(2019-2020)【重点资料】高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4

高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】 【知识点精析】1. 任意角的三角函数的定义：设P （x ，y ）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r （r ＞0），则sin cos αα==y r xr， tan cot αα==y x x y ， sec csc αα==r x r y， 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。

注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P 点的选取无关。

②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P 点的理想位置。

2. 三角函数的定义域、值域确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P 的坐标中必有一个为0。

3. 三角函数值符号记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。

（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。

） 4. 诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。

即：sin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()k k Z k k Z k k Z ²°²°²°诱导公式一360360360+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪ααααααsin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()()222k k Z k k Z k k Z πααπααπαα+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2k π＋α，()k Z ∈，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。

高中数学第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的1.2.1任意角度的三角函数互动课堂疏导1.任意角三角函数的定义设P（a，b）为角α，单位圆的最终边缘与单位圆的交点从P轴到X轴引出一条垂直线，垂直脚为m。

sin根据锐角三角函数α的定义得到=|mp||om||mp|b?.=b,cosα==a,tanα=|Op | om | a | Op |类似地，我们也可以使用单位圆定义任意角度的三角函数，如图1-2-2所示，集α为1个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么图1-2-2(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)YY被称为α，其切线被表示为tanα，tanα=。

三十二。

三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)、a′(-1,0),与y轴的交点分别为b(0,1)、b′(0,-1).设角α的顶点在圆心o,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点p(如图1-2-3(a)),过点p作pm垂直于x轴于m,则点m是点p 在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点p的坐标为(cosα,sinα),即p(cosα,sinα).其中cosα=om，sinα=mp。

也就是说，角α的余弦和正弦分别等于最终边和单位圆相交的角度α横坐标和纵坐标，单位圆在点a和α处的切线，如果终端边或其反向延长线在点t（t’）处相交（图1-2-3（b）），则Ta nα=at（at’）。

我们把轴上向量om、mp、at(at')叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-3三.三角函数在各象限的符号三角函数的符号可以通过三角函数的定义和每个象限点坐标的符号来确定sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α当它是第三和第四象限的角度时，sinα＜0cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=y、当x和y有相同的符号时，它们的比率为正。

高一数学必修一任意角知识点数学是一门抽象而又实用的学科，对于高中生来说，数学的学习也是必不可少的一部分。

高一数学必修一中，一个重要的知识点就是任意角。

1. 任意角的定义任意角是指角的度数可以是任意实数的角。

在数轴上，我们可以将角的初始边和终边表示出来，并且角的顶点可以位于坐标系的任意位置。

这种角被称为任意角。

2. 任意角的度数我们知道，角度的度数是以度（°）为单位来衡量的。

对于任意角而言，它的度数可以是正数、负数或者是大于360°的数。

例如，一个角度为-45°，它的终边在数轴上逆时针旋转45°。

又例如，一个角度为420°，它的终边在数轴上顺时针旋转360°再继续旋转60°。

3. 任意角的弧度在数学中，角度的另一种衡量单位是弧度（rad）。

任意角的弧度可以是正数、负数或者是大于2π的数。

我们知道，一个完整的圆的周长是2π，而弧度就是以圆的半径为单位来衡量角度的单位。

一个角度为60°的任意角转换成弧度表示就是π/3，一个角度为-π/4的任意角即为逆时针旋转π/4。

4. 任意角的初标准位置对于任意角，我们可以将它们的终边旋转到一个特定的位置，这个位置称为初标准位置。

在初标准位置下，任意角的终边与坐标轴正向的夹角范围是0到360°或者0到2π弧度。

我们可以利用初标准位置来计算任意角的三角函数值，从而解决一些实际问题。

5. 任意角的三角函数在数学中，三角函数是任意角的重要属性之一。

任意角的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切等。

我们可以通过观察任意角在坐标轴上的投影来计算这些三角函数值。

例如，对于角度为30°的任意角，它的正弦值是1/2，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。

6. 任意角的三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的。

对于正弦函数和余弦函数而言，它们的周期是2π。

对于正切函数和余切函数而言，它们的周期是π。

高一数学三角函数必备知识点总结归纳三角函数章节主要包括三角函数的图象及其性质、函数y=Asin(ax+b)、y=Acos(ax+b)及y=Atan(ax+b)的图象及其性质。

数学三角函数必备知识点是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。

1.任意角和弧度制任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.具体内容请点击：高一数学任意角和弧度制知识要点2、任意角的三角函把角度θ作为自变量，在直角坐标系里画个半径为1的圆(单位圆)，然后角的一边与X轴重合，顶点放在圆心，另一边作为一个射线，肯定与单位圆相交于一点。

