下载文档原格式
19.5（2）角的平分线（2）教学目标1．进一步理解巩固线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理； 2．能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；3．通过探索和证明，发展推理意识和能力.教学重点及难点线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理的应用.教学用具准备黑板、粉笔、电脑、学生准备课堂练习本. 教学流程设计教学过程设计1．复习回顾D21P CABEO填空1：如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ，若PD=2，则PE= .填空2：，在这个角的平分线上(逆定理).【说明】先复习上一节课的内容，温习角的平分线性质定理及其逆定理.2．练习巩固例题2 已知：CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别联结CA 、CB 、EA 、EB. 求证：∠CAE=∠CBE.分析：要证明∠CAE=∠CBE ，可以通过△CAE ≌△CBE 来达到.也可以通过∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA 来达到.证明：∵ CD 垂直平分线段AB （已知）,∴EA ＝EB ， CA ＝CB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.在△CAE 与△CBE 中，（已证） （已证） （公共边）∴△CAE ≌△CBE （S.S.S ）.∴∠CAE=∠CBE （全等三角形的对应角相等）. 另解：证明：∵ CD 垂直平分线段AB （已知）, ∴EA ＝EB ， CA ＝CB （线段垂直平分线上ECBD A⎪⎩⎪⎨⎧===CE CE EB EA CECA 21EC BDA的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.∴∠CAB =∠CBA ，∠1=∠2.（等边对等角） ∴∠CAB －∠1 =∠CBA －∠2.（等式性质） 即∠CAE=∠CBE.【说明】让同学们不要满足于仅用一种方法解决问题，探索寻找新的方法，发展推理意识和能力.例题3 已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别是点D 、E ；BE 、CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC.求证：OB=OC.分析：要证明OB=OC ，只需要证明△ODB ≌△OEC ，垂直和对顶角已经提供了足够的角的信息，只需要再找一组对应边即可.利用角的平分线的知识得到OD=OE.证明：∵AO 平分∠BAC （已知），CD ⊥AB ，BE ⊥AC （已知）， ∴∠ODB ＝∠OEC ＝90°（垂直的意义），且OD=OE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.在△ODB 与△OEC 中，（已证） （已证） （对顶角相等）∴△ODB ≌△OEC （A.S.A ）∴OB=OC （全等三角形的对应边相等）.⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EOC DOB OEOD OECODB EAOBCD【说明】采用由结论出发的研究方式，让同学们逐步找寻出解决问题的关键，发展推理意识和能力.在证明的书写过程中，要强调角的平分线性质定理及其逆定理的书写要求.3．尝试反馈练习 判断下面的证明过程是否正确，并说明理由.已知：点D 是射线AP 上的一点，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ＝DF.求证：AP 平分∠BAC. 证明：∵点D 是射线AP 上的一点，且DE ＝DF （已知），∴AP 平分∠BAC （在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.回答：错误.因为点到线的距离是由垂线段的长度表示的，所以必须由垂直这个条件才能够使用角的平分线性质定理及其逆定理.【说明】该练习实际上是课本练习 3.专门针对角的平分线性质定理及其逆定理的书写的格式要求.强调点到线的距离是由垂线段的长度表示.4、总结、扩展这节课我们学习了角的平分线性质定理及其逆定理的相关知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．5、回家作业PF EDCBA练习册.。
19.5角的平分线一、教学目标1、掌握角平分线的定理和逆定理。
2、让学生理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合，渗透集合思想。
3、学生通过体验探索定理和逆定理得出的过程，培养学生的逻辑推理能力。
二、教学重点本节重点是角平分线的定理及其逆定理。
三、教学难点1、本节内容的难点是定理及逆定理的关系，学生在应用它们的时候容易混淆，帮助学生认识定理和其逆定理的区别，是本节课的难点。
2、综合分析“已知”“求证”，找到解题的正确途径，培养学生学习几何的信心。
四、教学过程（一）创设情境，提出问题思考题：1、若某超市P （在三条道路所形成的图形内部）到三条道路OA、OB、MN的距离都相等，则该超市的位置在哪儿？为了解决这样的问题，今天我们来学习——19.5角的平分线（引出课题）（二）探索发现1、想一想：什么叫角平分线？（学生回忆旧知）2、折一折：已知∠AOB，折出∠AOB平分线OC，（学生操作完成）。
3、量一量：在OC上取一点P，作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.，量出PD，PE的长度。
