重庆中考数学阅读专题(含详细答案)

学习必备欢迎下载重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且的两个实数根，且|x |x 1|+|x 2|=2|k||=2|k|（（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2﹣6x 6x﹣﹣27=027=0，，x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，，，x 2+6x +6x﹣﹣27=027=0，，x 2+4x+4=0+4x+4=0，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x +x﹣﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：解：y=2x+y=2x+≥=4=4．当且仅当．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，时，函数取得最小值，y y 最小=4=4．．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时7070～～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”“梦之点”，例如点（1,11,1）），（-2-2，，-2-2）），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

1.（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2.（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．3.（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．5.（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．6.（2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．7.（2016•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．重庆中考阅读答案：（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴或或，∴或或，∴或或，∴k的最大值为．（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，∵=91a+10b∴四位数“和谐数”abba能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•102+y•10+x=101x+10y，=9x+y+，∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，∴2x﹣y=0，∴y=2x（1≤x≤4）．4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数，设M为“麻辣数”，则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，解得k2≤＜84，故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．5.（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．【解答】解：（1）继续小明的方法，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，即第12个智慧数是15．故答案为：15；（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是智慧数．6. （2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．【解答】解：（1）由题意可得：[π]=3，[﹣π]=﹣4；故答案为：3，﹣4；（2）解方程组得：，则﹣1≤x＜0，2≤y＜3；（3）当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时y=（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3=6；当0≤x＜1时，[x]=0，此时y=3；当1≤x＜2时，[x]=1，此时y=12﹣2×1+3=2；当x=2时，[x]=2，此时y=22﹣2×2+3=3；综上所述：y最大=6，y最小=2．7.（2016年•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．【解答】解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，∴左边数为3，右边数为0，∴该三位数为390．∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，4=2×2×1，∴该三位数为241或142．故答案为390，241或142．（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0，∴a=b．（3）由题意，易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=±5，a+b=35，∴a2﹣b2=±175．。

2021年中考数学阅读材料题专题（二）1．阅读材料：对于一个三位自然数m ，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数m 规定一个运算：F （m ）＝x 2+y 2+z 2．例如：m ＝752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F （752）＝12+52+62＝62．（1）根据材料内容，求F （234）﹣F （567）的值；（2）已知两个三位数p ＝3a a ，q ＝33b （a ，b 为整数，且2≤a ≤7，2≤b ≤7），若p +q 能被17整除，求F （p +q ）的值．2．若一个三位数m ＝xyz （其中x ，y ，z 不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M （m ）．例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M （435）＝543﹣345＝198．（1）若一个三位数t ＝2x y （其中x ＞y ＞2）的差数M （t ）＝594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M （m ）的最小值．3．若一个五位正整数满足：①各个数位上的数字都不为0，②它的万位数字、千位数字、十位数字、个位数字的和等于百位数字，我们称这样的五位正整数为“顶尖数”．例如：31822，因为3+1+2+2＝8，所以31822是一个“顶尖数”．（1）最小的“顶尖数”是 ，最大的“顶尖数”是 ；（2）写出所有百位数字是6且个位数字是1的“顶尖数”．4．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是3+2+5+8+7＝25＝52，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，8＝23，所以8是一个立方数．（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；（3）若自然数n既是“方数”又是“立方数”，则称n为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．5．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝2(1)1x x z xx z+-++-．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t 为“网红数”时，求G（t）的最大值．6. 定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为0，且满足百位上的数字与各位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数，设A 为一个开合数，将A 的百位数字和个位数交换位置后得到新数再与A 相加的和为()A φ，例如852是开合数，则(852)=852+258=1110φ.（1）已知开合数10310m x =+（09x <≤，且为x 整数），求()m φ的值;（2） 三位数A 是一个整数，请求满足条件的所有A值.7（10 分）根据阅读材料，解决问题．材料 1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）材料 2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字，得到三个新的数字 x ， y ， z ，我们对自然数 A 规定一个运算； K ( A ) = x 2 + y 2 + z 2 ，例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、8、2．则 K (191) = 22 + 82 + 22 = 72 ． 请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第 1100 个对称数； （3）一个四位的“对称数” B ，若 K (B ) = 8 ，请求出 B 的所有值．8.若一个三位数m xyz =（期中x,y,z 不全相等且都不为0），现将各个数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作()M m .例如537，重排后得到357,375,753,735,573，所以537的差数(537)=753-357=396M .（1）若一个三位数t abc =（其中b a c >>，且0abc ≠），求证:()M t 能被99整除;（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的()M m 的最小值.9.一个三位正数m ，其各位数字均不为零且互不相等，若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数。

2021年中考数学阅读材料题专题（二）1．阅读材料：对于一个三位自然数m ，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数m 规定一个运算：F （m ）＝x 2+y 2+z 2．例如：m ＝752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F （752）＝12+52+62＝62．（1）根据材料内容，求F （234）﹣F （567）的值；（2）已知两个三位数p ＝3a a ，q ＝33b （a ，b 为整数，且2≤a ≤7，2≤b ≤7），若p +q 能被17整除，求F （p +q ）的值．2．若一个三位数m ＝xyz （其中x ，y ，z 不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M （m ）．例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M （435）＝543﹣345＝198．（1）若一个三位数t ＝2x y （其中x ＞y ＞2）的差数M （t ）＝594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M （m ）的最小值．3．若一个五位正整数满足：①各个数位上的数字都不为0，②它的万位数字、千位数字、十位数字、个位数字的和等于百位数字，我们称这样的五位正整数为“顶尖数”．例如：31822，因为3+1+2+2＝8，所以31822是一个“顶尖数”．（1）最小的“顶尖数”是 ，最大的“顶尖数”是 ；（2）写出所有百位数字是6且个位数字是1的“顶尖数”．4．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是3+2+5+8+7＝25＝52，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，8＝23，所以8是一个立方数．（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；（3）若自然数n既是“方数”又是“立方数”，则称n为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．5．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝2(1)1x x z xx z+-++-．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t 为“网红数”时，求G（t）的最大值．6. 定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为0，且满足百位上的数字与各位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数，设A 为一个开合数，将A 的百位数字和个位数交换位置后得到新数再与A 相加的和为()A φ，例如852是开合数，则(852)=852+258=1110φ.（1）已知开合数10310m x =+（09x <≤，且为x 整数），求()m φ的值;（2） 三位数A 是一个整数，请求满足条件的所有A值.7（10 分）根据阅读材料，解决问题．材料 1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）材料 2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字，得到三个新的数字 x ， y ， z ，我们对自然数 A 规定一个运算； K ( A ) = x 2 + y 2 + z 2 ，例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、8、2．则 K (191) = 22 + 82 + 22 = 72 ． 请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第 1100 个对称数； （3）一个四位的“对称数” B ，若 K (B ) = 8 ，请求出 B 的所有值．8.若一个三位数m xyz =（期中x,y,z 不全相等且都不为0），现将各个数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作()M m .例如537，重排后得到357,375,753,735,573，所以537的差数(537)=753-357=396M .（1）若一个三位数t abc =（其中b a c >>，且0abc ≠），求证:()M t 能被99整除;（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的()M m 的最小值.9.一个三位正数m ，其各位数字均不为零且互不相等，若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数。

重庆中考18题专题训练1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa-+-+=去分母，()()604060406040x a xb x b xa -+=-+去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa-+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a-++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。

解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨．， =， 解得x=240．故答案为：240．，由①得，则有：，两式相除得：，商品的销售利润率变成了 ．（2）某商品现在的进价便宜20％ ，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为 。

2021重庆中考数学第24题阅读材料题专题训练1.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是______，最大的“和平数”是______．(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”．2.如果自然数m使得作竖式加法m+(m+1)+(m+2)时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数“.例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象．(1)分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；(2)求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．3.如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”.将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为F(n).如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132.这三个新三位数的和F(n)=213+321+132=666，是一个“同花数”．(1)计算：F(432)，F(716)，并判断它们是否为“同花数”；(2)若“异花数”n=100+10p+q(中p、q都是正整数，1≤p≤9，1≤q≤9)，且F(n)为最大的三位“同花数”，求n的值．4.定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍(n为正整数)，我们就说这个自然数是一个“n喜数”.例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4×(2+4)；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n(2+5)．(1)判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；(2)请求出所有的“7喜数”之和．5.如果一个三位数满足各位数字都不为0，且个位数字比十位数字大1，则称这个三位数为完美数.若m、n都是完美数，将组成m的各数位上的数字中最大数字作为两位数p 的十位上的数字，组成n的各数位上的数字中最大数字作为两位数p的个位上的数字，再将组成m的各数位上的数字中最小数字作为两位数q的十位上的数字，组成n的各数位上的数字中最小数字作为两位数q的个位上的数字，所得的这两个数p、q之和记为F(m,n)．例如：因为1+1=2，4+1=5，所以112和645都是完美数，则F(112,645)=26+14= 40．因为1+1=2，8+1=9，所以212和689都是完美数，则F(212,689)=29+16=45．(1)判断623和456是否为完美数并说明原因.如果都是完美数则计算F(623,456)的值．(2)若s、t都是完美数，其中s=400+10x+y，t=310+100a+b(1≤x≤8,1≤y≤9,0≤a≤5,1≤b≤9且x、y、a、b都是整数)，规定：K(s,t)=|s−t|，当F(s,123)−F(t,867)=20时，求K(s,t)的最小值．6.任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一．个新的四位数m，记f(n)=n−m99=−22．例如：当n=1234时，则m=3412，则f(1234)=1234−341299(1)直接写出f(1111)=______ ，f(5025)=______ ．(2)求证：对任意一个四位数n，f(n)均为整数．(3)若s=1200+10a+b，t=1000b+100a+14(1≤a≤5,1≤b≤5,a、b均为整数)，当f(s)+f(t)是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．7.若实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a=1n −1n+1，那么我们称a为第n个“1阶倒差数”，例如12=1−12，∴12是第1个“1阶倒差数”，16=12−13，∴16是第2个“1阶倒差数”.同理，若b=1n −1n+2，那么，我们称b为第n个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c，d均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且1d −1c=22，求c，d的值．8.已知，在计算：N+(N+1)+(N+2)的过程中，如果存在正整数N，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N为“本位数”.例如：2和30都是“本位数”，因为2+3+4=9没有进位，30+31+32=93没有进位；15和91都不是“本位数”，因为15+16+17=48，个位产生进位，91+92+93=276，十位产生进位．则根据上面给出的材料：(1)下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．106(______ )；111(______ )；400(______ )；2015(______ ).(2)在所有的四位数中，最大的“本位数”是______ ，最小的“本位数”是______ ．(3)在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？9.一个正整数p能写成p=(m+n)(m−n)(m、n均为正整数，且m≠n)，则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F(p)=m2+n2.例如：24=(7+5)(7−5)= (5+1)(5−1)，因为72+52>52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F(24)=74．(1)F(32)=______ ；(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y(1≤x≤y≤7)，q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F(q)的最小值．10.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)=m33，求满足D(m)是完全平方数的所有m．11.任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记f(n)=n−m99.如n=1234，则m=3412，f(1234)=1234−341299=−22．(1)直接写出f(1111)=______ ，f(5025)=______ ，并求证：对任意一个四位数n，f(n)均为整数．(2)若s=1200+10a+b，t=1000b+100a+14(1≤a≤5,1≤b≤5,a、b均为整数)，当f(s)+f(t)是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．12.“火星数”是指一个数等于其各数位数字之和的19倍的正整数，如114=19×(1+1+4).任意一个自然数m，若m=a+b(a≤b,a、b为正整数)，其中当ab最大时，我们称之为m的“最佳分解”，并规定在“最佳分解”时，H(m)=ab，如5=1+4=2+3.则ab 可以为14，23，因为14<23，所以H(5)=23．(1)判断133和153是否为“火星数”请说明理由．(2)若一个三位自然数p=200+10b+c(0≤b≤9,0≤c≤9,b、c为整数)为“火星数”，求H(p)的最小值．13.对于任意的两位数m=ab−，满足1≤a≤5，0≤b≤4，a≥b，我们称这样的数为“兄弟数”.将m的十位数字与个位数字之和，放在m的左侧，得到一个新的三位数s1，放在m的两个数字中间得到一个新的三位数s2；将m的十位数字与个位数字之差，放在m的右侧得到一个新的三位数t1，放在m的两个数字中间得到一个新的三位数t2，用s1与t1的和减去s2与t2的和的差除以9的商记为F(m).例如，m=41，s1=541，s2=451，t1=413，t2=431，所以F(41)=(541+413)−(451+431)=89(1)计算：F(22)；F(53)；(2)若p，q都是“兄弟数”，其中p=10x+1，q=51+y(1≤x≤9,0≤y≤9,x，y是整数)，规定：K=F(p)，当12F(p)+F(q)=139时，求K的最大值．F(q)14.任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交，换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f(x)=x−y9=−431．例如：x=2356，则y=6235，f(2356)=2356−62359(1)计算：f(5234)=______ ，f(3215)=______ ．(2)若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：f(x)能被11整除．(3)若s=1100+20a+b，t=1000b+100a+23(1≤a≤4,1≤b≤5,a、b均为整数)，若f(s)+f(t)被7除余2，求满足条件的f(t)的最小值．15.若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大2，我们称这个数为“多多数”.将“多多数”m 各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m′，记F(m)=m−m′−360909.例如：m =3412，∴m′=2143，则F(3412)=3412−2143−360909=1．(1)判断6543和4231是否为“多多数”？请说明理由；(2)若A 和B 为两个“多多数”，其中A 的十位数字为6，B 的个位数字为2，且满足F(A)⋅F(B)=35，求A −B 的值．16. 如果有一个三位数m ，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m 的百位和个位互换位置得到数m′.并规定F(m)=m+m′9，例如三位数918，∵9=1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F(918)=918+8199=193．(1)判断946是不是“尔畔数”，求出F(936)；(2)已知s 和t 都是“尔畔数”，且2F(s)+F(t)=570，并规定K =F(s)F(t)，求K 的最大值为多少？17. 如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“绝对数”，如：三位数312，∵1=|3−2|，∴312是“绝对数”，把一个绝对数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F(m)，把m 的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为G(m)．如：F(312)=31+32+12=75，G(312)=3×3+2×1+2=13．(1)请问257是不是“绝对数”，如果是，请求出F(257)，G(257)的值；(2)若三位数A是“绝对数”，且F(A)−2G(A)是完全平方数，请求出所有符合条件的A．18.一个四位正整数m=1000a+100b+10c，(1≤a,b，c≤9，且a，b，c互不相等)，将百位与千位对调，并将这个四位数去掉十位，这样得到的三位数m′称为m的“派生.例如m=3470，则m的“派生数”m′=430，且K(3470)=数”，并记K(m)=m−m′103470−430=304．10(1)若K(m)能被3整除，求m的最小值与最大值；(2)若将m的千位数字换成1，得到一个新的四位正整数n，n的“派生数”为n′，记P=K(m)，若K(m)+32K(n)=3597，求P的最小值．K(n)19.在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t ，若t 的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t 为“优数”．例如：当t =6414时，∵2×(4+1)−(6+4)=0，∴6414是“优数”； 当t =4257时，∵2×(2+5)−(4+7)=3≠0，∴4257不是“优数”． (1)判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；(2)已知：t =4abc −(1≤a ≤9,1≤b ≤9,1≤c ≤9且a ，b ，c 均为正整数)是“优数”，且满足4a −与bc −的差能被7整除，且F(t)=|4+a −b −c|，求F(t)的最大值．20. 对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为F(m).例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，F(123)=123+231+312111=666111=6．(1)求F(456)，F(321)；(2)已知s =100x +32，t =256+y(1≤x ≤y ≤9,x ，y 为整数)，若s 、t 均为“特异数”，且F(s)+F(t)可被6整除，求F(s)⋅F(t)的最大值．21.一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程ax=b的解是x=c，则称这个三位数是方程ax=b的“协调数”，称方程ax=b是这个三位数的“协调方程”.如：三位数200，方程2x=0的解是x=0，所以200就是方程2x=0的“协调数”，方程2x=0是这个三位数200的“协调方程”．请根据上述材料，解决下列问题：(1)判断263是否是某个方程的“协调数”？方程2x=7是否是某个三位数的“协调方程”？并说明理由；(2)若所有的“协调数”的个数为s，所有“协调方程”的解之和为t，求s+t的值．。

