东北师大附中1213学年上学期期中考试高一年级数学学科(无答案)

师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。

高一上学期数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<<，则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.如图所示，曲线1234,,,C C C C 分别为指数函数,,x xy a y b ==,x x y c y d ==的图象， 则d c b a ,,,与1的大小关系为A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．1b a c d <<<<D ．c d b a <<<<13.函数()f x =A.(]3,0-B.(]3,1-C.()(],33,0-∞--D.()(],33,1-∞--4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 Ａ.1- Ｂ.0 Ｃ.1 Ｄ.25.已知0.80.80.70.7, 1.1, 1.1a b c ===，则c b a ,,的大小关系是Ａ.c b a << Ｂ.c a b << Ｃ.a c b << Ｄ.a c b << 6.已知函数)(x f 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则()f x 的解析式为A.()33xxf x -=- B.33()2x x f x --= C.()33x xf x -=- D.33()2x x f x --=7.已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =A.12 B. 45C. 2D. 9 8.关于x 的方程22230x x a a -+--=的两个实根中有一个大于1，另一个小于1，则实数a 的取值范围为A ．13a -<<B ．31a -<<C ．3a >或1a <-D ．132a -<< 9.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k <<D ． 04k ≤<10.函数()f x =A ．(),2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,+∞ 11.若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又(3)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为 A ．()3,3- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,03,-+∞D ．()(),30,3-∞-12.已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 A.()1,20,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(]1,20,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.()()2,01,-+∞D.[)[)2,01,-+∞第Ⅱ卷 （非选择题90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：1100.532131(4)(3)(2)(0.01)284--⨯+=_______________．14.函数224x x y x-+=([1,3])x ∈的值域为_______________．15.已知函数()y f x =是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =-，那么当0x >时，()f x =_____________．16.对实数a 和b ，定义新运算,2,, 2.a ab ab b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数22()(2)(2)f x x x x =--，x R ∈．若关于x 的方程()f x m =恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）求值：2lg10lg 5--.18.（本小题满分12分）若集合{}21|21|3,2,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭求（1）A B ；（2）()RA B ð.19．（本小题满分12分）已知函数1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的值域． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足：对任意的实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x >．（1）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若(3)mf f <，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时，且[]0,2x ∈，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,+∞上有两个不同实根，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()2f x x a x =--，()22xg x x =+-，其中a R ∈.（1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：BBABC DCADB CB二、填空题：13．110；14．[2,3]；15．(1)x x -+；16．{|3,m m <-或2,m =-或10}m -<<． 三、解答题： 17．原式=()211lg 21lg512lg 222⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=()()2211lg 21lg 222+-=1． (10)分18．{|3213}{|12}A x x x x =-<-<=-<<，455{|0}{|,34x B x x x x -=<=<-或3}x >．……4分（1）5{|1}4AB x x =-<<； …………7分（2）5{|3}4R B x x =≤≤ð，∴(){|13}R A B x x =-<≤ð．…………12分19．（1）()f x 的定义域为R ，∵1010()()1010x x xxf xf x ----==-+，∴()f x 是奇函数． …………4分（2）令10x t =，则0t >，∴2221121111t t t y t t t t--===-+++ …………8分 ∵0t >，∴211t +>，∴21011t <<+，即221111t -<-<+．∴函数()f x 的值域为(1,1)-． …………12分 20．（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，有21()0f x x ->． ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，即12()()f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增． …………6分（2）由（1）知，3m <3233m<，解得32m <． ∴实数m 的取值范围3(,)2-∞． …………12分21．（1）当4a =-时，令2xt =，则[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =．∴函数()f x 的值域为[1,3]-． …………6分 （2）令2x t =，由0x >知1t >，且函数2x t =在(0,)+∞单调递增． ∴原题转化为方程230t at ++=在(1,)+∞上有两个不等实根．设2()3g t t at =++，则012(1)0a g ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，即2120240a a a ⎧->⎪<-⎨⎪+>⎩，解得4a -<<-∴实数a的取值范围是(4,--． …………12分 22．（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； …………1分②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +；………3分 ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +．………5分 （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． …………6分 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-； …………8分②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==． 由24444a a -+≤，得26a -≤≤．∴20a -<≤； …10分③当212a+>，即0a>时，max[()](1)1f x f a==-．由14a-≤，得3a≥-．∴0a>．综上，实数a的取值范围是[2,)-+∞．…………12分。

期中测试一、选择题（每小题5分，共12小题）1.下列说法正确的是（ ）A .锐角是第一象限角B .第二象限角是钝角C .终边相同的角一定相等D .不相等的角，终边必定不同2.下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是（ ）A .[]0,p B .3,22p p éùêúëûC .,22p p éù-êúëûD .[],2p p 3.下列函数中，最小正周期为p 的是（ ）A .sin y x=B .sin y x=C .tan2x y =D .cos4y x=4.设向量()4,3a =r ，()6,b x =r ，且a b ^rr ，则x 的值为（ ）A .92-B .8-C .92D .85.下列各式中正确的是（ ）A .tan1tan 2-＞B .tan 735tan800o o＞C .64tantan 77p p D .9tantan 87p p＞6.已知a 为第二象限角，且1sin cos 5a a +=，则cos sin a a -＝（ ）A .75B .75-C .75±D .25257.将函数y ＝sin 25x p æö+ç÷èø的图象向右平移10p 个单位长度，所得的函数解析式是（ ）A .sin 210y x p æö=+ç÷èøB .3sin 210y x p æö=+ç÷èøC .sin 2y x=D .2sin 25y x p æö=+ç÷èø8.已知()13,2P -，()20,4P 且点P 位于12P P 之间，1PP ＝22PP ，则点P 坐标为（ ）A .()1,2-B .()2,2-C .()1,2D .()2,29.已知5AB a b =+uuu r r r ，28BC a b =-+uuu r r r ，33CD a b =-uuu r r r，则（ ）A .A 、B 、D 三点共线B .A 、B 、C 三点共线C .B 、C 、D 三点共线D .A 、C 、D 三点共线10.已知()()sin f x x x x R =Î，函数()y f x j =+的图象关于直线0x =对称，则j 的值可以是（ ）A .2pB .3pC .4pD .6p11.已知O 是ABC △所在平面上一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则ABC △为（ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形12.已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A pw j w j =+＞＞＜在一个周期内的图象如图所示，若方程()f x m =在区间[]0,p 上有两个不同的数解1x 、2x ，则12x x +的值为（ ）A .3pB .23pC .43pD .3p或43p二、填空题（每小题5分，共4小题）13.tan 570°=________.14.已知a r，b r 满足：3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，则a b -=r r ________.15.cos70cos335sin110sin 25°°°+°=________.16.关于函数()()4sin 23f x x x R p æö=+Îç÷èø，有下列命题：①()y f x =的表达式可改写为4cos 26y x p æö=-ç÷èø；②()y f x =是以2p 为最小正周期的周期函数；③()y f x =的图象关于点,06p æö-ç÷èø对称；④()y f x =的图象关于直线6x p=-对称.其中正确的命题的序号是________.三、解答题（17小题10分，18-22小题各12分）17.已知tan 2a =.求：（1）tan 4p a æö+ç÷èø的值；（2）()()()4sin 3cos sin cos a p a p a a +-++-的值.18.已知：a r，b r ，c r 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r .（1）若c =r ，且c a r r ∥，求c r的坐标；（2）若b =r，且2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r与b r 的夹角q .19.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x p éùÎêúëû时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合.20.已知函数()sin 4f x A x p æö=+ç÷èø，R x Î，且()01f =.（1）求A 的值；（2）若()15f a =-，a 是第二象限角，求cos a .21.已知函数()()sin (0,0,)22f x A x A ppw j w j =+-＞＞＜＜的部分图象如图所示.（1）求A ，w ，j 的值；（2）设函数()()4g x f x f x p æö=+ç÷èø，求()g x 在0,2p éùêúëû上的单调递减区间.22.已知平面向量a =r，sin ,cos44b x x p pæö=ç÷èør ，函数()f x a b =×r r .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.期中测试答案一、1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】A 10.【答案】D 11.【答案】B 12.【答案】D 二、13.14.15.16.【答案】①，③三、17.【答案】tan tan214tan 34121tan tan 4pa p a p a ++æö+===-ç÷-èø-.()()()4sin 3cos 4sin 3cos 4tan 34235sin cos sin cos tan 121a p a a a a p a a a a a +---´-====-++--+-+-+.18.【答案】解：（1）设(),c x y =r，c =Q r ，且c a r r∥，222020y x x y -=ìï\í+=ïî，，解得24x y =ìí=î，，或24x y =-ìí=-î，，故()2,4c =r 或()2,4c =--r.（2）()()22a b a b +^-Q r rr r ，()()220a b a b \+×-=r rr r ，即222320a a b b +×-=rr r r ，5253204a b \´+×-´=rr ，整理得52a b ×=-rr ，cos 1a ba bq ×\==-×r r r r ，又[]0,q p ÎQ ，q p \=.19.【答案】解：（1）()22cos 2sin cos sin f x x x x x=--cos 2sin 224x x x p æö=-=+ç÷èøT p=（2）02x pQ ≤≤52444x p p p \+≤当3248x x pp p +=Þ=38x p ìü\Îíýîþ时()f x有最小值为.20.【答案】解：（1）依题意，sin14A p=,1A =，A =.（2）由（1）得，()4f x x p æö=+ç÷èø,由()15f a =-得，sin 4p a æö+=ç÷èøa Q 是第二象限角，222k k pp a p p \++＜＜，3522444k k p p pp a p \+++＜,4pa \+是第二或第三象限角Q 由sin 04p a æö+=ç÷èø，4pa \+是第三象限角，cos 4p a æö\+==ç÷èø.cos cos 44p p a a éùæö\=+-ç÷êúèøëûcos cos sin sin4444p p p p a a æöæö=+++ç÷ç÷èøèø45==-.21.【答案】由函数()f x ＝()()sin (0,0,22f x A x A ppw j w j =+-＞＞＜＜的部分图象，可得4A =，1254126p p pw ×=-，2w \=，再根据五点法作图可得262ppj ´+=，6pj \=，故()4sin 26f x x p æö=+ç÷èø.设函数()()4sin 24sin 24626g x f x f x x x p p p p æöæöæö=+=+×++ç÷ç÷ç÷èøèøèø4sin 24cos 266x x p p æöæö=+×+ç÷ç÷èøèø8sin 43x p æö=+ç÷èø.令3242232k x k ppp p p +++≤，求得7224224k k x p p p p++≤≤，故函数的减区间为7,224224k k p p p p éù++êúëû，k Z Î.再根据0,2x p éùÎêúëû，可得减区间为7,2424p p éùêúëû.22.【答案】（1）()44f x a b x xp p =×=+Q rr 244x x p p ö=+÷÷ø2sin 44x pp æö=+ç÷èø，284T pp\==.\函数()f x 的最小正周期为8.（2）依题意将函数()f x 的图象向左平移1个单位后得到函数()()2sin 12cos 444y g x x x pp p éù==++=êúëû，函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，即函数()y g x =与y k =-在()2,4x Î-有两个交点，如图所示.\当02k <-<，即20k -＜＜，\实数k 取值范围为20k -＜＜.。

