一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。