2019重庆中考数学第25题专题训练二25．已知，我们把任意形如：t abcba =的五位自然数（其中c a b =+，19a ≤≤，08b ≤≤）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数32523中，325+=，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为()F n ，能被自然数n 整除的最小的喜马拉雅数记为()I n ． （1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除； （2）求()3+(8)F I 的值．解析：（1）各数位数字之和2222()3()a b c b a a b c a b a b a b ++++=++=+++=+ ∵a b 、是整数 ∴a b +是整数 ∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除 （2）(3)90909F =,()101011110321263139888ab a b ba a b a ba b +++==+-∵喜马拉雅数能被8整除∴32a b +能被8整除19,08,1933227a b a b a b ≤≤≤≤≤+≤∴≤+≤Q ，，328,1624a b ∴+=或可得：(8)21312I = ∴(3)(8)9090921312112221F I +=+=25．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为()F k ．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(09,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a cG m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值．.解：（1）189962808062)8062(=-=F ……（1分）设abcd n = ∴99)10101000(101001000)(b a d c d c b a n F +++-+++=d c b a --+=1010∵d c b a 、、、是整数, ∴d c b a --+1010也为整数,即：结论成立.……（4分）（2）设“平衡数”mnpq N = 由题可得：12,-=+=+n p q p n m∴q p n m N +++=101001000 p n m 91011001++= 91191001-+=n m （5分）∵N 能被11整除∴119910911191191001-++=-+n n m n m ∴1199-n 为整数又∵90≤≤n 且n 为整数 ∴1=n∴112=-=n p ……（7分） ∴1101001+=m N ∵N 能被3整除∴3223633331101001+++=+a m m ∴322+a 为整数又∵91≤≤a ∴852或或=a∴N=2112或5115或8118……（9分） ∵63)8118(,36)5115(,9)2112(===F F F ∴9)(的最小值为N F ……（10分）阅读下列材料，解决问题：一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282是不是“灵动数”，判断过程：16752825167518-⨯=，167518516711-⨯=，1671151666-⨯=，16665136-⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…65=30⨯，现在个位5=30>⨯剩下的13，就用大数减去小数，301317-=，17是17的1倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“灵动数”．（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为27mn ，其中个位上的数字为n ，十位上的数字为m ，且m 、n 为整数，若这个数能被51整除，请求出这个数． 解：（1）5154-71,71452-724=⨯=⨯Θ 51是17的3倍，7242∴是“灵动数”；1827-5927956-209,209650-20962096055-20985,20985554-209875=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯Θ18不能被17整除，2098754∴不是“灵动数”.（2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除 10m+n-3能被51整除96310390,90≤-+≤-∴≤≤≤≤n m n m Θ10m+n-3=0或51，即10m+n=3或54⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴4530n m n m 或 ∴这个数为2703或275425、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 （能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律； （2）一个自然数t 可以表示为22q p t -=的形式，（其中q p >且为正整数），这样的数叫做“佛系数”，在t 的所有表示结果中，当q p -最小时，称22q p -是t 的“佛系分解”，并规定q p q p t F -+=2)(．例如：22227-92-632==，267-9-<，则79729)32(-⨯+=F 223=．已知一个五位自然数，末三位数4210800++=y m ，末三位以前的数为y x n ++=）（110（其中81≤≤x ，91≤≤y 且为整数），n 为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求)(n F 的最大值． 解析：（1）能；…………………………………（1分）设末三位数为B ，末三位以前的数为A ，则这个数为1000A+B.)1377(13131001)131000100013,13+=+=++=+∴+=∴=-A k A k A A B A kA B k k A B （是整数Θ 是整数是整数1377,+∴A k A Θ所以：任意一个多位自然数都满足上述规律…………………………………（4分）（2）当51≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、8、（4+y ）、2；1345336813472991013)1(10824100+-+++-=++-=-+-++∴y x y x y x y x y ）（13453+-∴y x 是整数93,85,32,243,5,2,48,7,2,113,0,13453234531851,81=∴⎩⎨⎧==∴-=+-∴≤+-≤-∴≤≤≤≤n y x y x y x y x Θ…………………………………（6分） 当96≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、9、（6-y ）、2；1324340-813518-991013)1(10926-100+-++-=+-=-+-+∴y x y x y x y x y ）（13243+-∴y x 是整数⎩⎨⎧==∴---=+-∴-≤+-≤-∴≤≤≤≤6,85,413,26,3924342434096,81y x y x y x y x Θ 66,58=∴n …………………………………（7分）由))((22q p q p q p n -+=-=,）（）（q p q p -+,奇偶性相同139)93(127)85(223)32(,217)24(====F F F F ，，Θ 139127223217<<< )(n F ∴最大值是139.…………………………………（10分）25．一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除．例如：6549 ，549+6=555，555÷37=15，所以6549能被37整除；12360146， 146+360+12=518，518÷37=14，所以12360146能被37整除．（1）判断：333444 （能、不能）被37整除；证明：若四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数）能被37整除，求证：将abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位数的11倍也能被37整除．（2）一个四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数．25．（1） 能 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 证明：由题可知，k a d c b 3710100=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 为整数 ∴a c b k d ---=1010037）（）（c b a k c b a k a c b k c b a d c b a 330311371111110111407101003711101001110100+++-=+++-=----++=-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位的11倍也能被37整除 （2）由题可知，c b d a +=+， k a d c b 3710100=+++2m c d b =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 、m 为整数∴kc b b k c b k c b c b 37111011137111013710100=+-=+=+++ 1371110k c b =+- （1k 为整数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∵89111079≤+-≤-c b ∴7437037741110、、、、--=+-c b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴⎩⎨⎧==3711c b 或⎩⎨⎧==7422c b当⎩⎨⎧==3711c b 时，满足条件2m c d b =-+的5=d ，此时5=a当⎩⎨⎧==7422c b 时，满足条件2m c d b =-+的⎪⎩⎪⎨⎧===743321d d d ，此时对应的⎪⎩⎪⎨⎧===478321a a a 综上所述，此四位数为5735、8473、7474、4477．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分25.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n 。