2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设集合A ={x|x 2≤2x}，B ={x|1<x ≤4}，则A ∪B =( )A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. f(x)=x 2−1x−1，g(x)=x +1 B. f(x)=x ，g(x)=x 2xC. f(x)=x ，g(x)=√x 2D. f(x)=|x|，g(x)=√x 23. 函数f(x)=2√x−2+log 3(8−2x)的定义域为( )A. RB. (2,4]C. (−∞,−2)∪(2,4)D. (2,4) 4. 函数y =2−x2+2x的单调递减区间为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [0,2]D. [−1,+∞)5. 函数f(x)=(3−x 2)⋅ln|x|的大致图象为( )A.B.C.D.6. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c7. 已知1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的扇形的面积为______ ．A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5F. 68. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<49. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 是定义在[2b −5,2b −3]上的奇函数，则f(12)的值为( )A. 13B. 98C. 1D. 无法确定10. 已知f(x)={log a (x +a −1),(x >1)(2a −1)x −a,(x ≤1)满足对于任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (1,2)C. (1,2]D. (2,+∞)11. 函数f( x)=( x >0)的反函数f −1( x)=( )．A. (x >0)B. (x ≠0)C. 2 x −1(x ∈R)D. 2 x −1(x >0)12. 已知函数f(x)={1x+1−1 x ∈(−1,0]2x−1x ∈(0,1]，且g(x)=f(x)−mx +2m 在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,−14] B. (−∞,−1]∪(−14,+∞) C. [−1,−14)D. (−∞,−1)∪[−14,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共26.0分）13. 已知函数f(x)={x 2−3x +4,x ≥1log 2(1−x),x <1，则f(f(−1))等于______．14. 已知函数f(x)=22x −52⋅2x+1−6(x ∈[0,3])的值域为______ ．15. 若x 2−2ax +a +2≥0对任意x ∈[0,2]恒成立，则实数a 的取值范围为______． 16. 已知函数f(x)=2x −12x +1+1，若f(2m −1)+f(4−m 2)>2，则实数m 的取值范围是__________． 17. 设函数f(x)={|x −1|(0<x <2)2−|x −1|(x ≤0或x ≥2)则函数y =f(x)与y =12的交点个数是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分） 18. 计算下列各式的值：(1)0.064 −13−(−78)0+160.75+0.01 12； (2)2log 32−log 3329+log 38−25log 53．19. 已知集合A ={x|x 2−(a −1)x −a <0,a ∈R}，集合B ={x|2x+12−x<0}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若A ∪B =R ，求实数a 的取值范围．20.某公司将进一批单价为7元的商品，若按10元/个销售，每天可卖出100个；若销售价每上涨1元/个，每天的销售量就减少10个．(1)设商品的销售价上涨x元/个(0≤x≤10，x∈N)，每天的利润为y元，试表示函数y=f(x)；(2)求销售价为13元/个时每天的销售利润；(3)当销售价上涨多少元/个时，利润最多，为多少元？21.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，已知f(4)=5．(Ⅰ)求f(2)的值；(Ⅱ)解不等式f(m−2)≤2．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a是奇函数．2x+1(1)求实数a的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R上的单调性；(3)若方程f(4x−b)+f(−2x+1)=0在(−3,log23)内有解，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={x|x 2≤2x}={x|0≤x ≤2}， B ={x|1<x ≤4}，∴A ∪B ={x|0≤x <4}=[0,4]． 故选：B ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析： 【分析】由题意，判断定义域与对应关系是否相同即可． 【解答】解：选项A ：不同，定义域，f(x)的是{x|x ≠1}，g(x)的是R ；选项B ：不同，定义域，f(x)的是R ，g(x)的是{x|x ≠0}；选项C ：不同，对应关系，f(x)=x ，g(x)=|x|； 选项D ：定义域与对应关系都相同，故相同； 故选D ．本题考查了函数相等，判断定义域与对应关系是否相同即可．3.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数的定义域的求解． 【解答】解：要使函数f(x)=2√x−2log 3(8−2x)有意义，只需{x −2>08−2x >0，解得2<x <4，则函数的定义域为(2,4)． 故选D ．4.答案：B解析：【分析】确定指数对应函数的单调性，再利用指数函数的单调性，即可求得结论．本题考查复合函数的单调性，正确运用指数函数，二次函数的单调性是关键．【解答】解：令t=−x2+2x=−(x−1)2+1，∴函数在(−∞,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减又y=2t在R上为增函数∴函数y=2−x2+2x的单调递减区间为[1,+∞)故选B．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性及函数图象．【解答】解：函数f(x)=(3−x2)⋅ln|x|是偶函数，排除A，D选项，令(3−x2)⋅ln|x|=0，则当x>0时，解得x=1，或x=√3，所以x=1和x=√3是函数f(x)=(3−x2)⋅ln|x|在x>0时的两个零点，当x=1e (0<1e<1)时，f(1e)=[3−(1e)2]⋅ln|1e|=1e2−3<0，可得选项B错误，故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的性质直接求解． 【解答】解：∵a =ln 13<ln1=0， b =20.3>20=1， 0<c =(13)2<(13)0=1， ∴a <c <b ． 故选：A ．7.答案：B解析：解：由弧度定义得α=lr ， 所以r =2，所以S =12lr =12·2·2=2． 故答案为：B ．本题考查扇形的弧长公式和面积公式，由弧度的定义可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可．8.答案：C解析： 【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可． 本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查． 【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数， 可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0， 所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)． 故选：C ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题．根据奇函数的定义域关于原点对称，从而得到b =2，则f(x)为定义在[−1,1]上的奇函数，f (0)=c =0，且f (−1)=−f (1)，便可得出a =0，从而得出f (x )=x 3+2x ，再计算f(12)的值即可． 【解答】解：∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴2b −5=−(2b −3)，解得b =2， ∴f(x)为定义在[−1,1]上的奇函数， ∴f (0)=c =0，∴f (−1)=−f (1)，即−1+a −2=−(1+a +2)，解得a =0， ∴f (x )=x 3+2x ， ∴f(12)=18+1=98．故选B ．10.答案：C解析：解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，∴函数f(x)在定义域上为增函数， 则满足{a >12a −1>02a −1−a ≤log a (1+a −1)，解得1<a ≤2， 故选：C ．由任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，得函数为增函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．11.答案：A解析： 【分析】本题考查反函数的求法，考查对数运算，属基础题． 依题意，1+1x =2y ，x =12y −1( y >0)，从而求得反函数． 【解答】解：由题意知1+1x =2y ， x =12y −1( y >0)，因此f −1( x)=12x −1( x >0)．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．g(x)=f(x)−mx+2m在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，函数f(x)={1x+1−1 x∈(−1,0]2x−1x∈(0,1],g(x)=f(x)−mx+2m在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，分别作出函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象，如图所示：由图象可知f(1)=1，ℎ(x)表示过定点P(2,0)的直线，当ℎ(x)过(1,1)时，m=−1，此时两个函数有两个交点，当ℎ(x)=m(x−2)经过B(0,12)时，有1个交点，此时m=−14，所以要使函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，则m∈[−1,−14)，故选：C．13.答案：2解析：解：∵函数f(x)={x 2−3x +4,x ≥1log 2(1−x),x <1，∴f(−1)=log 2(1+1)=1， f(f(−1))=f(1)=1−3+4=2． 故答案为：2．利用分段函数的性质先求出f(−1)的值，再计算f(f(−1))．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.答案：[−494,18]解析： 【分析】本题考查了二次函数在区间上的值域，考查了换元法思想，属于基础题．利用换元法，将原函数转化为一元二次函数在区间上的值域，利用二次函数的图象求出函数的值域，得到本题结论． 【解答】解：设2x =t ，t ∈[1,8]， 则g(t)=t 2−5t −6=(t −52)2−494，∴g(52)≤g(t)≤g(8)． 即g(t)∈[−494,18]．∴函数f(x)=22x −52⋅2x+1−6(x ∈[0,3])的值域为[−494,18]．故答案为[−494,18]．15.答案：[−2,2]解析： 【分析】本题考查了二次函数在区间上的恒成立问题，涉及到分类讨论思想、转化思想，属于中档题． 由题意可得，函数f(x)=x 2−2ax +a +2的最小值对任意x ∈[0,2]恒大于等于0，按二次函数的对称轴分类求出最值即可． 【解答】解：若命题“任意x ∈[0,2]，x 2−2ax +a +2≥0”恒成立，则函数f(x)=x 2−2ax +a +2在x ∈[0,2]时的最小值恒大于等于0，二次函数f(x)=x 2−2ax +a +2的对称轴为x =a ， 当a ≥2时，函数f(x)在[0,2]上递减，f(x)min =f(2)=6−3a ≥0⇒a ≤2，故a =2； 当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上递增，f(x)min =f(0)=2+a ≥0⇒−2≤a ≤0；当0<a <2时，函数f(x)在[0,a]上递减，在[a,2]上递增，f(x)min =f(a)=−a 2+a +2≥0⇒−1≤a ≤2，故0<a <2．综上，实数a 的取值范围为：[−2,2]故答案为：[−2,2]．16.答案：(−1,3)解析：【分析】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．构造函数g(x)=f(x)−1，然后根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=2x −12x +1+1， 令g(x)=f(x)−1=2x −12x +1， 则g(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−g(x)，故g(x)为奇函数，∵g(x)=2x −12x +1=1−22x +1在R 上单调递增，∵f(2m −1)+f(4−m 2)>2，∴g(2m −1)+1+g(4−m 2)+1>2，∴g(2m −1)+g(4−m 2)>0，g(2m −1)>−g(4−m 2)=g(−4+m 2)，∴2m −1>−4+m 2，解可得，−1<m <3则实数m 的取值范围是(−1,3)．故答案为：(−1,3) 17.答案：4解析：解：在同一坐标系中作出函数y =f(x)={|x −1|(0<x <2)x +1(x ≤0)3−x(x ≥2)的图象与函数y =12的图象，如下图所示，由图知两函数y =f(x)与y =12的交点个数是4．故答案为：4．在同一坐标系中，作出函数y=f(x)={|x−1|(0<x<2)2−|x−1|(x≤0或x≥2)={|x−1|(0<x<2)x+1(x≤0)3−x(x≥2)与y=12x的图象，数形结合即可知二曲线交点的个数．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查作图与识图能力，属于中档题．18.答案：解：(1)原式=(0.43)−13−1+1634+110=52−1+8+110=485；-----------(6分)(2)原式=log34−log3329+log38−25log259=log3(4×932×8)−9=log39−9=2−9=−7.----(6分)解析：(1)自己利用指数的运算法则，求出表达式的值即可．(2)利用对数的运算法则求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．19.答案：解：(1)当a=3时，A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|2x+12−x<0}={x|x>2或x<−12}.则A∩B={x|−1<x<−12或2<x<3}．(2)A={x|x2−(a−1)x−a<0}={x|(x+1)(x−a)<0}，B={x|x>2或x<−12}.若A∪B=R，则a≥2，即实数a的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．(2)结合A∪B=R，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合不等式的解法求出集合的等价条件是解决本题的关键．20.答案：解：(1)销售价上涨x元，则销售量为100−10x，利润为y=(x+10−7)(100−10x)，即y=10(x+3)(10−x)=−10x2+70x+300,0≤x≤10,x∈N；(2)销售价为13时，x=3，y=420；(3)y=−10x2+70x+300,0≤x≤10,x∈N，对称轴为x=3.5当销售价上涨3元/个或上涨4元/个，销售利润最大，最大为y=420元．解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)销售价上涨x元，则销售量为100−10x，可得利润函数；(2)由题意得，x=3，y=420；(3)x=3或者x=4时，10(x+3)(10−x)=420，即可得出结论．21.答案：解：(Ⅰ)∵对任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f(x +y)=f(x)+f(y)−1，∴令x =y =2，则f(4)=2f(2)−1，∵f(4)=5，∴f(2)=3；(Ⅱ)令x =y =1，则f(2)=2f(1)−1，∴f(1)=2，不等式f(m −2)≤2即为f(m −2)≤f(1)，∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，∴m −2>0，且m −2≤1，∴2<m ≤3．∴不等式的解集为(2,3]．解析：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．(Ⅰ)由条件令x =y =2，由f(4)=5，即可得到f(2)；(Ⅱ)不等式f(m −2)≤2即为f(m −2)≤f(1)，由函数的单调性即可得到m −2>0，且m −2≤1，解出即可．22.答案：解：(1)根据题意，定义域为R 的函数f(x)=−2x +a 2x +1是奇函数， 则有f(0)=−1+a 2=0，解可得a =1，此时f(x)=−2x −12x +1，有f(−x)=2x −12x +1=−f(x)，为奇函数，符合题意，故a =1； (2)f(x)在R 上为减函数，证明如下：设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−2x 1−12x 1+1)−(−2x 2−12x 2+1)=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，又由x 1<x 2，则(2x 1−2x 2)<0，(2x 1+1)>0，(2x 2+1)>0，则f(x)在R 上为减函数，(3)根据题意，f(x)为奇函数，若方程f(4x −b)+f(−2x+1)=0，则有f(4x −b)=−f(−2x+1)，即f(4x −b)=f(2x+1)， 又由函数f(x)为单调递减函数，则有4x −b =2x+1，变形可得b =4x −2x+1，设g(x)=4x −2x+1，x ∈(−3,log 23)，则有g(x)=4x −2×2x =(2x −1)2−1，,3)，则有−1≤g(x)<3，又由x∈(−3,log23)，则2x∈(18若b=4x−2x+1，则b的取值范围为[−1,3)．=0，解可得a=1，将a=1代入f(x)的解析解析：(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−1+a2式，验证其奇偶性即可得答案；(2)根据题意，设x1<x2，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得若方程f(4x−b)+f(−2x+1)=0，则有4x−b= 2x+1，变形可得b=4x−2x+1，设g(x)=4x−2x+1，x∈(−3,log23)，求出函数g(x)的值域，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数与方程的关系，属于综合题．。