这点的坐标为(x,y)。

3、三角函数诱导公式掌握三角函数的公式是解三角函数题的关键，尤其是要明白其中是如何变换的。

三角函数公式请点击：三角函数诱导公式知识点4、三角函数的图象与性质本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。

点击进入>>>>>《三角函数的图象与性质》知识点整理5、函数y=Asin（ωx+ψ）三角函数y＝Asin(ωx＋φ)是三角函数中一个较重要的内容，它是由基本函数变化而来，变化步骤也适用于余弦函数与正切函数。

在每年的高考中都有一道小题及解答题，需熟练掌握其基本图像与性质。

具体内容请点击高一数学函数y＝Asin(ωx＋φ)变换知识点总结学习三角函数必备知识点的内容就是这些，接下来需要的就是大家通过做题巩固知识，灵活运用，充实自己的过程了。

1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数1.定义:设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=22y x +>0)，那么sin α=r y ,cos α=r x ，tan α=xy .2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.以单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x ； (3)x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=xy(x≠0).图1-2-13.三角函数的定义:正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知:1.正弦值r y第一、二象限为正(y>0,r>0)，第三、四象限为负(y<0,r>0)； 2.余弦值r x第一、四象限为正(x>0,r>0)，第二、三象限为负(x<0,r>0)；3.正切值xy第一、三象限为正(x 、y 同号)，第二、四象限为负(x 、y 异号).四、正弦线、余弦线、正切线1.有向线段:坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定:与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.2.三角函数线的定义:设任意角α的顶点在原点O 处，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.下面是P 点分别在四个象限内的三角函数线： 由图1-2-2中四个图看出:图1-2-2当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y ， 于是有sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT.我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 五、同角的三角函数的基本关系1.平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 2.商数关系:ααcos sin =tan α. 六、正弦、余弦、正切的诱导公式 诱导公式的内容知识导学要学好本节内容，可从复习初中学过的锐角三角函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系.借助单位圆，通过观察图形，发现公式一至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并熟练地将任意角的三角函数等价转化为0至2π内的角的三角函数.形象的诱导公式的记忆口诀: 奇变偶不变， 符号看象限. 疑难突破1.为何不论点P 在终边上的位置如何，只要终边确定下来，角的每一类三角函数值都是定值？剖析:如图1-2-3.图1-2-3在角α的终边上取点A ，使OA=1,设A 的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0).由相似三角形对应边成比例得||||||||,1||||,1||||l m x y m r y l r x ===. ∵A、P 在同一象限内,∴m 与y ，x 与l 的坐标符号相同. ∴1l r x ==cos α,r y =1m =sin α,x y =lm=tan α. ∴点P 在终边上的位置并不影响三角函数值大小，三角函数的值只取决于α的大小. 2.学习同角三角函数基本关系式时应当注意哪几点？剖析:(1)等式成立的条件:①正、余弦对一切α∈R 均成立；②正切仅在α≠k π+2π(k∈Z )时成立.(2)学习同角基本关系式时,首先要突出“同角”的含义.这里的“同角”应作广义的理解. 如:3π与3π,3α与3α,6β+7π与6β+7π都是同角. (3)注意公式变形及逆用.如：sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,1=sin 2α+cos 2α,sin α=tan αcos α,cos α=ααtan sin 等等. 3.诱导公式的规律及作用.剖析:诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°—90°角的三角函数值. 诱导公式的规律为:(1)-α，π±α，2π-α，2k π+α(k∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如:sin(180°-300°)=sin300°，把300°看成一个锐角α，则180°-300°=180°-α为锐角，所以sin(180°-300°)的符号为正，即sin300°前面所带符号也为正. (2)2π-α，2π+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.例如:cos(90°+100°)=-sin100°，把100°看成锐角α，则90°+100°=90°+α为钝角，所以cos(90°+100°)的符号为负，即sin100°前面所带符号为负. (3)这两套公式可以归纳为k ·2π+α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k 的奇偶.。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

1.2.1 任意角的三角函数一、任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ [提示] sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx. 二、三角函数在各象的限符号三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α与α＋π有相同的正切线．( )[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sinα＝________；cos α＝________；tan α＝________.－22 22－1 [由题意可知 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”) (2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.]三角函数的定义及应用【例1】 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5， 所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝x r.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限． (2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号． (1)四 [∵α是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0. 应用三角函数线解三角不等式[探究问题]1．在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.2．满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .【例3】 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． 思路点拨：借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z.1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. [解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．3 [由三角函数的定义可知－bb 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.]3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________． sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三 角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.]4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。