重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a=++≠的顶点坐标为24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bxa=-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．1.下列四个数中，最小的数是（）A.2-B.0C.3D.1 2-【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．【详解】解：∵13022>>->-，∴最小的数是2-；故选：A．2.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故本选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C ．3.已知点()3,2-在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，则k 的值为（）A.3- B.3 C.6- D.6【答案】C【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把()3,2-代入()0k y k x=≠求解即可．【详解】解：把()3,2-代入()0k y k x =≠，得326k =-⨯=-．故选C ．4.如图，AB CD ∥，165∠=︒，则2∠的度数是（）A.105︒B.115︒C.125︒D.135︒【答案】B【解析】∠=∠=︒，由邻补角性质得【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得3165∠+∠=︒，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．23180【详解】解：如图，∥，∵AB CD∠=∠=︒，∴3165∠+∠=︒，∵23180∠=︒，∴2115故选：B．5.若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9【答案】D【解析】【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D．6.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A.20B.22C.24D.26【答案】B【解析】【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即2214+⨯=第2种如图②有6个氢原子，即2226+⨯=第3种如图③有8个氢原子，即2238+⨯=⋯，∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：221022+⨯=；故选：B ．7.已知m =，则实数m 的范围是（）A.23m << B.34m << C.45m << D.56m <<【答案】B【解析】【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出m ==，即可求出m 的范围．【详解】解：∵m ====，∵34<<，∴34m <<，故选：B ．8.如图，在矩形ABCD 中，分别以点A 和C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ，则图中阴影部分的面积为（）A.328π- B.4πC.324π- D.8π【答案】D【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得28AC AD ==，由勾股定理得出AB =2个扇形的面积即可得到结论．【详解】解：连接AC ，根据题意可得28AC AD ==，∵矩形ABCD ，∴4AD BC ==，90ABC ∠=︒，在Rt ABC △中，AB ==，∴图中阴影部分的面积2904428360ππ⨯=⨯⨯=．故选：D ．9.如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG CE 的值为（）A. B.C.2 D.2【答案】A【解析】【分析】过点F 作DC 延长线的垂线，垂足为点H ，则90H ∠=︒，证明ADE EHF ≌，则1AD EH ==，设DE HF x ==，得到HF CH x ==，则45HCF ∠=︒，故CF =，同理可求CG ==则)1FG CG CF x =-=-，因此)11x FG CE x -==-．【详解】解：过点F 作DC 延长线的垂线，垂足为点H ，则90H ∠=︒，由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D Ð=°，DC AB ∥，DA DC BC ==，设1DA DC BC ===，∴D H ∠=∠，∵12AEH AEF D ∠=∠+∠=∠+∠，∴12∠=∠，∴ADE EHF ≌，∴DE HF =，1AD EH ==，设DE HF x ==，则1CE DC DE x =-=-，∴()11CH EH EC x x =-=--=，∴HF CH x ==，而90H ∠=︒，∴45HCF ∠=︒，∴2sin 45HF CF ==︒，∵DC AB ∥，∴45HCF G ∠=∠=︒，同理可求22CG BC ==∴)2221FG CG CF x x =-==-，∴)2121x FG CE x-==-，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．10.已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得04n ≤≤，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ，∴04n ≤≤，当4n =时，则2104345a a a a a +++++=，∴41a =，23100a a a a ====，满足条件的整式有4x ，当3n =时，则210335a a a a ++++=，∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =，()1,1,0,0，()1,0,1,0，()1,0,0,1，满足条件的整式有：32x ，32x x +，3x x +，31x +，当2n =时，则21025a a a +++=，∴()()210,,3,0,0a a a =，()2,1,0，()2,0,1，()1,2,0，()1,0,2，()1,1,1，满足条件的整式有：23x ，22x x +，221x +，22x x +，22x +，21x x ++；当1n =时，则1015a a ++=，∴()()10,4,0a a =，()3,1，()1,3，()2,2，满足条件的整式有：4x ，31x +，3x +，22x +；当0n =时，005a +=，满足条件的整式有：5；∴满足条件的单项式有：4x ，32x ，23x ，4x ，5，故①符合题意；不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意；故选D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算：011(3)(2π--+＝_____．【答案】3【解析】【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．【详解】解：011(3)()1232π--+=+=，故答案为：3．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．12.如果一个多边形的每一个外角都是40︒，那么这个多边形的边数为______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和360︒除以40︒即可求解，掌握多边形的外角和等于360︒是解题的关键．【详解】解：360409︒÷︒=，∴这个多边形的边数是9，故答案为：9．13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B 的概率为_____．【答案】19【解析】【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点B 的情况有1种，∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19，故答案为：19．14.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．【答案】10%【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =-（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．15.如图，在ABC 中，延长AC 至点D ，使CD CA =，过点D 作DE CB ∥，且DE DC =，连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠，1CF =，则BF =______．【答案】3【解析】【分析】先根据平行线分线段成比例证AF EF =，进而得22DE CD AC CF ====，4AD =，再证明CAB DEA ≌，得4BC AD ==，从而即可得解．【详解】解：∵CD CA =，过点D 作DE CB ∥，CD CA =，DE DC =，∴1FA CA FE CD==，CD CA DE ==，∴AF EF =，∴22DE CD AC CF ====，∴4AD AC CD =+=，∵DE CB ∥，∴CFA E ∠∠=，ACB D ∠∠=，∵CAB CFA ∠=∠，∴CAB E ∠∠=，∵CD CA =，DE CD =，∴CA DE =，∴CAB DEA ≌，∴4BC AD ==，∴3BF BC CF =-=，故答案为：3，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．16.若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为______．【答案】16【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于x 的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定a 的取值范围8a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22a y -=，由分式方程的解为非负整数，确定a 的取值范围2a ≥且4a ≠，进而得到28a ≤≤且4a ≠，根据范围确定出a 的取值，相加即可得到答案．【详解】解：()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩①②，解①得：4x <，解②得：23a x -≥， 关于x 的一元一次不等式组至少有两个整数解，∴223a -≤，解得8a ≤，解方程13211a y y -=---，得22a y -=， 关于y 的分式方程的解为非负整数，∴202a -≥且212a -≠，2a -是偶数，解得2a ≥且4a ≠，a 是偶数，∴28a ≤≤且4a ≠，a 是偶数，则所有满足条件的整数a 的值之和是26816++=，故答案为：16．17.如图，以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点D 、E 均在O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与O 交于点G ，连接DG ．若10,8AB DE ==，则AF =______．DG =______．【答案】①.8②.13【解析】【分析】连接DO 并延长，交O 于点H ，连接GH ，设CE 、AB 交于点M ，根据四边形ACDE 为平行四边形，得出∥DE AC ，8AC DE ==，证明AB DE ⊥，根据垂径定理得出142DF EF DE ===，根据勾股定理得出3OF ==，求出538AF OA OF =+=+=；证明EFM CAM ∽，得出EF FM AC AM =，求出83FM =，根据勾股定理得出4133EM ===，证明EFM HGD ∽，得出FM EM DG DH =，求出201313DG =．【详解】解：连接DO 并延长，交O 于点H ，连接GH ，设CE 、AB 交于点M ，如图所示：∵以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，∴AB AC ⊥，∴90CAB ∠=︒，∵四边形ACDE 为平行四边形，∴∥DE AC ，8AC DE ==，∴90BFD CAB ==︒∠∠，∴AB DE ⊥，∴142DF EF DE ===，∵10AB =，∴152DO BO AO AB ====，∴3OF ==，∴538AF OA OF =+=+=；∵∥DE AC ，∴EFM CAM ∽，∴EF FMAC AM =，∴48FM AF FM =-，即488FM FM =-，解得：83FM =，∴3EM ===，∵DH 为直径，∴90DGH ∠=︒，∴DGH EFM ∠=∠，∵ DGDG =，∴DEG DHG =∠∠，∴EFM HGD ∽，∴FM EM DG DH=，即84133310DG =，解得：201313DG =．故答案为：8；201313．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．18.我们规定：若一个正整数A 能写成2m n -，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A 为“方减数”，并把A 分解成2m n -的过程，称为“方减分解”．例如：因为26022523=-，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即2A m n =-，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），则满足条件的正整数A 为______．【答案】①.82②.4564【解析】【分析】本题考查了新定义，设10m a b =+，则108n a b =+-（19a ≤≤，08b ≤≤）根据最小的“方减数”可得10,18m n ==，代入，即可求解；根据B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），得出34719a b ++为整数，308a b ++是完全平方数，在19a ≤≤，08b ≤≤，逐个检验计算，即可求解．【详解】①设10m a b =+，则108n a b =+-（19a ≤≤，08b ≤≤）由题意得：()()2210108m n a b a b -=+-+-，∵19a ≤≤，“方减数”最小，∴1a =，则10m b =+，18n b =-，∴()()2222101810020188221m n b b b b b b b -=+--=++-+=++，则当0b =时，2m n -最小，为82，故答案为：82；②设10m a b =+，则108n a b =+-（19a ≤≤，08b ≤≤）∴10001001081010998B a b a b a b =+++-=++∵B 除以19余数为1，∴1010997a b ++能被19整除∴134********B a b a b -++=++为整数，又22m n k +=（k 为整数）∴()210108308a b a b a b +++-=++是完全平方数，∵19a ≤≤，08b ≤≤∴308a b ++最小为49，最大为256即716k ≤≤设34719a b t ++=，t 为正整数，则13t ≤≤当1t =时，3412a b +=，则334b a =-，则330830384a b a a ++=+-+是完全平方数，又19a ≤≤，08b ≤≤，无整数解，当2t =时，无整数解，当3t =时，3450a b +=，则5034a b -=，则5033083084a ab a -++=++是完全平方数，经检验，当6,8a b ==时，3473648757193a b ++=⨯+⨯+==⨯，23068819614⨯++==，3,14t k ==，∴68,60m n ==，∴268604564A =-=故答案为：82，4564．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()22x x y x y -++；（2）22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．【答案】（1）222x y +；（2）11a a +-．【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；（2）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式22222x xy x xy y =-+++，222x y =+；【小问2详解】解：原式()()()1111a a a a a a +-+=÷+，()()()11·11a a a a a a ++=+-，11a a +=-．20.为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b 众数a 79根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a ______，b =______，m =______；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？【答案】（1）86，87.5，40；（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；（3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．【解析】【分析】（1）根据表格及题意可直接进行求解；（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．【小问1详解】根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，八年级竞赛成绩中A 组：2010%2⨯=（人），B 组：2020%4⨯=（人），C 组：6人，所占百分比为6100%30%20⨯=D 组：202468---=（人）所占百分比为%110%20%30%40%m =---=，则40m =，∴八年级的中位数为第1011、个同学竞赛成绩的平均数，即C 组第45、个同学竞赛成绩的平均数878887.52b +==，故答案为：86，87.5，40；【小问2详解】八年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；【小问3详解】640040%50032020⨯+⨯=（人），答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．21.在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EFAC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【答案】（1）见解析（2）①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠，进而证明()AAS CFO AEO ≌，得到OF OE =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．再由EF AC ⊥，即可证明四边形AECF 是菱形．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形．22.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；（2）需要更新设备费用为1330万元【解析】【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．（1）设该企业甲类生产线有x 条，则乙类生产线各有()30x -条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为()5m -万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．【小问1详解】解：设该企业甲类生产线有x 条，则乙类生产线各有()30x -条，则()323070x x +-=，解得：10x =，则3020x -=；答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；【小问2详解】解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为()5m -万元，则2001805m m =-，解得：50m =，经检验：50m =是原方程的根，且符合题意；则545m -=，则还需要更新设备费用为10502045701330⨯+⨯-=（万元）；23.如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）()()124606063y x x y x x =<≤=<≤，（2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <≤【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：（1）证明APQ ABC ∽，根据相似三角形的性质得到APQABC C PQ APC BC AB ==△△，据此可得答案；（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．【小问1详解】解：∵PQ BC ∥，∴APQ ABC ∽，∴APQABC C PQ APC BC AB ==△△，∴12686y x AB y AP x===，∴()()124606063y x x y x x =<≤=<≤，；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；由函数图象可知，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小；【小问3详解】解：由函数图象可知，当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24.如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C港．（参考数据： 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．【答案】（1）A ，C 两港之间的距离77.2海里；（2）甲货轮先到达C 港．【解析】【分析】（1）过B 作BE AC ⊥于点E ，由题意可知：45GAB ∠=︒，60EBC ∠=︒，求出cos AE AB BAE =∠=tan CE BE EBC =∠=（2）通过三角函数求出甲行驶路程为：4056.496.4AB BC +=+=，乙行驶路程为：66.838.6105.4AD CD +=+=，然后比较即可；本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．【小问1详解】如图，过B 作BE AC ⊥于点E，∴90AEB CEB ∠=∠=︒，由题意可知：45GAB ∠=︒，60EBC ∠=︒，∴45BAE ∠=︒，∴cos 40cos 45AE AB BAE =∠=⨯︒=∴tan 60CE BE EBC =∠=︒=∴201.4120 2.4577.2AC AE CE =+=⨯+⨯≈（海里），∴A ，C 两港之间的距离77.2海里；【小问2详解】由（1）得：45BAE ∠=︒，60EBC ∠=︒，77.2AC =，∴sin 40sin 45BE AB BAE =∠=⨯︒=∴56.41cos cos 602BE BC EBC ====≈∠︒，由题意得：60ADF ∠=︒，30CDF ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴1177.238.622CD AC ==⨯=， 1.73cos3077.266.82AD AC =︒=⨯≈（海里），∴甲行驶路程为：4056.496.4AB BC +=+=（海里），乙行驶路程为：66.838.6105.4AD CD +=+=（海里），∵96.4105.4<，且甲、乙速度相同，∴甲货轮先到达C 港．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-，与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点（A 在B 的左侧），连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点，MN y ⊥轴，垂足为N ，点F 为线段BC 的中点，连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时，求AM MN NF ++的最小值；（3）将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D ，且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QDK ACB ∠∠=时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）234y x x =--+；（2）AM MN NF ++的最小值为4122+；（3）符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）利用正切函数求得1OB =，得到()1,0B ，再利用待定系数法即可求解；（2）求得()4,0A -，利用待定系数法求得直线AC 的解析式，设()2,34P p p p --+，求得PD 最大，点()2,6P -，再证明四边形AMNE 是平行四边形，得到AM EN =，推出当E N F 、、共线时，EF 取最小值，即AM MN NF ++取最小值，据此求解即可；（3）求得()2,2D -，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式278y x x '=---，再分两种情况讨论，计算即可求解．【小问1详解】解：令0x =，则4y =，∴()0,4C ，∴4OC =，∵tan 4CBA ∠=，∴4OC OB =，∴1OB =，∴()1,0B ，将()1,0B 和()1,6-代入24y ax bx =++得6404a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为234y x x =--+；【小问2详解】解：令0y =，则2034x x =--+，解得4x =-或1x =，∴()4,0A -，设直线AC 的解析式为4y mx =+，代入()4,0A -，得044m =-+，解得1m =，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()2,34P p p p --+（40p -<<），则(),4D p p +，∴()()2234424PD p p p p =--+-+=-++，∵10-<，∴当2p =-时，PD 最大，此时()2,6P -，∴2AE =，2MN OE ==，()2,0E -，∴AE MN =，AE MN ∥，连接EN ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴AM EN =，∴AM MN NF EN MN NF MN EF ++=++≥+，∴当E N F 、、共线时，EF 取最小值，即AM MN NF ++取最小值，∵点F 为线段BC 的中点，∴1,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴412EF ==，∴AM MN NF ++的最小值为4122+；【小问3详解】解：由（2）得点D 的横坐标为2-，代入4y x =+，得2y =，∴()2,2D -，∴新抛物线由234y x x =--+向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，∴()()222324278y x x x x =-+-++-=---'，过点D 作1DQ BC ∥交抛物线y '于点1Q ，∴1Q DK BCA ∠=∠，同理求得直线BC 的解析式为44y x =-+，∵1DQ BC ∥，∴直线1DQ 的解析式为46y x =--，联立得28476x x x =-----，解得11x =-，22x =-，当=1x -时，=2y -，∴()11,2Q --，作1DQ 关于直线AC 的对称线得2DQ 交抛物线y '于点2Q ，∴21Q DK Q DK BCA ∠=∠=∠，设1DQ 交x 轴于点G ，由旋转的性质得到DG DG '=，过点D 作DR x ∥轴，作DH x ⊥轴于点H ，作G H DR ''⊥于点H '，当0y =时，046x =--，解得32x =-，∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -，()0,4C ，∴OA OC =，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，∵DR x ∥轴，∴45RDA DAH ADH ∠=∠=∠=︒，∴'G DH GDH '∠=∠，∵''90G H D GHD ∠=∠=︒，'DG DG=∴GD H GDH ''≌△△，∴31222G H GH ''==-=，2DH DH '==，∴54,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭'，同理直线2DQ 的解析式为4213=-+y x ，联立2134278x x x =--+--，解得2x =-或194x =-，当194x =-时，11934344216y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，∴21943,416Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．26.在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．（1）如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG的值．【答案】（1）60α︒+（352+【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合EFD BAC ∠∠=即可求解；（2）在CG 上截取CM BD =，连接,BM BE ，BM 交AD 于点H ，连接,BE AE ，先证明，再证明四边形EBMG 是平行四边形，可得2CG BD =，记AB 与DE 的交点为点N ，则由轴对称可知：DE AB ⊥，NE ND =，再解Rt BND △即可；（3）连接BE ，记AB 与DE 的交点为点N ，由轴对称知EAB DAB ∠=∠，DE AB ⊥，NE ND =，45EBA DBA ∠=∠=︒，当点G 在边AC 上时，由于90EAG ∠>︒，当AEG △为等腰三角形时，只能是AE AG =，由（1）得BAD ∠=α，60AGE α∠=︒+，Rt AFG △中，290αα+=︒，解得30α=︒，然后AF x =，解直角三角形，表示出2AG x =，)1CG x =，即可求解；当点G 在CA 延长线上时，只能是GE GA =，设BAD BAE β∠=∠=，在Rt AFE 中，90180290ββ︒-+︒-=︒，解得60β=︒，设GF x =，解直角三角形求出(5CG x =+，即可求解．【小问1详解】解：如图，∵EFD BAC ∠∠=，60BAC ∠=︒，∴60EFD ∠=︒∵11EFD BAD α∠=∠+∠=∠+，∴160α∠=︒-，∵1180AGE BAC ∠+∠+∠=︒，∴1806011201AGE ∠=︒-︒-∠=︒-∠，∴()1206060AGE αα∠=︒-︒-=︒+；【小问2详解】在CG 上截取CM BD =，连接,,BM BE AE ，BM 交AD 于点H ，∵,60AB AC BAC =∠=︒，∴BCA V 为等边三角形，∴60,ABC C BC AB ∠=∠=︒=，∴ABD BCM △≌△，∴3=4∠∠，∵35AHM ∠=∠+∠，∴4560AHM ∠=∠+∠=︒，∵60EFD BAC ∠=∠=︒，∴AHM EFD ∠=∠，∴EG BM ∥，∵点D 关于直线AB 的对称点为点E ，∴,,60AE AD BE BD ABE ABC ==∠=∠=︒，∴120EBC ∠=︒，∴180EBC C ∠+∠=︒，∴EB AC ∥，∴四边形EBMG 是平行四边形，∴BE GM =，∴BE GM BD CM ===，∴2CG BD =，记AB 与DE 的交点为点N ，。