某某省某某市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3} 3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．255．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值X围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.377．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．09．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．10．（4分）若log a＜1，则a的取值X围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值X围．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．某某省某某市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算求出M∩N即可．解答：解：由题意得，M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．点评：本题考查了交集的运算，属于基础题．2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3} 考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|﹣2＜x＜2}，从而可知，{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}．解答：解：集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，则{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}，故A正确．故选A．点评：本题考查了集合的化简与集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的奇偶性即可得出．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），（x≠0）∴函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．25考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件得f（x）=x3，由此能求出f（5）．解答：解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（5）=53=125．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值X围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值X围．解答：解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C点评：本题给出二次函数在给定区间上为增函数，求参数m的取值X围，着重考查了二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.37考点：对数值大小的比较．专题：计算题；转化思想．分析：本题宜用中间量法比较，由相关的函数的性质，求出其所在的X围，再比较大小即可解答：解：由题，70.3＞1，0.37∈（0，1），ln0.3＜0三者大小关系为70.3＞0.37＞ln0.3故选A点评：本题考查数的大小比较，由于三个数涉及到三类函数，故无法用单调性直接比较，一般此类题都是用中间量法比较．7．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．解答：解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．8．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．0考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：分x≥﹣1与x≤﹣1两种情况去掉绝对值符号，再考虑函数的单调性，利用单调性求函数的最值．解答：解：当x≥﹣1时，|x+1|=x+1；当x≤﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，∴当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=|x+1|=﹣x﹣1，函数单调递减；当﹣1≤x≤2时，f（x）=|x+1|=x+1，函数单调递增，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得最小值，∴f最小值=f（﹣1）=|﹣1+1|=0故选：D．点评：本题主要考查函数单调性，利用单调性求函数的最值，当函数表达式带有绝对值的符号时，去绝对值是解题的关键．9．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵lg2=a，lg3=b，∴log125===．故选：A．点评：本题考查了对数的换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题．10．（4分）若log a＜1，则a的取值X围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a的X围，得到不等式组，解出即可．解答：解：若log a＜1，则＜，∴或，∴0＜a＜或a＞1，故选：D．点评：本题考查了对数函数的图象及性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据点在函数图象，把点A的纵坐标代入对应的函数解析式求出x，求出点A的坐标，再由四边形ABCD是矩形求出B、C的坐标，最后求出点D的坐标．解答：解：由题意得，A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，把y=2代入y=log x得，2=log x，即x==，所以A（，2），由四边形ABCD是矩形得，B点的纵坐标也是2，把y=2代入y=x得，2=x，即x=4，所以B（4，2），则点C的横坐标是4，把x=4代入y=（）x得，y=，所以点D的坐标是（，），故选：A．点评：本题考查利用函数图象和解析式求出点的坐标，考查识图能力、数形结合思想．12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查指数函数对数函数的图象与性质，①②较简单，利用性质求解即可；③先求定义域，可判断为假；④较难，转化为两函数图象交点问题，利用图象求解．解答：解：①令f（x）=3x，g（x）=2x，当x＞0，f（x）=3x图象恒在g（x）=2x上侧，①正确；②在同一坐标系中，y=2﹣x=（）x与y=2x的图象关于y轴对称，②正确；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），区间（1，+∞）不在函数定义域内，③错误；④求x的取值X围为即0＜x≤2；且令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，f（x）与g（x）图象交点处的x值为方程两根α，β，作图得0＜α＜，1＜β＜，则αβ＜1，④正确．故选：C．点评：重点体现了数形结合的数学思想，也可使用根的存在性定理求解．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．解答：解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点（1，1）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数的定点即可．解答：解：令x=1，得y=1+log a1，得到y=1，故函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）．点评：本题考查对数函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握对数函数的性质，并能根据性质判断出本题求定点的问题可以令真数为1求定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，可得g（x）=log3x．即可得出．解答：解：∵函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，∴g（x）=log3x．∴g（27）=log327=3．故答案为：3．点评：本题考查了互为反函数的性质、对数函数的运算，属于基础题．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是④．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由y=3x递增可判断①②不成立，由f（x）的单调性及已知条件可知c＜0，a＞0，再根据f（c）＞f（a）可得3c+3a＜2，从而可知③④是否成立．解答：解：∵y=3x递增，且c＜b，∴3c＜3b，①不成立；∵b＜a，∴3b＜3a，②不成立；f（x）=|3x﹣1|=，可知f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，由题意可知c＜0，a＞0，f（c）＞f（a）即|3c﹣1|＞|3a﹣1|，1﹣3c＞3a﹣1，∴3c+3a＜2，∴③不成立，④成立，故答案为：④．点评：该题考查指数函数的单调性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属基础题．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则及对数换底公式即可得出．解答：解：（1）原式=﹣4++=；（2）原式=2++=2﹣1+3=4．点评：本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式，属于基础题．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值X围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=0时，将函数转化为分段函数，进行化图．（2）根据f（x）有4个零点，结合图象确定a的取值X围．解答：解：（1）当a=0时，，由图可知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1）．（2）由f（x）=0，得x2﹣2|x|=a，∴曲线y=x2﹣2|x|与直线y=a有4个不同交点，∴根据（1）中图象得﹣1＜a＜0．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解不等式3﹣4x+x2＞0，即可，（2）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数求解．解答：解：（1）得x＞3，或＜1，∴定义域M为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）（2）由（1）可得f（x）=4x﹣2x+1，x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数性质得：[﹣1，0）∪（48，+∞）∴函数f（x）的值域为：[﹣1，0）∪（48，+∞）点评：本题综合考察了函数的性质，解不等式，属于中档题．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明．解答：解：（1）令x=1，y=0则f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1，∵f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＜1，综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0．点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于基础题．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．第二小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13，故f（x）的最大值为f（10）=59，当10＜x≤16时，f（x）=59当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）f（5）=53.5，f=47，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．点评：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，由已知条件能求出f（x）=0解集．（2）由已知得，由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）在x∈（0，t）上的最值．解答：解：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，∴，解得x=﹣1，又∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（x）=0解集为{﹣1，0，1}．（2）∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴，当0＜a＜1时，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递减，∴f（x）min=f（t）=log a t（2﹣t），无最大值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=0，无最大值；当a＞1时，0＜t≤1，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递增，∴f（x）max=f（t）=log a t（2﹣t），无最小值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，无最小值．点评：本题考查方程的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．。

东北师范大学附属中学2015学年上学期高一年级期末考试(普通文班)考试时间：120分钟试卷满分：150分，1，请在答题纸指定位置上填写班级、姓名、学号；2，解答题必须标清题号，附加题计入总分一、选择题：(本题共12分，每一小题5分，共60分)1、下列命题正确的是( )A、第一象限角为锐角B、终边相同的角相等C、相等的角终边相同D、不相等的角其终边必不相等2、设集合A={1，2} B={1，2，3}，C={2，3，4}则(AB)C=()A、{1，2，3}B、{1，2，4}C、{2，3，4}D、{1，2，3，4}3、若a与B的终边互为反向延长线，则有( )A、=+18B、=-18C、=D、=+(2k+1)4、定义运算,=,例如，1*2=1 ，则函数y=1*的值域为()A、(0,1)B、(-C、［1,+D、(0,1］5、若=-5 ,则tan=( )A、-2B、2C、D、A、(-1,0)B、(0,1)C、(1,2)D、(2,3)7、已知函数在区间［0,m］上有最大值3,最小值2，则m的取值范围是()A、［1,+B、［0,2］C、(D、［1,2］&有四个幕函数：，，，某同学研究了其中一个函数，他给出了这个函数的两个性质:(1 )定义域是{x|x} ; ( 2)值域是{y|y}.如果他给出的这两个性质中，有一个是正确的, 有一个是错误的，则他研究的函数是A、B、C、D、9、函数Io的单调增区间是：()A、［+B、［2C、(-D、(-10、为了得到函数y=3的图象，可以把函数y=的图象A、向左平移3个单位长度B、向右平移3个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位长度•11、已知函数，则A、是奇函数且在R上为减函数B、是奇函数且在R上为增函数C、是偶函数且在R上为减函数D、是偶函数且在R上为增函数12、若(Io -(Io ,则A、x-yB、x+yC、x-y B、x+y二、填空题20分13、函数y=x- 的值域为__________________________ ;14、若是第二象限角，则是 ___________________ 象限角；15、已知lo[lo]=0 ,那么= __________________ ;16、对于函数，定义域为D，若存在使=，则称(，)为函数的图象上的不动点，由此，函数的图象的不动点坐标为_______________ ;三、解答题(共有6个题总分7 0分)17、(满分10分)已知：函数(1)、求函数的定义域；(2)、判断此函数的奇偶性.18、(满分12分)已知若是第三象限角,f()=(1)、化简f() ⑵若，求f()的值。

