高中数学第三章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式312两角和与差的正弦余弦和正切公式1课堂导学

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1。

3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业][A组基础巩固]1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于（）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!解析：原式＝错误!sin 15°·cos 15°＝错误!sin 30°＝错误!。

答案：C2．若sin 错误!＝错误!,则cos 错误!的值为（）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：cos 错误!＝－cos 错误!＝－cos 错误!＝－错误!＝2sin2错误!－1＝－错误!.答案：B3．tan 67°30′－错误!的值为( )A．1 B.错误!C．2 D．4解析：tan 67°30′－错误!＝错误!＝＝－2tan 135°＝2。

答案：C4．函数y＝2cos2错误!－1是( ）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数解析：y＝2cos2错误!－1＝cos 错误!＝cos 错误!＝sin 2x，所以T＝2π2＝π，又f(－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），函数为奇函数．答案:A5．设sin错误!＝错误!，则sin 2θ＝( ）A．－错误!B．－错误!C。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有OA·OB=1(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos［2-(α-β)］=cos［(2-α)+β］=cos(2-α)cosβ-sin(2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2均为任意角.的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=s in(cos())s incosc oscosc ossin sinsin，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan tantan(α+β)=1tantan，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan tantan(α-β)=1tantan.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2,β≠kπ+2，α+β≠kπ+2或2α-β≠kπ+2，以上 k∈Z .当 tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或 其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是 化简三角恒等式的重要手段，如 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运 用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° = 232 1 62 22 24 2；tan60tan 45 3 1tan15°=tan(60°-45°)= 2 31 tan 60tan 45 1 3 tan 60 45 1 3，3 1tan 45 tan 303或 tan15°=tan(45°-30°)= 2 31 tan 45tan 303 13. 例 2 求 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中 7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约 分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用 15°=8°+7°或 8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=sin 7 cos 7cos(7 sin(78)sin 8 8)sin 8s in 7 cos 7cos7cos8sin 8 s in7cos8sin8s in 7cos7sin2sin28 8s in 7(sin cos 7sinsin 7cos2 cos 7cos288cos7cos8sin8sin7cos8sin8s in7cos8cos7sin 8c os7cos8sin7sin 8sin15tan1523. cos15巧解提示:原式=sin(15cos(158)8)c os15sin 8sin15sin 8s in15 cos8 c os15 cos8cos15sin8sin 8sin15cos15sin15sin8sin83s in15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)31tan45tan30323.1tan45t an 30313方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值1例3 已知sinα=，求cos( +α)的值.3 3思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条31件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代3入展开式确定cos( +α)的值.31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.3当α是第一象限角时，cosα=1221()2，33∴cos(3+α)=cos3cosα-sin3sinα=1223122232363;22同理，当α是第二象限角时，cosα=，3∴cos(3233+α)=.6方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos( +α)这样的2函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导2公式可能更简单.例4 已知cos(α-2)=1，sin(92-β)=23，并且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos24思路分析：观察给出的角()()，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需222利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos( -β)的值即可.22解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.2242224∴＜α-＜π，- ＜-β＜.424221＜0，∴又∵cos(α-)= .29221∴sin(22)1sin()1()229459.同理，∵sin(2-β)=23>0，∴.222∴cos(22)1sin()1()22353.故cos[()()]cos222=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin(2222-β)1545275.939327例5 在△ABC中，sinA=355,cosB=13，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符解：5,∴B∈( 2∵cosB=13 24 ,212 13)且 sinB=. ∵sinA= 3 ,∴A∈(0, 2 5 24 )∪( 34 ,π).33若 A∈(,π),B∈( , )，则 A+B∈(π,)与 A+B+C=π 矛盾，44 2234∴A(,π).因此 A∈(0, )且 cosA= .445 45 3 12 16从而 cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=. 5 13 5 13 655例 6 如图 3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置，求点 P′(x′,y′)的 坐标.图 3-1-7思路分析：本题相当于已知角 α 的三角函数值，求 α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|= 32 42 5 ，所以cosα=3 5 ,sinα=45 . 因为 x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)3 24 2 2 5( )，5 2 5 22同理,可求得 y′=5sin(α+45°)=7 22 7 ，所以 P′(,2 2 22 ).方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限，则角 α 的其他三角函数值唯 一；已知角 α 的某一三角函数值，不知角 α 所在的象限，应先分类讨论，再求 α 的其他三 角函数值.