中考体系-114.函数与圆2(最全,含答案)

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。

“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。

解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。

第六章一次函数与反比例函数考点一：1、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）2、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数3、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

4、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数5、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+考点四、正比例函数和一次函数 （3~10分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

k 的符号 b 的符号 函数图像图像特征k>0 b>0 y x图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。

b<0 yx图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增大。

K<0 b>0 y图像经过一、二、四象限，y 随x 的增大x 而减小b<0yx图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

中考数学专题之圆与函数综合题型篇（附答案）题型1.圆中点动问题（★★）1.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（★★）2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，P 是⊙O 上的动点，则⊙APB 的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°（★★★）3.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=o ．（1）求⊙AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．（★★★）4、如图所示，⊙的直径AB=4，点P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙的切线，切点为C ，连结AC.（1）若∠CPA=30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M. 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的值.题型2 圆中线动问题（★★★）1．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．（★★★★）2、已知：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为圆O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．求(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？(2)t分别为何值时，直线PQ与圆O相切、相交、相离？题型3 圆中图动问题（★★★★）1. 如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s 的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？（★★★）2、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60°的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点．（1）求直线的解析式； （2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间．1O (40) ，1O x A B ，A l x y C 2(135)O ，x D l 2O ⊙x 2O ⊙1O ⊙2O ⊙题型一： 1：【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】解：（1）⊙ 在⊙ACO 中，，OC OA⊙ ⊙ACO 是等边三角形 ⊙ ⊙AOC 60° ············································· （3分） （2）⊙ CP 与⊙O 相切，OC 是半径． ⊙ CP ⊙OC⊙ ⊙P 90°-⊙AOC 30° ⊙ PO 2CO 8 ···································· （6分） （3）如图11，（每找出一点并求出弧长得1分）⊙ 作点关于直径的对称点，连结，OM 1 ．易得，⊙ ⊙ 当点运动到时，， 此时点经过的弧长为． ⊙ 过点作⊙交⊙O 于点，连结，，易得．⊙⊙ 或 ⊙ 当点运动到时，，此时点经过的弧长为． ⊙ 过点作⊙交⊙O 于点，连结，，易得⊙ ，⊙ 或 ⊙ 当点运动到时，，此时点经过的弧长为 ． ⊙ 当点运动到时，M 与C 重合，，60OAC ∠=o======C AB 1M 1AM 1M AO CAO S S ∆∆=160AOM ∠=o¼14π460π1803AM =⨯=ooM 1M MAO CAO S S =△△M 4π31M 12M M AB 2M 2AM 2OM 2M AO CAO S S =△△112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=o¼24π82π33AM =⨯=¼24π8120π1803AM =⨯=oo M 2M MAO CAO S S =△△M 8π3C 3CM AB 3M 3AM 3OM 3M AO CAO S S =△△360BOM ∠=o¼234π16240π1803AM M =⨯=o o ¼238π162π33AM M =⨯=M 3M MAO CAO S S =△△M 16π3M C MAO CAO S S =△△图11此时点经过的弧长为 或 ．4. 分析：利用三角形的外角定理以及圆切线的性质，需要添加辅助线连接OC答案（1）连结OC ……1分由AB=4，得OC=2，在Rt OPC ∆中，030CPO ∠=，得23PC = ......3分 （2）不变 ...4分 1119045222CMP CAP MPA COP CPA ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ (7)分题型2：1.分析：利用垂径定理作CD 的垂线，通过梯形的中位线得出结论。

全国中考数学圆与相似的综合中考真题分类汇总及详细答案一、相似1．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b的值；（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【答案】（1）解：由题意得：，解得：a= ，b=（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．∵AE=2t，AF= t，∴ .又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE= AB= t= ÷2= ；ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE= ，∴t= ；当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣（4t﹣5）× （4t﹣5）= ；ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．综上所述：．【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