2022—2023学年东北师大附中高一年级（数学）科试卷上学期阶段验收考试考试时间：90分钟试卷满分：120分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．将1485- 化成()2π02π,k k αα+≤<∈Z 的形式是A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π2.下列结论不正确的是A ．sin 20>B ．cos 2000︒<C ．tan 2000︒>D ．tan(3)0-<3．已知扇形的周长是6cm ，面积为2cm ，则扇形的中心角的弧度数为A ．1B ．4C ．1或4D ．2或44.如果1cos(π)3A +=-，那么πsin()2A +=A ．13B ．13-C ．223D ．223-5.已知π1cos()63α-=，则5π2πsin()cos()63αα+-=A ．89-B ．89C．9-D．96.函数πlg sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是A ．()5πππ,πZ 88k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦B ．()πππ,πZ 88k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭C ．()3πππ,πZ 88k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，02πϕ<≤，若对x ∀∈R ,π()()3f x f ≤恒成立，则ϕ=A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6公众号高中试卷资料下载8.已知函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦.若()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．π2π,43⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则A ．π22sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．5π1cos 63α⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．π1sin 33α⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角A ．αβ>B ．22tan tan αβ>C ．22cos cos αβ<D ．22sin sin 1αβ+>12.设函数2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的是A ．当2b =-+时，方程有3个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<<三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知tan 2α=，则22sin cos cos ααα-=．14.函数2π2π2sin cos ,[,]33y x x x =--∈-的最大值是．15.设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________．16.对于函数()f x ，()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得||2αβ- ，则称(),()f x g x 互为“零点相邻函数”.若2()e 3x f x x -=+-与2()2g x x ax a =---互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且()1sin π3α-=，求()f α的值.18.（本小题满分10分）19.（本小题满分10分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，在()0,1x ∈时，()241xx f x =+且()()11f f -=.（1）求()f x 在[]1,1x ∈-上的解析式；（2）若()0,1x ∈，常数52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解关于x 的不等式()1f x λ>.20.（本小题满分10分）已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ．（1）若函数()()()ln 233F x f x a x a =--+-⎡⎤⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln 2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．2022-2023学年上学期高一年级阶段考试（数学）参考答案一、单选题12345678D DCAACDA二、多选题9101112BCACBCABD三、填空题13.3514.7415.216.14[2,]5-四、解答题17.解：（1）()()()()()3πsin πcos 2πcos sin cos (sin )2cos πsin sin cos sin π2f αααααααααααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-⋅-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,所以()cos f αα=……5分（2）由诱导公式可知sin(π)sin αα-=-,则由()1sin π3α-=可得1sin 3α=-,……7分又α是第四象限角,所以cos 3α==,所以()cos 3f αα==.……10分19．解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时，()241x f x =+，公众号高中试卷资料下载∴当()1,0x ∈-时，()()224141x xx xf x f x --=--==-++，……2分又由于()f x 为奇函数，∴()()00f f =--，∴()00f =，又()()11f f -=-，()()11f f -=，∴()()110f f -==.……4分综上所述，当[]1,1x ∈-时，()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩.……5分（2）当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，121,52λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1f x λ>，即4210x x λ-⋅+<，……6分设()21,2x t =∈，不等式变为210t t λ-+<，∵52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴240λ=->△，∴22t λλ<<.而当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0λλ<-，且412λ-<，又y λ=在52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以22412242λ=<<=，所以122λ<<，……8分∴12t λ<<，……9分，即20log 2x λ<<.综上可知，不等式()1f x λ>的解集是24(0,log )2λ+.……10分20.解：（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，……1分当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；……2分当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()()()22238225a a a ∆=-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；……3分当52a ≠时，0∆>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为方程①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为方程①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；……4分要使方程①有唯一实数解，则413a -<≤.综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U .……5分（3）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为[],41m m -减函数，……6分()()1max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()2min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，……7分即222ln ln 224(4)20224141a a m m am a m a am m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令2()4(4)2g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即min ()0g m ≥.二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（ⅰ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)4(4)20g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；……8分（ⅱ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，min 11()082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤≤+4125a -≤<；……9分（ⅲ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，min 393()4(4)204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，取交集45a ≥；综上，正实数a 的取值范围12a ≥-.……10分。

期中测试一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A .{}0,1,2,3,4B .{}0,4C .{}1,2D .{}32.已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）A .a b +B .a b -C .abD .ab3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+¥上单调递增的是（ ）A .()ln f x x=B .()2x f x -=C .()3f x x =D .()2f x x =-4.设函数()1,0,x Q D x x Q Îì=íÏî，则(f f éùëû的值为（ ）A .0B .1C .1-D .不存在5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A .a c b ＜＜B .a b c ＜＜C .b c a ＜＜D .c a b＜＜6.设a 、b 是实数，则“0a b ＞＞”是“22a b ＞”的（ ）A .充分必要条件B .必要而不充分条件C .充分而不必要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是()A .()0,1B .()1,2C .()2,4D .()4,+¥8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为（ ）A .()1,2B .()5,6C .()7,8D .()15,16二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）9.函数()f x =的定义域为________.10.已知函数()122,1log ,01x x f x x x ìï=í£ïî＞＜，则14f f æöæö=ç÷ç÷èøèø________；若()1f x =，则x =________.11.函数()2(1)1f x x x x =+>-的最小值是________；取到最小值时，x =________.12.设a 为常数，函数()263f x x x =-+=，若()f x a +为偶函数，则a =________.13.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在()0,+¥是增函数，()30f =，则不等式()0f x ＞的解集为________.14.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a b c ＞＞，则a b c +＞”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.15.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4A B =U ，A B =ÆI ；（2）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.那么用列举法表示集合A 为________.16.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x éù=ëû，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){|}A x f x x ==，(){|}B x f f x x =éù=ëû，那么：（1）函数()22g x x =-的“不动点”为________；（2）集合A 与集合B 的关系是________.17.若x 、y R +Î，且134y x +=，则y x的最大值为________.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x ax a =-+，其中a R Î.①12f æö-=ç÷èø________14-；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共6小题，每小题13分，共78分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）19已知全集U R =，集合(){|20}P x x x =-≥，{|3}M x a x a =+＜＜.（1）求集合U P ð；（2）若1a =，求集合P M I ；（3）若U P M Íð，求实数a 的取值范围.20.解下列关于x 的不等式（1）()()120x x --＜；（2）213x -＜；（3）()()231210x a x a a -+++＞.21.已知函数()12x f x x +=+.（1）求()1f f éùëû的值；（2）若()1f x >，求x 的取值范围；（3）判断函数在()2,-+¥上的单调性，并用定义加以证明.22.已知函数()221f x x ax =-+，[]0,2x Î上.（1）若1a =-，则()f x 的最小值；（2）若12a =，求()f x 的最大值；（3）求()f x 的最小值.23.如果定义在[]0,1上的函数()f x 同时满足：①()0f x ≥；②()11f =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()1212f x x f x f x ++≥成立.那么就称函数()f x 为“梦幻函数”.（1）分别判断函数()f x x =与()2x g x =，[]0,1x Î是否为“梦幻函数”，并说明理由；（2）若函数()f x 为“梦幻函数”，求函数()f x 的最小值和最大值；24.设函数()f x 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.已知函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-.（1）若1a =，2b =.写出函数()f x 的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a ，b ，c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由.期中测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：{}0,1,2,4A =Q ，{}1,2,3B =，{}{}{}0,1,2,41,2,31,2A B \==I I .故选C.2.【答案】D【解析】ln 2a =Q ，ln 3b =，又3ln 2log 2ln 3=Q ，3log 2a b \=.3.【答案】A【解析】函数()ln f x x =是偶函数又在区间()0,+¥上单调递增，满足题意；函数()2x f x -=是非奇非偶函数，不满足题意；函数()3f x x =是奇函数，不满足题意；函数()2f x x =-是偶函数，但在区间()0,+¥上单调递减，不满足题意；4.【答案】B【解析】Q 函数()1,0,x Q D x x Q Îì=íÏî，(0f \=，(()01f f f éù\==ëû.5.【答案】A【解析】解：由题意，可知：5log 21a =＜，110.5122221log 0.2log log 5log 5log 425b --=====＞.0.20.51c =＜，b \最大，a 、c 都小于1.521log 2log 5a ==Q，10.2510.5()2c ====而22log 5log 42=＞，21log 5\a c \＜，a cb \＜＜.故选A .6.【答案】C【解析】若0a b ＞＞，则22a b ＞成立，若2a =-，1b =，满足22a b ＞，但0a b ＞＞不成立，故“0a b ＞＞”是“22a b ＞”的充分不必要条件.7.【答案】C 【解析】解： ()26log f x x x=-Q ，()220f \=＞，()1402f =-＜，满足()()240f f ＜，()f x \在区间()2,4内必有零点.故选C.8.【答案】B【解析】lg 4.8 1.5E M =+，1lg 4.8 1.5816.8E \+´==，2lg 4.8 1.57.516.05E +´==，16.8110E \=，16.05210E =，0.751210E E \=，0.750.75 1.5109335==Q ＞，12E E \的值所在的区间为()5,6.二、9.【答案】[)2,+¥【解析】由题意得：240x -≥，解得：2x ≥，故函数的定义域是[)2,+¥.10.【答案】12【解析】函数()122,1log ,01x x f x x x ìï=í£ïî＞＜，则()21211log 22444f f f f æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø=，若()1f x =，若1x ＞，可得21x =，解得0x =（舍去）；若01x ＜≤，可得12log 1x =，解得12x =，综上可得12x =.11.【答案】1+1+【解析】1x Q ＞，10x \-＞，由基本不等式可得22111111y x x x x =+=-++=+--≥，当且仅当211x x -=-即1x=+1+.12.【答案】3【解析】根据题意，函数()2263(3)6f x x x x =-+=--，为二次函数且其对称轴为3x =，()2(3)6f x a x a +=+--，为偶函数，必有3a =；13.【答案】()()3,03,-+¥U 【解析】()f x Q 在R 上是奇函数，且()f x 在()0,+¥上是增函数，()f x \在(),0-¥上也是增函数，由()30f -=，得()30f -=，即()30f =，由()()00f f -=-，得()00f =，作出()f x 的草图，如图所示：()0f x \＞的解集为：()()3,03,-+¥U ，故答案为：()()3,03,-+¥U .14.【答案】1-，2-，3-【解析】解：设a ，b ，c 是任意实数.若“a b c ＞＞，则a b c +＞”是假命题，则若“a b c ＞＞，则a b c +≤”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次1-，2-，3-，（答案不唯一）.故答案为：1-，2-，3-.15.【答案】{}3或{}1,2,4【解析】{}1,2,3,4A B =U Q ，A B =ÆI ；集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合，若A 含一个元素，则该元素只能是3，即{}1A =，若A 含三个元素，则元素不能有3，即{}1,2,4A =.16.【答案】（1）02x =，或01x =-（2）B AË【解析】（1）Q 若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，即(){|}A x f x x ==，设函数()22g x x =-的“不动点”为0x ，2002x x -=，求得02x =，或01x =-，故{}2,1A =-.故答案为：02x =，或01x =-.（2）Q 满足()0f f x éùëû＝0x ，则称0x 为()f x 的“稳定点”，即(){|}B x f f x x éù==ëû.Q 函数()22g x x =-，\函数22242[()]()22242g g x g x x x x éù=-=--=-+ëû，由()2g g x x éù=ëû，可得4242x x x -+=，求得2x =，故{}2B =，B A \Ë，故答案为：B A Ë.17.【答案】43【解析】x Q 、y R +Î，且134y x+=，4133y x\=-，0x Q ＞，41033y x=->，104x \＜＜，则224111413333y x x x x xæö=-=-+×ç÷èø，结合二次函数的性质可知，当12x =即12x =时，y x 取得最大值43.18.【答案】][(),01,-¥+¥U 【解析】①211112224f f a a éùæöæöæö-=-=--+=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúëû；②因为()f x 是R 上的奇函数，且值域为R ，所以0x ＞时，2(2)40a a =--△≥，解得：0a ≤或1a ≥；三、19.【答案】（1）Q 全集=U R ，集合(){|20}{|02}P x x x x x x =-=≥≤或≥，\集合{|02}U P x x =＜＜ð.（2）1a =时，{|3}{|14}M M x a x a x x ==+=＜＜＜＜.\集合{|24}P M x x =I ≤＜.（3）Q 集合{|02}U P x x =＜＜ð，{|3}M x a x a =+＜＜，U P M Íð，032a a ì\í+î≤≥，解得10a -≤≤.\实数a 的取值范围是[]1,0-.20.【答案】（1）由()()120x x --＜，可得12x ＜＜，故原不等式的解集为{|12}x x ＜＜.（2）由213x -＜，可得3213x --＜＜，求得12x -＜＜，故原不等式的解集为()1,2-.（3）由()()231210x a x a a -+++＞，可得()()210x a x a éùéù--+ëûëû＞，当21a a +＞时，即1a ＞时，不等式的解集为()(),12,a a È-¥++¥；当21a a =+时，即1a =时，不等式的解集为{|2}x x ¹；当21a a +＜时，即1a ＜时，不等式的解集为()(),21,a a -¥++¥U .21.【答案】（1）()21253123823f f f +æöéù===ç÷ëûèø+；（2）由()1f x >得，112x x ++，化简得，102x +＜，2x \<-，x \的取值范围为(),2-¥-；（3）()11122x f x x x +==-++，()f x 在()2,-+¥上是增函数，证明如下：设122x x -＞＞，则：()()()()12122112112222x x f x f x x x x x --=-=++++，122x x -Q ＞＞，120x x \-＞，120x +＞，220x +＞，()()1212022x x x x -\++，()()12f x f x \＞，()f x \在()2,-+¥上是增函数.22.【答案】（1）当1a =-时，()221f x x x =++，因为[]0,2x Î，min ()1f x =；（2）当12a =，()2=1f x x x -+，因为[]0,2x Î，max ()3=f x ；（3）当0a <时，min ()1f x =，当02a ≤≤时，2min ()1f x a =-，当2a ＞时，min ()54f x a =-，综上：()210102542a f x a a aa ìï=-íï-î＜≤≤＞.23.【答案】（1）①显然，在[]0,1上满足()0f x x =≥，()20x g x =≥；②()11f =，()12g =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()[]121212120f x x f x f x x x x x éù+-+=+-+=ëû，即()()()1212f x x f x f x ++≥成立；()f x x \=是“梦幻函数”，()2x g x =不是“梦幻函数”；（2）设1x ，[]20,1x Î，12x x <，则(]210,1x x -Î,()()()()()()()1212111121=f x f x f x f x x x f x f x f x x éù\---+-+-ëû≤()210f x x --＝≤，()()12f x f x \≤，()f x \在[]0,1单调递增，令120x x ==，10x Q ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()1212f x x f x f x ++≥成立，()020f \≥，又()0f x ≥，()00f \=＝0，\当0x =时，()f x 取最小值()00f =，当1x =时，()f x 取最大值()11f =.24.【答案】函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-，可得0a b c -+=，又1a =，2b =，则()221f x x x =++，由新定义可得()g x x =＝为函数()f x 的一个承托函数；假设存在常数..，b ，c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 为函数21122y x =+的一个承托函数.即有221122x ax bx c x +++≤≤恒成立，令1x =可得11a b c ++≤≤，即为1a b c ++=，即1b a c -=+，又()210ax b x c +-+≥恒成立，可得0a ＞，且2(1)40b ac --≤，即为2()40a c ac +-≤，即有a c =；又211022a x bx c æö-++-ç÷èø≤恒成立，可得12a ＜，且2114022b a c æöæö---ç÷ç÷èøèø≤，即有221(12)4()02a a ---≤恒成立.故存在常数a ，b ，c ，且102a c =＜＜，12b a =-，可取14a c ==，12b =.满足题意.。

