6.2.3等差数列的前n项和公式(课件)

将等差数列的通项公式 an a1 n 1d 代入上面公式
Sn na1
n n 1 2
d (6.4)
知道了等差数列an 中的 a1 、 d、n和 Sn ，利用公式（6.4）可以直接计算．
n(a1 an ) n(n 1) na1 d • 公式结构： S n 2 2
我们先看下面的问题。
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• 1＋2＋3＋4＋„„＋99＋100＝？
• 高斯算法
高斯是德国数学家 ，也是科学家，他和牛顿、 阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和 阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数 学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出 了开创性的贡献。 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理 学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术 团体的成员。“数学之王”的称号是对他一生恰如 其分的赞颂。
小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导； 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用；
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
作业
《练与考》第5页上所有题目
祝同学们
学习进步！
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多少个 100个 101 101 ?
\\
这就是等 差数列前n 项和的公式！
1 所以S100= 2 (1+100)×100 =5050
总 ？ 和
1 首 尾 项 + ) ( ？ ？ ？ 项 数 2 项
n(a1 an ) Sn 2
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n(a1 an ) 以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则 S n 2
n(a1 an ) Sn 2
这种求和 的方法叫倒 序相加法！
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6.2 等差数列
等差数列
an 的前n项和公式为
Sn
n a1 an 2
(6.3)
动 脑 思 考 探 索 新 知
知道了等差数列 an 中的
利用公式（6.3）可以直接计算 Sn． a1 、n和 an，
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4
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。 设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100
+ + + + + + +
作 加 法
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2+ 1
// // // // // \\
2S100=101+101+101+…101+101+101
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等差数列： 公 差 ： 通项公式： 重要性质:
an+1-an=d（常数） d Байду номын сангаасn=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这 一结果，如何算的呢？
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二 三 四 五 六 七
4+10=14 5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14 10+4=14
(1)先算出各层的根数， 哇，每层都是14根；
(2)再算出钢管的层数，共7层哩。
1
1 (4 10) 7 49(根) 所以钢管总根数是： 2
6.2 等差数列
例6 等差数列 13, 9, 5, 1,3, 的前多少项的和等于50？
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 设数列的前n项和是50，由于
a1 13, d 3 (1) 4,
故 即 解得
n(n 1) 50 13n 4, 2
2n2 15n 50 0，
为什么要 将其中的一 个答案舍去 呢？
5 n1 10, n2 （舍去）， 2
所以，该数列的前10项的和等于50．
6.2 等差数列
运 用 知 识 强 化 练 习
1.求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．
2.在等差数列{ an }中, 求
a4 6，a9 26，
S 20 .
注： 1、五个元素： a1, an , d , n, Sn , 知“三”可求“二”
6.2 等差数列
a20 106, 求 S 20． a1 8， 例5 已知等差数列 an 中，
巩 固 知 识 典 型 例 题
解
由已知条件得
20 8 106 S20 980. 2
你用对公 式了吗？
证：
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an a a n + 1 + a +a 2+ n-1 即Sn= an+an-1+ a n-2 +… + a3 + a2 + a1 1

把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 由等差数列的性质知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an) 共有 n (a 个1(a ) 多少个 +a1n+a ) n? 因此，