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数理方程第一章 典型方程与定解条件

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典型方程和定解条件的推导-1(定稿)

典型方程和定解条件的推导-1(定稿)

C
v dv
x
x dx
u L
L
di dt
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
j
v dv
j dj
d v R dx j L dx
v
j t
d j G dx v
x
x dx
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
Gdx
Rdx
v ( x .t )
Cdx
v dv
x
●
x dx
电路准备知识
电容元件：
q Cu
i C
C
du
C
i q
dq dt

d ( Cu ) dt
C
du dt
dt
idt
d L dt
uL
电感元件：
uL L
di L dt
L Li uL L i 1 di dt
T u
2
x
2

u
2
上式右边方括号内的分 自变量
子，它表示
t
2
x 产生了 dx 的变化，而引起 u ( x , t ) 到 u ( x dx , t ) u 代替。

数理方程总结完整版

数理方程总结完整版

此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1

则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

数理方程第1讲-69页PPT资料

数理方程第1讲-69页PPT资料
F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6

数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件

数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件

P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是

数理方程第一章定解问题liu婧-1

数理方程第一章定解问题liu婧-1
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).

一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ


一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS

数理方程课件一

数理方程课件一

数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。

数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题

数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题

第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。

它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。

数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。

②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。

如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。

⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。

由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。

本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。

一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。

由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。

若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。

▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。

数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档

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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)

第一章 典型方程与定解条件

第一章 典型方程与定解条件


初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y

第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程


x
y
z


静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div

即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件

C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 弦振动方程的边界条件
(1)固定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：
u|xa0 或： u(a,t)0 第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
ns
ns
(3)热交换状态
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交
换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。
dQ k1(uu 1)dSdt
k
u n
dSdt
k 1 热交换系数；u 1 周围介质的温度
u nuSu1S,
k1
k
第三类边界条件
边界条件
第一类边界条件
给 出 边 界 上 各 点 的 函 数 值 : u |s f 第二类边界条件
• 在 杆 中 隔 离 一 小 段 ( x , x d x ) , 分 析 受 力 情 况
截面x：受到弹(应)力P(x,t)S; 截面xdx：受到弹力P(xdx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
牛顿运动定律：
dm 2 tu 2[P (xdx,t)P (x,t)]S.
dm 2u[P (xdx,t)P (x,t)]S. t2
2u2u2u0 ( Laplace方程 ) x2 y2 z2 ( 位势（Possion）方程 )
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：

数理方程

数理方程

第一章 一些典型方程和定解条件的推导一维齐次波动方程：22222xu a t u ∂∂=∂∂;(其中ρ/2T a =) 一维非齐次波动方程：),(22222t x f xu a t u +∂∂=∂∂（其中),(t x f 称为自由项） 三维波动方程：)(22222222222zu y u x u a u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∇=∂∂（对于电磁场εμ/12=a ） 泊松方程（有源场）：ερ-=∇u 2（非齐次方程） 拉普拉斯方程（无源场）：02=∇u （齐次方程） *拉普拉斯方程和泊松方程都是用来描述稳恒场的。

一维热传导方程：222xu a t u ∂∂=∂∂;(其中ρc k a /2=) 三维热传导方程：)(222222222zu y u x u a u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∇=∂∂ 以上方程都叫做二阶线性偏微分方程边界条件：第一类：在边界上给出了未知函数u 的数值 1|f u s = 第二类：在边界上给出了未知函数u 的外法线方向的倒数2|f nus =∂∂ 第三类：在边界上给出了未知函数u 的外法线方向的倒数某种线性组合的值 3|)(f u nus =+∂∂σ 初始条件和边界条件一起构成定解条件，只有初始条件，没有边界条件的问题称为始值问题（柯西问题）；没有初始条件，只有边界条件的问题叫做边值问题。

两种条件都有的叫做混合问题。

第二章 分离变量法（驻波法）分离变量法核心：令)()(),(t T x X t x u =，带入方程；再由定解条件确定特征值。

形式一（一维波动方程（第一类边界条件（固定端）））：22222xu a t u ∂∂=∂∂；0|,0|0====l x x u u ；)(|),(|00x u u x u t t ψϕ=∂∂=== 通解：x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππsin )sin cos(),(1∑∞=+= （其中⎰=l n xdx l n x l C 0sin)(2πϕ，⎰=l n xdx ln x a n C 0sin )(2πψπ）形式二（一维波动方程（第二类边界条件（自由端）））：22222x u a t u ∂∂=∂∂；0|,0|0=∂∂===l x x x u u ；)(|),(|00x u u x u t t ψϕ=∂∂=== 通解：x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππ)12(sin ))12(sin )12(cos(),(1++++=∑∞= （其中⎰=l n xdx l n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n xdx ln x a n C 0sin )(2πψπ） 形式三（一维热传导方程（第三类边界条件（自由散热端）））：222xu a t u ∂∂=∂∂；0|)(,0|0=+∂∂===l x x u x u u ；)(|0x u t ϕ== 通解：x e C t x u n t a n n n ββsin ),(231-∞=∑=（其中⎰=l n nn xdx x L C 0sin )(1βϕ，⎰=ln n xdx L 02sin β，） 形式四（圆域内拉普拉斯方程）0)(1)(12222=∂∂+∂∂∂∂=∇θρρρρρuu u ；)(),(0θθρf u =通解:)sin cos (2),(120θθρθρn b n a a u n n n ++=∑∞=(其中θθππd f a ⎰=200)(1)；θθθπρπd n f a n n ⎰=200cos )(1；θθθπρπd n f b n n ⎰=200sin )(1）非齐次方程解法：核心将其分为其次部分和非齐次部分，分别求解，然后相加。