4、猜一猜：PD和PE之间存在什么关系？那么对于OC上的任意一点P,这个关系都成立吗？（介绍点到直线的距离）5、说一说：怎样用文字语言叙述这个结论？（学生讨论组织语言，教师板书此命题）板书：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等6、证一证：已知：如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.（学生口述证明过程，同时教师总结把刚才的命题作为角平分线的性质定理）7、写一写：用符号语言来表示定理。
8、换一换：如果PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. PA=PB那么点P在∠AOB的平分线上吗？（判断逆命题的真假，教师引导证明，师生共同总结此逆命题，并用几何语言描述）板书：角平分线的判定定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上9、找一找：性质定理与判定定理之间存在什么关系？性质定理与判定定理的题设和结论相反，它们是互逆定理。
角平分线的性质定理-沪科版八年级数学上册教案一、学习目标1.理解角平分线的定义和性质。
2.掌握角平分线的判定方法和证明方法。
3.运用角平分线定理解决与角平分线相关的问题。
二、教学内容和方法1. 教学内容本课时的教学内容是角平分线的性质定理。
2. 教学方法1.示范法：通过示范例题，让学生理解和熟练掌握角平分线的定义和性质。
2.演绎法：通过推导和证明，教授角平分线定理的判定方法和证明方法。
3.课堂讨论法：组织课堂讨论，让学生思考和解决与角平分线相关的问题。
三、教学步骤1. 角平分线的定义和性质1.介绍角平分线的定义和性质：如果一条直线通过一个角的顶点，将该角分成两个大小相等的角，则该直线称为该角的角平分线。
2.示范法展示角平分线的性质：–角平分线上的点到角的两边的距离相等。
–角的两个相邻补角的角平分线重合。
3.练习：让学生练习和巩固角平分线的定义和性质。
2. 角平分线定理的判定方法和证明方法1.角平分线定理的判定方法：如果一条直线通过角的顶点，将角分成两个大小相等的角，则该直线为该角的角平分线。
2.示范法教授角平分线定理的证明方法：–证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。
–证明角的两个相邻补角的角平分线重合。
3.练习：让学生练习和巩固角平分线定理的判定方法和证明方法。
3. 运用角平分线定理解决问题1.给出一些与角平分线相关的问题，让学生讨论和解决。
2.练习：让学生练习和巩固运用角平分线定理解决问题的能力。
四、教学总结通过本课时的学习，学生们理解了角平分线的定义和性质，并掌握了角平分线的判定方法和证明方法，也学会了运用角平分线定理解决问题的能力。
这些知识和技能不仅在初中数学中有广泛的应用，也是日后学习更高数学知识的基础。
沪教版（上海）八年级上19.5第2课时角的平分线（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．角平分线上的任意一点到这个角的两边的______相等；线段垂直平分线上的点到______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到______的所有点的集合；角平分线可以看作是到______的所有点的集合．2．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线．(1)若BE ＝10 cm ，则EC ＝________cm ；(2)若AB ＋AC ＝8 cm ，则△ACE 的周长是_______．3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．（1）若8BC =，5BD =，则点D 到AB 的距离是______；（2）若:3:2BD DC =，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长是______．4．如图，在ABC △中，ABC ∠，BCA ∠的平分线相交于点O ，则1∠______2∠（填“＞”“＞”或“＝”）．5．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_____．6．如图，在△ABC 中．BC ＝5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是______cm7．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，，则AB=_____．8．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．二、单选题9．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥，垂足为C ，PD OB ⊥，垂足为D ，则PC 与PD 的大小关系是（ ）．A ．PC PD >B ．PC PD = C ．PC PD < D ．不能确定 10．如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）A ．AD =CPB ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBDD ．∠ADB =∠CDB ． 11．如图,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ．给出下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD CD =，AD BC ⊥；④BDE CDF ∠=∠．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题13．已知，如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AC 于点 F ，求证：DE=DF ．14．如图，AD 、BE 分别平分BAC ∠、ABC ∠，相交于点P ，过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，PQ AC ⊥，垂足分别为M 、N 、Q ．求证：点P 在C ∠的平分线上．