②一般地，90°±α，270°±α 的三角函数值，等于 α 的余名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已 知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα=5 5 ，sinβ= 10 10,且 α、β 都是锐角，求 α+β 的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出 α+β 的某个三角函数值，如 cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα、cosβ 即可.(3)由于 α、β 都是锐角，所以 0＜α+β ＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据 cos(α+β)的值即可求出 α+β 的值. 解：∵sinα=5 5,sinβ=10 10，且 α、β 都是锐角，∴cosα=2 5 1 sin2，cosβ=53 10 1 sin 2.10∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=210 10. 5 3 5 2 5 1051026又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3s inβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.tan12tan18解：∵1tan12tan18=tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边.∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.tan tan解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=1tantan=1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=kπ+4,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；7当 α+β=kπ- 问题•探究 思想方法探究4,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些 公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的， 尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ 化简为__________.将 α-β 看作一个角，β 看 作另一个角,则 cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos ［(α-β)+β］=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.tantan探究结论:两角和的正切公式 tan(α+β)=1 tan tan.除了掌握其正向使用之外，还需掌握 如 下 变 换 ： 1-tanαtanβ=tan tan( tan)； tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ 等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉， 其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题 2 2004年重庆高考有一题为：求函数 y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最 小 值 ， 并 写 出 该 函 数 在 ［ 0,π］ 上 的 单 调 递 增 区 间 .该 函 数 变 形 后 就 需 要 用 到 形 如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角 变换？探究过程:形如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形ab式.asinx+bcosx=b ( sincos )a 22xx ,abab2222令 cosφ=aa2b2,sinφ=ba2b2，则原式= a 2b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= a 2 b 2 sin(x+φ).(其中 φ 角所在象限由 a 、b 的符号确定，φ 角的值由 tanφ=b a 确定，常常取 φ=arctan b a).探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx ，就可以利用这一结 论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2 b 2 13 ，所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ)，(其中 φ 在第四象限，且 tanφ=3)，所以 2sinx-3cosx 2的最大值是 13 ，最小值是 13 .8。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标 1.(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)等于( ) A.-23B.-21C.21D.23 解析:(cos12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π) =cos 12π·cos 12π+cos 12π·sin 12π-cos 12π·sin 12π-sin 12π·sin 12π =cos 12π·cos 12π-sin 12πsin 12π=cos 6π=23. 答案:D2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( ) A.57B.51C.-57D.-51 解析:∵α∈(0, 2π),sin α=53, ∴cos α=542591=-. ∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π) =2(22cos α-22sin α)=cos α-sin α =54-53=51. 答案:B3.cos84°·cos24°-cos114°·cos6°的值为( ) A.23B.0C. 21D.2 解析:cos84°·cos24°-cos114°·cos6°=cos84°·cos24°+cos66°·sin84°=cos84°·cos24°+sin24°·sin84°=cos(84°-24°)=cos60°=21. 答案:C4.sin 47°·cos43°+cos47°·sin43°的值等于( ) A.0B.1C.-1D.21 解析:sin47°cos43°+cos47°·sin43°=sin(47°+43°)=sin90°=1.答案:B5.已知sin α=1312,cos β=54,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于( ) A.6533B.6563C.6516- D.-6556解析:∵α是第二象限角,且sin α=1312,∴cos α=1691441--=-135.β是第四象限角,cos β=54,∴sin β=25161--=-53.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =1312×54-(-135)×(-53) =6533651548=-.答案:A6.已知sin α=54,cos(α+β)=-53,α、β都是第一象限的角,则sin β等于( ) A.2524B.257 C.2524或257 D.-2524解析:∵α,β都是第一象限角,且cos(α+β)=53-,∴α+β为第二象限角.∴sin(α+β)=2591-=54,cos α=1-5325161=-.∴sin β=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)·sin α =54×53+53×54=2524251212=+. 答案:A7.sin113°cos22°+sin203°sin158°的值为( ) A.21B.22C.23D.1 解析:sin113°=sin(180°-67°)=sin67°=sin(90°-23°)=cos23°,sin203°=sin(180°+23°)=-sin23°,sin158°=sin(180°-22°)=sin22°.∴原式=cos23°·cos22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos45°=22. 答案:B8.若A 、B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B 等于( ) A.4πB.43πC.45πD.32π 解析:由(1+tanA)(1+tanB)=2,得1+tanA+tanB+tanAtanB=2.所以tanA+tanB=1-tanAtanB.由tan(A+B)=1tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan =--=-+B A B A B A B A , ∴A+B=4π. 答案:A9.已知sin α-cos β=21,cos α-sin β=31,则sin(α+β)=______________. 解析:把sin α-cos β=21两边平方,得 sin 2α-2sin αcos β+cos 2β=41.① 把cos α-sin β=31两边平方,得 cos 2α-2cos αsin β+sin 2β=91.