数理方程第一章、第二章习题全解

数理方程第一章、第二章习题全解

u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t

深圳大学数理方程du第一章

深圳大学数理方程du第一章

深圳大学电子科学与技术学院
x=0 , u=0 x=l , u=e
l
初速度 ∂u = 0
0
x
ex
u
∂t t=0 u(x,t)指的是杆上x点在时 刻t的位移，不是此时杆
的长度，而是杆的伸长
（3）边界条件
深圳大学电子科学与技术学院
由坐标系的选取知，对 于任意时刻 t (t > 0) ，在 x = 0（左端，固定端），总 是有
l
x
+ 2B ∂2 ∂x∂y
+C
∂2 ∂y 2
+
D
∂ ∂x
+
E
∂ ∂y
+
F
Lu = f (x, y)
∆ = B 2 − AC
∆>0 （双曲型）
如一维波动方程
∆=0 （抛物线型）
如一维热传导方程
∆<0 （椭圆型）
如二维拉氏方程
∂ 2u ∂t 2
=
a2
∂ 2u ∂x 2
+
f (x,t)
∂u ∂t
=
a2
∂2u ∂x 2
热流
q
高温 u 低温
为 ∂u ∂x
，q
表示在单位时间
内流经单位面积的热量，
k 是热传导系数，负号表
0
x
示热流方向与温度梯度
方向相反。
∂u
0
∂x
温度梯度：低温→高温 热流动：高温→低温
深圳大学电子科学与技术学院
数理方程：定解问题的适定性
定解问题作为一个理论模型，是否能准确无误地描述 实际过程，需要对结果进一步检验，即考察解的“适 定性”： 1. 存在性：定解问题的解是否存在 2. 唯一性：实际问题的解往往是唯一的，但数学解可 能不唯一，需要舍去没有实际意义的数学解 3. 稳定性：定解条件或驱动项的微小变化是否导致解 的性质的改变

数学物理方程第一章定解问题

数学物理方程第一章定解问题
线性与非线性
热传导方程可以是线性的，也可以是非线性的，这取决于所描述的 物理现象和材料的属性。
热传导方程的定解问题分类
1 2
初始条件
描述某一时刻物体内部和表面的温度分布。
边界条件
描述物体边界上的温度分布或热量交换情况。
3
混合条件
同时包含初始条件和边界条件的问题。
热传导方程的定解问题求解方法
分离变量法
01
02
03
04
常微分方程
描述物理量随时间变化的规律 ，不涉及空间变量。
偏微分方程
描述物理量在空间和时间上的 变化规律，如波动方程、热传
导方程等。
积分微分方程
结合了积分和微分形式的方程 ，用于描述连续分布的物理量
。
泛函微分方程
在泛函分析框架下定义的微分 方程，用于描述动态系统的行
为。
数学物理方程的解法
有限差分法
用差分近似代替微分，将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，对每个单元进行求解，再通过 组合得到原问题的解。
谱方法
利用傅里叶变换或其它正交函数变换， 将原问题转化为易于求解的代数问题。
定解问题的应用实例
01
02
03
波动方程
描述波动现象，如声波、 光波和水波等。
数学物理方程第一章定解 问
• 引言 • 数学物理方程的基本概念 • 定解问题的分类与求解方法 • 偏微分方程的定解问题 • 波动方程的定解问题 • 热传导方程的定解问题
01
引言
背景介绍
01
数学物理方程是描述物理现象和 过程的数学模型，广泛应用于科 学、工程和技术领域。

数理方程重点总结

数理方程重点总结

C直流
2
n1
n Cn cos l
x
x(l x) 2
最易混淆的概念！
C直流
2
n1
n x(l x)
C0 Cn cos
n1
l
x
2
1）初始条件：u x(l x)
t0
2
特 别 注 意 ： 这 里 的C0 与
n1
n Cn cos l
x 共 同 的 初 始 作 用 之 结 果是 函 数 x(l x) 2
以 C直流 取 代 C0 ， 表 示t 0, n 0,时 的 直 流 分 量
对于c 点周围足够小的 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上的动量改变，即为冲量，于是有
冲量：力的时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时的
动量定理：动量的改变=冲量的作用。
初位移
W (x)
1 6a 2
x3
(M2
l
M1
l2 6a 2
)x
M1
再附：直接积分法 解偏微分方程的边值问题
2u x2 y x y
(1)
u( x,0) x2
(2)
u(1, y) cos y
(3)
解 把（1）式写成
u ()
x2
y
x y
然后，对x 积分，得
u 1 x3 y F( y) y 3
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0