15．如图，AP 、CP 分别是ABC △外角MAC ∠，NCA ∠的平分线，它们交于点P ，PD BM ⊥，PF BN ⊥，垂足分别为D 、F ，则BP 是MBN ∠的平分线吗？请说明理由．16．如图，点D 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且DM=DN ，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD 平分∠ABC ．17．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点O ．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．18．如图，在ABC △中，AB AC ≠，BAC ∠的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，联结EF ．那么EF 与AD 有怎样的关系？请说明理由．19．如图，四边形ABCD 中，AC 为BAD ∠的角平分线，AB AD =，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE DF =．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD的一半．参考答案1．距离线段两端点线段两端点距离相等角两边距离相等【解析】【分析】分别根据角平分线及线段垂直平分线的性质、线段的定义解答即可．【详解】解：角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合；角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．故答案为：距离；线段两端点；线段两端点距离相等；角两边距离相等．【点睛】本题考查角平分线及线段垂直平分线的性质，掌握角平分线及线段垂直平分线的性质等是解题的关键．2．10 8【分析】（1）直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（2）根据题意可得出BE=CE，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE=10cm，∴EC=BE=10cm．故答案为：10；（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴AE+EC=BE+AE=AB．∵AB+AC=8cm，∴△ACE的周长=AB+AC=8cm．故答案为：10，8cm；【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．3．3 15【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解．【详解】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为：3；15．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．4．＝【分析】作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的判定和性质解答即可．【详解】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠ABC，∠BCA的平分线相交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OD，OF=OD，∴OE=OF，又OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠1=∠2．故答案为：=．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．5．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．6．5【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABP ＝∠PBD ，∠ACP ＝∠PCE ，∵PD ∥AB ，PE ∥AC ，∴∠ABP ＝∠BPD ，∠ACP ＝∠CPE ，∴∠PBD ＝∠BPD ，∠PCE ＝∠CPE ，∴BD ＝PD ，CE ＝PE ，∴△PDE 的周长＝PD ＋DE ＋PE ＝BD ＋DE ＋EC ＝BC ＝5cm ．故答案为5．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE 的周长转化为BC 边的长．7．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，∴CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．∵CD 平分∠BCE ，∴∠DCE=∠DCB ．∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=13∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB=60BC sin =︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．8．2【分析】作EH ⊥OA 于H ，根据角平分线的性质求出EH ，根据直角三角形的性质求出EF ，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH ⊥OA 于H ．∵∠AOE =∠BOE =15°，EC ⊥OB ，EH ⊥OA ，∴EH =EC =1，∠AOB =30°．∵EF ∥OB ，∴∠EFH =∠AOB =30°，∠FEO =∠BOE ，∴EF =2EH =2，∠FEO =∠FOE ，∴OF =EF =2．故答案为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．9．