② ①+②,得1+1-2(sin αcos β+cos αsin β)=3613. ∴2sin(α+β)=2-3613=3659. ∴sin(α+β)=7259. 答案:725910.已知tan α、tan β是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(-2π,2π),则tan(α+β)=__________,α+β=__________.解析:∵tan α,tan β是方程x 2+33x+4=0的两根, ∴⎩⎨⎧>=∙<-=+.04tan tan ,033tan tan βαβα∴tan α＜0,tan β＜0.∴α,β∈(-2π,0).∴-π＜α+β＜0. tan(α+β)=.33334133tan tan 1tan tan ==--=-+βαβα ∴α+β=-32π. 答案:3 -32π 11.求值:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解:原式=(2sin50°+sin10°︒∙︒︒+︒80sin 210cos 10sin 310cos =(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10° =22［sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)］ =22sin(50°+10°)=22·23=6. 12.已知tan α、tan β是方程6x 2-5x+1=0的两根,且0＜α＜2π,π＜β＜23π.求: (1)tan(α+β)及α+β的值;(2)sin 2(α+β)-cos(α+β)sin(α+β)-3cos 2(α+β)的值. 解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+.61tan tan ,65tan tan βαβα ∴tan(α+β)=1tan tan 1tan tan =∙-+βαβα.又∵π＜α+β＜2π,∴α+β=45π. (2)原式=)(cos )(sin )(cos 3)sin()cos()(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =1)(tan 3)tan()(tan 22++-+-+βαβαβα =11311+-++ =-23. 走近高考13.(2006江西高考,13)已知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为______________.解析:a -b =(0,sin θ-cos θ),|a -b |=|sin θ-cos θ|=|2sin(θ-4π)|, ∴最大值为2.答案:214.(2006江苏高考)tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________. 解析:原式=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2·︒︒70cos 70sin ·sin40°-2cos40° =︒︒︒-︒︒70cos )70cos 40cos 40sin 70(sin 2 =.270cos 110cos 2=︒︒- 答案:215.(2006福建高考,4)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71B.7C.-71D.-7 解析:∵α∈(2π,π),且sin α=53,。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+4π)用tan2α表示出来.解：tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =.7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβαtan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =.8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=-++--+βαβαβαβαtan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα.2．两角和与差的正切公式的运用【例2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°; (2)︒+︒-15tan 115tan 1; (3)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan ; (4))6tan()3tan(1)6tan()3tan(παπαπαπα++++-+; (5).12tan 3112tan 3ππ+-解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°) =︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1=331331331331-+++-=13313113-+++- =2)13(2)13(22++- =2-3+2+3=4;(2)原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°) =tan30°=33; (3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3;(4)原式=tan ［(α+3π)-(α+6π)］ =tan 6π=33; (5)原式=12tan 3tan 112tan 3tan ππππ+-=tan(3π-12π) =tan 4π=1. 3.给值求角问题 【例3】 已知α,β,γ都是锐角，且tan α=21,tan β=51,tan γ=81,求α+β+γ的值. 错解:因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan(α+β+γ)=819718197tan )tan(1tan )tan(⨯-+=+-++γβαγβα=1. ∵α、β、γ都是锐角，∴0＜α+β+γ＜π23,故：α+β+γ=4π或45π.正解:因为tan(α+β)=97.tan ［(α+β)+γ］=1.由已知γ＜β＜α.又因0＜21＜33,所以0＜γ＜β＜α＜6π,得0＜α+β+γ＜2π.故α+β+γ=4π.各个击破题演练1已知tanx=41,tany=-3,求tan(x+y)的值.解：tan(x+y)=.711)3(411341tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+y x y x变式提升1已知tan α=71,tan β=31,求tan(α+2β).解：tan(α+β)=21317113171tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+βαβα,tan(α+2β)=tan ［(α+β)+β］ =312113121tan )tan(1tan )tan(∙-+=∙+-++ββαββα=1.类题演练2利用和(差)角公式化简: (1)θθθθtan 2tan 1tan 2tan +-； (2)θθtan 1tan 1+-.解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tan θ.(2)原式=θθπtan 4tan 1tan 4tan+-=tan(4π-θ). 变式提升2(1)求tan50°-tan20°-33tan50·tan20°的值. 解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan 20°-33tan50°·tan20° =tan30°(1+tan50°tan20°)-33tan50°·tan20° =tan30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33. (2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan［(18°-x)+(12°+x)］ =33)12tan()18tan(1)12tan()18tan(=+︒-︒-+︒+-︒x x x x . ∴tan(18°-x)+tan(12°+x) =33［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］. ∴原式=1.温馨提示tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tan α+tan β或tan α-tan β,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效. 类题演练3已知α、β都是锐角,且tan α=21,tan β=31,求α+β. 解：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=.1312113121=∙-+ ∵α、β均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升3已知tan α=3(1+m),3(tan α·tan β+m)+tan β=0,且α、β都是锐角，求α+β. 解：由已知可得tan α=3+3m,①tan β=-3tan αtan β-3m.②由①+②可得tan α+tan β=3(1-tan αtan β), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3.