2012—2013学年东北师大附中高一年级数学学科试卷上学期期中考试注意事项：1．本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分。

选择题填涂在答题卡上，非选择题答案填写在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。

2．请在答题卡的指定位置上粘贴条形码，并填涂或填写班级、姓名、学号。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．请仔细审题、认真做答。

第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共计48分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1） 集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =I（A ）{}12x x << （B ）{}1x x >- （C ）{}12x x ≤< （D ）{}12x x -<< （2）中心角为1rad 的扇形AOB 的周长是3，则该扇形的面积为（A ）21（B ）1 （C ）2 （D ）π （3） 函数xxy 212+=的值域是 （A ）()1,0（B ）(]1,0 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛1,21 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21（4）下列各组函数中表示同一个函数的是（A ）()()f x g x ==（B ）()()21,11x f x g x x x -==-+ （C ）()()01,f x g x x ==（D ）21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f（5） 函数()xf x x x=+的图象是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）在平面直角坐标系中，若角α与β的终边互为反向延长线，则必有（A ）αβ=-（B ）()2k k Z απβ=-+∈（C ）απβ=+ （D ）()2k k Z αππβ=++∈ （7） 已知()241x f x =+，则函数()f x 的解析式为（A ）221x ++（B ）2log 1x + （C ）24log 1x + （D ）2log (1)x + （8）若01x y <<<，则（A ）33y x< （B ）1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）log 3log 3x y < （D ）3322x y -->（9）已知xx f 3)(=，()g x 是函数()f x 的反函数，若正数201221,,x x x Λ满足81201221=⋅⋅⋅x x x Λ，则()()()()22221220112012g x g x g x g x ++++L 的值等于（A ）4 （B ）8（C ）16（D ）64（10）已知函数()122log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则不等式()()f a f a >-的解集是 （A ）()()1,00,1-U（B ）()(),11,-∞-+∞U（C ）()()1,01,-+∞U （D ）()(),10,1-∞-U（11）若不等式2log 0m x x ->在1,12⎛⎫⎪⎝⎭范围内恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （B ）()10,1,16⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U （C ）()10,1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U （D ）()1,11,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U（12）函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）有最小值 （D ）有最大值第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分）（13）0113240.0640.015-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭_______________．（14）函数xx x f 2)(2-=有_________个零点．（15）函数x x f 2log 211)(-=的定义域为 ____________． （16）已知23)1(2)(2++-=x m mx x f ，22)(-=xx g ，若满足条件：对任意实数R x ∈，0)(<x f 或0)(<x g ，则实数m 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分8分）若集合{}0322=--=x x x A ，{}02=-=ax x B 满足B B A =I ，求实数a 组成的集合．（18）（本小题满分8分）设函数)1lg()(2-=x x f 的定义域为A ,)1(21)(<---=m xm m x x g 的定义域为B ．若B A ⊆,求实数m 的取值范围.（19）（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值是2,求实数a 的值．（20）（本小题满分10分）已知ax e x f x-+=)1ln()(是偶函数，xx be e x g -+=)(是奇函数．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）判断)(x g 的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式)())((x m g x f g ->在[)+∞,1上恒成立，求实数m 的取值范围．（21）（本小题满分10分）中央气象台发布：发生于M 地的一股冷空气一直向正南方向移动，其移动速度)/(h km v 与时间)(h t 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点)0,(t T 作横轴的垂线l ，S 表示梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积． (Ⅰ)当4=t 时，求S 的值；(Ⅱ)说明面积S 的实际意义，并将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(Ⅲ)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地km 650，试判断这股冷空气是否会侵袭到N 城，如果会，在这股冷空气发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．（22）（本小题满分10分） 设0≥a ，函数a a x x x f --=)( （Ⅰ）当1=a 时，写出函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数)(x f y =零点的个数，并求出零点．。