B【分析】证明△OPC ≌△OPD ，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：∵PC OA ⊥，PD OB ⊥，∴∠PCO ＝∠PDO ＝90°，∵OP 平分AOB ∠，∴∠POC ＝∠POD ，在△OPC 和△OPD 中，PCO=PDO POC=POD OP=OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△OPC ≌△OPD （AAS ）∴PC=PD ．本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．10．A【解析】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．∴PA=PC，∴△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD ,∴∠ADB=∠CDB,故选A.11．A【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【详解】连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键，做题时要注意添加适当的辅助线，是十分重要的，要掌握．12．D【分析】根据等腰三角形三线合一的特点即可判断出①②③的结论是正确的．根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，可判断出∠BDE和∠CDF的大小关系，由此可判断④．【详解】解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，∴AD⊥BC，BD=CD，（等腰三角形三线合一），∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等）因此①③正确．∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等（角平分线上的任意一点到角两边的距离相等）因此②正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此④正确．故选D．【点睛】本题考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用能力，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．证明见解析【解析】试题分析：连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．试题解析：证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，AC=AB ，CD=BD ，AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ），∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ，∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴DE=DF ．14．详见解析【分析】根据角平分线的性质得到PM PQ =，PM PN =，等量代换得到PQ PN =，根据角平分线的判定可得到结论．【详解】证明：∵点P 在BAC ∠的平分线AD 上，PM AB ⊥,PQ AC ⊥；∴PM PQ =．又点P 在ABC ∠的平分线BE 上，PM AB ⊥，PN BC ⊥；∴PM PN =．∴PQ PN =．∴点P 在C ∠的平分线上．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．BP 为MBN ∠的平分线，理由详见解析【分析】过点P 作PE ⊥AC 于点E ，根据角平分线上点到角两边的距离相等得到PD=PE ， PE=PF ，可推出PD=PF ，则点P 在∠MBN 的角平分线上，即BP 为MBN ∠的平分线．【详解】解：BP 为MBN ∠的平分线．理由如下：作PE AC ⊥，垂足为E ．∵AP ，CP 分别是MAC ∠与NCA ∠的平分线，且PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴PD PE =，PF PE =．∴PD PF =．又PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴点P 在MBN ∠的平分线上．∴BP 为MBN ∠的平分线．【点睛】本题考查角平分线判定和性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上．16．证明见解析.【分析】在AB 上截取ME=BN ，证得△BND ≌△EMD ，进而证得∠DBN=∠MED ，BD=DE ，从而证得BD 平分∠ABC ．【详解】如图所示：在AB 上截取ME=BN ，∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，∴∠DME=∠BND ，在△BND 与△EMD 中，{DN DMDME BND BN ME=∠=∠=，∴△BND ≌△EMD （SAS ），∴∠DBN=∠MED ，BD=DE ，∴∠MBD=∠MED ，∴∠MBD=∠DBN ，∴BD 平分∠ABC ．17．（1）图中有三对全等三角形：△COB ≌△COD ，△AOB ≌△AOD ，△ABC ≌△ADC ；（2）见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB ≌△AOD ，△COB ≌△COD ，△ABC ≌△ADC ．