又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴0＜α+β＜π,∴α+β=3π.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:x x cos 22sin （1+tanx·tan 2x ）=tanx. 思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x 的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx ，tan 2x =x x x x x x x sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2-==. 证法1：左端=x x x cos 2cos sin 2（1+xx x x sin cos 1cos sin -•) =sinx （1+xx cos cos 1-） =xx cos sin =tanx=右端. 证法2：左端=x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2tan 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2)2tan(2tan tan cos 22sin =••=--• =x x cos sin =tanx=右端. 温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）若x∈［0，2π］，求f （x ）的最大值，最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45. 当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22； 当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在［0，2π］上的最大值为1， 最小值为2-.温馨提示（1）将cos2x-sin2x 变形为sin （4π-2x ），也会有同样的结果; （2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）（A ，ω，φ均为常数，A ＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f （x ）=3-sin 2x+sinxcosx （1）求f （625π）的值； （2）设α∈（0，π），f （2α）=41-23，求sinα的值 解：（1）∵sin 625π=21，cos 625π=23， ∴f（625π）=-3sin 2625π+sin 625πcos 625π=0 （2）f （x ）=23cos2x-23+21sin2x ∴f（2α）=23cos α+21sin α-23=41-23， 16sin 2α-4sin α-11=0解得sin α=8531±. ∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=8531+ 温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin 4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos 22α-4cos2α=2（cos 22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin 2α）2=8sin 4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin 4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos 22α）=2-4cos2α+2cos 22α =2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1 求证:.tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 12θθθθθθ-++=-+ 证明：左边=θθθtan 24sin )4cos 1(+- =θθθθθcos sin 22cos 2sin 22sin 22+=θθθθθsin sin cos 2)2cos 2(sin 2+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ） 右边=θθθ2tan 14sin )4cos 1(-++ =θθθθθθ2222cos sin cos 2cos 2sin 22cos 2•-+ =θθθθθ2cos 2cos )2sin 2(cos 2cos 2•+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+α， （1）写出函数f （x ）的单调递增区间;（2）求f （x ）的最小正周期.解：（1）f （x ）=2322cos 1+-x sin2x+a =23sin2x-21cos2x+a+21 =sin （2x-6π）+a+21, 2k π-2π≤2x -6π≤2kπ+2π，k∈Z ， k π-6π≤x≤kπ+3π,k∈Z , ∴f（x ）的单调递增区间是［kπ-6π，kπ+3π］，k∈Z （2）T=222πωπ==π， ∴f（x ）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx ）+a 2设t=sinx+cosx ，t 为何值时，函数y 取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=2sin （x+4π），-2≤t≤2， ∴t 2=1+2sinxcosx=1+sin2x ，sin2x=t 2-1，∴y=t 2-1-2t+a 2=（t-1）2+a 2-2∵-2≤t≤2，∴当t=1时，函数y 取得最小值a 2-2类题演练3 已知α为第二象限角，且sinα=415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 解：∵sinα=415，α为第二象限角，∴cosα=-41. ∴sin2α=2sinαcosα=815-. ααπαπαααπα2cos 22sin 4sin cos 4cos sin 12cos 2sin )4sin(++=+++ =151230)41(28152241224152--=-⨯+-⨯-⨯ =.2151)115(2-=--变式提升3函数f （x ）=sin 2（x+4π）-sin 2（x-4π）是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f （x ）=2)22cos(12)22cos(1ππ---+-x x =22sin 122sin 1x x --+=sin2x.∴T=22 =π,f（x ）为奇函数. 答案：B。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.化简sin cos-cos sin的值是( )A. B. C.-sin D.sin解析：原式=-sin cos+cos sin=sin(-)=sin=.答案：B2.（高考北京卷，理5）对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是( )A.sin(α+β)＞sinα+sinβB.sin(α+β)＞cosα+cosβC.cos(α+β)＜sinα+sinβD.cos(α+β)＜cosα+cosβ解析：当α=β=30°时,可排除A、B选项,当α=β=15°时,代入C选项中,即0＜cos30°＜2sin15°,两边平方得＜4sin215°=4×≈0.268,矛盾.故选D.答案：D3.(高考陕西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_________________.解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-s in43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=.答案：4.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________________.解析：∵tan60°=tan(20°+40°)=，则tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°)=-tan20°tan40°，因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.要使得sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是( )A.(-∞，］B.［1，+∞)C.［-1，］D.(-∞，-1］∪［，+∞)解析：由已知化简，得sinα-cosα=2(sinαcosα)=2sin(α-)，∴2sin(α-)=，即sin(α-)=.∵-1≤sin(α-)≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得到-1≤m≤.答案：C2.若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：在△ABC中，由内角和定理A+B+C=π，可以得到π-(A+B)=C.又由于2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sin［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.整理可得到cosBsinA=cosAsinB，移项可得sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0.在△ABC中，∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即得到A=B.因此三角形是等腰三角形.答案：C3.已知=，则的值等于( )A. B. C. D.解析：在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan=1，运算中要能够把1与tan灵活代换.由==tan(-α)，可知，tan(-α)=.而-α与+α互为余角，则有=tan(-α)=.答案：A4.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于( )A.2B.-2C.4D.-4解析：由tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，。