中考数学辅导之—反比例函数及圆相关公式反比例函数.圆周长、弧长公式及圆的面积和扇形、弓形面积.一、教学目的:1.掌握反比例函数的定义、图象和性质.2.掌握圆周长、弧长公式及圆、扇形、弓形的面积公式.并能熟练的进行公式变形、正确的计算. 二、基础知识及说明：1.函数)0(≠=k x k y 叫反比例函数（或11-⋅=⋅==x k xk x k y ）.其图象是双曲线,所以我们也叫双曲线xky =.当0>k 时,图象在一、三象限,在每个象限内，x y 随的增大而减小,当0<k ,双曲线在二、四象限, 在每个象限内，x y 随的增大而增大.2.设圆的半径是n ,则圆的周长R c π2=.若一条弧所对的圆心角是n ,半径是R,则弧长公式是180Rn l π=.(注意,求弧长有①圆心角的度数②半径的长两个条件),注意公式的变形.已知弧长求圆心角R l n π180⋅=.已知弧长求半径R=nl π180⋅.3.已知圆的半径R,则圆的面积是S=πR 2.扇形的面积是lR S R n S 213602==或π,第一个公式是利用圆心角的度数n 和半径R 求得的.第二个公式是利用扇形的弧长和半径R 求得的,要注意根据已知条件选用恰当的公式.4.弓形面积,若一个弓形小于半圆则S 弓形=S 扇形-S △；若一个弓形大于半圆,则S 弓形=S 扇形+S △. 三、练习: 1.填空题:⑴弧AB 的长是10cm,半径是10cm,则AB 所对的圆心角是____度, S 扇形AOB=____cm 2.⑵两个同心圆,若小圆的切线被大圆截取的部分为8cm,则两圆围成的环形面积是____cm 2.⑶扇形的圆心角是120°,弧长是4π,则扇形的面积是____.⑷弓形的弧所对的圆心角是120°,弓形的弦长是a ,则该弓形的面积是____. ⑸如图:两个同心圆被两条半径截得的AB 长是π8cm. CD 的长是π340AC=8cm,则S 阴影=____cm 2⑹已知扇形的半径是它内切圆的半径的3倍,则扇形的面积与内切圆的面积之比是____.⑺已知21y y y -=,x y 与1的算术平方根成正比例,x y 与2成反比例,且当211,4;1,1====y x y x 时时,则x y 与间的函数关系式是____. ⑻已知b kx y +=与反比例函数xy 2=的图象的两个交点的横坐标分别是121-和,则这个一次函数的解析式是____. ⑼反比例函数的图象经过(-3,6)点,则这个函数的解析式是____.⑽如图:已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是6cm 和2cm,⊙O 1和⊙O 2外切于P.AB 是两圆的外公切线,则S 阴影=____cm 2.⑾已知反比例函数x y 2=的图象经过点A(a ,21),已知直线l 也经过点A 与x 轴相交于点B,且S △AOB=6,则直线l 的解析式是____.⑿已知反比例函数762)3(+--=m mx m y 的图象在二、四象限,则m 的值是____.⒀如果一个扇形的半径为一个圆的半径的2倍,且扇形的面积与圆的面积相等,那么这个扇形的中心角是____度.⒁弓形的高为1cm,弦长为32,则弓形的面积是____.四、练习答案:⑴50,180π⑵π16(提示:S 环=S 大圆-S 小圆=22r R ππ-=)(22r R -π=24⨯π=16π)R r⑶π12⑷2)1239(a -π(提示:∠AOD=60° AD 2a= Ra260sin =ο R a 33 S 扇形=229360)33(120a a ππ=⋅ OD=a a ctg 63260=ο S △=21236321a a a =⋅⨯)A D BO⑸分析:S 阴影=S 大扇-S 小扇,而由S 扇形=lR 21,必须求R.但在此图形中,两扇形的半径不同,面积不同,但两个扇形的圆心角相同,利用82400180)8(340+=+=r n r n 得ππ.再利用1808r n ππ= r n 1440=和圆心角相同即rr 144082400=+,解得:12=r ∴S 大扇=ππ3400203402121=⨯⨯=⋅⋅R l , S 小扇=ππ4812821=⨯⋅ ∴S 阴影=πππ3256483400=-.此题还可记住书中P212中第11题第②小题中公式S 阴影=ππλ32568)8340(21)(21=⨯+=⋅'+D l l . ⑹此题的图设小圆半径为r,扇形的半径3r,圆⊙O '与扇形成内切 ∴O O '=2r OD=r。

