高中数学选修2-1主要内容
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高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法:解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.例1已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,若F到直线y=3 x的距离为3,则p等于()A.2B.4C.23D.43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2=2px过点A(1,2),则p=________,准线方程是________________.例4已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(4,-22),则它的标准方程为________.例5已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.例6已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点,且|AB|=52p,求AB所在直线的方程.例7 过抛物线y 2=2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ,OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程; (2)求证:直线AB 过定点.一、选择题1.抛物线y =2x 2的焦点坐标是( ) A .(12,0) B .(14,0) C .(0,18)D .(0,14)2.已知抛物线y =4x 2上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A .1716B .1516C .78D .03.已知抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ) A .-18B .18C .8D .-84.从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为( ) A .5B .10C .20D.155.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上的一点,则△ABP 的面积为( ) A .18B .24C .36D .486.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点M 在抛物线上移动时,使|MF |+|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A .(0,0)B .(12,1)C .(1,2)D .(2,2)7.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x =-1,直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ) A .y =2x -3 B .y =-2x +5 C .y =-x +3D .y =x -18.设抛物线C :y 2=16x ,斜率为m 的直线l 与C 交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,O 为坐标原点,则直线l 恒过定点( ) A .(8,0) B .(4,0) C .(16,0) D .(6,0)二、填空题9.若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是__________.10.直线y =kx +2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k =________. 11.抛物线y 2=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________. 12.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=________. 三、解答题13.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点,求证: (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24;(2)1|AF |+1|BF |为定值;(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图,由抛物线定义知|P A|+|PQ|=|P A|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|P A|+|PF|的最小值,则当A、P、F三点共线时,|P A|+|PF|取得最小值.又A(0,2),F(12,0),∴(|P A|+|PF|)min=|AF|=(0-12)2+(2-0)2=172.]例2B由抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0).F到直线y=3x的距离为3,可得|3p2|(3)2+(-1)2=3,解得p=4,故选B.]例32x=-1例4y2=2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上,设方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0).若方程为y 2=2px (p >0),则8=2p ×4,得p =1,故方程为y 2=2x ;若方程为y 2=-2px (p >0),则8=-2p ×4,得p =-1,不符合条件,故不成立. 所以抛物线的标准方程为y 2=2x . 例5 x 2=-12y解析 设动圆圆心M (x ,y ),半径为r ,根据题意可得⎩⎨⎧y <2,r =|y -2|,x 2+(y +3)2=1+r ,解得x 2=-12y .例6 解 方法一 焦点F (p2,0),设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若AB ⊥Ox , 则|AB |=2p <52p ,∴直线AB 的斜率存在,设为k ,则直线AB 的方程为y =k (x -p2),k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -p 2),y 2=2px消去x ,整理得ky 2-2py -kp 2=0.由根与系数的关系得,y 1+y 2=2pk ,y 1y 2=-p 2. ∴|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(1+1k 2)·(y 1-y 2)2 =1+1k2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =2p (1+1k 2)=52p ,解得k =±2.∴AB 所在直线方程为y =2(x -p 2)或y =-2(x -p2). 方法二如图所示,抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 设A ,B 到准线的距离分别为d A ,d B ,由抛物线的定义知, |AF |=d A =x 1+p 2,|BF |=d B =x 2+p2, 于是|AB |=x 1+x 2+p =52p ,x 1+x 2=32p .当x 1=x 2时,|AB |=2p <52p , ∴直线AB 与Ox 不垂直. 设直线AB 的方程为y =k (x -p2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -p 2),y 2=2px ,得k 2x 2-p (k 2+2)x +14k 2p 2=0,x 1+x 2=p (k 2+2)k 2=32p ,解得k =±2,∴直线AB 的方程为y =2(x -p 2)或y =-2(x -p2).例7 (1)解 设直线OA 的方程为y =kx ,则直线OB 的方程为y =-1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知,点A 的坐标为(2k 2,2k ), 联立直线OB 与抛物线的方程知,点B 的坐标为(2k 2,-2k ),则AB 的中点M 的坐标为(1k 2+k 2,1k -k ),故点M 的轨迹方程为x =y 2+2.(2)证明 由(1)可知k AB =-k -1kk 2-1k 2=-1k -1k=-k k 2-1,则直线AB 的方程为y -(1k -k ) =-k k 2-1x -(1k 2+k 2)],整理,得y =-kk 2-1(x -2).所以直线经过定点(2,0). 考点专项训练1.C 抛物线y =2x 2的标准形式为x 2=12y , ∴p =14,则p 2=18, ∴焦点坐标是(0,18).]2.B 抛物线y =4x 2的标准形式为x 2=14y , ∴其准线方程为y =-116, 设点M 的纵坐标是y 0,由抛物线的定义,得y 0+116=1, ∴y 0=1516.] 