圆
一、圆的基本性质：
1、圆的定义：
到一个定点的距离等于定长的点组成圆，其中定点为圆心，定长为半径。
2、圆的确定：
圆心和半径可确定一个圆；不共线的三点确定一个圆
3、对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
二、弦、弧、直径的基本关系
1、弦、弧、直径、半径概念
1、圆的两条平行弦之间所夹的弧相等
证明：
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两个弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形
三、和圆有关的角
1、定义：（1）圆心角：顶点在圆心上的角
（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
2、性质：（1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数
（2）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
（3）在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角都相等，相等的圆周角所对的弧、弦、弦心距都相等
（4）半圆所对的圆周角是直角，反之，直角的圆周角所对的弦是直径
四圆中的面积问题
1.扇形面积公式：
2.弓形面积的求法
3.阴影部分面积的计算
五、圆和点、直线、圆的关系
2、直线和圆的位置关系
切线：和圆只有一个公共点的直线
切线的判定：（1）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）如果圆心到直线的距离等于这个圆的半径，那么这条直线就是这个圆的切线。
切线的性质：（1）垂直于过切点的半径
（2）从圆外一点，到圆的两条切线长度相等（切线长定理）
（2）相切两圆的连心线，必经过切点
（3）两圆的两条外公切线和两条内公切线分别相等
六 中考对于圆的命题规律探析
例题
【1】弦BC 分O 为1:2两部分，O 的直径等于4，则BC =
【2】（2007山东临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，
与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。A
A 、552
B 、554
C 、35
2
D 、354
【3】已知，如图，O 中的直径AB 与弦CD 相交于P ，
030BPD ∠=，AP=2cm ，PB=6cm ，求弦CD 的长
【4】（2007山东淄博）如图1，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，
AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。
【5】（四川成都）如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥
，
AC =1BC =，那么sin ABD ∠的值是 ．
图1
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D。如果∠A=35°，那么∠C等于（）
A．20°B．30°
C．35°D．55°
【7】（山东枣庄）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。
【8】（山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA
夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向
折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠
AOE＝56°，则α的度数是（）。
A、52°
B、60°
C、72°
D、76°
在圆中求阴影部分得面积：
【9】（2007山东济宁）如图，从P 点引⊙O 的两切线PA 、PA 、PB ，A 、B 为切点，已知⊙O 的半径为2，∠P ＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
【10】如图：在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且∠C ＝900，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。
【11】如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。
（1）若sin ∠BAD =
3
5
，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。 解：
b
C
B
【14】（2007山东临沂）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠
BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。 (1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。
【11】求证：定点在圆内的角的的度数，等于它所对的弧和它的对顶角所对的弧的度数的和的一半
【12】已知：1O 和2O 是等圆，直线l 经过12
O O 的中点M 和两圆分别交于A 、B 、C 、D 。
求证：AB CD
l M O 2
O 1D
C
B
A
【13】如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，
四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均 为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ， 则下列各式中正确的是 （A ）a b c >>
（B ）a b c ==
（C ）c a b >>
（D ）b c a >>
【15】（2007福建福州）如图8，已知：ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，
1
sin 2
B =
，30D ∠= ． （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AC =，求AD 的长．
A
图8