中考专题训练九阅读理解题型问题（二）二、综合型阅读理解例3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中(,0)A t 、(2,0)B t +两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离不大于1，则称P 为线段AB 的“环绕点”． （1）当3t =-时，①在点1(0,1)M ，2(0,0)M ，3(2,1)M --中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线2y x b =+上存在线段AB “环绕点”M 、N ，且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点(2,0)的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30︒得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的“环绕点”，直接写出t 的取值范围．例4.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由ABC ADE ABE ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形得：22111()2222a b ab c +=⨯+，化简得：222a b c +=．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x 的方程22x ax b +=的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，||ACb =，再在斜边AB 上截取2aBD =，则AD 的长就是该方程的一个正根（如实例二图）． 请根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）①如果,αβ都为锐角，且11tan ,tan 23αβ==，结合条件作出图1，则由图1可得αβ+= 。

（2）②如果,αβ都为锐角，且3tan 4,tan 5αβ==，则可在图2的正方形网络中，利用已作出的锐角α，画出=MON αβ∠-，由此可得αβ-= 。

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．2（育才2020级初三下中考模拟5月份）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．3（育才2020级初三下中考模拟二）先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；（2）已知x＝2+，求的值．4（育才2020级初三下中考模拟三））阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）解：原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）……＝例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）根据材料解决下列问题：（1）计算：；（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：．5（育才2019级初三下中考模拟一）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决间题：（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：+；（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值6（育才2020级初三下中考模拟二练习）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a、b、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：材料1：数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、1661、134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”．材料2：如果一个三位数abc ，满足9=++c b a ，我们就称这个三位数为“长久数”．（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于k ，k 是一个完全平方数且k 为奇数，求这个三位数（请写出必要的推理过程）．9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m 都可以表示为：q p m +=2（p 、q 是正整数），在m 的所有这种表示中，如果q p -最小时，规定：()pq m F =．例如：21可以表示为：54123172201212222+=+=+=+=，因为54123172201->->->-，所以()4521=F ．（1）求()33F 的值；（2）如果一个正整数n 可以表示为t t -2（其中2≥t ，且是正整数），那么称n 是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n ，都有()1=n F ；（3）一个三位自然数k ，c b a k ++=10100（其中90,90,91≤≤≤≤≤≤c b a ，且c a ≤，c b a ,,为整数，）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k 与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k 中()k F 的最小值．10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如abcde 的五位自然数（其中a 表示该数的万位上的数字，b 表示该数的千位上的数字，c 表示该数的百位上的数字，d 表示该数的十位上的数字，e 表示该数的个位上的数字，且0,0a b ≠≠），若有,a e b d ==且c a b =+，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693-=，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。

重庆中考数学——阅读理解专题1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如： 818⨯=，∴1|8； 155⨯-=-，∴5|5--； 5210⨯=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ；（2）若7|21k +，且k 为整数，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-53134k k ，求k 的值.解. （1）n 的值为：1，2，3，6 ………………4分 （2）解不等式组得：151≤≤k712+k ，∴存在正整数n ，使n k 712=+ 217-=∴n k 152171≤-≤∴n 73173≤≤∴n 4,3,2,1=∴n 满足；时，当,31==k n 不满足；时，当,2132==k n满足；时，当,103==k n 不满足；时，当,2274==k n综上所述：k 的值为3或10. ………………10分2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n ba=，即bn a =。

例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a=3，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。

例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。

请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

解：（1）设一个四位数的末三位数为B ，末三位数以前的数为A 则这个四位数为：1000A+B 由题：A-B=13n （n 为整数） ∴A=13n+B从而1000A+B=1000（13n+B ）+B =13000n+1001B =13（1000n+77B ） ∴这个四位数能被13整除 ∴任意一个四位数都满足上述规律（2）设任意一个6位摆动数的十位数字为a ，个位数字为b ，所以这个6位摆动数的末三位数为：b a b ++10100 末三位数以前的数为：a b a ++10100)77(139191)10100(10100b a b a b a b a b a -=-=++-++∴这个6位摆动数的末三位数以前的数与末三位数之差能被13整除 ∴任意一个6位摆动数能被13整除3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．．解：（1）最小的两位“快乐数”10， ……………………1分 19是快乐数． ……………………2分 证明：由题意只需证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1．因为•••→→→→→→→→→→→→3761658193012589583716437出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4． ……………………5分（2）设三位“快乐数”为abc ，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以10010222或者=++c b a ，又因为0≠a c b a 为整数，且、、，所以当10222=++c b a 时，因为10031222=++（1）当时1=a ，03或=b ，,30或=c 三位“快乐数”为130，103 （2）当时2=a ，无解、c b ，（3）当时3=a ，01或=b ，,10或=c 三位“快乐数”为310，301同理当100222=++c b a 时，因为100086222=++， 所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八个. ……………………8分又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件． ……………………10分5．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a ，b ，c （a ＜b ＜c ） 若a 2+b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”； 若a 2+b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”； 若a 2+b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。

2022届全国中考数学专项（新定义与阅读理解创新型问题）真题汇编一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S △ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0请你通过计算，补全表格：a＝ ；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6（0，0） （3，m）（1，2） （4，8）（2，8） （5，14）（﹣1，2） （2，8）（﹣2，8） （1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧2cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg 的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O 右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为xkg ，OB 的长为ycm ．写出y 关于x 的函数解析式；若0＜y ＜48，求x 的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……y/cm …… ……22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ；②min|﹣，﹣4|＝ ．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．参考答案一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．0【要点分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【答案解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【要点分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【答案解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；∴当x ＝7或8时，w 取最大值，最大值为7.6，答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．。

数字为载体的阅读理解题一．解答题（共40小题）1．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2．（2018春•沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n=1526，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以F（1526）=7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k=，当F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k的最大值．3．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．4．（2018•重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．5．（2017•沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．6．（2017秋•渝中区月考）将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c ﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（215）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（215）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．7．（2018•长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．8．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．9．（2018春•沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）=．例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）求F（18）﹣F（16）；（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值．10．（2017春•巫溪县校级月考）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．11．（2018春•九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y ≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．12．（2016秋•沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t两加数之差的绝对值最小，称s+r为m 的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q 为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．13．（2017春•涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．14．（2018春•北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z=2x．（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．15．（2017•江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q （p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=．（1）求F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．16．（2017春•渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．17．对于一个三位正整数m各数位上的数字重新排序后得到新数（a≥b且a，b，c均不为零且可以与m相同），当所有重新排列中最小时，则称为m的“倍约数”，并规定F（m）=c2﹣（a+b）2，其中[a，b]表示a，b 的最小公倍数，（a，c）表示a，c的最大公约数，如：m=324时，重新排列432、423重，因为==6，==4，且4＜6，所以423是m=324的“倍约数”，此时F（m）=32﹣（4+2）2=﹣27，若m=522，重新排列522，225，因为==10，==2，且2＜10，所以225是m=522的“倍约数”，此时F（m）=52﹣（2+2）2=9．根据以上阅读材料，解决下列问题．（1）若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：F（m）是一个完全平方数．（2）已知三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且m﹣n=p（p为质数），当m最大时，求F（m）的值．18．（2018春•汉阳区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．19．（2017•沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753﹣357=396．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．20．（2017秋•埇桥区月考）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）=22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s=100a+35，t=160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）=22时，求a+b的值．21．（2018春•沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．22．（2018•重庆模拟）根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．23．（2016秋•渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．24．（2018秋•沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9（1）计算F（5335）=；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b，xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K （s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．25．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．26．（2017•沙坪坝区校级模拟）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．27．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′=，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）=x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|=2，|1+21﹣2|=20，|7+6﹣1|=12，2＜12＜20，所以172是172的“梦想数”，此时，P（127）=12+3×72﹣22=144．（1）求512的“梦想数”及P（512）的值；（2）设三位自然数S=交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′=4887，且P（s）能被7整除，求s的值．28．（2018•重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．29．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y 均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2017春•开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题．如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”．如2112，5225，7667，…等都是“四位友谊数”．如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”，如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110．（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由．（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b ＜a）．若这个“四位友谊数”与它的姊妹数的差能被486整除，求这个四位友谊数．31．（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．32．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．33．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．34．（2018•沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m 十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m 中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．35．（2018春•渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F （23，15）=308．（1）计算：F （13，26）；（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F （a，18）+F（b，26）=32761时，求m+n的值．36．阅读材料：若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m 的值．37．（2017秋•南岸区校级期中）对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）=；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．38．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字。