（2）根据全等三角形的判定进行证明【详解】（1）△AOB ≌△AOD △BOC ≌△DOC △ABC ≌△ADC（2）①△AOB ≌△AOD证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）②△BOC ≌△DOC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）③△ABC ≌△ADC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）∴AB= AD∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）∴ BC=DC又∵AC=AC△ABC ≌△ADC18．AD 垂直平分EF ，理由详见解析【分析】由角平分线的性质得出DE=DF ，利用HL 公理证明Rt △AED ≌Rt △AFD ，得到EA=FA ；由等腰三角形三线合一的性质，即可解决问题．【详解】解：AD 垂直平分EF ．理由如下：∵AD 是EAF ∠的平分线，DE AE ⊥，DF AF ⊥，∴90DEA DFA ∠=∠=︒，DE=DF ，又AD AD =，∴Rt DEA △≌Rt DFA （HL ）．∴EA FA =．∴△EAF 是等腰三角形，∵EA FA =，AD 是EAF ∠的平分线，∴OE=OF ，AD ⊥EF ，∴AD 是EF 的垂直平分线．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质是解题的关键19．详见解析【分析】分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，由角平分线的性质得CG=CH ，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC 面积=△ACD 面积，又由于AE=DF ，得到△AEC 面积=△CDF 面积，于是可求出△BCE 面积=△ACF 面积，由四边形AECF 面积=△AEC 面积+△ACF 面积，四边形AECF 面积=△AEC 面积+△BCE 面积，得到四边形AECF 面积=△ABC 面积，又由于四边形ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，四边形ABCD 面积=2△ABC 面积，即可得到结果．【详解】解：分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，∵AC 为BAD ∠的角平分线，∴CG CH =．∵AB AD =，∴ABC △面积ACD =△面积．又AE DF =，∴AEC 面积CDF =△面积．∴BCE 面积ABC =面积AEC -△面积，ACF 面积ACD =△面积CDF -△面积． ∴BCE 面积ACF =△面积．∵四边形AECF 面积AEC =△面积ACF +△面积，ABC △面积AEC =△面积BCE +△面积，∴四边形AECF 面积ABC =面积．又四边形ABCD 面积ABC =面积ACD +△面积， ∴四边形ABCD 面积2ABC =△面积，∴四边形AECF 面积为四边形ABCD 面积的一半．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是正确的作出辅助线．。
_ 月_ _日星期__ 第__周课题19.5 角平分线课型新授教时 1教学目标1．通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。
2．会应用性质定理及其逆定理解决问题。
3．进一步提高观察、分析、解决问题的能力。
重点角平分线性质定理及其逆定理。
难点角平分线性质定理及其逆定理的区别及灵活应用。
教具准备多媒体课件教学过程教师活动学生活动一、思考：一个角是轴对称图形，它的对称轴是角的平分线所在的直线.角的平分线除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？二、新授：操作探究：如果OC是∠AOB的平分线，在OC上任取一个与点O不重合的点P，从点P分别向边OA、OB作垂线段，那么这两条垂线段的长有怎样数量关系？经操作后猜想得到结论：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 学生证明这个猜想.已知：如图17-26，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：略.角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.这个定理也有逆定理，请学生叙述并说明我们以后再回顾旧知操作猜想口头完成证明过程概括角平分线的性质定理，再讨论逆定理进行证明.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.由上述的定理和逆定理可以知道：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.（一）例题分析：例1：已知：如图17-27，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F.∵AO、BO分别是∠A、∠B的平分线(已知)，OE⊥AB，OD⊥BC（已知）,OF⊥AC(所作)，∴OE=OD，OE=OF（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）,∴OD=OF（等量代换）.∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）三、练习：课本P106/1－4四、小结：角平分线的性质定理和判定定理五、作业：体会集合语言描述角的平分线综合运用两个定理体会两个定理的差别完成练习。
《角的平分线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对角的平分线概念的理解，并培养其动手实践与独立思考的能力，以帮助学生通过解决实际问题的方式掌握和深化这一概念的学习。
二、作业内容1. 掌握“角的平分线”定义：熟悉并准确理解“角的平分线”是两条相交的射线将一个角均分成为两个相等小角的几何关系。
2. 探究学习活动：通过观察、分析图形，探究角的平分线的性质和特点，并尝试用数学语言进行表述。
3. 实践操作：绘制不同大小的角，并使用直尺和量角器准确绘制出角的平分线。
4. 作业练习：完成一组关于角的平分线的习题，包括判断题、选择题和简答题，以及应用题。