2020中考数学 培优专题：二次函数与圆综合（含答案）例题1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(3,0)-，若将经过A 、C 两点的直线y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-． （1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上的一点，设三角形ABP 、三角形BPC 的面积分别为ABP S △、BPC S △，且2:3ABP BPC S S =△△:，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，Q 与两坐标轴同时相切？【答案】（1）因为y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， 所以3b =，(0,3)C ，将(3,0)A -代入3y kx =+， 得330k -+=，解得1k =．所以直线AC 为：3y x+= 因为抛物线的对称轴是直线2x =-，所以930222a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩，解得143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以抛物线的函数表达式为：243y x x =++.（2）如图，过点B 作BD AC ⊥于点D .因为:2:3ABP BPC S S =△△，所以:2:3AP PC =. 过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则PE//CO ，所以APE ACO △∽△. 所以25PE AP CO AC ==. 所以2655PE OC ==. 所以635=x +，解得95x =-. 所以点P 的坐标为96,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）存在，设点Q 的坐标为00(,)x y ①当Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±.11yxO当01x =-时，得20(1)4(1)30y =-+⨯-+=，所以1(1,0)Q -. 当01x =时，得2014138y =+⨯+=，所以2(1,8)Q ， ②当Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±， 当01y =-时，得200143x x -=++，即200440x x ++=，解得02x =-，所以3(2,1)Q -- 当01y =时，得200143x x =++，即200420x x ++=，解得02x =-±，所以4(2Q -，5(2Q -+综上所述，存在符合条件的Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1,0)Q -，2(1,8)Q ，3(2,1)Q --，4(2Q -，5(2Q -探究：设点Q 的坐标为00(,)x y .当Q 与两坐标同时轴相切时，有00y x =±.①当00y x =时，得200043x x x ++=，即200330x x ++=， 此时0<△，所以次方程无解.②当00y x =-时，得200043x x x ++=-，即200530x x ++=.解得0x =. ∴当Q的半径为0r x ===Q 与两坐标同时轴相切.例题2. 在平面直角坐标系中，抛物线经过(0,0)O 、(4,0)A、3,B ⎛ ⎝⎭三点. （1）求此抛物线的解析式；（2）以OA 的中点M 为圆心，OM 的长为半径作M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P ，过点P 作M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30︒？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）【答案】（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，11Oyx由题意，得0164093c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得0a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩.所以抛物线的解析式为2y x =. （2）存在，抛物线222)y x x ==-所以抛物线的顶点为2,⎛ ⎝⎭，作抛物线和M （如图） 设满足条件的切线l 与x 轴交于点B ，与M 相切于点C . 连接MC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D .因为2MC OM ==，30CBM ∠=︒，CM BC ⊥， 所以90BCM ∠=︒，60BMC ∠=︒，24BM CM ==. 所以2OB =，所以(2,0)B -.在Rt CDM △中，9030DCM CMD ∠=︒-∠=︒，2CM =. 所以1DM =，CD .所以C . 设切线l 的解析式为y=kx+b ，则可得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以切线BC的解析式为.由题意2y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩226x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以点P的坐标为112P ⎛- ⎝⎭、2P ⎛ ⎝⎭. 因为抛物线和M 都关于直线2x =对称，则存在切线l 关于2x =对称的直线'l 也满足条件.同样得到满足的点P 关于1P 和2P对称，则得到392P ⎛ ⎝⎭、4P ⎛- ⎝⎭. 综上所述，这样的点P 共有4个，112P ⎛- ⎝⎭、2P ⎛ ⎝⎭、392P ⎛ ⎝⎭、4P ⎛- ⎝⎭.例题3. 如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． （1）求直线BC 的解析式．（2）设点P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、r 为半径作P ⊙． ①当点P 运动到点D 时，若P ⊙与直线BC 相交，求r 的取值范围；②若r =，是否存在点P 使P ⊙与直线BC相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线2134y x x =-++中，令0y =，得21034x x =-++，解得12x =-，26x =；令0x =，得3y =；∴(2,0)A -，(6,0)B ，(0,3)C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有：603k b b +=⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：132y x =-+；（2）(2,4)D ，(2,2)E ；∴2EF DE ==，4BF =； ①过D 作DG BC ⊥于G ，则DEG BEF △∽△； ∴::2:1DE GE BF EF ==，即2DG GE =； Rt DGE △中，设GE x =，则2DG x =， 由勾股定理，得：222GE DG DE +=，即：2244x x +=，解得x；∴2DG x ==故D 、P 重合时，若P ⊙与直线BC 相交，则r DG >，即r >； ②存在符合条件的P 点，且P 