6.2.3等差数列的前n项和公式(课件)

[探究] 如何理解应用等差数列通项公式的函数特点？ 提示：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d可变形为an＝dn＋(a1－d)． (1)若d＝0，则an＝a1，其是常数函数； (2)若d≠0，则an是关于n的一次函数． (3)(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上一群孤立的点． (4)单调性：d>0时，数列{an}为单调递增数列；d<0时，数列{an}为单调递减 数列；d＝0时，{an}为常数列．
[提醒] 要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而 是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d___． (2)前 n 项和公式：Sn＝__n_a_1＋___n_（__n_2－__1_）__d____＝n（a12＋an）.
02
能力特训
特训点1 特训点2 特训点3
特训点1 等差数列基本量的计算(自主冲关类)
[题组·冲关] 1．(202X·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15， 则数列{an}的公差为( D )
A．－3 C．－2
B．－52 D．－4
解 析 ： 设 等 差 数 列 {an}的 首 项 为
(3)求和公式法(二次函数)：利用二次函数求最值的方法求解：①若对称轴恰 好取正整数，则在对称轴处取最值；②若对称轴不是正整数，而是相邻的两 个整数的中点值，则n为这两个整数时取最值；③若对称轴既不是正整数， 又不是相邻两个整数的中点值，则与对称轴最近的正整数处取最值． [注意] 求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数” 这一隐含条件．

解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得
n(n 1) 10 n 4 54 2
2 n 6n 27 0
n19，n23 (舍去)
等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
d 2 5d n (12 )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n
等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sk,S2k－Sk,S3k－S2k, …也是等差数列, 公差为 k2d 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), an 此时有:S偶－S奇= nd , S 奇
那么100+99+98+
由(1)+(2)得101+101+101+
100个101
+1=x.
+101=2x,
(2)
所以
2 x 101100, x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和。
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.. 即

上页 下页
变式练习2
已知an，d，n
2.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，从上
往下铺瓦片，每一层比上面一层多铺1块，
斜面上铺了20层，最下面一层铺了39块瓦片，
第一层铺了多少块瓦片？共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成
等差数列{an}，且a20=39，d=1，n=20
则由an a1 (n 1)d得： 法a21：19 39, 解得：a1 20
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
上页 下页
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第பைடு நூலகம்个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101 就 等 于 5050 了 。 高 斯 算 法 将 加 法 问 题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
上页 下页
创设情景
平行四 三边角形形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
上页 下页
谢谢观看!
上页 下页
答案: n=9，或n=-3（舍去）
练习3、在等差数列an中，d 2, a15 10,求a1及S10. 答案:a1=-38，S10=-290
上页 下页
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）

脑 思 考
探 索
也可以写作 Sn an an1 an2 a3 a2 a1 . （2） 由于a1 an a1 an
a2 an1 a1 d an d a1 an
a3 an2 a1 2d an 2d a1 an
…
新
(1)式与(2)式两边分别相加，得
知等差数列的前n项和等于首2末Sn两 项na之1 和an与 项数乘积的一半．
第6章 数列
6.2 等差数列
6.2 等差数列
数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天 赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把
创 1到100的整数写下来,然后把它们加起来!” 设 情 境
兴 趣 导 入
6.2 等差数列
将等差数列an 的前n项的和记作Sn.
动
即 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. （1）
型
第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．
例
应得到的利息就是上面各期利息之和．
题
Sn 1000 0.1425% (1 2 3 12) 111.15（元），
故年终本金与利息之和总额为
12×1000+111.15=12111.15（元）．
6.2 等差数列
1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上
座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？
巩
固
知 识
比较本例题 的两种解法, 从中受到什
典
么启发?
型
例
题
6.2 等差数列
年利率1.71%，折合 月利率为0.1425%．计 算公式为月利率=年利 率÷12．
例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从

a3 an2 a1 2d an 2d a1 an ，
…… (1)式与（2）式两边分别相加，得
2Sn n a1 an ，
n a1 an 2
由此得出等差数列 an 的前 n 项和公式为
Sn
．
即等差数列的前 n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半． 知道了等差数列 an 中的 a1 、 n 和 an ， 利用公式 （6.3） 可以直接计算 Sn ． 将等差数列的通项公式 an a1 n 1d 代入公式（6.3） ，得
一、创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 前面我们提到的高斯数学中，他观察这 100 个数 1, 2, 3, 4, 5, …，96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成 50 对，依次计算各对的和： 1+100=101 2+99=101 …… 50+51=101
计 学 生 活 动
学生思考、相互讨 论、 交流。 并根据教 师指名回答教师提 出的问题。
Sn na1
知道了等差数列 an 中的 a1 、 n 和d ， 利用公式 （6.4） 可以直接计算 Sn ． 【想一想】 在等差数列 {an } 中，知道了 a1 、d、n、 an 、 Sn 五个量中的三个量，就 可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 巩固知识 典型例题 例 5 已知等差数列 an 中， a1 8 , a20 106 , 求 S 20 ． （解法略） ． 例 6 等差数列（解法略） ．
课
题
6.2.3 等差数列的前 n 项和公式 新授课
知识目标： 理解等差数列通项公式及前 n 项和公式． 能力目标： 通过学习前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力．

谢谢！
=
2
26 × 25
= 26 × 14.5 +
× 0.7
2
变式训练
1、已知1 = 20， = 54， = 999，求 d 和 n
20 + 54
=
2
= 20 + − 1
2、已知等差数列 前10项的和为310，前20项的和为1220。由这些条件能确定这个等
差数列的前n项和吗？
①+②得
则 a = 5050
100
2
= 5050
高斯算法涉及到等差数列的什么性质呢？
若 m + n = p + q ，则 + = +
2a = 101 × 100
①
②
情境导入
问题1： 高斯算法实际上解决的是什么问题呢？
等差数列 1,2,3，……，n，…… 前100项的和
问题2： 根据以上算法能不能算出1,2,3，……，n，……的前n项和呢？
= 1 +

2
等差数列｛ ｝的前n项和公式
若题目已知 ，则优先选择公式一
如何选择公式？
公式中有哪
些变量？已
知哪些量可
求另外的量？
四个变量： 、n、1 、d
知其三求一
若题目已知d，则优先选择公式二
小试牛刀
例1
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前n项和
（1）1 = −4，8 = −18， = 8；
1 + 2 + 3 + …… + 100 = ？
而当其他同学都忙着把100个数逐项相加时，当时年仅10
岁的高斯迅速地算出了正确的答案。

把n换成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，② ②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n， 整理得an＋1＝an＋1， 由等差数列定义有{an}为等差数列.
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.

问题1：1+2+3+…+100=？
这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年） 10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得
101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
知识巩固 例1 已知等差数列｛an｝中，a1=-8， a20=106，求（1） S20. （2） S100 .
例2 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m）（ m n)
(2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2
n19，n23 (舍去) 等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
例 如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它下面 一层多一支，最上面一层放 120支。这个V形架上共放着 多少支铅笔？

4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．

详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列