第一章 定解问题

第一章 定解问题

(4)电荷守恒定律 电荷既不能创造，也不能消灭，它们 只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的— 部分转移到另一部分，或者说，在任何物理过程中， 电荷的代数和是守恒的.
(5)热量(质量)守恒定律 物体内部温度升高所吸收的热 量(浓度增加所需要的质量)，等于流入物体内部的净 热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和．
例 在弦的横振动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力， 试导出弦的阻尼振动方程．
解 弦的横振动问题，通常是指紧绷于两固定点之间的细长 而柔软的弦线，在平衡位置附近作振幅极其微小的横振动的 问题．显然，该问题需要研究的物理量u 是弦的位移。
(1)如图所示，考虑弦中的任意一小段x 的受力情况．依题意，设单位长弦线所受
个闭曲面所包围的自由电荷的电量的 1 倍。即
s
E

dS

1


d
其中，
为介电常数，

为体电荷密度．
(8)Joule－Lenz 定律 电流通过纯电阻的导体时所放出 的热量跟电流强度I 的平方、导线的电阻R和通电的时间t
成正比。即Q I 2Rt
(9)Kirchhoff 定律 第一定律：会合在节点的电流代数和
(1)导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件 两部分．
(2)求解已导出或写出的定解问题．
(3)对求得的解答讨论其适定性(即解是否存在、惟一且 稳定)并作适当的物理解释．
3．求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种
(1)行波法(又称d’Alembert解法)
(2)分离变量法
(3)积分变换法
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过 单 位 横 截面 积 的 热量 ），与 温 度 的下 降 率成 正 比 。 即
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M
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例4、静电场
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u 对方程进行化简：
E
E /
E (u) u 2u /
2u / 泊松方程
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。 研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
第二类边界条件
u dQ k1 (u u1 )dSdt k dSdt k1 n k1交换系数；1周围介质的温度, u k u u u1 S 第三类边界条件 n S
C、拉普拉斯方程的边界条件
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到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
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数学物理方程与特殊函数
u | x a 0,
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值 (S为给定区域v 的边界)
u |s f
(2) 绝热状态
第一类边界条件
(3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
u 0 n s
的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
T u ( x, t ) u ( x, t ) T 令： 2 g a 2 2 x 2 t2
2 2
t
2
a2
x
2
--齐次方程
u 2 u a g 2 2 t x
………一维波动方程
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自由项 ------非齐次方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发： D H Jc t B E t D v B 0 在自由空间： J 0, 0 c v D E B H
E H t H E t E 0 H 0
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三类偏微分方程
2u ☆波动方程： a 2 2u t 2 琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 u a 2 2u ☆热传导方程： t 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆拉普拉斯方程：
2u 0
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第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
汤燕斌 华中科技大学数学与统计学院 tangyb@
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的 ☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。 ☆ 课程的主要内容 三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数 波动方程 热传导 拉普拉斯方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
对第一方程两边取旋度， 得： H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H 2 H H 2 2 H ) 由此得： H ( t t t 2 即：
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 y 牛顿运动定律： 横向： T cos T 'cos ' 其中：cos 1 cos ' 1 u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x T T '
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •通过合理的数学近似对方程进行化简
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波的传播的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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第1章 典型方程和定解条件的推导
——电场的三维波动方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t )
S
V
n
根据热学中的傅立叶试验定律
M
在dt时间内从dS流入V的热量为： 热场 u ˆ ˆ dQ k dSdt k u ndSdt ku dSdt n t ˆ dt 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 Q1 ku dS t S 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） t Q1 k 2udV dt
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
2u (x, t ) u( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx t 2 dx x x
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
E H t H E t E 0 H 0
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第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
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分离变量法
行波法 积分变换法 格林函数法
贝塞尔函数 勒让德函数
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第1章 典型方程和定解条件的推导
微积分知识回顾 哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 J n (x) 勒让德方程 (1 x 2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
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rotA A
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程 傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
3 下午4时12分
2 2 2 拉普拉斯算子 2 2 2 x y z 2u 2u 2 平面上的拉普拉斯算子 u 2 2 x y
2 u 0 拉普拉斯方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上
M'
T'
纵向： T sin T 'sin ' gds ma
ds
'

T
M
gds
x x dx x
m ds 2 u ( x, t ) 其中： a t 2
ds dx
下午4时12分
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x

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