重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 4的相反数是（ ） A.14B. 14−C. 4D. 4−【答案】D 【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：4的相反数是4−， 故选：D ．【点睛】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可. 【详解】解：从正面看到视图是：，故选：A .【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键. 3. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ，163∠=°，则2∠度数为( )．的的A. 27°B. 53°C. 63°D. 117°【答案】C 【解析】【分析】求2∠的度数，根据平行线的性质求解即可． 【详解】�a b ， �1263∠=∠=°， 故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质． 4. 如图，已知ABC EDC ∽，:2:3AC EC =，若AB 的长度为6，则DE 的长度为（ ）A. 4B. 9C. 12D. 13.5【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵ABC EDC ∽， ∴::AC EC AB DE =， ∵:2:3AC EC =，6AB =， ∴2:36:DE =， ∴9DE =， 故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 5. 反比例函数6y x=的图象一定经过的点是（ ） A. ()3,2− B. ()2,3−C. ()2,4−−D. ()2,3【答案】D【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k 即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵()()326,236,248,236−×=−×−=−−×−=×=， ∴点()2,3在反比例函数6y x=的图象上， 故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）A. 14B. 20C. 23D. 26【答案】B 【解析】【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=×−； 第②个图案中有5个圆圈，5321=×−； 第③个图案中有8个圆圈，8331=×−； 第④个图案中有11个圆圈，11341=×−； …，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120×−=； 故选：B .【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n −是解题的关键.7. −的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间【答案】A【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．1=−，253036<<，<<56<<，415∴<−<，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．8. 如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于点C，连接AC，若50ACD∠=°，则BAC∠的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得90OCD∠=°，从而可得40OCA∠=°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC，直线CD与O相切，OC CD ∴⊥，90OCD ∴∠=°，50ACD ∠=° ，40OCA ∴∠=°，OA OC = ，40BAC OCA ∴∠=∠=°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】D 【解析】【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB BC BE ==，90ABC ∠=°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得45BFE ∠=°，再证明ABF EBF ≌，求得90AFC ∠=°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度． 【详解】解：如图，连接AF ，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=°，AC=，BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=°−∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠−∠=∠−°， BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠−°，45BFE BEC EBF ∴∠=∠−∠=°，在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =∠=∠ =， ()SAS BAF BEF ∴△≌△，45BFE BFA ∴∠=∠=°，90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=°，O 为对角线AC 的中点，12OF AC ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得45BFE ∠=°是解题的关键．10. 在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n −−−−=−−+−，x y z m n x y z m n −−−−=−−−+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵x y z m n >>>>， ∴x y z m n x y z m n −−−−=−−−−，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等， 故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0， 故②正确；∵在多项式x y z m n −−−−（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下： ∴x y z m n x y z m n −−−−=−−−−，x y z m n x y z m n −−−−=−+−−，x y z m n x y z m n x y z m n −−−−=−−−−=−−+−， x y z m n x y z m n x y z m n −−−−=−−−−=−−−+， x y z m n x y z m n −−−−=−+−+，共有5种不同运算结果， 故③错误； 故选C ．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的撗线上．11. 计算：05(2−+=________． 【答案】6 【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．【详解】解：05(2516−+−=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】14【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 清 风 朗 月 清 清清 清风 清朗 清月 风 风清 风风 风朗 风月 朗 朗清 朗风 朗朗 朗月 月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 13. 若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为________． 【答案】800°##800度 【解析】【分析】根据多边形的内角和公式()1802n °−即可得． 【详解】解：�七边形的内角中有一个角为100°，�其余六个内角之和为()18072100800°×−−°=°， 故答案为：800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．14. 如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长度为________．【答案】4 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线， ∴AD BC ⊥，12BD BC =， 在Rt △ABD 中，5AB =，132BD BC ==，∴4AD ==，故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 15. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程________．【答案】2301(1)500x += 【解析】【分析】根据变化前数量2(1)x ×+=变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．∴第二个月新建了301(1)x +个充电桩， ∴第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，的故答案为2301(1)500x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x ，则有(1)n a x b +=，其中a 表示变化前数量，b 表示变化后数量，n 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．16. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）【答案】4π− 【解析】【分析】利用矩形的性质求得2,2AB CD BE CE ====，进而可得45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=°，然后根据()2ABE BEM S S S =− 阴影扇形解答即可． 【详解】解：�四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，∴12,22ABCD BE CE BC =====，90ABC DCB ∠=∠=°， ∴45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=°， ∴()2145212=22222423602ABEBEM S S S πππ ×=−×××−=×−=−阴影扇形； 故答案为：4π−．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．17. 若关于x 的不等式组213241x x x a x + >++<− 的解集为<2x −，且关于y 的分式方程22211a y y y +++=−−的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和为________． 【答案】13 【解析】【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得5a ≤，再解分式方程可得2a >−且1a ≠，从而可得25a −<≤且1a ≠，然后将所有满足条件的整数a 的值相加即可得．【详解】解：213241x x x a x + >+ +<− ①②， 解不等式①得：<2x −， 解不等式②得：13a x +<−， ∵关于x 的不等式组213241x x x a x + >+ +<− 的解集为<2x −， 123a +∴−≥−， 解得5a ≤， 方程22211a y y y+++=−−可化为()2221a y y +−−=−， 解得23a y +=， 关于y 的分式方程22211a y y y+++=−−的解为正数， 203a +∴>且2103a +−≠， 解得2a >−且1a ≠，52a ∴−<≤且1a ≠，则所有满足条件的整数a 的值之和为10234513−+++++=，故答案为：13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 18. 对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，�716−=，312−=，�7311是“天真数”；四位数8421，�816−≠，�8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()()3P M a b c d =+++，()5Q M a =−，若()()P M Q M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为________．【答案】 �. 6200 �. 9313【解析】【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到()8c d a b +=+−，进而()()()485P M M a Q b a +−−=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，再根据()()P M Q M 能被10整除求得3b =，进而可求解．【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d −=，2b c −=，69a ≤≤，29b ≤≤，则()8c d a b +=+−，∴()()()348P M a b c d a b =+++=+−， ∴()()()485P M M a Q b a +−−=， 若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =， ∴()()()498795b P Q b M M =+−=+−， ∵()()P M Q M 能被10整除， ∴3b =，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()()263x x x ++−； （2）2293n m n m m − +÷． 【答案】（1）229x +（2）13m n− 【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项；（2）根据分式混合运算的法则解答即可．【小问1详解】解：()()263x x x ++− 22669x x x x =++−+229x +；【小问2详解】 解：2293n m n m m − +÷()()333m n m m m n m n +⋅+− 13m n=−． 【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键．20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ． 求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠= ① ． ∵EF 垂直平分AC ，∴ ② ．又EOC ∠=___________③ ．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠． ∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21. 某洗车公司安装了A ，B 两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A ，B 两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级，不满意70x <，比较满意7080x ≤<，满意8090x ≤<，非常满意90x ≥），下面给出了部分信息．抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取对B 款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A ，B 款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比A88 m 96 45% B 88 87 n40% 根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a _______，m =_______，n =_______；（2）5月份，有600名消费者对A 款自动洗车设备进行评分，估计其中对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）15，88，98（2）90 （3）A 款，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得a ，再根据中位数和众数的定义求得m ，n ；（2）利用样本估计总体即可；（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．【小问1详解】解： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”的有6份，∴“满意”所占百分比为：6100%30%20×=， 的∴“比较满意”所占百分比为：130%45%10%15%−−−=，15a ∴=，抽取的对A 款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，“不满意”和“满意”的评分有()2010%15%5×+=（份），∴第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89， ∴8789882m +==， 抽取的对B 款设备的评分数据中出现次数最多的是98，98n ∴=，故答案为：15，88，98；【小问2详解】解：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为：60015%90×=（人）， 答：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．【小问3详解】解：A 款自动洗车设备更受欢迎，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．22. 如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =−； （2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=°，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =−；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t −=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．23. 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒503亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩（2）100亩【解析】【分析】（1）设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x −亩，根据甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得；（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y −亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，根据两区喷洒的面积相同建立方程，解方程即可得．【小问1详解】解：设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x −亩，由题意得：80%10000x x =−，解得50000x =，则10000500001000040000x −=−=，答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．【小问2详解】解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y−亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次， 由题意得：5031.2ay a y=− ，即5031.2y y − ， 解得100y =，答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．24. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A ，B 养殖场捕捞海产品，经测量，A 在灯塔C 的南偏西60°方向，B 在灯塔C 的南偏东45°方向，且在A 的正东方向，3600AC =米．（1）求B 养殖场与灯塔C 的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B 处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B 1.414≈ 1.732≈）【答案】（1）2545米（2）能，说明过程见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CD AB ⊥于点D ，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得118002BD CD AC ===米，再解直角三角形即可得； （2）先解直角三角形求出AD 的长，从而可得AB 的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【小问1详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：60,45ACD BCD ∠=°∠=°， 30,45A B BCD ∴∠=°∠=∠=°，118002BD CD AC ∴===米， 2545sin 45CD BC ∴=≈°米， 答：B 养殖场与灯塔C 的距离为2545米．【小问2详解】解：sin 60AD AC =⋅°=()1800AB AD BD ∴=+=+米，则甲组到达B 处所需时间为()180060038.196+÷=≈（分钟）9<分钟， 所以甲组能在9分钟内到达B 处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】（1）211344y x x =+− （2）PD 取得最大值为45，52,2P −−（3）Q 点的坐标为9,12 −或9,52 或97,24． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t +− ，则3,34Q t t −− ，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出219494216y x =−− ，对称轴为直线92x =，点52,2P −− 向右平移5个单位得到53,2E−，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解． 【小问1详解】解：将点()3,0B ，()0,3C −．代入214y x bx c =++得， 2133043b c c ×++= =− 解得：143b c = =− ，�抛物线解析式为：211344y x x =+−， 【小问2详解】 �211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ， 当0y =时，2113044x x +−= 解得：124,3x x =−=， �()4,0A −,�()0,3C −．设直线AC 的解析式为3y kx =−， ∴430k −−= 解得：34k =− ∴直线AC 的解析式为334y x =−−， 如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t +− ，则3,34Q t t −− ， ∴223111334444PQ t t t t t =−−−+−=−−， �AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=°， ∴OAC QPD ∠=∠， ∵4,3OA OC ==， ∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ==−−=−−=−++， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=×−+×−−=−， ∴52,2P−−； 【小问3详解】�抛物线211344y x x =+−211494216x =+−将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x =−− ，对称轴为直线92x =， 点52,2P−− 向右平移5个单位得到53,2E −∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y =×−= ， ∴()0,2F , ∴22251173224EF =++= ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m， ∴22295322QE m =−++ ，()222922QF m =+−， 当QF EF =时，()22922m +− =1174， 解得：1m =−或5m =， 当QE QF =时，2295322m −++=()22922m +− ， 解得：74m = 综上所述，Q 点的坐标为9,12 − 或9,52 或97,24．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26. 如图，在等边ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E 线段AD 上一动点（不与A ，D 重合），连接BE ，CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，连接AF ．（1）如图1，求证：CBE CAF ∠=∠；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EF ，EF 与DG 所在直线交于点H ，求证：EH FH =；（3）如图3，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EG ，将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，连接PQ ，QF ．若4AB =，直接写出PQ QF +的最小值．【答案】（1）见解析 （2）见解析（32【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出CE CF =，60ECF ∠=°，进而证明()SAS BCE ACF ≌△△，即可得为证；（2）过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，证明四边形四边形EDFK 是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，根据折叠的性质可得30PAG EAG ∠=∠=°，30QDG EDG ∠=∠=°，进而得出ADR 是等边三角形，由（2）可得Rt Rt CED CFG ≌，得出四边形GDQF 是平行四边形，则122QF DC AC ===，进而得出3602120PGQ AGD ∠=°−∠=°，则PQ=，当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，即可求解． 【小问1详解】证明：�ABC 为等边三角形，�60ACB ∠=°，AC BC =，�将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，∴CE CF =，60ECF ∠=°∴ACB ECF ∠=∠∴ACB ACE ECF ACE −=−∠∠∠∠即BCE ACF ∠=∠在BCE 和ACF △中EC FC BCE ACF BC AC = ∠=∠ =， ∴()SAS BCE ACF ≌△△，∴CBE CAF ∠=∠；【小问2详解】证明：如图所示，过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，�ABC 是等边三角形，�AB AC BC ==，�AD BC ⊥∴BD CD =∴AD 垂直平分BC ，∴EB EC =又∵BCE ACF ≌，∴,AF BECF CE ==， ∴AF CF =,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB BC =∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC BF ⊥，12AGCG AC == ∴90AGF ∠=° 又∵12DG AC CG ==，60ACD ∠=° ∴DCG △是等边三角形，∴60CGD CDG ∠=∠=°∴60AGH DGC ∠=∠=°∴906030KGF AGF AGH ∠=∠−∠=°−°=°，又∵906030ADK ADC GDC ∠=∠−∠=°−°=°，KF AD ∥∴30HKF ADK ∠=∠=°∴30FKG KGF ∠=∠=°，∴FG FK =在Rt CED 与Rt CGF △中，CF CE CD CG = =∴Rt Rt CED CFG ≌∴GF ED =∴ED FK =∴四边形EDFK 是平行四边形，∴EH HF =；【小问3详解】解：依题意，如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，∴30EDG ∠=°�将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，∴30PAG EAG ∠=∠=°，30QDG EDG ∠=∠=° ∴60PAE QDE ∠=∠=°， ∴ADR 是等边三角形，∴906030QDCADC ADQ ∠=∠−∠=°−°=° 由（2）可得Rt Rt CED CFG ≌∴DE GF =，∵DE DQ =，∴GF DQ =，∵30GBC QDC ∠=∠=°， ∴GF DQ ∥∴四边形GDQF 是平行四边形， ∴122QF DG AC === 由（2）可知G 是AC 的中点，则GA GD =∴30GAD GDA ∠=∠=°∴120AGD ∠=°∵折叠，120AGP DGQ AGE DGE AGD ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，∴3602120PGQ AGD ∠=°−∠=°， 又PGGE GQ ==，∴PQ =，∴当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，此时如图所示，∴11122GQ GC DC ===，∴PQ =，∴2PQ QF +．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

2023年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）4的相反数是（ ）A．B．C．﹣4D．42．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）A．B．C．D．3．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为（ ）A．27°B．53°C．63°D．117°4．（4分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）A．4B．9C．12D．13.55．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（ ）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣4）D．（2，3）6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）A．14B．20C．23D．267．（4分）估计×（﹣）的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°9．（4分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE ，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF 的长度为（ ）A．2B．C．1D．10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11．（4分）计算：|﹣5|+（2﹣）0＝ ．12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．13．（4分）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD 的长度为 ．15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．18．（4分）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（8分）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；（2）（3+）÷．20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O．（只保留作图痕迹）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB．∴∠ECO＝ ．∵EF垂直平分AC，∴ ．又∠EOC＝ ，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：过平行四边形对角线中点的直线 ．21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．22．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？24．（10分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）2）25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．26．（10分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．2023年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）4的相反数是（ ）A．B．C．﹣4D．4【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：4的相反数是﹣4．故选：C．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得选项A的图形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．3．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为（ ）A．27°B．53°C．63°D．117°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2，∵∠1＝63°，∴∠2＝63°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（4分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）A．4B．9C．12D．13.5【分析】根据相似三角形的性质联立方程即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．∴，∴当AB＝6时，DE＝9．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．5．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过的点是（ ）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣4）D．（2，3）【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：反比例函数y＝中k＝6，A、∵（﹣3）×2＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×（﹣4）＝8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、∵2×3＝6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）A．14B．20C．23D．26【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，...，则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，故选：B．【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．7．（4分）估计×（﹣）的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．【解答】解：原式＝﹣1．∵5＜＜6．∴4＜﹣1＜5．故选：A．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】连接OC ，根据切线的性质得到∠OCD ＝90°，求得∠ACO ＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠ACO ＝40°．【解答】解：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCD ＝90°，∵∠ACD ＝50°，∴∠ACO ＝90°﹣50°＝40°，∵OC ＝OA ，∴∠BAC ＝∠ACO ＝40°，故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（4分）如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE ＝BA ，连接CE 并延长，与∠ABE 的平分线交于点F ，连接OF ，若AB ＝2，则OF 的长度为（ ）A ．2B ．C ．1D ．【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB ＝BC ＝BE ，∠ABC ＝90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE ＝45°，再证明△ABF ≌△EBF ，求得∠AFC ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF 的长度．【解答】解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC＝AB＝2，∴∠BEC＝∠BCE，∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝∠BEC﹣45°，∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，在△BAF与△BEF中，，∴△BAF≌△BEF（SAS），∴∠BFE＝∠BFA＝45°，∴∠AFC＝∠BAF+∠BFE＝90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF＝AC＝，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE＝45°是解题的关键．10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z ﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11．（4分）计算：|﹣5|+（2﹣）0＝　6　．【分析】由|﹣5|＝5，（2﹣）0＝1【解答】解：|﹣5|+（2﹣）0＝5+1＝6．故答案为：6．【点评】本题考查实数的运算．解题的关键是去绝对值注意符号；掌握任意非零实数的零次幂都等于1．12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．【解答】解：树状图如图所示，由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．13．（4分）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为　800°　．【分析】利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，∵该七边形的一个内角为100°，∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，故答案为：800°．【点评】本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD 的长度为　4　．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程　301（1+x）2＝500　．【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．故答案为：301（1+x）2＝500．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为　4﹣π　（结果保留π）．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴AB＝2，BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为﹣2×＝4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为　13　．【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案．【解答】解：解不等式组，得：，∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案为：13．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键．18．（4分）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为　6200　；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为　9313　．【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的的自然数0时，百位数是2；则最小的“天真数”为6200．故答案为：6200．一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；Q（M）＝a﹣5.＝论能被10整除当a取最大值9时，即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．故答案为：9313．【点评】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（8分）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；（2）（3+）÷．【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）x（x+6）+（x﹣3）2＝x2+6x+x2﹣6x+9＝2x2+9；（2）＝＝＝．【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O．（只保留作图痕迹）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB．∴∠ECO＝　∠FAO　．∵EF垂直平分AC，∴　OA＝OC　．又∠EOC＝　∠FOA　，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：过平行四边形对角线中点的直线　被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分　．【分析】根据要求画出图形，证明△COE≌△AOF（ASA），可得结论．【解答】解：图形如图所示：理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO，∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：∠FAO，OA＝OC，∠FOA，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x ≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝　15　，m＝　88　，n＝　98　；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得m的值，根据众数的定义可得n的值；（2）用600乘A款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可；（3）通过比较A，B款设备的评分统计表的数据解答即可．【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣＝15%，即a＝15；把A款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数m＝＝88；在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数n＝98．故答案为：15；88；98；（2）600×15%＝90（名），答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高，所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．22．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？【分析】（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x+10000）亩，根据“甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于x的。

