高三数学课件数学归纳法及其应用举例PPT

第十二章 极限与导数
第讲
（第二课时）
题型3 用数学归纳法探求数列的通项公式
•an(a1n+.1已-1)知=n数(a列n+{1a- na}n满)(n足≥：2)，a1求=1数，列a2{=a14 n}的，通 项公式.
• • •
解 因a4：为3由2a-a1a已3=31知，11可0a， 2 得= 14an由1 ，此所n n 猜以 a1 想a 3n a ：ann2(n a2 a322 n1)-.217.，
1
1
.
• • •
因(则2)为假a设k1当0＜ naa=k1＜ k时321 2a 不k21等 1a1 k式(， 所1成以32立不ak，)等即式成0立＜.ak＜k11.
k12•k2ak•123ak.
因为 k 2 a k ＞ 0 ， 1 3 2 a k ＞ 1 3 2 • k 1 1 1 2 k 3 2 ＞ 0 ，
• •
因所为以a2+b b2 2 =1 1 ，b 1 a …1 2 由1 3 ， 此a 猜2 测a 1 ：b 2a n3 2 +， bn=1.
• 证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
• (2)假设当n=k时，ak+bk=1， • 即bk=1-ak成立， • 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
• •
((21))当 假n设=当1时n=，k时ab，11aS414a1aaS14k=所b4， ka以k+43a成1S立1=, b1a4成立.
•即 •则
S Sk k1 bk4S aakk1 3 b . k1bk 4 a ak1 3bk1ak4 ba k11bk1

原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条 件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后 一块 倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关 系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可 以全部 倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.

知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
最后证明你的结论．
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段 基础反馈练习, 巩固方法应用
（1）（第63页例1）用数学归纳法证明： 1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2 .
（2）（第64页练习3）首项是a1 , 公比是 q 的 等比数列的通项公式是 an=a1qn－1.
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段
分宜三20926中
第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．
分宜三20926中
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 an= (n2 5n 5)2(n∈N*), (1)分别求 a1, a2 , a3, a4 .
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题；第67页习题2.1第2题． (2) (辨析与思考)
用数学归纳法证明 1+2+22+23+…+2n－１ = 2n－1 (n∈ N*)时, 其中第二步采用下面的证法：

因为 , 得到 "n k 1 时命题成立 " 结论的前提是 "n k时命题成立 ", 它只是假定 , 称为归纳假设 ,它必 须以 "n n0时命题成立 "为基础 .
有时 , 由 " 假设 n k 时命题成立 推出 n k 2 时命题成立 在步骤 (1 )中证明归纳假设的基础 题都成立 个是偶数 数都成立 , 这里 n 1 , n 2 一个是奇数
例如：一个数列的通项
2 2
公式是：
a n ( n 5 n 5 ) , 容易验证： a1 1, a 2 1, a 3 1, a 4 1 如果由此作出结论：对
* 2 2
于任何 a 5 25 1
n N , a ( n 5 n 5 ) 1都成立， 那就是错误的。事实上
2成立 , 就是 2 4 6 2k k k 12
那么 ,246 2 k2 (k 1 ) k k 12 (k 1 )
2
(k 1 ) (k 1 ) 1
2
这就是说 , 如果n k时, 等式成立 , 那么n k 1时等式也成立 , 但如 果仅根据这一步就得出 等式对于 任何n N 都成立的结论 , 那么就
2.用数学归纳法证明的一般步骤 是什么?
( 1 ) 证明当 n 取第一个值 n ( 例如 : 0 n 1 或 2 等 ) 时结论正确 . 0
(2 )假设当 nk(kN ,且 k n 0)
*
时结论正确 ,证明当 nk 1 时结 论也正确 .
那么,请大家考虑:这两个步骤 可不可以省略一个呢?
这就是说:只完成第一步,而不 完成第二步,就作出判断可能 得出不正确的结论.
在为单靠步骤(1),我们无法递 推下去,即对于n取2,3,4,5,……时, 命题是否正确,我们无法判定.

（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论 才算完整
用上假设 递推才真
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高二1班、2班数学课件
课堂练习
用数学归纳法证明:
数学归纳法及其应用举例
1 (1) 1 2 3 n n(n 1) 2
1 证明: (1)当n=1时,左边=1,右边= 1 (1 1) 1 等式成立 2
（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
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数学归纳法及其应用举例
完全归纳法： 优点：考查全面，结论正确。
缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查。
不完全归法：
优点：考查对象少，得出结论快。
缺点 ：观察片面化，结论不一定正确。
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问题情境
数学归纳法及其应用举例
问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
模拟演示 完全归纳法
问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d
在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么
a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d,
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d 从n=k到n=k+1 ∴当n=k+1时，结论也成立。 有什么变化 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
凑假设
结论
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思路 1：数学归纳法证明
思路 2：公式展开重组后证明
1 1 1 1 2 (1 )(1 ) n n n
求解过程
例 1 证明：
1 1 1 1 n 1 (1 )(1 )(1 ) (1 2 ) (n N , n ≥ 2) . 4 9 16 n 2n
证明（思路 1）
求解过程
1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 2 )[1 ] 2 4 9 k (k 1) k 1 1 [1 ] 2 2k (k 1) k 1 k (k 2) 目标实现！ 2 2k (k 1) k2 (k 1) 1 , 2(k 1) 2(k 1)
1 平面分为 f (n) n(n 1) 1个部分. 2
分析:本题的关键是 n 从 k 个变成 k+1 个时， 平面区 域增加了多少个，借助图形分析.
思路分析
k条直线相交 第பைடு நூலகம்+1条直线
多出k+1部分
求解过程
证明
（1） n 3时，三条直线将平面化分为 7 个部分，而
（ n n 1) 1＝7 ，所以 n 3时，命题成立. 2 1 （2）设 n k 时，命题成立， f (k ) k (k 1) 1， 2
1 3 3 （1） n 2时，左边 1 ，右边 ，∴等式成立. 4 4 4 （2）假设 n k (k ≥ 2且 k N )时等式成立，即 1 1 1 k 1 (1 )(1 ) (1 2 ) ． 4 9 k 2k
则 n k 1时，
(k 1) 1 2(k 1)
第46讲 数学归纳法及其应用
主要内容
一、聚焦重点

