自考-概率论与数理统计课件(经管类)04183

§1.1.4、事件之间的关系
1.包含关系与相等：“ 事件 A发生必有事件B发
生” ，记为AB。
A＝B AB且BA.
A B A B Ω
2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”
，记作AB或A+B。
显然： 1.AAB，BAB； 2.若AB，则AB=B。 推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
5.互不相容事件（也称互斥的事件） 即事件A与
事件B不可能同时发生。AB＝ 。
AB= B A
Ω
6.对立事件 AB＝ , 且AB＝
记作B A，称为A的对立事件;
思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互
为对立事件的区别. 显然有：
1. A A.
2. , .
B1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3；
B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3；
B3 A1 A2 A3 .
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分
别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下 列事件：
A1 “至少有一人命中目标” : : A2 “恰有一人命中目标” : : A3 “恰有两人命中目标” : : A4 “最多有一人命中目标” : : A5 “三人均命中目标” : : A6 “三人均未命中目标” : :
上述试验的特点： 1.试验的可重复性——可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体
是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。
3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知
的。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，
简称试验。随机试验常用E表示。
样本空间
5 3
知,A的取法共
中,
即A包含的基本事件数 2r = 2 r C 5 C 3 13 故 P A . 2
n C8 28
2 2 C5 C3
例1-12 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接
连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：
（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.
r 3 1 P(A)= n 6 2
例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现
面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试 求 解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 P(A),P(B),P(C).
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},
i 1
Ai
n
3.积事件 :事件A与事件B同时发生，记作 AB
或AB。
显然： 1.ABA，ABB； 2.若AB，则AB=A。 推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件 A发生而事件B不发生
显然： 1.A-BA； 2.若AB，则A-B=φ。
求3个数字中不含0和5的概率.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解 设A表示“3个数字中不含0和5”.
3 从0,1,2,…,9中任意选3个不同的数字,共有 C 10 种选法, 3 即基本事件总数n= C 10 .
3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9共8个数中取得,
3 r C 8 ,则 选法有 C ,即A包含的基本事件数
样本点总数n=8. A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，
C={HHH, THH,HTH, HHT, TTH,THT, HTT}
所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7, 则P(A)=rA／n= 3／8, P(B)=rB／n=1／8, P(C)=rC／n= 7／8.
例1-9 从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试
试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品 的概率”。
解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接 2 2 连两次抽取共有 A100 种取法，即基本事件总数 n A100 .第一 次 取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法， 则A中包含的基本事件数是r=97*3，故
r A中样本点数 P ( A) n 中样本点总数 也即 r A所包含的基本事件数 P ( A) . n 基本事件总数
例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。
解： 显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}, 样本点总数n=6, 事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样 本 点数r=3,从而
3 8
3 r C8 7 P A 3 . n C10 15
如果把题中的 “0和5” 改成“0或5”,结果如何？
例1-10 从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而
后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率. 解 基本事件总数n=92,因为第一次取数有9中可能取法,这
时可重复排列问题. 设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件 数 9*8因为第一次取数有9中可能取法,为保证两个数不同,第二 次取数应从另外的8个数中选取,有8中可能取法,r=9*8,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表
示以下事件： （1）仅A发生； （2）A，B，C都发生； （3）A，B，C都不发生； （4）A，B，C不全发生； （5）A，B，C恰有一个发生。
解
(1)ABC
1、样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间,记为Ω. 2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个 样本点,用字母ω表示.
下面分别写出上述各试验 E k 所对应的样本空间
1 {H,T}；
3 {0，2， }； 1， 3，
2 {1， 3，5，； 2， 4，6}
第七章 参数估计(重点)
第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析
第一章 随机事件与概率
• §1.1 • §1.2 • §1.3 随机事件 概率 条件概率
• §1.4
事件的独立性
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
概率论与数理统计
教材：《概率论与数理统计》
（经管类）
课程代码：4183
柳金甫 王义东 主编 武汉大学出版社
本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章. （1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。 它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。 （2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题 (15*2=30分)、 计算题 (2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。 （3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大
k 1 k 1 m m
1.2.2 古典概型
理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型, 称为古典概型： 1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空 间仅含有有限个样本点; 2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.
古典概型中的概率:
设事件A中所含样本点个数为r ,样本空间中样本点 总数为n,则有
故
P(A)=r∕n= 9*8∕92=8∕9
例1-11 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的
两个球颜色相同的概率。
解
2 从8个球中任意取两个,共有 C 8 种取法,即基本事件总
n C 82 . 数
记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可 能:
2 全是白球或全是黑球. 2 C3 C5 全是白球有 种取法,全是黑球有 种取法,由加法原理 C2 C2
3. A B AB A AB.
事件的运算律
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA。 2、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)C＝A(BC)。 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)。 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B,
试验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊 频率的性质：
n
2048 4040 12000 24000
nA
1061 2048 6019 12012
f n (A)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
（） f（A 1 10 ） ； n （）f（） 0，f（） 1 2 n ； n （）若A与B互不相容，有 3 f（A B f（A f（B . ） n ） n ） n 同理可有：f（ A f（Ak） . n ） n
k 1 k 1 n n
频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：
（） P A 1； 10 （ ） （）P ） 0，P ） 1； 2 （ （ （）若A与B互不相容，有 3 P A B P A P B . （ ） （ ） （ ） 同理可有：P A P Ak） （ ） （ .
——
(2)ABC
(3)ABC
(4) ABC
(5)ABC ABC ABC
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
用 i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
解
B0 A1 A2 A3；
致是75分和25分.
序 言
概率论是研究什么的？
概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
目
录
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
第三章 多维随机变量及其概率分布(重点) 第四章 随机变量的数字特征(重点) 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布
4 {t | t 0}；
5 t | t ， ；
6 t | t 0， . 1
§1.1.3 随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事 件”. 记作A、B、C等。 例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事 件。 A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是样本
§ 1.1.2 随机试验和样本空间
试验的例子
E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；
E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；
E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 在区间 0， 1 上任取一点，记录它的坐标。
A B C
ABC ABC ABC
ABC ABC ABC BC AC AB
ABC
A B C
小
• 本节课主要讲授：
结
1.随机现象；
2.随机试验和样本空间；
3.随机事件的概念；
4.随机事件的关系和运算（重点）。
§1.2 概 率
1.2.1 频率与概率
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的 次数 n A 称为事件 A 发生的频数.比值 f n ( A). 通过实践人们发现，随着试验重复次数n 的大量增加, 频率f n ( A)会 越来越稳定于某一个常数, 我们称这个常数为频率的稳定值.其实这个值 就是事件A的概率f ( A). nA 称为事件 A 发生的频率, 并记成 n
空间Ω的一个子集。 事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，
都称这一次试验中事件A发生了。 基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。 例，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω； 不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。