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tan α－tan β－tan αtanβtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan α－β－1.1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .( × )提示 公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π2(k ∈Z )即可．( × )提示 还应使α±β≠k π＋π2，k ∈Z .3．若α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.( √ )类型一 正切公式的正用例1 (1)(2017·某某)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·ta n π4＝16＋11－16＝75.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.反思与感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3.类型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1＋tan15°1－tan15°＝________.考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案3解析 原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝ 3.(2)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简解 方法一 tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37° ＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3－3tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°， ∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝ 3. 反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·t an β＝tan α±tan βtan α±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练2 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求角 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．(*)若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾．∴由(*)得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B ．－13C ．3D ．－3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则tan α的值为( ) A.13B ．－13C.23D ．－23 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.3．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1B ．2C ．－2D ．不确定考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 4.1－3tan75°3＋tan75°＝________.考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 －1解析 原式＝33－tan75°1＋33tan75°＝tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1. 5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值． 考点 和、差角公式的综合应用 题点 综合运用和、差角公式化简求值解 (1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝255×35－55×45＝2525. (2)tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用X 围由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．一、选择题1．(2017·某某高一检测)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A.3B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan18°＋tan27°) 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.2．已知α＋β＝54π，则(1＋tan α)·(1＋tan β)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 C解析 (1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1＋tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＋tan α·tan β＝1＋1－tan α·tan β＋tan α·tan β＝2.3．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A.322B.2213C.1318D.16考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.4．(2017·某某高一检测)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin2A 等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 B解析 在△ABC 中，因为3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，所以B ＋C ＝150°，所以A ＝30°， 所以sin2A ＝sin60°＝32. 5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．6．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．－13B.13C ．－3D ．3考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13.7．已知tan α＝lg10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B.110C ．1或110D ．1或10考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 C解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg10a ＋lg 1a ＝1－lg10a ·lg 1a，1＝1－lg10a ·lg 1a，∴lg10a ·lg 1a＝0.∴lg10a ＝0或lg 1a＝0.得a ＝110或a ＝1.二、填空题 8.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝________.考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.9．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 23解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2， ∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan∠BAC ＝__________.