最新初中九年级上册数学一元二次方程专项复习课件人教版

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人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？

好人教版九年级上数学《一元二次方程》复习课件

解题思路与方法：总结一元二次方程在几何问题中的解题思路和方法，如代数法、几何法等
注意事项：强调解一元二次方程时需要注意的事项，如判别式的使用、根的取舍等
05
一元二次方程的拓展知识
一元二次方程的判别式
判别式的定义：Δ=b²-4ac 判别式的意义：判断一元二次方程的根的情况判别式的应用：解决与一元二次方程相关的问题判别式的拓展：了解其他类型的二次方程的判别式
03
一元二次方程的解法
直接开平方法
定义：对于形如$x^2=a$（其中a为非负实数）的一元二次方程，可以通过直接开平方的方法求解。
适用范围：适用于形如$x^2=a$的一元二次方程，其中a为非负实数。
解法步骤：首先确定方程的形式，然后根据平方根的定义，取方程两边的平方根，得到 $x=\pm\sqrt{a}$。
实际应用：一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如求解利润最大化、最短路径等问题
解题步骤：首先将实际问题转化为数学模型，然后利用一元二次方程的解法求解，最后将答案回归实际问题
注意事项：在解决实际问题时，需要注意问题的实际情况和约束条件，避免出现不符合实际情况的解
代数问题中的一元二次方程
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系
添加标题
一元二次方程的对称轴：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其对称轴为x=-b/2a。
添加标题
一元二次方程的顶点：对于一般形式的一元二次方程，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
添加标题
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系：一元二次方程的根与对称轴和顶点之间存在密切关系。当方程有两个实数根时，这两个根关于对称轴对称；当方程有一个实数根时，顶点就是该根；当方程没有实数根时，顶点在x轴上方或下方。

新人教版九年级数学上册课件：单元复习(一) 一元二次方程(共21张PPT)

解：(1)1300×7.1%≈92(亿元)．答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元 (2)(1300－1204)÷1204×100%＝96÷1204×100%≈8%. 答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8% (3)设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，依题意得1300(1＋x)2＝1573，∴1＋x＝±1.1，∴x＝10%或x＝－2.1 (不符合题意，故舍去)．答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%
12．(通辽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是 A
13．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1，则mn＋nn＋1的值为_3___.
14．(2018·天门)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____12_x_(_x_－__1_)_＝__2_1____.
17．(桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？

初中人教版九年级数学上册第21一元二次方程复习(46PPT)

2
温馨提示：解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于 0 的一元二次方程.
3 一元二次方程根的判别式
2 2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，－b± b2－4ac 即 x1,2＝； 2a
2 2
( )
2
p x1＝－＋ 2
p －q＋ 2
()
2
p ，x2＝－－ 2
( ). p －q＋(2) .
p ＝－q＋ 2
2 2
3.公式法：如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且 b2－4ac≥0，－b± b2－4ac 则 x1,2＝ . 2a 4.因式分解法：若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f )(mx＋n)(a≠0)， f n 则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－，x2＝－ . e m
5 一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均增长率，m 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题，则 a(1－x)m＝b. (2)比赛场次问题 n 个队进行单循环比赛，一共比赛 (3)面积问题求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解．－场．
b (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－； 2a

人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件

新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程

x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究

人教版九年级数学上册《解一元二次方程》课件(共8张PPT)

即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。
(a≠0, b2-4ac≥0)
并写出a，b，c的值。
例1.用公式法解方程4x2+x-3=0
2.
求出b2-4ac的值。
解: a=4 b=1 c= -3
3. 代入求根公式 :
∴ b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0
X=
∴x=
= 1 4 9
24
(a≠0, b2-4ac≥0)
= 1 7
8
即
x1= - 1
3
x2= 4
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程： 1. x2 +2x =5
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。
2. 求出b2-4ac的值。 3. 代入求根公式
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b x c0（ a0 ）有实数根．
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。

新人教版九年级上册数学：《一元二次方程》复习课件

理一理说一说
一元二次方程中几个容易忽视问题：
重视对方程分类讨论；系数重视二次项系数不为0；
重视系数中的隐含条件；
重视根的存在条件△≥０；根重视讨论两根的符号；
重视根要符合实际意义。
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
3.公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
方的关系
进行有关的证明, 关系: x1+x2=-b/a x1..x2=c/a
已知方程的一个根,求另一个根及字母的值, 用处求与方程的根有关的代数式的值,
求作一元二次方程,
程
已知两数的和与积,求此两数
判断方程两根的特殊关系,
实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2a
4.分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”

人教版数学九年级上册课件：21.2.一元二次方程解法复习课件(共20张PPT)

解: b 0 b .
1 2 2a
2a
3.代入求根公式 :
X=
4.写出方程的解： x1=?,
x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
典型例题讲解
公式法：例 2y2-1=2y
解: 2y2-2y – 1=0 化为一般形式(方程右边为0) ∵a=2, b= -2, c= -1 找出 a, b, c(注意符号)
温馨提示：（求根公式法）
（因式分解法）
选择一元二次方程的解法的优先顺序
是：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
2.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2.
3.判定方程 x2-4x+5=0 的根的情况是（C ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
(4) x(x-2)=x-2 （因式分解法） (5) x2-３x=28 （因式分解法）
温馨提示：选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
直接开平方法：典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数
解答题，一元二次方程的解法也常与二次函数等其他知识出现在综合题中。
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c = 0 (a≠0)
二次项系一次项系
数：a 数：b
常数项： c
A 1.基础训练：下列一元二次方程有（）
∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 算出b 2-4ac的值，