2010-11-11 14
时命题正确” “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 假设 时命题正确 并写出命题形式。 分析“ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题是什么，并找出与“
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, + ⋯ + k (3 k + 1)
＋ ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ] = k (k + 1)
2
那么 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10
+ ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ] + 4 k + 4)
= ( k + 1 )[ k ( k + 1 ) + 3 ( k + 1 ) + 1 ] = ( k + 1 )( k
1.先证明当 取第一个值 0时命题成立； 先证明当n取第一个值 时命题成立； 先证明当 取第一个值n 2.然后假设当 然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题 然后假设当 ∈ ， 时命题 成立，证明当n=k+1时命题也成立。 时命题也成立。 成立，证明当 时命题也成立 这种证明方法就叫做 数学归纳法
让更多的孩子得到更好的教育
3）当n=k+1时，命题的形式是 ） 时
1× 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + ⋯ + k (3k + 1) ＋( k + 1)[3( k + 1) + 1] = ( k + 1)[( k + 1) + 1]

让更多的孩子得到更好的教育
《数学归纳法及应用》
一.由系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫
举例说明: (1)等差数列通项的推导;
(2 )a n=(n 2-5 n+ 5 )2(n∈ N )
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1 (k 1 )lg x k (k 1 )l2 g x k (k 1 )l3 g x
2
2
20 20/1 12 /6 (k 1 )7lg x k(k 2 1 )lBe2 g ijx in( g放 Etiantia)n 北Ne京B 缩 t E四k d中1 uc龙at门ion网al络Te教ch育n技olo术gy有C7限o.公,L司td
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1.已f知 (n)111 1 ,则n当 1时 2 3 3n1
让更多的孩子得到更好的教育
左 边
2.用数学归纳: 法证明 (n1)(n2)(nn)2n123(2n1)(nN), 从k到k1左端需增乘的代数式为
并用数学归纳法证明. 2020/12/6
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9.已 让更多的知 孩{子a得n到}更是 好的教育首项2公 为比为 12的等比数 , 列 sn为它的n前 项的.和 (1)用sn表示 sn1;
[分析]:
3.已知 f(n) 1 1 1 n1 n2 3n1

不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

2.1 数学归纳法及其应用举例
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2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1）时
命题成立，然后假
设当 n k (k N ,k n 0)时命题成立，
再证明当 nk1时命题
也成立，那么就证明这个命题成立，
这种证明方法叫做数学归纳法．
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（2）1 4 2 7 3 1 .0 .n ( 3 .n 1 ) n ( n 1 ) 2
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用数学归纳法证明： 111...12n(n N *)
23 n
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题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
2
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k (k N 且 k n 0 )结论正确，证明
nk1时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
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练习：
用数学归纳法证明“不等式
11 21 3.. .2.n1 .1n(n *且 n1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1 1 1 2 23
（C）1 1 1 3 （D）11113
23
234
2归纳法证明
(n1)n (2)..n..n). (2n•1•3...•(.2.n .1)

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参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
10
1
13(1
1)(1 5
1 ［ ) 1 2k 1
2k
1
1
］ 1
＞
2k
1 2k ·
2
2k 2
4k2 8k 4
2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1
＞ 4k2 8k 3
2k 3•
2k 1
2k 11
.
2 2k 1
2 2k 1
2
• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，

2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？

1 1 1 1 n 2 1 22 33 4 n ( n 1 ) n 1 成立，那么
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
a a ( n 1 ) d n 1
a ( n 5 n 5 ) 2．数列通项公式为： n 1 , a 1 , a 1 , a 1 , 验证可知：a 1 ２ ３ ４
2 2
?
25 1 如a 5
2 2 对任何 n N , a ( n 5 n 5 ) 1 n
费尔马认为 2 1一定都是质数，并验证当 n=0，1，2，3，4时都是质数
2n
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明 2 1 =4294967297=6700417×641从而否定了费尔马的 猜想
25
实验问题
1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地 把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么 办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应 怎样摆？应先推倒哪一块？
2、小木块全部倒下满足的条件：

SUCCESS
THANK YOU
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注意：当n只出现在底数中时， 采用把k+1的幂展开后，分段 组合，往归纳假设的n=k的式子 上“凑”的方法。
当n同时出现在指数和底数中时， 先按出现在指数中思考，用加一 “项”，再减这“项”的方法，让这 一“项”含有因为指数k变成k+1而 使幂增加的那个因子，又要含有 有n=k时的式子中，底数含 有k 的某项可作为另一因子。
般步骤是什么？
一、用数学归纳法证明 整除问题
注意：用数学归纳法证明多 项式的整除问题。当n只出现在 指数中时，采用加一“项”，再减 去这一“项”的方法。这个“项” 构造应观察题目的具体特点，以 有利于分段因式分解后，达到便 于归纳假设成立的那个式子上 “凑”的目的。
二、证明图形中与自然数n有 关的命题。
说明：用数学归纳法证明图 形问题，关键是：要结合图形进 行思考，特别是对于从n=k 到n=k+1的图形变化的情景要细 致地弄清楚。
SUCCESS
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2019/7/4