．已知直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，若l ∥y 轴，但不重合，则下列结论正确的是()A ．a ≠1，b ≠2，c ≠0B ．a ≠1，b ＝－2，c ≠0C ．a ＝1，b ≠－2，c ≠0D ．a ≠1，b ≠－2，c ≠0答案B解析∵直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，l ∥y 轴，但不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≠0，b ＋2＝0，c ≠0，解得a ≠1，b ＝－2，c ≠0.故选B.7．直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为________．答案103解析直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2， ∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34， ∴a ＝103.8．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为______________． 答案0或－1解析两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a ，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.9．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,23)，N(－2，－33)．解(1)由题意知k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7＋38－3＝－45.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝3，k2＝－33－23－2－3＝ 3.所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a 的值．解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二由a 1B 2－a 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由a 1C 2－a 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，所以l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－a )－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.11．(多选)已知点A (m ,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为()答案BC解析当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.当m≠0时，k AB＝(m＋4)－32m－m，k CD＝2－0(m＋1)－1，则k AB＝k CD，即m＋1m＝2m，得m＝1，∴m＝0或1.12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是()A．(－3,1) B．(4,1)C．(－2,1) D．(2，－1)答案A解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.13．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k 的值是()答案CD解析由两直线平行得，当k －3＝0，即k ＝3时，两直线的方程分别为y ＝－1和y ＝32，显然两直线平行．当k －3≠0，即k ≠3时，由k －32(k －3)＝4－k －2≠13，可得k ＝5.综上，k 的值是3或5.14．已知两条直线的斜率分别为1b 2和－b 2－1a ，若这两条直线互相平行，则实数a 的最大值为________．答案14解析因为两条直线互相平行，所以1b 2＝－b 2－1a ，所以a ＝－b 4＋b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－122＋14≤14，当且仅当b 2＝12时取等号，故实数a 的最大值为14.15．已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________．答案3x ＋4y －24＝0或3x ＋4y ＋24＝0解析因为直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，所以设直线l 的方程为3x ＋4y ＋b ＝0(b ≠－7)，则其与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3，0，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 4.依题意可得，12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 4＝24， 解得b ＝±24，所以直线l 的方程为3x ＋4y ±24＝0.16．已知P (－2，m )，Q (m ,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值. 解当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不符合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不符合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －(－2)＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1. 因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合．综上，m 的值为0或1.。