点坐标为：1(2,4)P ，2(4,3)P，33P ⎛+ ⎝⎭，43P ⎛ ⎝⎭；过点F 作FM BC ⊥于M ； ∵2DE EF ==，则Rt Rt DGE FME △≌△；∴FM DG r == 分别过D 、F 作直线m 、n 平行于直线BC ，则直线m 与直线BC 、直线n 与直线BC 之间的距离都等于x ；所以P 点必为直线m 、n 与抛物线的交点； 设直线m 的解析式为：y ax h =+，由于直线m 与直线m 与直线BC 平行，则12a =-；∴1242h -⨯+=，5h =，即直线m 的解析式为152y x =-+；同理可求得直线x 的解析式为：112y x =-+；联立直线m 与抛物线的解析式，得：2134152y x xy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得24xy=⎧⎨=⎩，43xy=⎧⎨=⎩；∴1(2,4)P，2(4,3)P；同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：33P⎛+⎝⎭，43P⎛-⎝⎭；故存在符合条件的P点，且坐标为：1(2,4)P，2(4,3)P，33P⎛+⎝⎭，43P⎛⎝⎭．例题4. 已知，如图4-1，抛物线2y ax bx c=++经过点1(,0)A x，2(,0)B x，(0,2)C-，其顶点为D．以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点N．30ONE∠=︒，12||8x x-=．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图4-2，点Q为EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH AQ⋅是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）圆的半径12||84222x xABr-====．连接ME，∵NE是切线，∴ME NE⊥．在Rt MNE△中，30ONE∠=︒，4MA ME==．∴60EMN∠=︒，8MN=，∴2OM=．∴2OA=，6OB=．∴点A、B的坐标分别为(2,0)-、(6,0)．∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：图(a)图(b)(2)(6)y a x x =+-，又∵抛物线过点(0,2C -，∴2(02)(06)a -=+-，解得：16a =． ∴抛物线解析为：2112(2)(6)2663y x x x x =+-=--，∴当232126x -=-=⨯时，128422633y =⨯-⨯-=-．即抛物线顶点D 的坐标为82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）连接AF 、QF ， 在AQF △和AFH △中， 由垂径定理易知：AE AF =．∴AQF AFH ∠=∠，又QAF HAF ∠=∠，∴AQF AFH △∽△，∴AF AHAQ AF =，∴2AH AQ AF ⋅= 在Rt AOF △中，22222216AF AO OF =+=+= （或利用22816AF AO AB =⋅=⨯=） ∴16AH AQ ⋅=即：AH AQ ⋅为定值．例题5. 如图，已知点A 的坐标是(1,0)-，点B 的坐标是,0(9)，以AB 为直径作'O ，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC ，BC ，过A ，B ，C 三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是AC 延长线上一点，BCE ∠的平分线CD 交'O 于点D ，连接BD ，求直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得PDB CBD ∠=∠？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）连接'O C ，因为(1,0)A -，(9,0)B ，所以1'''52O A O B O C AB ====，1OA =，''4OO O A OA =-=，由勾股定理，得3OC =，所以(0,3)C -， 设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则038190a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得13833a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为218333y x x =--；（2）连接'O D ，则由圆周角定理，90ACB BCE ∠=∠=︒，又CD 平分BCE ∠，所以45BCD ∠=︒，'290BO D BCD ∠=∠=︒，所以可以得到(4,5)D -，又(9,0)B ，所以直线BD 的解析式为：9y x =-.（3）存在，①当1//DP CB 时，能使PDB CBD ∠=∠，又可得13BC k =， 所以113DP k =，且点(4,5)D -，所以直线1DP 的解析式为11933y x =-，则 由题意21193318333y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）所以此时点1P ⎝⎭. ②过点C 作BD 的平行线，交'O 于点G ， 此时有，GDB GCB ∠=∠CBD =∠.又可得1BD k =，1CG k =，所以直线CG 的解析式为：3y x =-， 设点(,3)G m m -，作GH x ⊥轴交x 轴于点H ，连接'O G ，则在Rt 'O GH △中，由勾股定理可得，7m =，所以此时(7,4)G ， 所以直线DG 的解析式为：317y x =-，则由题意231718333y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得111425x y =⎧⎨=⎩或2238x y =⎧⎨=-⎩（舍去）， 所以此时点2(14,25)P .综上所述，1P ⎝⎭，2(14,25)P ．例题6. 如图所示，抛物线与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．以AB 为直径作M ，过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，并与M 的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M 于点N ，连结AN 、AD ． （1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD 的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）因为抛物线与轴交于点(1,0)A -，(3,0)B 两点， 设抛物线的函数关系式为：(1)(3)y a x x =+-， ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)C -， ∴3(01)(03)a -=+-， ∴1a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--， 又2(1)4y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为(1,4)-.（2）连结EM ，∵EA 、ED 是M 的两条切线，x∴∴， 又四边形EAMD 的面积为∴∴又2AM =，∴AE =，因此，点E的坐标为1(1,E -或2(1,E --. 