3.A4.B 设P (x 0,y 0),依题意可知抛物线准线方程为x =-1, ∴x 0=5-1=4,∴|y 0|=4×4=4, ∴△MPF 的面积为12×5×4=10.]5.C 不妨设抛物线方程为y 2=2px (p >0),依题意,l ⊥x 轴,且焦点F (p2,0), ∵当x =p2时,|y |=p ,∴|AB |=2p =12,∴p =6, 又点P 到直线AB 的距离为p 2+p2=p =6, 故S △ABP =12|AB |·p =12×12×6=36.]6.D 由题意得F (12,0),准线方程为x =-12. 设点M 在准线x =-12上的射影为P , 则M 到准线的距离为d =|PM |,则由抛物线的定义得|MA |+|MF |=|MA |+|PM |,故当P 、A 、M 三点共线时,|MF |+|MA |取得最小值为|AP |=3-(-12)=72. 把y =2代入抛物线y 2=2x ,得x =2,故点M 的坐标是(2,2).] 7.A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x =-1, ∴-p2=-1,∴p =2, ∴抛物线的方程为y 2=4x . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,两式相减得 (y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),∴直线AB 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=42=2,从而直线AB 的方程为y -1=2(x -2),即y =2x -3.]8.C 设直线l :x =my +b (b ≠0),代入抛物线y 2=16x ,可得y 2-16my -16b =0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=16m ,y 1y 2=-16b , ∴x 1x 2=(my 1+b )(my 2+b )=b 2, ∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0, 可得b 2-16b =0,∵b ≠0,∴b =16,∴直线l :x =my +16, ∴直线l 过定点(16,0).] 9.y 2=16x解析 点P 到点F 的距离与到x =-4的距离相等,由抛物线定义,知点P 轨迹为抛物线,设y 2=2px ,由p2=4,知p =8.10.1或0解析 由⎩⎨⎧y =kx +2,y 2=8x ,得ky 2-8y +16=0,若k =0,则y =2;若k ≠0,则Δ=0,即64-64k =0,解得k =1.因此若直线y =kx +2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k =0或k =1. 11.(18,±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ,±x ),此点到准线的距离为x +14,到顶点的距离为x 2+(x )2,由题意有x +14=x 2+(x )2,∴x =18, ∴此点坐标为(18,±24). 12.8 解析如图所示,直线AF 的方程为y =-3(x -2),与准线方程x =-2联立得A (-2,43).设P (x 0,43),代入抛物线y 2=8x ,得8x 0=48,∴x 0=6, ∴|PF |=x 0+2=8.13.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2,0). 由题意可设直线方程为x =my +p2,代入y 2=2px , 得y 2=2p (my +p2),即y 2-2pmy -p 2=0.(*)因为y 1,y 2是方程(*)的两个实数根,所以y 1y 2=-p 2.因为y 21=2px 1,y 22=2px 2,所以y 21y 22=4p 2x 1x 2,所以x 1x 2=y 21y 224p 2=p 44p 2=p 24.(2)1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24.因为x 1x 2=p 24,x 1+x 2=|AB |-p ,代入上式,得1|AF |+1|BF |=|AB |p 24+p 2(|AB |-p )+p 24=2p (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0,y 0),分别过A ,B 作准线的垂线,垂足为C ,D ,过M 作准线的垂线,垂足为N ,则|MN |=12(|AC |+|BD |)=12(|AF |+|BF |)=12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。
人教版高中数学选修2-1知识点梳理)巩固练习重点题型(常考知识点命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件和结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,能判断四种命题的真假;3.能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.要点诠释:1.不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“x>2”,“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起立”、“π是有理数吗?”、“今天天气真好!”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p,则q”的形式,或“如果p,那么q”的形式.其中p是命题的条件,q是命题的结论.要点诠释:1.一般地,命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么,因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题:“若p,则q”;逆命题:“若q,则p”;实质是将原命题的条件和结论互相交换位置;. 否命题:“若非 p ,则非 q ”,或“若 ⌝p ,则 ⌝q ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定;逆否命题:“若非 q ,则非 p ”,或“若 ⌝q ,则 ⌝p ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释:对于一般的数学命题,要先将其改写为“若 p ,则 q ”的形式,然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释:(1)互为逆否命题的两个命题同真同假;(2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一:命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题(1)末位是 0 的整数能被 5 整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(△4)ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;(5)余弦函数是周期函数吗?【思路点拨】依据命题的定义判断。
高中数学选修2-1知识点高二在高中数学选修2-1课程中,学生将会学习一系列关于函数和三角函数的知识。
这些知识点对于高二学生来说是非常重要的,因为它们在未来的学习和应用中起着关键的作用。
本文将详细介绍高中数学选修2-1的知识点,旨在帮助学生更好地理解并掌握这些内容。
知识点一:函数函数是数学中的基本概念之一,也是高中数学的核心内容之一。
在高中数学选修2-1中,我们将会学习函数的定义、性质和运算规则等方面的内容。
函数的定义:函数是一种对应关系,它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素上。
一个函数可以用以下形式表示:f(x) = y,其中x是自变量,y是对应的因变量。
函数的性质:函数有一些基本性质,比如定义域、值域、单调性和奇偶性等。
理解这些性质可以帮助我们更好地分析和描述函数的特点。
函数的运算规则:在高中数学选修2-1中,我们还将学习函数的四则运算和复合运算。
这些运算规则可以帮助我们简化函数表达式,并进行函数的组合和拆分等操作。
知识点二:三角函数三角函数是数学中又一个重要的概念,它在几何学和物理学等领域具有广泛的应用。
在高中数学选修2-1中,我们将会学习正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的性质和应用等方面的内容。
正弦函数:正弦函数是一个周期性函数,它的图像表现为一条波浪线。
正弦函数的定义域是全体实数,值域是闭区间[-1,1]。
理解正弦函数的性质和变化规律,可以帮助我们在几何学中解决三角形相关的问题。
余弦函数:余弦函数也是一个周期性函数,它的图像与正弦函数非常相似,只是在垂直方向上有所平移。
余弦函数的性质和应用在物理学中有着广泛的应用,比如描述物体在弹簧的作用下的运动等。