吉林省东北师范大学附属中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，则A∪B为（）A. B. C. D.2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.函数f（x）=的定义域是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=e的单调递增区间是（）A. B. C. D.5.函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（）A. B.C. D.6.设a=0.45，b=50.4，c=log30.4，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.7.已知扇形的周长是3cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.8.函数f（x）=1gx+x-2的零点所在的区间是（）A. B. C. D.9.若f（x）=ax3+x+c在[a，b]上是奇函数，则a+b+c+2的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 210.已知f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2， (x2018)足x1•x2…x2018=81，则g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）的值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 6412.设f（x）=|3x-1|，若关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.设函数f（x）=，则f[f（4）]=______．14.函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为______．15.已知函数f（x）=x2-2ax+1，若对任意的x∈（0，2]，恒有f（x）≥0，则实数a的最大值为______．16.已知函数f（x）=，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.求下列各式的值：（1）3lg4+5lg25+1g；（2）（2a b）•（-6a b）÷（-3a b）．18.已知集合A={x|x2-5x-6≤0}，B={x|x-3a＜0}．（1）当a=时，求B∩（∁R A）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．19.经市场调查，某种商品在进价基础上每涨价1元，其销售量就减少10个，已知这种商品进价为40元/个，若按50元一个售出时能卖出500个．（1）请写出售价x（x＞40）元与利润y元之间的函数关系式；（2）试计算当售价定为多少元时，获得的利润最大，并求出最大利润．20.已知函数f（x）=x|x-1|-a．（1）当a=0时，在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．21.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（）=f（x）-f（y），且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）求f（-1），并证明函数y=f（x）是偶函数；（2）若f（4）=2，解不等式f（x-5）-f（）≤1．22.已知函数f（x）=log2（2x+1）+ax，x∈R．（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，判断f（x）的单调性，不需要证明；（3）当a＞0时，关于x的方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x＞-1}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：A．y=x-1与的解析式不同，两函数不相同；B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），定义域不同，两函数不相同；C．y=4lgx与y=2lgx2=4lg|x|的解析式不同，两函数不相同；D.的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．故选：D．通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．3.【答案】B【解析】解：欲使f（x）有意义，则有，解得-＜x＜1．∴f（x）的定义域是（-，1）．故选：B．求函数f（x）的定义域，即求使f（x）有意义的x的取值范围．本题属基础题，考查了函数的定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义．4.【答案】D【解析】解：因为y=e x，是指数函数，是增函数，y=-x2+4x-9是开口向下的二次函数，所以x＜2时，二次函数y=-x2+4x-9是增函数，x＞2时，y=-x2+4x-9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f（x）=e的单调递增区间是（-∞，2）．故选：D．利用指数函数的单调性以及二次函数的性质，转化求解即可．本题考查复合函数的单调性的判断．二次函数的性质的应用，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由于函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）是偶函数，图象关于y轴对称．当x＞0时，f（x）=log a x+1，是减函数．当x＜0时，f（x）=log a（-x ）+1，是增函数．再由图象过（1，1）、（-1，1）可得，应选A，故选：A．函数是偶函数，图象关于y轴对称，x＞0时，单调递减；x＜0时，单调递增，且图象过（1，1）、（-1，1），由此得出结论．本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：0＜0.45＜0.40=1，50.4＞50=1，log30.4＜log31=0；∴b＞a＞c．故选：D．容易得出：0＜0.45＜1，50.4＞1，log30.4＜0，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：3r=3，解得r=1．∴该扇形的面积==sin1．故选：A．由题意可得：3r=3，解得r．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1gx+x-2是连续增函数，因为f（1）=-1＜0，f（2）=lg2+2-2＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点存在定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：C．利用函数的单调性以及连续性，通过零点判定定理推出选项即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：∵奇函数的定义域关于原点对称，所以a+b=0∵奇函数的图象关于原点对称，∴f（-x）=-f（x）即ax2-x+c=-ax2-x-c∴2ax2+2c=0对于任意的x都成立∴a=c=0，则b=0．∴a+b+c+2=2．故选：D．利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于a，b，c的方程，即可的结果．本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题．10.【答案】C【解析】解：f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，开始分段函数是减函数，所以：，解得a∈[]．故选：C．判断函数的单调性．利用分段函数，结合单调性棱长不等式组求解即可．本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，所以g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=log3（x1•x2…x2018）2=2logx1•x2…x2018=2log381=8，3故选：B．由反函数的求法得：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，由对数的运算求值得：g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=2log3x1•x2…x2018=2log381=8，得解本题考查了反函数的求法及对数的运算求值，属中档题12.【答案】C【解析】解：令m=f（x），则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，则需函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的位置关系如图所示，又h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），故选：C．由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，由韦达定理得：因为h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），得解本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及韦达定理，属中档题13.【答案】4【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1-log24=1-2=-1，f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．故答案为：4．由已知条件利用分段函数的性质得f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．本题考查分段函数的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．14.【答案】[-4，0]【解析】解：令，则y=t2-4t=（t-2）2-4，当t=4时，y max=0；当t=2时，y min=-4；故函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．令，则y=t2-4t，利用二次函数的性质求解．本题考查函数的值域求法，运用换元法，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：由题意，可知：二次函数f（x）=x2-2ax+1的开口向上，且对称轴为x=a．∴在区间（0，2]上，要使f（x）≥0恒成立．①当a≤0时，必须有f（0）≥0，∵f（0）=1≥0，∴a≤0满足题意．②当0＜a≤2时，必须有f（a）≥0，∵f（a）=a2-2a2+1=1-a2≥0，解得：-1≤a≤1∵0＜a≤2．∴0＜a≤1．③当a＞2时，必须有f（2）≥0，∵f（2）=4-4a+1=5-4a≥0，解得：a≤．∵前提条件是a＞2，∴a≤不符合题意．综上所述，可得a的取值范围为（-∞，1]．故答案为：1．本题可根据二次函数的特点对参数a进行分类讨论，因为x的定义域为（0，2]，所以就要分a在定义域左边、中间、右边来分类，分别考虑使f（x）≥0恒成立时a的取值范围，最后综合a的取值范围即可得到实数a的最大值．本题主要考查二次函数定义域确定，而对称轴不确定的情况下对称轴进行分类讨论的题型，本题属中档题．16.【答案】[2，+∞）【解析】解：∵f（x）=，∴f（x）-=，设g（x）=f（x）-=，则g（-x）=-=-==-g（x），即g（x）是奇函数，g（x）==-=-1+，则g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（x）=+g（x）∴f（4-m）-f（m）≥8-4m，等价为（4-m）2+g（4-m）-g（m）-•m2≥8-4m，即g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，即g（4-m）-g（m）≥0，即g（4-m）≥g（m）∵g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∴4-m≤m，即m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）根据条件进行转化，构造函数g（x）=f（x）-=，研究函数g（x）的奇偶性和单调性，利用函数单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，利用函数性质研究函数的单调性，结合函数单调性进行转化是解决本题的关键，综合性较强．17.【答案】解：（1）原式==lg106=6．（2）原式==4a．【解析】（1）利用对数运算性质即可得出．（2）利用指数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）当a=时，B={x|x＜1}，A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，则∁R A={x|x＞6或x＜-1}，则B∩（∁R A）={x|x＜-1}（2）若A∪B=B，则A⊆B，B={x|x-3a＜0}={x|x＜3a}．则3a＞6，即a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）结合补集和交集的定义进行计算即可．（2）根据A∪B=B得A⊆B，结合子集关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件，结合交集补集的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）由售价为x元，可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（x-40）（100-x）=10（-x2+140x-4000）（2）y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（-（x-70）2+900），当x=70时，y取得最大值，且为9000元．故每个商品的售价为70元能够使得利润y元最大，利润的最大值为9000元．【解析】（1）可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50）），（2）利用函数的解析式，结合二次函数的性质运用配方，即可得到最大值及x 的值．本题考查二次函数的最值问题，列出函数的解析式，运用配方，是解决二次函数的常用方法．20.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=，则函数y=f（x）的图象如图所示，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a＞时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，故答案为：①当a＜0或a＞时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，【解析】（1）由当a=0时，f（x）=，则可作出函数y=f（x）的图象，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，得解．本题考查了分段函数图象的作法及函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系，属中档题．21.【答案】解：（1）令x=y≠0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1）=f（1）-f（-1）=-f（-1），∴f（-1）=0．令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵f（2）=f（4）-f（2），∴f（2）=f（4）=1，又f（x-5）-f（）=f（），∴f（）≤f（2），∵f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∴-2≤≤2且≠0，解得-1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6．∴不等式的解集为{x|x≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6}【解析】（1）先计算f（1）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1），令y=-1即可得出f（-x）=f（x）；（2）计算f（2）=1，故而不等式等价于f（）≤f（2），根据f（x）的单调性和奇偶性列不等式得出解集．本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形可得2ax=log2（2-x+1）-log2（2x+1）=-x，解可得a=-，故a=-；（2）当a＞0时，函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是增函数，则函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，（3）根据题意，函数f（x）=log2（2x+1）+ax，有f（0）=1，则f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1即f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=f（0）又由（2）的结论，当a＞0时，函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，则有f（x）-a （1+x）-1og4（2x-1）=0，即log2（2x+1）-1og4（2x-1）=a，变形可得：1og4=a，设g（x）=1og4，若方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y=a有2个交点，对于g（x）=1og4，设h（x）=，则h（x）===（2x-1）++4，又由1≤x≤2，则1≤2x-1≤3，则h（x）min=6，h（1）=9，h（2）=，则h（x）max=9，若函数g（x）的图象与y=a有2个交点，必有log46＜a≤log49，故a的取值范围为（log46，log49]．【解析】（1）根据题意，由函数的性质定义可得f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形分析可得答案；（2）根据题意，分析可得函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是R上的增函数，据此可得f（x）的单调性；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得f（0）=1，结合函数的单调性分析，原方程等价于f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，变形可得：1og4=a，设g（x）=1og4，分析可得函数g（x）的图象与y=a有2个交点，设h（x）=，分析函数h（x）的单调性以及最值，据此分析可得答案．本题考查函数与方程的应用，注意分析函数f（x）在a＞0时的单调性，属于基础题．。