人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件

当m=
时是一元一次方程。
3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：__2_x_2-_3_x_-1_=0___, 其二次项
系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是__-1__.
4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则（ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
b2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
0
两不相等实根两相等实根无实根
人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件
判别式的应用: 人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 3x 4 0
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件
例题回顾：人教版数学九年级上册一元二次方程复习精品课件
例1：如果 12是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.
一、与一元二次方程定义有关的题目：
1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？
（1）4x - x²+ 2 =0
（2）3x²- y -1=0
（3）ax²+ｂx+c=0 （a、b、c 为常数）
（4）x +1x =0
2、已知关于x的方程;1=0，
当m
时是一元二次方程，
• 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方法）

最新人教版初中九年级上册数学《一元二次方程》精品课件

解：(1)设圆的半径为 r cm，则圆的面积为（πr2）cm2 ，所以其一般形式为 πr2-6.28=0． (2)设较长的直角边长为 a cm，则较短的直角边长为 (a-3) cm，则直角三角形的面积为[ 12a(a-3)] cm2 ，所以其一般形式为 a2-3a-18=0．
随堂练习 3
如果 2 是方程 x2-c=0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根．
3x A．x2 1 2 B．5x2+y=0
C．ax2+bx+c=0
D．(x-1)(x+2)=1
不是整式不是一元
缺少a≠0的条件
本题源于《教材帮》
随堂练习 2
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径； (2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边.
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
跟踪训练
1．下列方程，一元二次方程的个数是( B )
①3x2+7=0；②x3+2x=1−x2+x3；③2x2−3y+1=0；④3x2−
4
x
+6=0．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
本题源于《教材帮》
对接中考 3
如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 x cm，根据题意可列方程为 (B )

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b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根
试一试
1.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一
个根，则a＝_-7__另一个根为_-6_
2.若关于X的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0
的一个根为0，则 a 的值为（B ）
注：在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二次方程.总之它的基本思路就是将二次方程转化为一次方程, 即降次.
因式分解法的解题过程
1. 移项，使方程的右边为0。 2. 将方程左边分解因式。 3. 令每个因式分别为零，得到两个一元
配方法求最值问题
b a
,
x1
x2
c a
应用
实际应用
思想方法转化思想; 配方法、换元法
一元二次方程的概念
下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ A ）
A．3(x+1)2=2(x+1) C．x2+xy+y2=0
B． 1 x2
1 x
-2=0
D．x2+2x=x2-1
等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
为偶数时常用配方法比较简便。
配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式. 2.把二次项系数化为1. 3.把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放在方程的右边. 4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方. 5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数.
6.利用直接开平方的方法去解.
A.1 B.-1 C. 1或 -1
D. 1
4
3、一元二次方程ax²+bx＋c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 .
若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
4.一元二次方程3x2=2x的解是
2
x1=0,x2= 3 .
5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的值是 m=-2 .
特点: ①都是整式方程. ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
试一试
1.判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
是
（3）ax²+ｂx+c=0 不一定
（2）3x²- y -1=0 不是
（4）x
+
1 x
=0
不是
2.关于x的方程(m²-1)x²+(m-1)x-2m+1=0.
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一元二
解法
配方法公式法
x2
bx
b
2
2
x
b
2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
次
2a
方
因式分解法 (x a)(x b) 0
程根的判别式： b2 4ac
根与系数的关系： x1 x2
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
一元二次方程的解法：（因式分解法）
例：（y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为（y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一个整体，变成
a×b=0形式(即两个因式的积
的形式)。
(y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
A.1
B.－1
C.1或－1
D. 1
2
一元二次方程的解法：（配方法）
例：（2） x2 6x 7 0
解： x2 6x 7
配方时应注意
x2
6x
x
—9
32
7 2
—9
①先将二次项系数
转化为1
x3 2
②两边都加上一次项系数一半的平方
x1 3 2, x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
解：原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0
当a≠2时是一元二次方程；当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
2.当k ≠2 时，方程 kx2 3x 2x2 1 是关于x
的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常
数项为 -9 .二次项为 x2 .一次项为 -x .二次项系数
6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = 2 .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则
4a+c b
的值为
2
一元二次方程的根的情况
不求根,判别一元二次方程 4x2 3x 2 0根的情况.
所以此方程没有实根.
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)
公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数（系数包括前面符号） 3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关
系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实数根。
4. 当b2-4ac的值大于、等于0时，代入求根公式计算出方程的解
一方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就
是原方程的解。
1、用配方法解方程2x²+4x +1 =0，配方后得到的方程
当m ≠±1 时是一元二次方程
当m= -1 时是一元一次方程.
当m=
时.x=0.
3.若（m+2）x 2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方
程则m ≠－2 。
一元二次方程的一般形式
(a,b,c为常数，a≠0）
当 a 0 时,它是一元二次方程;
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
为 1 .一次项系数为 -1 .
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
1.已知x＝-1是方程x²-ax＋6＝0的一个根.则a＝_-__7,
另一个根为_6_.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x2 x a2 1 0的一
个根为0.则a的值为（ B ）