正切函数:正切函数是一个奇函数,它的图像表现为一条无穷的曲线。
正切函数有一些特殊的性质,比如在某些点上它的值是无穷大,这在解决一些特殊的几何问题时非常有用。
知识点三:函数的图像与变换在高中数学选修2-1中,我们还将学习函数的图像与变换等方面的内容。
选修2-1、2-2知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系: ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件:p q ⇔p 是q 的充分不必要条件:,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件:,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件:,p q q p 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式(联系反证法的反设),主要是量词的变化. 例:“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的( ) A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。
如:(1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;②点差法 (主要适用中点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-) (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率是否存在)① 直线具有斜率k ,两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。
必修二 知识点归纳: 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱。
(正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。
(平行六面体:底面为平行四边形的斜棱柱。
) 棱锥 正棱锥:底面为正多边形,顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥:以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台:由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台:由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体:三棱锥正四面体:六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD :三棱锥,其中有四条边:AB 、BC 、CD 、DA ;两条对角线:AC 、BD 。
2. 三视图(会识别,会画图)3. 斜二测画法画直观图:见《名师面对面》P10:3题;P12:6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径,l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ,S’为底面积,h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系:2R=√3a 注意:将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章:点、直线、平面之间的位置关系1.平面的概念,画法,与点的属于关系,与直线的包含关系。
2.三个公理:(1)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在此平面内。
(2)不共线三点确定一个平面。
推论:①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
(3)如果两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意:将《名师面对面》P22-24重做一遍。
3.空间两直线的位置关系:_____、_____、_____。
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1.抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹.他有许多表示方法,比如参数表示,标准方程表示等等.它在几何光学和力学中有重要的用处.抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线.抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图象.【标准方程】①y2=2px,当p>0时,为右开口的抛物线;当p<0时,为左开口抛物线;②x2=2py,当p>0时,为开口向上的抛物线,当p<0时,为开口向下的抛物线.【性质】我们以y2=2px(p>0)为例:①焦点为(,0);②准线方程为:x=﹣;③离心率为e=1.④通径为2p(过焦点并垂直于x轴的弦);⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等.【实例解析】例1:点P是抛物线y2=x上的动点,点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为解:∵点P是抛物线y2=x上的动点,∴设P(x,),∵点Q的坐标为(3,0),∴|PQ|===,∴当x=,即P()时,|PQ|取最小值.故答案为:.这个例题其实是一个求最值的问题,一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值,需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域,后面的工作就是求函数的最值了.例2:已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点,点P到点(0,3)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是.解:如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=﹣1.过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F、P、Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|==.即|PM|+|PQ|的最小值为.故答案为:.这是个经典的例题,解题的关键是用到了抛物线的定义:到准线的距离等于到焦点的距离,然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点.这个题很有参考价值,我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了,并拓展到椭圆和双曲线上面去.【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点,高中主要是增加了焦点、准线还有定义,这也提示我们这将是它的一个重点,所以在学习的时候要多多理会它的含义,并能够灵活运用.例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,求动圆圆心C的轨迹.'例2.'平面内哪些点到直线l:x=-2和到点P(2,0)距离之比小于1.'例3.'点M到点F(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离,点M运动的轨迹是什么图形?你能写出它的方程吗?能画出草图吗?'抛物线的标准方程知识讲解1.抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式:(1)y2=2px,焦点在x轴上,焦点坐标为F (,0),(p可为正负)(2)x2=2py,焦点在y轴上,焦点坐标为F(0,),(p可为正负)四种形式相同点:形状、大小相同;四种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.下面以两种形式做简单的介绍:标准方程y2=2px(p>0),焦点在x轴上x2=2py(p>0),焦点在y轴上图形顶点(0,0)(0,0)对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点(,0)(0,)焦距无无离心率e=1 e=1准线x=﹣y=﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q(1,1)是抛物线x2=2py(p>0)上一点,过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A,B.在点A处作抛物线的切线l1,在点B处作抛物线的切线l2,直线l1、l2交于P 点.(Ⅰ)求p的值及焦点F的坐标;(Ⅱ)求证PA⊥PB.'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5。