2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期阶段验收考试数学试题一、单选题1．将－1485°化成的形式是（ ）()202,k k απαπ+≤<∈Z A ．B ．C ．D ．π8π4-784π-π104π-π7104π-π【答案】D【分析】由或转换．3602rad π︒=180rad π︒=【详解】因为，，，所以－1485°可化成14855360315-︒=-⨯︒+︒3602rad π︒=7315rad 4π︒=．7104π-π故选：D ．2．下列结论不正确的是（ ）A ．B ．sin 20>cos 2000︒<C ．D ．tan 2000︒>tan(3)0-<【答案】D【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.【详解】，为第二象限角，，因此A 正确π2π2<< 2∴sin 20∴>，为第三象限角，，，180200270︒︒︒<< 200︒∴cos 2000︒∴<tan 2000︒>因此B 、C 正确，为第三象限角，，因此D 错误．ππ32-<-<- 3∴-tan(3)0∴->故选：D3．已知扇形的周长是6cm ，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）22cm A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【答案】C【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.【详解】设扇形所在圆半径为r ，则扇形弧长为，依题意，，解得或，62r -1(62)22r r -=2r =1r =所以扇形的中心角的弧度数是或.62621r r r -=-=62624r r r -=-=故选：C4．如果,那么的值为（ ）()1cos 3A π+=-sin 2A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B．C ．D13-13【答案】B【分析】由诱导公式直接求解即可.【详解】由得，，()1cos 3A π+=-1cos 3A =1sin cos 23A A π⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭故选：B ．5．已知，则（ ）π1cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D89-89【答案】A【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角即，再利用诱导公式求解即可.5ππ2ππππ66326αααα⎛⎫⎛⎫+=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得；5πππsin sin πsin 666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2ππππcos cos sin 3266ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，225π2πππ18sin cos sin cos 11636699αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=--=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即.5π2π8sin cos 639αα⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.6．函数的单调增区间是（ ）lg sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．B ．()5,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦(),88k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭C ．D ．()3,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦()3,88k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域即可求解.【详解】由对数函数在定义域为增函数，lg y x =所以只需求出在定义域内的增区间即可.sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间即为的减区间，sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭且，即，sin 204x π⎛⎫--> ⎪⎝⎭sin 204x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭令,222,42k x k k Zπππππ-<-≤-∈解得，3,88k x k k Z ππππ-<≤-∈所以函数的单调递增区间为.()3,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦故选：C.7．已知函数，，若对，恒成立，则（ ）()()sin 2f x x ϕ=+0πϕ≤<2x ∀∈R ()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ϕ=A ．B ．C ．D ．π65π67π611π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数在时取最大值，所以，()()sin 2f x x ϕ=+π3x =2ππ22π,Z3k k ϕ⨯+=+∈根据即可求得的值.0πϕ≤<2ϕ【详解】由函数对，恒成立可知()()sin 2f x x ϕ=+x ∀∈R ()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭函数在时取最大值，即()()sin 2f x x ϕ=+π3x =ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，，即2ππ22π,Z3k k ϕ⨯+=+∈π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈又因为，0πϕ≤<2所以时，1k =π611ϕ=故选：D 8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内()f x x ()()110f x f x ++-=任意，，当时，恒有；则称函数为“DM 函数”.若“DM1x 2x 12x x ≠()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()f x 函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）()()2sin cos 0f f αα-+>αA ．B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为()y f x =R ()()11f x f x +=--，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.()()2sin 2cos f f αα->-()f x α【详解】由，知：函数是上的增函数，()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()y f x =R 由，即，()()110f x f x ++-=()()11f x f x +=--由题设：，()()2sin cos f f αα->-∴，即有，()()()()()cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-()()2sin 2cos f f αα->-∴，即，2sin 2cos αα->-sin cos αα<∵为锐角﹐则，αcos 0α>∴，则的取值范围是.0tan 1α<<α0,4π⎛⎫⎪⎝⎭故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结()f x 合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多选题9．已知，则（ ）1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．D ．角可能是第二象限角1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭α【答案】BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因，则是第一象限或者第四象限角，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭6πα+当是第四象限角时，A 不正确；6πα+sin 6πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，B 正确；51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎝⎭，C 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+=⎪⎝⎭因是第一象限或者第四象限角，则不可能是第二象限角.6πα+()66ππαα=+-故选：BC10．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）πA ．B ．cos y x=sin 2y x=C ．D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 2y x=【答案】AC【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因R ()cos()cos ()f x x x f x -=-==为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，cos y x=cos y x =x x x 所以的最小正周期为，所以A 正确，cos y x=π对于B ，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B 错误，R ()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-对于C ，定义域为，，最小正周期为，因为R π()sin 2cos 22f x x x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π，所以函数为偶函数，所以C 正确，()cos(2)cos 2()f x x x f x -=-==对于D ，定义域为，最小正周期为，所以D 错误，R 2412ππ=故选：AC11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（ ）,αβsin sin αβ>A ．B ．αβ>22tan tan αβ>C ．D ．22cos cos αβ<22sin sin 1αβ+>【答案】BC【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD 选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC 即可.【详解】是第一象限角，且，,αβsin sin αβ>当时，π13π,46αβ==π13ππ1sin sin sin sin sin 4662αβ==>===此时，所以A 错误；αβ<易知，，所以，sin sin 0αβ>>22sin sin αβ>又因为，即，所以，即C 正确；22sin cos 1αα+=221cos 1cos αβ->-22cos cos αβ<又因为，所以，220cos cos αβ<<2211cos cos αβ>因此，即，故B 正确；222211sin sin cos cos αβαβ >22tan tan αβ>取，则，所以D 不成立.ππ,46αβ==22113sin sin 1244αβ+=+=<故选：BC.12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩x ()()220f x bf x b -+-=是（ ）A ．当3个实根2b =-+B ．当时，方程有5个不等实根32b =C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<<【答案】ABD【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可.()()220f x bf x b -+-=【详解】由函数可知，图象如下：2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩对于A ，当2b =-+方程即为，()()220f x bf x b -+-=()()21)40f x f x -+-=即，所以2()1)0f x ⎡⎤-=⎣⎦()1f x =，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A 正确；()10.5,1∈()f x 1y =对于B ，当时，方程为，即32b =()()231022f x f x -+=()1()1()02f x f x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得或；()1f x =1()2f x =时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，()1f x =()f x 1y =时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；1()2f x =()f x 12y =综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B 正确；32b =对于C ，令，则方程等价成；()f x t =()()220fx bf x b -+-=220b bt t +-=-由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，①方程只有一根，且220b bt t +-=-()1,1.5t ∈则，即24(2)0b b ∆=--=2b =-+2b =--由A 可知，2b =-+当，方程只有一根，不合题意；2b =--(1(1,1.5)t =-∉②方程只有一根，且，220b bt t +-=-(]0,0.5t ∈由①知，此时也不符合题意；③方程有两个不相等的实数根，且或220b bt t +-=-()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞ 或(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞(]12,0, 1.5t t ∈-∞=令2(2)b g t t bt =-+-若，需满足解得，不合题意；()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞(1)320175(1.5)042g b g b =->⎧⎪⎨=-<⎪⎩321710b b ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩若，需满足，解得,即(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞(0)2093(0.5)042175(1.5)042g b g b g b ⎧⎪=->⎪⎪=-≤⎨⎪⎪=-<⎪⎩2321710b b b ⎧⎪<⎪⎪≥⎨⎪⎪>⎪⎩17210b <<若，需满足，解得，不合题意；(]12,0, 1.5t t ∈-∞=(0)20175(1.5)042g b g b =-≤⎧⎪⎨=-=⎪⎩21710b b ≥⎧⎪⎨=⎪⎩综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C 错误；17210b <<对于D ，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且220b bt t +-=-；(]12,0.5,1t t ∈则需满足解得2Δ4(2)00.51293(0.5)042(1)320b b b g b g b ⎧=-->⎪⎪<≤⎪⎨⎪=->⎪⎪=-≥⎩22123232b b b b b ⎧>-+<--⎪<≤⎪⎪⎨<⎪⎪≤⎪⎩即可得；故D 正确.322b -+<<故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进()()220f x bf x b -+-=而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知，则______．tan 2α=22sin cos cos ααα-=【答案】##350.6【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将转化为22sin cos cos ααα-的形式，代入即可求得结果.tan α【详解】由题意知，222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 1sin cos ααααααααααα---==+又因为，将上式分子分母同时除以得sin tan cos ααα=2cos α222tan 12sin cos cos tan 1ααααα--=+代入即可得，tan 2α=2222tan 122132sin cos cos tan 1215ααααα-⨯--===++故答案为：3514．函数，的最大值是______．22sin cos y x x =--2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】##74 1.75【分析】利用同角三角函数的关系将函数变形为，再根据角的取值范围和二次函213(cos )24y x =-+数的性质即可求解.【详解】因为，222132sin cos cos cos 1(cos )24y x x x x x =--=-+=-+又因为，所以，π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1cos [,1]2x ∈-所以当时，函数取最大值，1cos 2x =-22sin cos y x x =--74故答案为：.7415．设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .()()221sin 1x xf x x ++=+M m m M +【答案】2【详解】，令，则为奇函数，()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++22sin ()1x xg x x +=+()g x 所以的最大值和最小值和为0，又.()g x ()()1g x f x =-有，即.110M m -+-=2m M +=答案为：2.16．对于函数，，设，，若存在，，使得()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=αβ，则称，互为“零点相邻函数”．若与互2αβ-≤()f x ()g x ()2e 3x f x x -=+-()22g x x ax a =---为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是______．a 【答案】142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于的等式，分离参数，结合()f x a 函数的单调性确定实数的取值范围即可.a 【详解】解：函数是上的单调递增函数，且，据此可知，()2e 3x f x x -=+-R ()20f =2α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，22β-≤04β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()22g x x ax a =---[]0,4即方程在区间上存在实数根，220x ax a ---=[]0,4整理可得，()2211211x a x x x -==+--++很明显函数在区间上单调递增，()()1121h x x x =+--+[]0,4且，，则函数的值域为，()02h =-()4415h =()h x 142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦据此可知实数的取值范围是.a 142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知 .()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若是第四象限角，且 ，求的值.α()1sin π3α-=()f α【答案】(1)()cos f αα=-(2)【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及1）的结果可得答案.α1sin 3α=-cos α=【详解】（1）根据诱导公式可得：,()()()()()3πsin πcos 2πcos sin cos sin 2cos πsin sin cos sin π2f αααααααααααα⎛⎫+-+ ⎪-⋅⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫+- ⎪⎝⎭所以.()cos f αα=-（2）由诱导公式可知,则由可得,sin(π)sin αα-=-()1sin π3α-=1sin3α=-又是第四象限角,α所以所以cos α==()cos f αα=-=18．设函数的最小正周期为，且()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭π4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的表达式；()f x(2)若，求的取值范围.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据最小正周期公式算出，再根据，进而得出2ω=4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πϕ=-的表达式()f x ()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据，得到，再根据余弦函数的基本性质求出的取值范围.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【详解】（1）由最小正周期，得，2T ππω==2ω=∵，cos 2sin 0442f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.3πϕ=-∴.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）知，，()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，∵，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴，1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴的取值范围为.()f x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．已知定义在上的奇函数，在时，且．R ()f x ()0,1x ∈()241xxf x =+()()11f f -=(1)求在上的解析式；()f x []1,1x ∈-(2)若，常数，解关于的不等式．()0,1x ∈52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ()1f x λ>【答案】(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxx x x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)20,log ⎛ ⎝【分析】（1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出()f x ()0,1x ∈()()11f f -=在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及()f x []1,1x ∈-()1f x λ>4210x x λ-⋅+<，解出的取值范围即可得不等式的解集.52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2x 【详解】（1）∵是上的奇函数且时，，()f x R ()0,1x ∈()241xxf x =+∴当时，，()1,0x ∈-()()224141x xx xf x f x --=--=-=-++又由于为奇函数，∴，∴，()f x ()()00f f =--()00f =又，，∴，()()11f f -=-()()11f f -=()()110f f -==综上所述，当时，[]1,1x ∈-()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxx x x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩（2）时，，当时，，()0,1x ∈()241xx f x =+52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭121,52λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即，所以，()1f x λ>2141x x λ>+4210x x λ-⋅+<设，不等式变为，()21,2x t =∈210t t λ-+<∵，∴，52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭240λ∆=->．t <<而当，，52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭λ<0λ>1<又在上单调递增，y λ=52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以，12=<=12<∴，即1t <<12x<<所以20log x <<综上可知，不等式的解集是．()1f x λ>20,log ⎛ ⎝20．已知函数．()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R (1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围；()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦a (2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]12,,41x x m m ∈-()()12ln2f x f x -≤的取值范围．a 【答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ (2){12a a ≥-【分析】（1）将函数有唯一零点转化成方程()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；()()222320a x a x -+--=（2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R [],41m m -恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间()()12ln2f x f x -≤()24420am a m -++≥3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【详解】（1）函数有唯一零点，()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即①有唯一零点，即有唯一零点，()22330a a x a x +=-+->()()222320a x a x -+--=当时，，解得，符合题意；2a =20x -=2x =当时，方程为一元二次方程，其2a ≠()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；52a =Δ0=2x =当时，，方程有两个不等的实数根，；52a ≠Δ0>12x =212x a =-若为①的解，则，解得；12x =()2223302a a a +=-⨯+->1a >-若为①的解，则，解得；212x a =-()212330122a a a a a +=-⨯+->--43a >要使①有唯一实数解，则．413a -<≤综上，实数的取值范围为．a 451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ （2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y a x =+[],41x m m ∈-为增函数，ln y x =由复合函数性质知为上的减函数，()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[],41m m -，，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭不等式转化为，()()12ln 2f x f x -≤()()12max ln 2f x f x -≤即转化为，22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令，，即．()()2442g m am a m =-++3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()min 0g m ≥二次函数对称轴为，由，开口向上411882a m a a +==+0a >（i ）当时，，函数在上单调递减，407a <≤11182a +≥()g m 3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解得，不符合题意，舍去；()()()min 14420g m g a a ==-++≥23a ≥（ii ）当时，，函数在上单调递减，在上单调递4475a <<3111482a <+<()g m 311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦增，，即，解得()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭224160a a -+≤1212a -≤≤+即；4125a -≤<（iii ）当时，，函数在上单调递增，45a ≥113824a +≤()g m 3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解得，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭23a ≥即；45a ≥综上可知，正实数的取值范围．a {12a a ≥-【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有[]12,,41x x m m ∈-成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单()()12ln2f x f x -≤()()12max ln2f x f x -≤()f x 调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函()24420am a m -++≥3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.。