考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan∠BAD ＝BD AD ＝13， tan∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan∠CAD －tan∠BAD 1＋tan∠CAD tan∠BAD＝12－131＋12×13＝17. 三、解答题12．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值．考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4 ＝－2＋11＋2×1＝22－3.13．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求角解 由根与系数的关系得 tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3， 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0. ∴－π2<α<0，－π2<β<0， ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 四、探究与拓展14．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________. 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 －32解析 sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－3＝－32. 15．(2017·某某某某实验中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan α＋β－tan α2＋2tan α＋β·tan α的值． 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用解 (1)由题意得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan α＋β－tan α2＋2tan α＋β·tan α＝12×tan α＋β－tan α1＋tan α＋β·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。

两角和与差的余弦公式学习目标:理解两角差的余弦公式的推导,进一步体会向量方法的作用;会应用和差角公式求三角函数值.一、复习引入:P1. (1)画出α的三角函数线：(2)写出点P的坐标__________2. 数量积:①定义：ba⋅=________②坐标运算法则：_______________3.你认为cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?二、自主学习与探究：1、自主学习教科书P124-P125的内容.2、探究:用量方法推导差角的余弦公式值表示向量OA，OB用α与β的三角函数OA=( , )OB=( , )设OA与OB的夹角为θ,则COSθ=______________又∵θ与α、β的关系是:__________________从而得出cos(α-β)=_____________________小结一:两角差的余弦公式C(α－β)cos(α-β)=____________________________3、思考探究:两角和的余弦公式C (α+β)小结二:cos(α+β)=____________________________三、典型例题：合作学习例1不查表，求下列各式的值.(1)cos15°(2) cos105°(3)cos80°cos20°+sin80°sin20°(4)cos 215°-sin 215°(5)103sin 5sin 103cos 5cos ππππ-(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2.已知sin α=54,α∈ ⎝⎛⎪⎭⎫ππ,2，cos β= -135, β是第三象限角，求cos （α-β）的值.变式:已知θθ,54sin =是第二象限角,求)6cos(θπ+的值四、思维拓展: 1.化简:)sin()sin()cos()cos(B A B A B A B A -+--+)2,0(,31)32cos(πθπθ∈=-,求θcos 的值.两角和与差的余弦公式作业1.cos15cos105sin15sin105o o o o +=__________2.sin15sin105cos15cos105o o o o -=3.cos75o =cos165o =4.cos()cos sin()sin αβααβα+++=15sin ,)173πθθθ==5.已知是第二象限角，则cos(-6、设=+=∈)4cos(2,53sin ),2,0(πααπα则若7、已知)23,(,1312cos ππθθ∈-=，那么cos()____________.4πθ+的值是8、已知αβ、均为锐角，且满足11sin ,cos 23αβ== 则cos()αβ+=cos()αβ-=9、已知αβ、均为锐角，且1cos()5αβ+=-， 1sin 3β=，则cos α的值为10sin )θθ+= （ ） A 、sin()4πθ+ B 、sin()4πθ- C 、cos()4πθ- D 、cos()4πθ+ 11、cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( )A ．0 B.12C.32 D ．－1212、已知(0,)απ∈，且1cos 5α=， 2013cos()2πα-的值为 13、利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:(1)ααπsin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2)cos(+)sin 2παα=-14、已知20πβα<<<，且满足sin α=cos β=βα-的值。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1. 答案:B2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.21m - B.21m -- C.12-mD.12--m思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sin β=m ，∴sin β=-m. 又∵β为第三象限角，∴cos β=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tan θ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sin θcos θ，tan θ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π). 所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tan α=71，tan β=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tan β=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tan α=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα. 答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tan α=μ，所以当φ=arctan μ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsin α=Gsin φ.9.tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tan α+tan β=3，tan α·tan β=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕 31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS 中，PS=OP·sin α=sin α，OS=OP·cos α=cos α； 在Rt△ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sin α. RS=OS-OR=cos α-33sin α. S 矩形=PS·RS=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63.回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=32-同时成立. 由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtan β=32-，所以tan 2α+tan β=33-. 于是tan 2α、tan β可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tan β=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sin α=54, (1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sin α=54，得cos α=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tan α=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。