高中数学课程内容必修课程由5个模块组成:必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)必修2:立体几何初步、平面解析几何初步必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
选修课程由4个系列:系列1:由2个模块组成。
选修1--1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1---2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。
系列2:由3个模块组成。
选修2--1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2--2:导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数。
选修2--3:计数原理、随机变量及其分布列、统计案例。
系列3:由6个专题组成。
选修3--1:................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................重难点及考点:重点:函数、数列、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、导数难点:函数、圆锥曲线。
高二数学选修2-1第一章:命题与逻辑结构知识点:1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p,则q”,它的逆命题为“若q,则p”.4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若p⌝”.⌝,则q5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若q⌝,则p⌝”。
6、四种命题的真假性:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系:()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.7、若p q⇒,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.若p q⇔,则p是q的充要条件(充分必要条件).8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p q∧.当p、q都是真命题时,p q∧是真命题;当p、q两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题.用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨. 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题.对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ⌝.若p 是真命题,则p ⌝必是假命题;若p 是假命题,则p ⌝必是真命题. 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ∀∈M ,()p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立”,记作“x ∃∈M ,()p x ”. 10、全称命题p :x ∀∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∃∈M ,()p x ⌝。
【新人教A版】高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题(一)教学目标1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若p,则q”的形式;2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
(二)教学重点与难点重点:命题的概念、命题的构成难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
(三)教学过程学生探究过程:1.复习回顾初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?2.思考、分析下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点.(2)2+4=7.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)若x2=1,则x=1.(5)两个全等三角形的面积相等.(6)3能被2整除.3.讨论、判断学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。
其中(1)(3)(5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假。
教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。
4.抽象、归纳定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点:能判断真假的陈述句.在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.5.练习、深化判断下列语句是否为命题?(1)空集是任何集合的子集.(2)若整数a是素数,则是a奇数.(3)指数函数是增函数吗?(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.(5)2)2(=-2.(6)x>15.让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结:判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一是“陈述句”,第二是“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.解略。
高中数学选修2一1教案
教学目标:
1. 掌握数列的定义和基本性质,理解数列的概念和实质。
2. 学习并掌握等差数列和等比数列的求和公式,能够熟练应用。
3. 能够解决实际问题中的数列应用题。
教学重点:
1. 等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 等差数列和等比数列的求和公式和应用。
3. 实际应用中的数列问题解决。
教学难点:
1. 等差数列和等比数列的应用题目解决。
2. 能够灵活运用求和公式解决问题。
教学过程:
一、导入:
通过一个生活中的例子引入数列的概念,让学生理解数列的定义和基本性质。
二、讲解:
1. 等差数列和等比数列的概念和基本性质。
2. 等差数列的通项公式和求和公式。
3. 等比数列的通项公式和求和公式。
三、练习:
1. 让学生完成一些基础的等差数列和等比数列的题目。
2. 练习应用题目,让学生灵活运用求和公式解决实际问题。
四、拓展:
引导学生思考更复杂的数列问题,如特殊数列、递归数列等,拓展数列应用的范围。
五、总结:
总结本节课的重点内容,强化学生对数列的理解和应用能力。
六、作业:
布置相关的数列练习题作为课后作业,以巩固学生对数列的掌握。
七、反馈:
下节课开始前对上节课的内容进行复习和总结,及时纠正学生的错误和提出问题。
以上为本教案的主要内容,希望老师们在教学过程中能灵活运用,使学生真正理解数列的概念和应用。
人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1.掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2.理解抛物线的简单性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图,以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p >0),那么焦点F 的坐标为(,0)2p ,准线l 的方程为2p x =-. 设点M (x,y )是抛物线上任意一点,点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简,得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式:根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =,22y px =-,22x py =,22x py =-(0)p >。