当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限．在直角三角形EAM 中，∴∴， 过切点D 作垂足为点F ， ∴1MF =，DF =因此，切点D的坐标为(2,，设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将(1,E -、(2,D 的坐标代入得 解之，得 所以，直线PD 的函数关系式为 当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限．同理可求：切点D的坐标为(2,，直线PD 的函数关系式为 因此，直线PD 的函数关系式为（3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又 ∴∴E 、D 两点到x轴的距离相等，∵PD 与M 相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为或当时，由得， 当时，由得，故满足条件的点P 的位置有4个，分别是1(12)P +、2(12)P 、3(12)P -、4(12)P -.EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，EAM EDM △≌△EAM S =△12AM AE =⋅tan EA EMA AM ==∠60EMA =∠，°60DMB =∠°DF AB ⊥2k b k b +-+⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩y =y =y =y 22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形，AMD EAM S S =△△2y = 2.y =-2y =223y x x =--1x =2y =-223y x x =--1x =例题7. 如图，在直角坐标系中，以点(3,0)A 为圆心，以23为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）写出B 、C 、D 三点的坐标； （2）若B 、C 、D 三点在抛物线析式； 2y ax bx c =++上，求这个抛物线的解（3）若圆A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P 且30OMN ∠=︒，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由. 【答案】（1）(3,0)B -，(33,0)C ，(0,3)D -（2）由题意得，330273303a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=-⎪⎩，解得13233a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为212333y x x =--，（3）连接AP ，则23AP =，在Rt APM △中，30AMP ∠=︒，则43AM =，所以(53,0)M ,所以直线MN 解析式为35y x =-， 又（2）得抛物线2212313(3)433y x x x =--=--，所以抛物线的顶点为(3,4)-，将顶点代入直线MN 验证， 得顶点在直线MN 上.例题8. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式为2y x =-+，并且线段CM 的长为22；（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x 轴有两个交点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长； （3）若以AB 为直径作N ，请判断直线CM 与N 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）因为直线CM 的解析式为2y x =-+，所以(0,2)C ，又线段CM 的长为22，所以(2,0)M或(2,4)M -，所以抛物线的解析式可得21222y x x =-+或21222y x x =-++. （2）因为抛物线和x 轴有两个交点1(,0)A x 、2(,0)B x ，所以此时抛物线为21222y x x =-++，令0y =，得1x 和2x 是方程212202x x =-++的两根，且12x x <， 则由韦达定理得，124x x +=，124x x ⋅=-，所以22211212()()432x x x x x x -=+-⋅⋅=，所以21AB x x =-=（3）相切，由题意抛物线的对称轴应为2x =-，所以(2,0)N -，作NP CM ⊥于点P ，设直线CM 与x 轴相交于点D ，则45NPD ∠=︒，且(2,0)D ，4DN =，所以得NP =AB 为N 的直径，且AB =N 点到直线CM 的距离等于N 的半径，所以直线CM 与N相切.例题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(2,0)A ，(6,0)B 两点，交y 轴于点(0,23)C ． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线2y x =交于点D ，作D 与x 轴相切，D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF 所对圆心角的度数；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得PGA △的面积被直线AC 分为1:2两部分．【答案】（1）由题意，得420366023a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩，解得34323a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 所以抛物线的解析式为：234323y x x =-+. （2）由（1）得22343323234)y x x x =-+=--（， 所以它的对称轴为4x =，所以得(4,8)D ，所以D 的半径为8，作DH EF ⊥于点H ，连接EH 、FH ，则8DE DF ==，4DH =，且EDH FDH ∠=∠，在Rt DEH △中，8DE =，4DH =，1cos 2DH EDH DE ∠==， 所以60EDH ∠=︒，2120EDF EDH ∠=∠=︒，所以劣弧EF 所对圆心角的度数为120︒.（3）设AC 交PG 于点Q ，则由题可知PGA △被直线AC 分为AQP △和AQG △，故:2:1AQP AQG S S =△△或1:2，所以11:2:122PQ AG QG AG ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或1:2， 所以:2:1PQ QG =或1:2，由题，(2,0)A ，(0,23)C ，所以直线AC 为323y x =-+，因为P 点为抛物线第二象限上的一个点，设2343,23P t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝，0t <， 则(,323)Q t t -+，(,0)G t ，所以223433323(323)PQ t t t t t =-+--+=-，323QG t =-+， ①当:2:1PQ QG =时，得2332(323)t t t -=-+， 解得12t =-，(2t =舍去)，此时(12,423)P -，②当:2:1PQ QG =21(2=+，解得3t =-，(2t =舍去)，此时P ⎛- ⎝，综上所述，(12,P -或P ⎛- ⎝。