2021重庆中考数学专题复习阅读材料题1.阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如：{3,2}，{−2,0，1，−1}，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素.如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得−2a+3也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合.例如：集合{−2,9，7}，因为−2×(−2)+3=7，7恰好是这个集合的元素，所以{−2,9，7}是自闭集合.再如：集合{−1,3}，因为−2×(−1)+3=5，而5不是这个集合的元素，且−2×3+3=−3，而−3也不是这个集合的元素，所以{−1,3}不是自闭集合．}______ 自闭集合；(选填“是”或“不是”)(1)判断：集合{2,4，−12(2)若集合{3,x}和集合{−y}都是自闭集合，求x+y的值．2.对于一列互不相同的整数：1，2，3，4，5，6，7，8，9.我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出取走的这两个数的和或者差，把求得的和或者差连同余下的整数形成新的一列数.重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做“终止数”．(1)判断：6______ 这一列数的“终止数”；23______ 这一列数的“终止数”.(括号里填“是”或“不是”)(2)对这一列数进行多次重复操作，会得到不同的“终止数”，其中最大的“终止数”是______ ，这一列数一共能产生______ 个不同的“终止数”．(3)相同规则下，有这么一列互不相同的整数：2，11，3，7，a，b，c，13(a>b>c>0)，如果这一列数的“终止数”中最大的一个为54，试求出abc的最大3.一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S(n)，如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S(123)=213+321+132=666，是一个“称心数”．(1)计算：S(432)，S(617)，并判断是否为“称心数”；(2)若“相异数”n=100+10p+q(其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9)，且S(n)为最大的三位“称心数”，求n的值．4.若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“奇异数”.例如，在自然数132中，3=1+2，则132是“奇异数”；在自然数462中，6=4+2，则462是“奇异数”．(1)请你写出最大的“奇异数”，并证明：任意一个“奇异数”一定能被11整除．(2)若有“奇异数”能同时被3和7整除，求出这样的“奇异数”．5. 材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除．材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数m =abcd −=1000a +100b +10c +d ，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”，将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m′=dcba −，记F(m)=m+m′111，例如m =2461，4+6≠2×(1+2)，所以2461不是“双倍数”，m =2685，6+8=2×(2+5)，所以2685是“双倍数”，m′=5862，F(2685)=2685+5862111=77．(1)判断2997，6483是否为“双倍数”并说明理由；(2)若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，4F(s)+F(t)是完全平方数，求t 的最大值．6. 对于一个非零整数a ，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，得到一个新数b ，称b 是a 的“荣耀数”例如：a =125，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、125，则其个位数字分别为1、8、5，则a 的“荣耀数”b 为185．(1)18的“荣耀数”为______ ，2046的“荣耀数”为______ ．(2)对于一个两位数m 和一个三位数n ，在m 的中间位插入一个一位数k ，得到一个新的三位数m′，若m′是m 的9倍，且n 是m′的“荣耀数”，求所有满足条件的n 的值．7. 一个三位正整数amb −各个数位上的数字均不为零.若amb −满足个位与百位上的数字互换位置后得到的三位数bma −能够被十位上的数字m 整除，商记为k ，我们就称此数amb −为“m 有缘牵手k 年好合数”．(1)若三位数6ma −是“m 有缘牵手213年好合数”，求m 的值；(2)若三位数5m4−是“m 有缘牵手k 年好合数”，求m 的值及对应k 的值．8. 对于正整数a ，如果存在正整数b ，c 使得a =bc ，则称b ，c 为a 的约数.比如36=4×9，所以4和9是36的约数.为了找出36的所有约数，我们可以把36继续分解，即36=2×2×3×3，进一步写成36=22×32，所以36的约数就可以表示成2α⋅3β的形式，其中α可取0、1、2，β可取0、1、2；这样我们就很快地得出36共有9(9=3×3)个约数，分别为1、3、9、2、6、18、4、12、36.以上方法我们称之为是对36进行“分解质因数”.其实不难发现，对于任意正整数m 都可以对其进行分解质因数，即m =P 1α1P 2α2…P n αn ，其中P 1，P 2，…，P n 是互不相等的质数，那么m 的所有约数n 就可表示为n =p 1β1p 2β2…p n βn (0≤β1≤α1,0≤β2≤α2,…0≤βn ≤αn 且β1，β2…，βn 都是整数)，进而不难得出m 共有(a 1+1)(a 2+1)…(a n +1)个约数.特别的，如果m =n 2k (n 是正整数，k 为自然数)，则称m 为完全平方数．(1)根据以上阅读材料，求出3000共有多少个约数？(2)请说明对任意的一个完全平方数的约数个数一定是奇数．9.阅读下列材料，回答问题：材料一：一个三位正整数M，若M的十位数字大于个位数字且M是一个正整数的完全平方数，则称M 为“中核完全平方数”.例如：三位数961，因为961=312，且6>1.所以961是“中核完全平方数”.三位数621，因为242<621<252，所以621不是“中核完全平方数”．材料二：一个三位正整数N=abc−(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9，且a、b、c为整数)，把这个三位数作变换得到6个两位数分别为：8a−，8b−，8c−，a8−，b8−，c8−，将这6个两位数加起来的和再除以11的商记作F(N).例如：三位数276，按照这种变换可以得到6个两位数分别为：82，87，86，28，78，68，=39．所以F(276)=82+87+86+28+78+6811(1)请分别判断121和921是否是“中核完全平方数”，并说明理由；(2)一个三位正整数N是一个小于500的“中核完全平方数”，求所有符合条件的F(N)的最大值．10.对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”.例如：对于三位数451，5−1=4，则451是“极差数”；对于三位数110，1−0=1，则110是“极差数”(1)求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；(2)在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数M，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N，若M−N能被12整除，求满足条件的“极差数”．11.阅读材料：对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数m规定一个运算：F(m)=x2+y2+z2.例如：m=752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F(752)=12+52+62=62．(1)根据材料内容，求F(234)−F(567)的值；(2)已知两个三位数p=a3a−，q=3b3−(a,b为整数，且2≤a≤7，2≤b≤7)，若p+q能被17整除，求F(p+q)的值．12.对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.例如：2020是纯数，因为计算2020+2021+2022时，各数位都不产生进位.任意一个正整数m都可以表示为：m=a2b(a、b均为正整数)，在m的所有表示结果中，当|a−b|最小时，规定：F(m)=2ab．例如：12=12×12=22×3，∵|1−12|>|2−3|，∴F(12)=12．(1)计算F(32)的值，并判断F(32)是否为纯数，说明理由；(2)若F(x)比最大的三位数纯数小310，求x．13. 若一个四位数的后两位数字组成的两位数是前两位数字组成的两位数的2倍，则称该数为“进步数”.如1326、2550都是进步数，对于任意自然数t ，各数位上的数字从左往右数，把所有奇数位上的数字之和与所有偶数位上的数字之和的平方差的绝对值记为F(t)．例如：F(154)=|(1+4)2−52|=0，F(3154)=|(3+5)2−(1+4)2|=39．(1)若27mn −是一个进步数，求F(27mn −)的值；(2)求证：所有的进步数都能被6整除．14. 若一个三位数m =xyz −(其中x ，y ，z 不全相等且都不为0)，现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M(m).例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M(435)=543−345=198．(1)若一个三位数t =x2y −(其中x >y >2)的差数M(t)=594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；(2)若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M(m)的最小值．15.阅读材料：材料一：对实数a，b，定义T(a,b)的含义为，当a<b时T(a,b)=a+b；当a≥b时，T(a,b)=a−b 例如：T(1,3)=1+3=4：T(2,−1)=2−(−1)=3材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+4+⋯+ 100=？据说，当其他同学忙于把100个数还项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)=101×50=5050也可以这样理解：令S=1+2+3+⋯+ 100，则S=100+99+⋯+3+2+1②①+②：2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(100+1)100个=100×101=10100，=5050．即S=100×(1+100)2根据以上材料，回答下列问题：(1)已知x+y=10，且x>y，求T(5,x)−T(5,y)的值；(2)对于正数m，有T(m2+1,−1)=3，求T(1,m+99)+T(2,m+99)+T(3,m+99)+⋯+T(199,m+99)的值．16.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法--少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数．例如：求6与9的最小公倍数．解：第一步：1，16,1 9；第二步：9，32，1：第三步：18，3，2所以，6与9的最小公倍数是18．请用以上方法解决下列问题：(1)求54与45的最小公倍数；(2)求三个数6，51，119的最小公倍数．17.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550年−1617年)，纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler,1707年−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N.比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0).理由如下：设log a M=m，log a N=n，所以M=a m，N=a n，所以MN=a m a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M+N)，又因为m+n=log a M+log a N，所以log a(MN)=log a M+log a N.解决以下问题：(1)将指数53=125转化为对数式：______．=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)．(2)仿照上面的材料，试证明：log a MN(3)拓展运用：计算log32+log318−log34=______．18.定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算．例如55263→5526+12=5538，5538→553+32=585，585→58+20=78，78÷13=6，所以55263是“一刀两断”数.3247→324+28=352，35+8=43，43÷13=3…4，所以3247不是“一刀两断”数．(1)判断5928是否为“一刀两断”数：______(填是或否)，并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；(2)对于一个“一刀两断”数m=1000a+100b+10c+d(1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,0≤d≤9,a，|，若m的千位数满足1≤a≤4，千位数字与十位数字相同，b，c，d均为正整数)，规定G(m)=|b2−ca−d且能被65整除，求出所有满足条件的四位数m中，G(m)的最大值．19.材料：对任意一个n位正整数M(n≥3)，若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个=101；712也是“12阶10级数”，数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为712−5×17=70．因为712−12×110(1)若415是“5阶k级数”，且k<300，求k的最大值；(2)若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．20.阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362−65=297=11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P=100x+10y+z(x≥0,0≤y≤9,0≤z≤9且x、y，z均为整数)如：5278=52×100+10×7+8，规定：G(P)=x2+x−z(1+x)+1．x−z(1)求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；(2)已知：S=300+10b+a，t=1000b+100a+1142(1≤a≤7,0≤b≤5，其a、b均为整数)，当s+t为“网红数”时，求G(t)的最大值．21.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a=2n+1，b= 2n2+2n，c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)(m、n为正整数，m>n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，求该直角三角形另两边的长．。