要点诠释:①只有当抛物线的顶点是原点,对称轴是坐标轴时,才能得到抛物线的标准方程;②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上,且开口方向与一次项的系数的正负一致,比如抛物线220x y =-的一次项为20y -,故其焦点在y 轴上,且开口向负方向(向下)③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍,比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-,故其焦点坐标是(0,5)-。
第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
命题的构成――条件和结论定义:从构成来看,所有的命题都具由条件和结论两部分构成.在数学中,命题常写成“若p,则q”或者“如果p,那么q”这种形式,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论.真命题:如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做真命题.假命题:如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做假命题.四种命题:定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.定义2:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题.定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题.形式:原命题:若P,则q.则:逆命题:若q,则P.否命题:若¬P,则¬q.(说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号.“¬p”表示p的否定;即不是p;非p)逆否命题:若¬q,则¬P.四种命题间的相互关系:由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.1.2 充分条件与必要条件定义:如果命题“若p,则q”为真命题,即p ⇒ q,那么我们就说p是q的充分条件;q 是p必要条件.一般地,如果既有p⇒q ,又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.一般地,若p⇒q ,但q ≠>p,则称p是q的充分但不必要条件;若p≠>q,但q ⇒p,则称p是q的必要但不充分条件;若p≠>q,且q ≠>p,则称p是q的既不充分也不必要条件.1.3 简单的逻辑连接词一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q 读作“p且q”。
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”。
一般地,我们规定:当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p ∧q是假命题;当p,q两个命题中有一个是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题。
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作¬p,读作“非p”或“p 的否定”。
若p是真命题,则¬p必是假命题;若p是假命题,则¬p必是真命题;命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。
1.4全称量词与存在量词所有的”“任意一个”这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。
“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。
并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)。
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题P:∀∈,()x M p x它的否定¬P¬P(x)特称命题P:x M p x∃∈,()它的否定¬P:∀x∈M,¬P(x)全称命题和否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.对(1)分析:动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0.解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析:题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:设弦的中点为M(x,y),连结OM,则OM⊥AM.∵k OM·k AM=-1,其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).2.定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.分析:∵点P在AQ的垂直平分线上,∴|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=2.由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.3.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).例3已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.分析:P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB的内分点.4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析:因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在y轴上,所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根.∴△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得:即a 2b 2=4b 2-a 2.2.2 椭圆把平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=.焦点在x 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x .焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>.椭圆的简单几何性质①范围:由椭圆的标准方程可得,222210y x b a=-≥,进一步得:a x a -≤≤,同理可得:b y b -≤≤,即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里;②对称性:由以x -代x ,以y -代y 和x -代x ,且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率(10<<e ),⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ,,b ,c e ;⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a,b ,c e 00 .椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时,这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.对于椭圆12222=+b y a x ,相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=.根据对称性,相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=.对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=.可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得:右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右;左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ,若21PF F ∠最大,则点P 为椭圆短轴的端点。
证明:设),(o o y x P ,由焦半径公式可知:o ex a PF +=1,o ex a PF -=1 在21PF F ∆中,2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0Θ 22a x o≤∴性质三:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明:设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中,由余弦定理得:1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。