2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期阶段验收考试数学试题一、单选题1．将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（ ） A ．π8π4- B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【答案】D【分析】由3602rad π︒=或180rad π︒=转换．【详解】因为14855360315-︒=-⨯︒+︒，3602rad π︒=，7315rad 4π︒=，所以－1485°可化成7104π-π．故选：D ．2．下列结论不正确的是（ ） A ．sin20> B ．cos 2000︒< C ．tan 2000︒> D ．tan(3)0-<【答案】D【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可. 【详解】π2π2<<，2∴为第二象限角，sin 20∴>，因此A 正确 180200270︒︒︒<<，200︒∴为第三象限角，cos 2000︒∴<，tan 2000︒>，因此B 、C 正确ππ32-<-<-，3∴-为第三象限角，tan(3)0∴->，因此D 错误．故选：D3．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4【答案】C【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答. 【详解】设扇形所在圆半径为r ，则扇形弧长为62r -，依题意，1(62)22r r -=，解得2r =或1r =，所以扇形的中心角的弧度数是62621r r r -=-=或62624r r r-=-=. 故选：C4．如果()1cos 3A π+=-,那么sin 2A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13-B ．13C ．D 【答案】B【分析】由诱导公式直接求解即可.【详解】由()1cos 3A π+=-得1cos 3A =，1sin cos 23A A π⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，故选：B ．5．已知π1cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．89-B ．89C ．D 【答案】A【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角即5ππ2ππππ66326αααα⎛⎫⎛⎫+=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，再利用诱导公式求解即可. 【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得5πππsin sin πsin 666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2ππππcos cos sin 3266ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 所以，225π2πππ18sin cos sin cos 11636699αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即5π2π8sin cos 639αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.6．函数lg sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是（ ）A ．()5,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦B ．(),88k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭C ．()3,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭ 【答案】C【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域即可求解. 【详解】由对数函数lg y x =在定义域为增函数， 所以只需求出sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内的增区间即可.sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调增区间即为sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的减区间，且sin 204x π⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即sin 204x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令222,42k x k k Z πππππ-<-≤-∈,解得3,88k x k k Z ππππ-<≤-∈， 所以函数的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦. 故选：C.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D8．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题设知()y f x =是R 上的增函数且()() 11f x f x +=--，进而将不等式转化为()() 2sin 2cos f f αα->-，结合()f x 单调性及正切函数的性质求锐角α的范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数， 由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--， 由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-， ∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<， ∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定()f x 的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多选题9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角【答案】BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 不正确； 51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC10．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）A ．cos y x =B ．sin 2y x =C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1cos 2y x =【答案】AC【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，定义域为R ，因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，因为cos y x =的图像是由cos y x =的图像在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图像共同组成，所以cos y x =的最小正周期为π，所以A 正确，对于B ，定义域为R ，因为()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以函数为奇函数，所以B 错误， 对于C ，定义域为R ，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，因为()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，所以C 正确，对于D ，定义域为R ，最小正周期为2412ππ=，所以D 错误，故选：AC11．已知,αβ是第一象限角，且sin sin αβ>，则下列关系正确的是（ ） A ．αβ> B ．22tan tan αβ> C ．22cos cos αβ< D ．22sin sin 1αβ+>【答案】BC【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD 选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC 即可.【详解】,αβ是第一象限角，且sin sin αβ>， 当π13π,46αβ==时，π213ππ1sin sin sin sin sin 4662αβ==>=== 此时αβ<，所以A 错误；易知，sin sin 0αβ>>，所以22sin sin αβ>，又因为22sin cos 1αα+=，即221cos 1cos αβ->-，所以22cos cos αβ<，即C 正确； 又因为220cos cos αβ<<，所以2211cos cos αβ>， 因此222211sin sin cos cos αβαβ>，即22tan tan αβ>，故B 正确； 取ππ,46αβ==，则22113sin sin 1244αβ+=+=<，所以D 不成立. 故选：BC.12．设函数2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程()()220f x bf x b -+-=，下列说法正确的是（ ）A ．当223b =-+时，方程有3个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232b -+<< 【答案】ABD【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究()()220f x bf x b -+-=的根的个数，对选项逐一判断即可.【详解】由函数2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩可知，图象如下：对于A ，当223b =-+方程()()220f x bf x b -+-=即为()()22(31)4230f x f x -+-，即2()(31)0f x ⎡⎤-=⎣⎦，所以()31f x = ()310.5,1∈，由图可知()f x 与31y =有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A 正确；对于B ，当32b =时，方程为()()231022f x f x -+=，即()1()1()02f x f x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得()1f x =或1()2f x =； ()1f x =时，由图可知()f x 与1y =有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，1()2f x =时，由图可知()f x 与12y =有两个交点，即此时方程有2个不同的实根； 综合可知，当32b =时，方程有5个不等实根；即B 正确； 对于C ，令()f x t =，则方程()()220f x bf x b -+-=等价成220b bt t +-=-；由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况， ①方程220b bt t +-=-只有一根，且()1,1.5t ∈ 则24(2)0b b ∆=--=，即2b =-+2b =--由A可知，2b =-+当2b =--(1(1,1.5)t =-+∉，方程只有一根，不合题意； ②方程220b bt t +-=-只有一根，且(]0,0.5t ∈， 由①知，此时也不符合题意；③方程220b bt t +-=-有两个不相等的实数根，且()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞或(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞ 或(]12,0, 1.5t t ∈-∞= 令2(2)b g t t bt =-+-若()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞，需满足(1)320175(1.5)042g b g b =->⎧⎪⎨=-<⎪⎩解得321710b b ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，不合题意； 若(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞，需满足(0)2093(0.5)042175(1.5)042g b g b g b ⎧⎪=->⎪⎪=-≤⎨⎪⎪=-<⎪⎩，解得2321710b b b ⎧⎪<⎪⎪≥⎨⎪⎪>⎪⎩,即17210b <<若(]12,0, 1.5t t ∈-∞=，需满足(0)20175(1.5)042g b g b =-≤⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得21710b b ≥⎧⎪⎨=⎪⎩，不合题意； 综上可知，若方程有2个不等实根，则17210b <<；故C 错误；对于D ，若方程有6个不等实根，则需满足方程220b bt t +-=-有两个不相等的实数根，且(]12,0.5,1t t ∈；则需满足2Δ4(2)00.51293(0.5)042(1)320b b b g b g b ⎧=-->⎪⎪<≤⎪⎨⎪=->⎪⎪=-≥⎩解得22123232b b b b b ⎧>-+<--⎪<≤⎪⎪⎨<⎪⎪≤⎪⎩即可得322b -+<<；故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程()()220f x bf x b -+-=根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知tan 2α=，则22sin cos cos ααα-=______．【答案】35##0.6【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将22sin cos cos ααα-转化为tan α的形式，代入即可求得结果.【详解】由题意知，222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 1sin cos ααααααααααα---==+ 又因为sin tan cos ααα=，将上式分子分母同时除以2cos α得222tan 12sin cos cos tan 1ααααα--=+代入tan 2α=即可得，2222tan 122132sin cos cos tan 1215ααααα-⨯--===++故答案为：3514．函数22sin cos y x x =--，2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最大值是______．【答案】74##1.75【分析】利用同角三角函数的关系将函数变形为213(cos )24y x =-+，再根据角的取值范围和二次函数的性质即可求解.【详解】因为222132sin cos cos cos 1(cos )24y x x x x x =--=-+=-+，又因为π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1cos [,1]2x ∈-，所以当1cos 2x =-时，函数22sin cos y x x =--取最大值74，故答案为：74.15．设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ . 【答案】2 【详解】()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数，所以()g x 的最大值和最小值和为0，又()()1g x f x =-. 有110M m -+-=，即2m M +=. 答案为：2.16．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得2αβ-≤，则称()f x ，()g x 互为“零点相邻函数”．若()2e 3x f x x -=+-与()22g x x ax a =---互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______． 【答案】142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】解：函数()2e 3xf x x -=+-是R 上的单调递增函数，且()20f =，据此可知2α=，结合“零点相邻函数”的定义可得22β-≤，则04β≤≤，据此可知函数()22g x x ax a =---在区间[]0,4上存在零点，即方程220x ax a ---=在区间[]0,4上存在实数根， 整理可得()2211211x a x x x -==+--++， 很明显函数()()1121h x x x =+--+在区间[]0,4上单调递增， 且()02h =-，()4415h =，则函数()h x 的值域为142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，据此可知实数a 的取值范围是142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第四象限角，且()1sin π3α-= ，求()f α的值. 【答案】(1)()cos f αα=-(2)【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；（2）由诱导公式结合α是第四象限角可求得1sin 3α=-以及cos α=，由（1）的结果可得答案.【详解】（1）根据诱导公式可得：()()()()()3πsin πcos 2πcos sin cos sin 2cos πsin sin cos sin π2f αααααααααααα⎛⎫+-+ ⎪-⋅⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,所以()cos f αα=-.（2）由诱导公式可知sin(π)sin αα-=-,则由()1sin π3α-=可得1sin 3α=-, 又α是第四象限角,所以cos 3α==,所以()cos 3f αα=-=-.18．设函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的表达式；(2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围.【答案】(1)()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据最小正周期公式算出2ω=，再根据4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πϕ=-，进而得出()f x的表达式()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据余弦函数的基本性质求出()f x 的取值范围. 【详解】（1）由最小正周期2T ππω==，得2ω=，∵cos 2sin 0442f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3πϕ=-. ∴()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知，()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()f x 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 19．已知定义在R 上的奇函数()f x ，在()0,1x ∈时，()241xx f x =+且()()11f f -=． (1)求()f x 在[]1,1x ∈-上的解析式；(2)若()0,1x ∈，常数52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解关于x 的不等式()1f x λ>． 【答案】(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xx x x x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)20,log ⎛ ⎝⎭【分析】（1）根据奇函数定义以及函数()f x 在()0,1x ∈上的解析式，结合()()11f f -=即可写出()f x 在[]1,1x ∈-上的解析式；（2）将不等式()1f x λ>转化成4210x x λ-⋅+<，再利用换元法以及52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解出2x 的取值范围即可得不等式的解集. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时，()241xx f x =+，∴当()1,0x ∈-时，()()224141x xx x f x f x --=--=-=-++， 又由于()f x 为奇函数，∴()()00f f =--，∴()00f =，又()()11f f -=-，()()11f f -=，∴()()110f f -==，综上所述，当[]1,1x ∈-时，()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xx x x x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩（2）()0,1x ∈时，()241xx f x =+，当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，121,52λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()1f x λ>，即2141x x λ>+，所以4210x x λ-⋅+<， 设()21,2x t =∈，不等式变为210t t λ-+<， ∵52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴240λ∆=->，t <<． 而当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭λ，0λ1<，又y λ=52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12=<<=，所以12<，∴1t <<12x <<所以20log x << 综上可知，不等式()1f x λ>的解集是20,log ⎛ ⎝⎭． 20．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ． (1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．【答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭(2){12a a ≥-【分析】（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点， 即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点， 当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=- 当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意； 当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-； 若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-； 若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >； 要使①有唯一实数解，则413a -<≤． 综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭． （2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数， ()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭， 不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥． 二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上 （i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去； （ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤+即4125a -<； （iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥， 即45a ≥； 综上可知，正实数a的取值范围{12a a ≥-．【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.。

辽宁省沈阳市1213高一数学上学期期中考试高一（15届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设不等式2-0x x ≤的解集为M ，函数()ln(1-||)f x x =的定义域为N ，则M N 为( )A ．[0，1）B 。

（0，1）C 。

[0，1]D 。

（-1，0]2. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984 f (1.375)＝－0.260 f (1.438)＝0.165f (1.4065)＝－0.052那么方程x 3＋x 2A ．1.2 B.1.3 C ．1.4 D.1.5 3. 设5=log 4a ，25b=log 3（），4c=log 5，则( )A ．a ＜c ＜b B.b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D.b ＜a ＜c 4．已知幂函数2-2-3=,(m Z)m m y x∈的图像与x 轴，y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m =( )A.1B.0,2C.-1,1,3D.0,1,25. 已知定义域为R 的函数()f x 在(2,+)∞上为增函数，且函数=(+2)y f x 为偶函数， 则下列结论不成立的是（ ）A ．(0)(1)f f >B ．(0)(2)f f >C ．(1)(2)f f >D ．(1)(3)f f > 6.为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度7. 函数21=()-x ++22y x 的单调递增区间是（ ） A ．1[-1,]2B 。