2024年重庆中考数学试题及答案(B 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++¹的顶点坐标为24,24b ac b a a æö--ç÷èø，对称轴为2b x a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数10y x =-的图象一定经过的点是（ ）A ．()1,10B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,84．如图，AB CD P ，若1125Ð=o ，则2Ð的度数为（ ）A ．35oB ．45oC ．55oD ．125o5．若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:166的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A ．20B ．21C ．23D ．268．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ^交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，连接BD ，CD ．若28D Ð=o ，则OAB Ð的度数为（ ）A ．28oB ．34oC ．56oD ．62o9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF Ð．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A ．2B C D ．12510．已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++L ，其中10,,,n n a a -L 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++=L ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．计算：023-+=________．12．甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．13．若正多边形的一个外角为45o，则这个正多边形的边数为________．14．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，36A Ð=o ，BD 平分ABC Ð交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．16．若关于x 的一元一次不等式组213,3423x x x a+ì£ïíï-<+î的解集为4x £，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________．17．如图，AB 是O e 的直径，BC 是O e 的切线，点B 为切点．连接AC 交O e 于点D ，点E 是O e 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE P 交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE Ð=Ð，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．18．一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b -=-=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）()()()312a a a a -+-+；（2）22241244x x x x -æö+¸ç÷--+èø．20．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ££，B ．8090x £<，C ．7080x £<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8687b 八年级86a90根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x ³的总共有多少人？21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ^．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ．∴ ① ，OCF OAE Ð=Ð．∵点O 是AC 的中点，∴ ② ．∴CFO AEO @△△（AAS ）．∴ ③ ．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ^，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ ．22．某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23．如图，在ABC △中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC P 交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC △的周长与APQ △的周长之比为2y ．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24．如图，A ，B ，C ，D 分别是某公园四个景点，B 在A 的正东方向，D 在A 的正北方向，且在C 的北偏西60o 方向，C 在A 的北偏东30o 方向，且在B 的北偏西15o方向，2AB =千米．（参考数据：1.41» 1.73»2.45»）（1）求BC 的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点D 出发去景点B ，甲选择的路线为：D C B --，乙选择的路线为：D A B --．请计算说明谁选择的路线较近？25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD x P 轴交抛物线于点D ，作PE BC ^于点E ，求PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；（3）将抛物线沿射线BC PD PE +取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC Ð-Ð=o ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．26．在Rt ABC △中，90ACB Ð=o ，AC BC =，过点B 作BD AC P ．（1）如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ^交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；（2）如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ^交AB 于点M ，CN 平分ACB Ð交BG 于点N ，求证：AM CN BD =；（3）若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60o得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR △沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP的最大值．参考答案一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．【11题答案】【答案】3【12题答案】【答案】13【13题答案】【答案】8【14题答案】【答案】()22001401x +=【15题答案】【答案】2【16题答案】【答案】12【17题答案】【答案】 ①. 203##263②. 83##223【18题答案】【答案】 ①. 3456 ②. 6273三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．【19题答案】【答案】（1）42a -（2）2xx +【20题答案】【答案】（1）88；87；40（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析（3）310人【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA Ð=Ð；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【22题答案】【答案】（1）A 种外墙漆每千克价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元．（2）甲每小时粉刷外墙的面积是15平方米．【23题答案】【答案】（1）()()124606063y x x y x x=<£=<£， （2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <£【24题答案】【答案】（1）2.5千米（2）甲选择路线较近【25题答案】【答案】（1）215322y x x =-- （2）PD +最大值为152；()5,3P -； （3）4N -或1æççè的的【26题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（32024年重庆中考数学试题及答案(B 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++¹的顶点坐标为24,24b ac b a a æö--ç÷èø，对称轴为2b x a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数10y x =-的图象一定经过的点是（ ）A ．()1,10B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,84．如图，AB CD P ，若1125Ð=o ，则2Ð的度数为（ ）A ．35oB ．45oC ．55oD ．125o5．若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:166的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A ．20B ．21C ．23D ．268．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ^交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，连接BD ，CD ．若28D Ð=o ，则OAB Ð的度数为（ ）A ．28oB ．34oC ．56oD ．62o9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF Ð．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A ．2B C D ．12510．已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++L ，其中10,,,n n a a -L 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++=L ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．计算：023-+=________．12．甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．13．若正多边形的一个外角为45o，则这个正多边形的边数为________．14．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，36A Ð=o ，BD 平分ABC Ð交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．16．若关于x 的一元一次不等式组213,3423x x x a+ì£ïíï-<+î的解集为4x £，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________．17．如图，AB 是O e 的直径，BC 是O e 的切线，点B 为切点．连接AC 交O e 于点D ，点E 是O e 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE P 交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE Ð=Ð，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．18．一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b -=-=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）()()()312a a a a -+-+；（2）22241244x x x x -æö+¸ç÷--+èø．20．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ££，B ．8090x £<，C ．7080x £<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8687b 八年级86a90根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x ³的总共有多少人？21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ^．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ．∴ ① ，OCF OAE Ð=Ð．∵点O 是AC 的中点，∴ ② ．∴CFO AEO @△△（AAS ）．∴ ③ ．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ^，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ ．22．某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23．如图，在ABC △中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC P 交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC △的周长与APQ △的周长之比为2y ．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24．如图，A ，B ，C ，D 分别是某公园四个景点，B 在A 的正东方向，D 在A 的正北方向，且在C 的北偏西60o 方向，C 在A 的北偏东30o 方向，且在B 的北偏西15o方向，2AB =千米．（参考数据：1.41» 1.73»2.45»）（1）求BC 的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点D 出发去景点B ，甲选择的路线为：D C B --，乙选择的路线为：D A B --．请计算说明谁选择的路线较近？25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD x P 轴交抛物线于点D ，作PE BC ^于点E ，求PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；（3）将抛物线沿射线BC PD PE +取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC Ð-Ð=o ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．26．在Rt ABC △中，90ACB Ð=o ，AC BC =，过点B 作BD AC P ．（1）如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ^交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；（2）如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ^交AB 于点M ，CN 平分ACB Ð交BG 于点N ，求证：AM CN BD =；（3）若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60o得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR △沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP的最大值．参考答案一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．【11题答案】【答案】3【12题答案】【答案】13【13题答案】【答案】8【14题答案】【答案】()22001401x +=【15题答案】【答案】2【16题答案】【答案】12【17题答案】【答案】 ①. 203##263②. 83##223【18题答案】【答案】 ①. 3456 ②. 6273三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．【19题答案】【答案】（1）42a -（2）2xx +【20题答案】【答案】（1）88；87；40（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析（3）310人【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA Ð=Ð；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【22题答案】【答案】（1）A 种外墙漆每千克价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元．（2）甲每小时粉刷外墙的面积是15平方米．【23题答案】【答案】（1）()()124606063y x x y x x=<£=<£， （2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <£【24题答案】【答案】（1）2.5千米（2）甲选择路线较近【25题答案】【答案】（1）215322y x x =-- （2）PD +最大值为152；()5,3P -； （3）4N -或1æççè的的【26题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3。

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）专练十、材料阅读（数论）1．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：238＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以238是“方加数”．（1）判断212是否是“方加数”？并说明理由；（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．【解答】解：（1）212＝112+91，∴212是“方加数”；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝312+71＝1032；当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7；∴M＝742+34＝5510；当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4；∴M＝472+67＝2276；综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．2．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；（2）自然数N＝A×B为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两数位记为q，例如：∵N＝23×37＝851，∴p＝8，q＝51；又如：∵N＝61×79＝4819，∴p＝48，q＝19．若A与B的十位数字之和能被5整除，且2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N．【解答】解：（1）∵297＝11×27，∵11和27的十位数字相差1，但个位数字1+7≠10，∴297不是“双十数”．∵875＝25×35，25和35十位数字相差1，且个位数字5+5＝10，∴875是“双十数”；（2）∵A与B的十位数字之和能被5整除，由“双十数”的定义可知：A的十位数字和B的十位数字分别为2，3或7，8，①A的十位数字和B的十位数字分别为2，3时，设B的个位数字为x，则A的个位数字为10﹣x，则A为20+10﹣x＝30﹣x，B为30+x，则N＝（30﹣x）（30+x）＝900﹣x2，∵0＜x＜10且x为整数，∴0＜x2＜100，∴800＜900﹣x2＜900，∴p＝8，q＝900﹣x2﹣800＝100﹣x2，∴2p+q＝2×8+100﹣x2＝116﹣x2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣x+，∵10﹣x为整数，∴只需为整数，∴x+10＝16，解得x＝6，∴A为30﹣6＝24，B为30+6＝36，∴N为24×36＝864；②A的十位数字和B的十位数字分别为7，8时，设B的个位数字为y，则A的个位数字为10﹣y，则A为70+10﹣y＝80﹣y，B为80+y，则N＝（80﹣y）（80+x）＝6400﹣y2，∵0＜y＜10且y为整数，∴0＜y2＜100，∴6300＜6400﹣y2＜6400，∴p＝63，q＝6400﹣y2﹣6300＝100﹣y2，∴2p+q＝2×63+100﹣y2＝226﹣y2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣y+，∵10﹣y为整数，∴只需为整数，∴y+10＝14或18，解得y＝4或8，∴A为80﹣4＝76，B为80+4＝84或A为80﹣8＝72，B为80+8＝88，∴N为76×84＝6384或72×88＝6336．综上所述，所有满足条件的自然数N为864或6384或6336．3．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）＝，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）＝不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．【解答】解：（1）∵7736满足7+3＝10，7﹣6＝1，且P（7736）＝20，F（7736）＝10，即G（7736）＝2为整数，∴7736是“整和差数”；∵5352满足5+5＝10，3﹣2＝1，但P（5352）＝12，F（5352）＝8，即G（5352）＝1.5不为整数，∴5352不是“整和差数”；（2）∵M＝2000a+1000+100b+10c+d＝1000×（2a+1）+100×b+10c+d，∴M的千位数字为（2a+1），百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，∵M是“整和差数”，∴d＝b﹣1，c＝9﹣2a，∴，①当a＝1时，不为整数；②当a＝2时，不为整数；③当a＝3时，，∴b+3＝5或10，即b＝2或7，∴M的值为7231，7736；④当a＝4时，，∴b+1＝4或8，即b＝3或7，∴M的值为9312，9716．综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．4．对于任意实数a，b，定义一种新运算，记为a⊗b，当a≤b时，a⊗b＝a+b；当a＞b 时，a⊗b＝a2﹣b2+4．（等号右边皆为通常的加法、减法和乘法）例如：对于2⊗3，因为2＜3，所以2⊗3＝2+3＝5；对于5⊗2，因为5＞2，所以5⊗2＝52﹣22+4＝25．（1）求[（﹣1）⊗4]⊗（﹣）的值；（2）若x，y为非负整数，且x2﹣y2≤30，四位数M的百位数字为x，十位数字为y，千位数字比百位数字小1，个位数字是十位数字的2倍，且（3x﹣y）⊗（3y﹣x）能被7整除，求满足条件的所有M．【解答】解：（1）根据题意：[（﹣1）⊗4]⊗（﹣）＝（﹣1+4）⊗（﹣）＝3⊗（﹣）＝32﹣（﹣）2+4＝12；（2）由题意得：个位数字为2y，千位数字为（x﹣1），∵千位数字不能为0，∴x﹣1≥0，解得x≥2，∵个位数字2y＜10，∴y＜5，分两种情况讨论：①（3x﹣y）≤（3y﹣x），解得：x≤y，∴①（3x﹣y）⊗（3y﹣x）＝3x﹣y+3y﹣x＝2（x+y），当x+y＝7时，（不合题意，舍去），符合题意；∴M的值为：2348；当x+y＝14时，x≤y＜5不合题意；②（3x﹣y）＞（3y﹣x），解得：x＞y，∴（3x﹣y）⊗（3y﹣x）＝（3x﹣y）2﹣（3y﹣x）2＝8（x2﹣y2）+4＝7（x2﹣y2）+（x2﹣y2）+4，∴x2﹣y2+4能够被7整除，而x2﹣y2≤30，∴x2﹣y2＝3，即（x+y）（x﹣y）＝3，（其余情况不合题意），∴x＝2，y＝1，∴M的值为：1212；综上，M的值为：2348或1212．5．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A 与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“等十数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“巧拆分”．例如：∵616＝28×22，28和22的十位数字相同，个位数字之和为10，∴616是“等十数”．又如：∵272＝17×16，17和16的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴272不是“等十数”．（1）判断195，624是否是“等十数”？并说明理由；（2）把一个四位“等十数”M进行“巧拆分”，即M＝A×B，A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的和记为E（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的差的绝对值记为F（M）令G（M）＝，当G（M）能被5整除时，求出所有满足条件的M．【解答】解：（1）∵195＝13×15，∵13和15十位数字相同，但个位数字3+5≠10，∴195不是“等十数”．∵624＝24×26，24和26十位数字相同，且个位数字4+6＝10，∴624是“等十数”．（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“等十数”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴E（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，F（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴（k是整数）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整数，∴m+5＝10，∴或∴当m＝5时，n＝6或4，当m＝5时，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝56×54＝3024或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝57×53＝3021，综上，满足条件的M有：3024，3021．6．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝﹣1017．（1）P（2215）＝﹣3006，P（6655）＝990．（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．【解答】解：（1）P（2215）＝2215﹣5221＝﹣3006，P（6655）＝6655﹣5665＝990．故答案为：﹣3006，990；（2）证明：设任意一个“前介数”t为，则P（t）＝1100a+10b+c﹣（1000c+110a+b）＝990a+9b﹣999c＝9（110a+b﹣111c），则P（t）一定能被9整除；（3）∵一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，∴这个“前介数”t为2226或2244或2262或2268或2286，∴P（2226）＝2226﹣6222＝﹣3996，P（2244）＝2244﹣4224＝﹣1980，P（2262）＝2262﹣2226＝36，P（2268）＝2268﹣8226＝﹣5958，P（2286）＝2286﹣6228＝﹣3942，∴满足条件的P（t）的最大值是36．7．材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“完全上升数”．例如：A＝123，满足1＜2＜3，且1+2＝3，所以123是“完全上升数”；B＝346，满足3＜4＜6．且3+4≠6，所以346不是“完全上升数”．材料二：对于一个“完全上升数”m＝100a+10b+c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c+10b+a，规定：F（m）＝．例如：m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝＝6．（1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由．（2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值．【解答】解：（1）∵1+6＝7≠8，2＜3＜5，2+3＝5，∴168不是“完全上升数”，235是“完全上升数”．（2）∵m＝100a+10b+c，m′＝100c+10b+a，∴m+m′＝101a+20b+101c．∵m是”完全上升数“，∴a+b＝c．∴m+m′＝101a+20b+101a+101b＝202a+121b．m′﹣m＝99b．∵202÷7＝28•••6，121÷7＝17•••2．∴当6a+2b能被7整除时，m+m′能被7整除．∴当a＝1，b＝4时，6a+2b＝14符合题意，m′﹣m＝99×4＝396．∴F（m）＝＝12．当a＝3，b＝5时，6a+2b＝28符合题意，m′﹣m＝99×5＝495．∴F（m）＝＝15．∴F（m）＝12或15．8．对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．【解答】解：（1）264是“时空伴随数”，175不是“时空伴随数”，理由如下：∵2＜4且2+4＝6，∴264是“时空伴随数”．∵1＜5但是1+5≠7，∴175不是“时空伴随数”．（2）∵t是“时空伴随数”，∴设t＝a×100+（a+b）×10+b，（1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，a，b均为整数）．∴3t+（a+b）＝331a+34b＝7（47a+5b）+2a﹣b能被7整除．∴2a﹣b是7的倍数，∵1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，∴﹣6≤2a﹣b≤6，∴2a﹣b＝0，∴或或，t＝132，264，396，F（132）＝32﹣22﹣12＝4，F（264）＝62﹣42﹣22＝16，F（396）＝92﹣62﹣32＝36，∵4＜16＜36，∴F（t）的最大值为36．9．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“君子数”，如34的“君子数”为364；若将一个两位正整数M 加6后得到一个新数，我们称这个新数为M的“淑女数”，如32的“淑女数”为38．（1）35的“君子数”是365，“淑女数”是41．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；（3）若一个两位正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，求B的值．【解答】解：（1）根据题意得，35的“君子数”是365，“淑女数”是41，故答案为：365，41；（2）设一个正整数A的个位数字为b，十位数字为a（0≤a≤9，0＜b≤9，且a，b为整数），则正整数A，其“君子数”为100a+60+b，它的“淑女数”为10a+b+6，∴正整数A的“君子数”与“淑女数”之差为（100a+60+b）﹣（10a+b+6）＝90a+54＝18（5a+3），∵a为整数，∴18（5a+3）能被18整除；即任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；（3）设一个正整数B的个位数字为m，十位数字为n（0≤m≤9，0＜n≤9，且m，n为整数），∴正整数B的“君子数”为100n+60+m，其各位数字之和为m+n+6，①当0≤m＜4时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为m+n+6，此时，正整数B的“淑女数”和“君子数”的各位的数字之和相等，不符合题意，②当4≤m≤9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为n+1+（m+6﹣10）＝m+n﹣3，∵正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，∴m+n﹣3＝（m+n+6），∴m+n＝6，∵4≤m≤9，0＜n≤9，∴当m＝4时，n＝2，当m＝5时，n＝1，当m＝9，n＝9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为6，正整数B的“君子数”为900+60+9，其各位数字之和为24，符合正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，∴正整数B为24或15或99．10．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，4能被2整除，675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），∴a+a+5＝2a+5，当a＝1时，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当a＝2时，2a+5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当a＝3时，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当a＝4时，2a+5＝13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．11．如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…请根据这个思路直接写出x、y的值为，或或；（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．【解答】解：（1）82121是“幸运数”，254154不是“幸运数”；理由：∵121﹣82＝39，能被13整除，∴82121是“幸运数”，∵254﹣154＝100，不能被13整除，∴254154不是“幸运数”；（2）∵1≤x≤9，0≤y≤5，∴2≤2x+y≤23，∵2x+y能被13整除，则2x+y＝13，∴y＝13﹣2x，∵0≤y≤5，∴0≤13﹣2x≤5，∴4≤x≤，∵1≤x≤9，x为整数，∴x＝4或5或6，即或或，故答案为：或或；（3）设这个四位数的千位数字为a，十位数字为b（1≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），由题意知，100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，∵99a+11b＝104a+13b﹣5a﹣2b＝13（8a+b）﹣（5a+2b），∴5a+2b能被13整除，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴5≤5a+2b≤63，∴5a+2b＝13或26或39或52，∴或或或或或，∴这个四位自然数为1144或2288或4433或5577或7722或8866，∴最大数为886，最小为1144，即满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为8866﹣1144＝7722．12．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，得＝n，即a＝bn，例如：若整数a能99整除，则一定存在整数n，使得＝n，即a＝99n将一个数从最后两位开始，两位一截所得的所有数（如果有偶数个数位，则拆出的数都是两位数：如果有奇数个数位，则拆出的数中有若干个两位数和一个一位数）的和能被99整除，那么原数一定能被99整除．例如：自然数202106，先分成20，21，06，因为20+21+6＝47，47不能被99整除，故202106不能被99整除；自然数4173543，先分成4，17，35，43，因为4+17+35+43＝99，99能被99整除，故4173543能被99整除．一个能被99整除的自然数我们称为“完美数”．（1）自然数264033能被99整除，5201314不能被99整除；（请填入“能”或者“不能”）（2）证明：满足上述规律的四位数是“完美数”；（3）若五位整数能被99整除，请求出所有符合要求的五位整数．【解答】解：（1）自然数264033，先分成26，40，33，因为26+40+33＝99，99能被99整除，故264033能被99整除；自然数5201314，先分成5，20，13，14，因为5+20+13+14＝52，52不能被99整除，故5201314不能被99整除；故答案为能，不能；（2）设满足上述规律的四位数为（0＜c≤9，0≤d≤9，0≤e≤9，0≤f≤9，且为整数），先分成+＝10c+d+10e+f，∵10c+d+10e+f能被99整除，设10c+d+10e+f＝99n（n为正整数），∴10e+f＝99n﹣（10c+d），则＝1000c+100d+10e+f＝1000c+100d+99n﹣（10c+d）＝990c+99d+99n＝99（10c+d+n），∵c，d，n为整数，∴99（10c+d+n）能被99整除，∴四位数为能被99整除，即满足上述规律的四位数是“完美数”；（3）∵五位整数能被99整除，先分成4，，，∴4++＝4+10+b+70+a＝a+b+84能被99整除，∵0≤a≤9，0≤b≤9，∴84≤a+b+84≤102，∴a+b+84＝99，∴a+b＝15，∴a＝6，b＝9或a＝7，b＝8或a＝8，b＝7或a＝9，b＝6，∴符合要求的五位整数41976或41877或41778或41679．13．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A＝2016，B＝6102，则A 和B就是一对四位回文数．现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261．它们的和为：610+102+26+261＝999，把999称为2016回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数；猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0＜y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出符合条件的所有四位正整数．【解答】解：（1）一个四位正整数的回文数作三位数的和能被111整除．例如A＝1234和B＝4321是一对四位回文数，设一个4位数为（a，b，c，d整数），则这个数的回文数为，则由题知这个回文数作三位数的和为+++＝（100d+10c+b）+（100c+10b+a）+（100b+10a+d）+（100a+10d+c）＝111（a+b+c+d），∵a，b，c，d为整数，∴a+b+c+d为整数，∴一个四位正整数的回文数作三位数的和能被111整除；（2）正整数的回文数是，则回文数作三位数的和为：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1＝100x+100y+222＝111（x+y+2）＝37×3（x+y+2），由题意得，x+y+2＝9或x+y+2＝18，则x+y＝7或x+y＝16，当x+y＝7时，∵0≤x≤9，0＜y≤9，且x，y均为整数，∴或或或或或或，∴四位正整数为1611或1512或1413或1314或1215或1116或1017，当x+y＝16时，∵0≤x≤9，0＜y≤9，且x，y均为整数，∴或或；∴四位正整数为1917或1818或1719，即满足条件的所有四位正整数为1611或1512或1413或1314或1215或1116或1017或1917或1818或1719．14．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对折数”．例如在正整数3197中，因为3+7＝1+9＝10，所以3197是“对折数”，其中k＝10，再如在正整数13457中，因为1+7＝3+5＝4+4＝8，所以13457是“对折数”，其中k＝8．（1）已知P＝200+10x+6，Q＝3000+100y+47，其中x，y为正整数，1≤x≤9，1≤y≤9，当P，Q均为“对折数”时，求x，y的值；（2）设某四位“对折数”的千位上的数字为a（1≤a≤9，a为整数），百位上的数字为b（0≤b≤9，b为整数），已知k＝6，且该四位“对折数”能被11整除，求满足条件的四位“对折数”．【解答】解：（1）∵P＝200+10x+6，其中x为正整数，1≤x≤9，∴P是三位数，百位数字为2，十位数字为x，个位数字为6，∵P为“对折数”，∴x+x＝2+6，∴x＝4，∵Q＝3000+100y+47，其中y为正整数，1≤y≤9，∴Q是四位数，千位数字为3，百位数字为y，十位数字为4，个位数字为7，∵Q为“对折数”，∴y+4＝3+7，∴y＝6；（2）根据题意得，四位数的十位数字为6﹣b，个位数字为6﹣a，∵1≤a≤9，0≤b≤9，a，b为整数，∴0≤6﹣a＜6，0≤6﹣b≤6，∴0＜a≤6，0≤b≤6，a，b为整数，∴四位数为1000a+100b+10（6﹣b）+6﹣a＝999a+90b+66＝11（90a+8b+6）+（9a+2b），∵四位数能被11整数，∴9a+2b能被11整除，∵1≤a≤6，0≤b≤6，a，b为整数，∴9≤9a+2b≤66，∴9a+2b＝11或22或33或44或55或66，∴①当9a+2b＝11时，∴b＝，∴a＝1，b＝1，此时，四位数为1155，②当9a+2b＝22时，∴b＝11﹣a，∴a＝2，b＝2，此时，四位数为2244，③当9a+2b＝33时，∴b＝，∴a＝3，b＝3，此时，四位数为3333，④当9a+2b＝44时，∴b＝22﹣a，∴a＝4，b＝4，此时，四位数为4422，⑤当9a+2b＝55时，∴b＝，∴a＝5，b＝5，此时，四位数为5511，⑥当9a+2b＝66时，∴b＝33﹣a，∴a＝6，b＝6，此时，四位数为6600，即满足条件的四位“对折数”为1155或2244或3333或4422或5511或6600．15．阅读下列材料，解决问题：三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”．（1）整数789所有的“衍生数”为78，79，87，89，97，98；（2）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为a，十位数字为1，个位数字为4．用含a的代数式表示这个三位数为100a+14；（3）请从A，B两题中任选一题作答．A．用含a的代数式表示（2）中那个三位数的所有衍生数”，并说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．B．一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．【解答】解：（1）整数789所有的“衍生数”为78，79，87，89，97，98．故答案为：78，79，87，89，97，98；（2）用含a的代数式表示这个三位数为100a+14．故答案为：100a+14；（3）A．（2）中三位数的所有“衍生数”为：10a+1，10a+4，10+a，14，40+a，41，它的所有“衍生数”的和为：10a+1+10a+4+10+a+14+40+a+41＝22a+110＝22（a+5），∵a为正整数，∴a+5也是正整数，∴它的所有“衍生数”的和能被22整除．B．设这个三位正整数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且a，b，c为小于10的均不为零且互不相等的整数，它的所有“衍生数”的和为：10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b＝22a+22b+22c＝22（a+b+c），∵a，b，c为正整数，∴a+b+c也是正整数，∴它的所有“衍生数”的和能被22整除．。