必修4第一章 三角函数1、任意角的概念将角放在直角坐标系，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，一条射线绕它的端点旋转，随着终边的旋转，角的大小在变化着，且旋转也有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向。

习惯上规定：按逆时针方向旋转而形成的角叫做正角，按顺时针旋转而形成的角叫做负角。

如果一条射线没有作任何旋转时，我们称它形成了一个零角。

2、终边相同的角 所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合：0{360,}.S k k Z ββα==+⋅∈即任一与角a 终边相同的角都可以表示成角a 与整数个周角的和。

注：（1） a 为任意角；（2）相同的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

终边相同的角有无数个，它们相差0360的整数倍。

（3）k Z ∈这一条件不能少3、象限角与集合表示（角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角）0000000000036090+36090+360180+360180+360270+360270+360360+360k k k Z k k k Z k k k Z k k k Z ββββββββ⋅<<⋅∈⋅<<⋅∈⋅<<⋅∈⋅<<⋅∈第一象限角：｛，｝第二象限角：｛，｝第三象限角：｛，｝第四象限角：｛，｝提示：（1）锐角是第一象限角，可以表示为00090ββ<<｛｝ （2）第一象限角不一定是锐角，如0361（3）小于090的角可能是零角或负角，可以表示为090αα<｛｝,故它不一定是锐角 （4）0~090的角包括零角，可以表示为00090ββ≤≤｛｝，故它不一定是锐角4、轴线角的集合表示000000000360180+360180903602703609018x k k Z x k k Z x k k Z y k k Z y k k Z y k ββββββββββββ=⋅∈=⋅∈=⋅∈=+⋅∈=+⋅∈=+⋅终边落在轴非负半轴上的角的集合为｛,｝.终边落在轴非正半轴上的角的集合为｛,｝.终边落在轴上的角的集合为｛,｝.终边落在轴非负半轴上的角的集合为｛,｝.终边落在轴非正半轴上的角的集合为｛,｝.终边落在轴上的角的集合为｛00090k Z k k Z ββ∈=⋅∈,｝.终边落在坐标轴上的角的集合为｛,｝.5、弧度制定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。

1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad，180°=π rad， 1°=180πrad≈0.017 45 rad，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′. 4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。

学习资料1．1 任意角和弧度制1．1。

1任意角内容标准学科素养1.了解任意角的概念．2.掌握象限角及终边相同角的概念及其表示．3。

会判断角的终边所在的象限。

应用直观想象应用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第1页［基础认识］知识点一角的相关概念阅读教材P2－4，思考并完成以下问题初中学习角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．包括锐角、钝角、直角、平角、周角，范围是0°～360°。

那么，你注意到射线的旋转方向了吗?（1)假如手表慢了5分钟,怎样将它校准？提示：将分针顺时针拨动5分钟，即顺时针转动30°。

(2)假如手表快了1。

25小时，怎样将它校准？提示:将分针逆时针转动一圈再转动三个数字，即逆时针转动450°.知识梳理（1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点,射线OA，OB分别是角α的始边和终边．（2名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角思考提示：－30°。

（2)探究（2)中，分针逆时针转动了多少度？如果顺时针校准，分针转了多少度？提示：450°,－3 870°.知识点二象限角思考并完成以下问题(1）把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外)可能落在什么位置？提示：可能在第一、二、三、四象限或坐标轴上．（2)锐角、钝角、直角、平角、周角的终边分别在什么位置？提示:第一象限、第二象限、y轴的正半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴．(3)α＝－30°、β＝－120°、γ＝270°的终边在什么位置？提示：α的终边在第四象限、β的终边在第三象限、γ的终边在y轴的负半轴．知识梳理在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角:终边在第几象限就是第几象限角;轴线角：终边落在坐标轴上的角．知识点三终边相同的角思考并完成以下问题(1）假设60°的终边是OB,那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？提示：终边相同,相差720°、360°.(2）与60°的终边相同的角能写出多少个？如何表示?提示：无数个．可用60°＋k·360°,（k∈Z)表示．（3)角的终边分别在x轴的正半轴、负半轴、y轴的正半轴、负半轴上的角如何表示？提示：k·360°、k·360°＋180°、k·360°＋90°、k·360°＋270°.知识梳理所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考结合象限角的定义及终边相同角的表示，用集合表示出象限角．角α的终边所在象限集合表示第一象限｛α|k·360°〈α〈k·360°＋90°,k∈Z｝第二象限｛α|k·360°＋90°〈α〈k·360°＋180°,k∈Z}第三象限{α｜k·360°＋180°〈α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限{α|k·360°＋270°〈α〈k·360°＋360°，k∈Z｝1．判断正误（1）经过1小时，时针转过30°。