基本初等函数
典例讲析
1．根式的概念：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。 性质： 1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨
⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。 2．幂的有关概念
①规定： 1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *； 2）)0(10≠=a a ；
n 个
3）∈=-p a a p p (1Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n 。 ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；
3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（上述性质对r 、∈s R 均适用）
3．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828
.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）
。 ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a
N N m m a 1）1log log =⋅a b b a ； 2）b m
n b a n a m log log =。
4．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，
1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数。
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
③函数值的变化特征：
（2）对数函数： ①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数，
1）函数的定义域为),0(+∞； 2）当10<a 时函数为增函数；
3）函数的值域为R ； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且互为反函数。 ②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）； 1
0<<
a
1>a ①100<<>y x 时， ②10==y x 时， ③10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a
a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。
③函数值的变化特征：
10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><>y x 时， ②01==y x 时， ③100<<