三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案或使用外部资源。
2. 准确清晰：对每个题目需有清晰明确的答案和解题过程，不得模糊不清或潦草草率。
3. 细致认真：在绘制图形和完成习题时，需细心审题，确保每一步骤的准确性。
4. 拓展思维：在完成基础练习的基础上，鼓励学生思考更多关于角的平分线的实际应用和变式问题。
四、作业评价1. 评价标准：作业的准确性、解题过程的清晰性、答案的完整性以及思维的创新性等。
2. 评价方式：教师批阅、学生互评和自我评价相结合，注重过程与结果的双重评价。
3. 反馈形式：对每位学生的作业进行详细点评，指出优点与不足，并提供改进建议。
五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的普遍问题，教师需在课堂上进行集中讲解和指导。
2. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，促进同学之间的互动与合作学习。
3. 对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发其学习数学的积极性和自信心。
4. 对学生的作业进行分类整理，为后续教学提供参考依据，以便于教师调整教学策略和进度。
六、附加建议为帮助学生更好地掌握角的平分线相关知识，建议家长在家中辅导孩子时，可以结合生活中的实例进行讲解，如讨论门把手的位置与角度关系等，以增强学生对这一数学概念的实际应用能力。
沪教版（上海）初中数学八年级第一学期19.5角的平分线说课稿１９．５角的平分线（第１课时）说课稿（一）教材分析与学情分析；（二）教学目标和教学重点、难点的确定；（三）教学过程设计；（四）对教学设计的三点补充说明。
（一）教材分析与学情分析在这节课之前，学生已经掌握的知识有角平分线的概念及初步应用、作一个角的平分线、三角形全等的判定和性质，这些知识都是学好本节课的基础。
二期课改教材从这一章（第１９章）起进入论证几何阶段，本章的标题就是“几何证明”。
在此之前，学生已经具备一定的观察、操作、猜想能力，但归纳、运用数学意识的思想还比较薄弱，思维的广阔性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
而角平分线恰好是学生最为熟悉的图形之一，由此所构建的知识与方法起点比较底，学生易于接受。
本课时的核心知识是角平分线的性质定理及其逆定理，它为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面学习点的轨迹做了知识上的铺垫。
另外，学生在应用这个定理的过程中可以体会到“角相等”和“线段相等”这两类问题是可以互相转化的，为后阶段学习锐角三角比作了思想上的铺垫。
由此可见，本课时的知识与思想在整个体系中起到承上启下的作用，同时教材的安排由浅入深、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
值得注意的是，教材在编排上颇费一番心思，在这节课之前学习的是线段的垂直平分线，它与本节课的主题可谓一脉相承，为类比学习创造了条件。
与此同时，教材以“线段的垂直平分线”和“角的平分线”为研究载体，渗透了几何证明中定理、逆命题、逆定理的思想。
以上两点均对我制定教学目标起到关键的作用。
（二）教学目标和教学重点、难点的确定；根据我对教材与学生的分析并对照课程标准，我制定了如下两个教学目标：１、经历探究发现角平分线性质定理的过程，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理；能运用这两个定理解决简单的几何问题；２、培养类比、猜想、探究的能力，获得解决问题的成功体验；渗透几何证明中互逆的思想。
教学设计模板（可加页）（5）教师拖动点A,改变NAOB的大小,学生再观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。
NAOB 大小的改变,让学生理解猜想的结果不随角的大小的改变而改变。
引入 回忆角平分线的概念 请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入 学生回忆，并作答。
教师：今天我们学习角平分线的知识。
强调角平分线是角的内部的一条射线。
为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。
新知探究 1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通 定理依次画出一个角NAOB,画出它 过教师的操作可以把问题更 的角平分线OC,度量NAOC 和NCOB 的大小并显示在白板上，在OC 上取一点P,作PD^OA,PELOB,垂足分别为点直观地呈现在学生面前,使学生的猜想更合理。
（1）实验操作得出猜想。
（2）几何画板动态演示,验证猜想。
（3）归纳、概括得出命题。
（2）学生猜测这两条垂线段的长有怎样的数量关系。
（3）教师用几何画板的度量功能量出线段PD 、PE 的长度，并显示在电子白板上。
让学生学会猜想,培养直觉 思维。
用度量出的结果验证学生的猜想。
（5）得到角平分线的性质定理,并写出其符号表达式。
（4）教师拖动点P,同学观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。
P 点位置的变化，让学生理解角平分线上所有点都符合猜想。
合语言表达能力。
巩固应用1．例题讲解：已知：如图，AO、BO分别是NA、ZB的平分线，OD±BC,OEXAB,垂足分别为D、E。
求证：点。
在NC的平分线上AEOBD C （1）教师在电子白板上显示例题。
学生读题、思考。
（2）请学生分析问题的条件、结论，正确区分定理和逆定理，并得出解决方法。
2．变式训练深化新知：（3）板演证明过程。
提高学生正确运用定理和逆定理解决问题的能力。
训练学生分析问题解决问题的能力。
让学生借助几何画板展现给学生的几何图形的模型，进行思考、构造、寻找解题思路示范规范的解题过程，让学生掌握正确的书写方法。
