河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三
2019年 2 月14 日
一、选择题
1．对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )
A．a⊂α,b⊂α B．a⊂α,b∥αC．a∥α,b⊥α D．a⊂α,b⊥α
2．如图所示,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB＝AC＝2,E、F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( )
A．1 B． 2 C.
2
2
D．
1
2
3.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A．A, M,O三点共线 B．A,M,O,A1不共面
C．A,M,C,O不共面 D．B,B1,O,M共面
4．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有以下四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④D．①③
5.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为( )
A 30°
B 45°
C 60° D90°
6．已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α,n⊥β,则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．如图,在正方体ABCD－A
1B1C1D1中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC与MN所成的角为( )
A．30° B．45° (C)60°(D)90°
8．已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC( ) A．垂直 B．平行 C．相交D．位置关系不确定
二、填空题
9.如图,点P在正方体ABCD A 1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A D 1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题的序号是.
10．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB,SA＝AC,SB＝BC,三棱锥S－ABC的体积为9,则球O的表面积为____.
三、解答题
11.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥
CD,CD=AD=2AB=2AP.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;
(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不
存在,说明理由.
12．如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E
是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：面PAC ⊥面BDE ；
(3)若二面角E －BD －C 为30°,求四棱锥P －ABCD 的体积．
13．如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD ︵
上异于C ,D 的点.
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案
1.解析：已知两条不相交的空间直线a 和b ,可以在直线a 上任取一点A ,使得A ∉b .过A 作直线c ∥b ,则过a ,c 必存在平面α且使得a ⊂α,b ∥α.答案：B
2.解析：取SA 的中点H ,连接EH 、FH (图略)．因为SB ⊥AC ,则EH ⊥FH ,
在△EFH 中,应用勾股定理得EF ＝ 2.答案：B
3.解析：连接A 1C 1,AC ,则A 1C 1∥AC ,所以A ,C ,C 1,A 1四点共面,所以A 1C ⊂面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ,所以M ∈面ACC 1A 1,
又M ∈面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,同理O 在面ACC 1A 1与面AB 1D 1的交线上,所以A ,M ,O 三点共线,故选A.
4.解析：若α∥β,l ⊥α,则l ⊥β,又m ⊂β,所以l ⊥m ,故①正确；若α⊥β,l ⊥α,m ⊂
β,则l 与m 可能异面,所以②不正确；若l ∥m ,l ⊥α,则m ⊥α,又m ⊂β,则α⊥β,所以③正确；若l ⊥α,l ⊥m ,m ⊂β,则α与β可能相交,故④不正确．综上可知,选D.
5.解析:如图,在正四棱锥S ABCD 中,SO ⊥底面ABCD,E 是BC 边中点,则∠SEO 即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tan ∠SEO=,所以∠SEO=60°,故
选C.
6.[解析] 选项A,只有当m ∥β或m ⊂β时,m ∥l ；选项B,只有当m ⊥β时,m ∥n ；选项C,由于l ⊂β,∴n ⊥l ；选项D,只有当m ∥β或m ⊂β时,m ⊥n ,故选C ．
7.[解析] 如图,连接A 1C 1、BC 1、A 1B ．∵M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点∴MN ∥BC 1．又A 1C 1∥AC ∴∠A 1C 1B 为异面直线AC 与MN 所成的角．
∵△A
1BC 1为正三角形∴∠A 1C 1B ＝60°.故选C ．
8.[解析] 过点A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,连结BO
∵AB ⊥CD ,由三垂线定理可得BO ⊥CD ．同理DO ⊥BC ,∴O 为△ABC 的垂心所以
CO ⊥BD ,BD ⊥AO ,CO ∩AO ＝O ,∴BD ⊥平面ADC ,所以BD ⊥AC ．故选A ．
9解析:如图,对于①,容易证明AD 1∥BC 1,从而BC 1∥平面AD 1C,故BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离均相等,所以以P 为顶点,平面AD 1C 为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥A D 1PC 的体积不变,①正确;对于②,连接A 1B,A 1C 1,容易证明A 1C 1AC,由①知,AD 1
∥BC 1,所以平面BA 1C 1∥平面ACD 1,从而由线面平行的定义可得,②正确;对于③由于DC ⊥平面BCC 1B 1,所以DC ⊥BC 1,若DP ⊥BC 1,则BC 1⊥平面DCP,BC 1⊥PC,则P 为中点,与P 为动点矛盾,③错误;对于④,连接DB 1,由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1,可得DB 1⊥平面ACD 1,从而由面面垂直的判定知④正确.答案:①②④
10[解析] 如图,连接OA ,OB ．
由SA ＝AC ,SB ＝BC ,SC 为球O 的直径,知OA ⊥SC ,OB ⊥SC ．
由平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB ＝SC ,OA ⊥SC ,知OA ⊥平面SCB ．
设球O 的半径为r ,则OA ＝OB ＝r ,SC ＝2r
∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 3
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