2023年重庆长寿中考数学真题及答案(A 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8C.18D.18-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x=-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x=-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将代入反比例函数4y x=-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计2810的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C .9和10之间D.10和11之间【答案】B 【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．28101620=45=+∵25 2.5<<，∴455<<，∴8459<+<，故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B 【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C 【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒- D.90α︒-【答案】A 【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10.在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：∵x y z m n >>>>，∴x y z m n x y z m n ----=----，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下：∴x y z m n x y z m n ----=----，x y z m n x y z m n ----=-+--，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+，x y z m n x y z m n ----=-+-+，共有5种不同运算结果，故③错误；故选C．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为_____．【答案】36°【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B︒︒∠==，∴180B1801083622BAC︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．【答案】1 9【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为1 9，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．【答案】3【解析】【分析】证明AFC BEA ≌△△，得到,BE AF CF AE ==，即可得解．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD =，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围6a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12a y -=，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．【答案】①.4312②.8165【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-21a =-；【小问2详解】原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a___________，b=___________，m=___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a=；由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.5 2+=B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10% 10⨯=即10m=故答案为：72，70.5，10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解方程可得x 的值，然后代入170x -，计算求解，进而可得结果；（2）设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，计算求出满足要求的解即可．【小问1详解】解：设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解得，80x =，∴17090x -=，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；【小问2详解】解：设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，解得90a =，经检验，90a =是分式方程的解，∴购买牛肉面90份．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．23.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．24.为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①，理由见解析【解析】【分析】（1）过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据题意可得四边形BCDF 是矩形，进而得出10DF BC ==，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【小问1详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意可得：四边形BCDF 是矩形，∴10DF BC ==千米，∵点D 在点A 的北偏东45︒方向，∴45DAF DAN Ð=Ð=°，∴10214sin 45DF AD ==»°千米，答：AD 的长度约为14千米；【小问2详解】由题意可得：10BC =，14CD =，∴路线①的路程为：102141024238AD DC BC ++=+=+（千米），∵10DF BC ==，45DAF DAN Ð=Ð=°，90DFA ∠=︒，∴DAF △为等腰直角三角形，∴10AF DF ==，∴101424AB AF BF AF DC =+=+=+=，由题意可得60EBS Ð=°，∴60E ∠=︒，∴tan 60AB AE ==°，sin 60AB BE ==°，所以路线②的路程为：42AE BE +==»千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）213222y x x =-++（2）PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P（3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭或137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++计算即可；（2）延长PE 交x 轴于F ，可得DEP BCO ∠=∠，进而得到DPE OBC ，DPE PE OBC BC=周长周长 ，求出PE 的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再设出M ，N 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．【小问1详解】把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得，3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为213222y x x =-++；【小问2详解】延长PE 交x 轴于F，∵过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，∴DEP BCO ∠=∠，90PDE COB ∠=∠=︒，∴DPE OBC ，∴DPE PE OBC BC=周长周长 ，∴PE DPE OBC BC =⋅周长周长 ，∴当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++，∴()4,0B ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，BC ==设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时2PE =最大，此时()2,3P∵BOC 周长为6OC OB BC ++=+，∴PDE △(651065++=，此时()2,3P ，即PDE △周长的最大值65105，此时点()2,3P ；【小问3详解】∵将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-，此抛物线对称轴为直线72x =，∴设7,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N s t ∵()2,3P ，()1,0A -∴218PA =，()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，当PA 为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分，且PM AM=∴()22981344n n +-=+，解得32n =-∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AM 与PN 互相平分，且PMPA =∴()293184n +-=，解得32n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩，解得12372s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，此时137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；同理，当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AN 和PM 互相平分，且AM PA =281184n +=，此方程无解；综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．26.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =，求线段AD 的长．（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP 的值．【答案】（1）（2）见解析（3）435【解析】【分析】（1）解Rt ABC ，求得AB ，根据AD AB BD =-即可求解；（2）延长FB 使得FH FG =，连接EH ，可得()SAS GFD HFE ≌，根据60DEC DBC ==︒∠∠，得出,,,B C D E 四点共圆，则EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，得出6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，结合已知条件得出H BEH ∠=∠，可得EB BH =，即可得证；（3）在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，根据题意得出点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP是ABN 的中位线，P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT 是矩形，得出PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，则2120QCP BCP ∠=∠=︒，在Rt NUQ 中，勾股定理求得NQ ，进而即可求解．【小问1详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴sin 32AC AB B ===，∵BD =，∴AD AB BD =-=；【小问2详解】证明：如图所示，延长FB 使得FH FG =，连接EH，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，GFD HFE ∠=∠，∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形，∴60DEC EDC ∠=∠=︒，∵60DEC DBC ==︒∠∠，∴,,,B C D E 四点共圆，∴EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠，∴H BEH ∠=∠，∴EB BH =，∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；【小问3详解】解：如图所示，。