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
他们对这些基础知识有一定的了解，但可能对角平分线的性质和应用还不够清楚。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线解决几何问题五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.探究教学法：引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质。
3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会运用角平分线解决几何问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的性质和应用的课件，以便于引导学生直观地观察和理解。
2.教学素材：准备一些角平分线的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，以便于他们动手操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的角平分线的实例，如剪刀、扇子等，引导学生对角平分线产生兴趣，并提出问题：“什么是角平分线？它有什么特点？”2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍角平分线的定义和性质。
同时，让学生观察和操作手中的几何图形，引导他们发现和总结角平分线的性质。
义务教育基础课程初中教学资料15.4 角的平分线教材分析本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。
它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。
它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识的重要基础。
知识 1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
能力目标1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学目标情感价值在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重点角平分线及垂线的尺规作法教学难点角平分线的尺规作法的探索过程教学设想1.本节课在设计时我曾想通过等腰三角形的三线合一的性质来设计，但考虑到学生对这一性质掌握不够，于是就按三角形全等的知识来设计。
2.在探索角平分线的尺规作法时，原考虑利用教材第110页B组复习题的第1题改编做一个简易的平分角的仪器来解决这一重、难点，但考虑到时间不够，也考虑到学生的接受能力，就降低了难度，利用折纸做的角来突破难点。
3.本节课的两个练习较难，且课后习题没有关于本节课的题目，所以利用练习的第2题，另补充了一道题作为课后作业，同时鼓励学生做好预习，为下一节课打下了伏笔。
4.教学方法设计为引导——发现法教具三角板，圆规，纸做的角教学过程设计教学流程教师活动学生活动温故知新导入新课1.提出问题：什么是角平分线？2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？回忆思考回答目标前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索。
沪科版初中数学初二数学上册《角的平分线》教案及教学反思一、教师教学目标1.知识目标通过教学，使学生掌握以下知识：1.角的概念与角度的度量；2.角的平分线的定义；3.角的平分线存在唯一性定理；4.角平分线的性质。
2.能力目标通过教学，培养学生以下能力：1.用尺规作出一个角的平分线；2.分析和解决与角平分线有关的问题。
二、教学过程1.导入（1）与学生交流，引出本节课的重点：“角的平分线”。
（2）呈现一个图形，在图形上标注一个角，引导学生自学角的概念及角度的度量。
2.讲授（1）通过示范演示尺规作图法，向学生展示如何作出一个角的平分线。
（2）接着教授“角的平分线”的定义及存在唯一性定理，重点讲解定理的证明过程。
（3）继续讲解“角平分线”的性质，引导学生理解并记忆这些性质。
3.练习（1）练习1：一道填空题，“若∠AOB=120°，则∠COE=_____”，要求学生作图并填空。
（2）练习2：一道选择题，“如图，∠BAC=70°，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求∠ABD的度数”，要求学生分析后选出正确答案。
（3）练习3：一道实际问题，“如图，在矩形ABCD中，∠CAD=20°，连接AC，E为AC上一点，使得∠AEB=70°，试求∠BED的度数”，要求学生根据所学知识，应用角度平分线的性质，解决问题。
4.归纳总结（1）让学生进行小组讨论，汇总并总结本节课所学的知识和方法。
（2）教师讲解本节课的关键内容，强调难点和易错点，加深学生对课堂内容的理解和记忆。
5.作业（1）书面作业：完成课堂练习及课下作业。
（2）课后思考：思考角平分线的应用及相关问题，找出解决方法，并提交解题过程和结果分析。
三、教学反思本节课教学内容主要涉及到“角的平分线”的概念、存在唯一性定理、性质等知识点，教师通过组织学生自学、演示作图法、引导分析解决问题等方式，使学生初步掌握了这些知识点。
在实际教学过程中，有以下几点需要完善：1.导入环节不够充分在本节课的导入环节，教师只是简单与学生交流，引出了本节课的重点。
角的平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）引入新课问题1如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段．解：AP 平分∠BAC ．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）展示点评练习：第2题（四）课堂小结请你说说本届课的收获与困惑.（五）当堂检测（满分100分）1.到角的两边距离相等的点在 上。