中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长 为半径画弧，得BC ，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2πB. 4πC. 33πD. 233π解：过B 点作AC 垂线，垂直为G ，根据正六边形性质可知，30CAB BCA ∠=∠=︒，∴22222=222123AC AG AB GH =⨯-=⨯-=，∴S 扇形=260(23)2360ππ⨯⨯=， 故选：A ．2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知∠MOF≠∠AOB，∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．3.（2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π，故选：D4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC 长为半径画，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．2πD．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠P AB＝∠P AC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A. 32π+B. 2π- C. 1 D.52π-【答案】D【解析】【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OF A=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽， ∴OC CE AB OB=， ∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 4πB. 24C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ， ∴ 12sin 452OA AB ===︒ ∴BC 的长度为：9022=1802π⨯，∴围成的底面圆周长为22π， 设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：222r ππ=， ∴212=224r ππ=⨯． 故选：B7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A. 32πB. 3πC. 5πD. 15π【答案】D8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为43，∠CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A. 16123π-B. 16243π-C. 20123π-D. 20243π-【答案】A【解析】 【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH 3AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AO 3∴OH =12AO 3， ∴AH 3=6，∴AE =2AH =12，∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE =(212043112233602π⨯-⨯⨯163π=-故选：A ．9. (2021•四川省自贡市)如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A. 23πB. 12π C. 1116π D. 2132π 【答案】A【解析】【分析】根据题意得OQM OMN S S S =-阴影扇形扇形，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，利用扇形面积公式得到()21325?8S a a π=-++阴影，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，OPQ OMN ≅，∴OPQ OMN S S =，则OMN OPQ OQM OPN S S S S S =+--阴影扇形扇形OQM OPN S S =-扇形扇形，∵点P 在直线22y x =-+上，点Q 在直线3y x =-+上，且PQ ∥y 轴，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，∴OP 2=()22222584a a a a +-=-+，OQ 2=()2223269a a a a +-=-+， OQM OPN S S S =-阴影扇形扇形2245?45?360360OQ OP ππ=- ()21325?8a a π=-++， 设22116325333y a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵30-<，∴当13a =时，y 有最大值，最大值为163， ∴S 阴影的最大值为1612383ππ⨯=． 故选：A ．10. （2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（ ）A ．πm 2B ．πm 2C ．πm 2D ．πm 2【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m 2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m ，则面积＝＝（m 2），则小羊A 在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m 2）． 故选：B ．11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是A ．πB ．334π+C ．332D ．2π 【答案】B【解析】如图，C 1运动的路径是以B 为圆心，3为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC 1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以3为边长的等边三角形，故S ＝22120(3)333(3)36044ππ+⨯=+，故选B ．12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1S ：S 的比值为（A ）.A 8π .B 4π .C 41 .D 2113. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）BA ．B ．πC ．D ．2π14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与AB ，AC 分别交于E ，F 两点，则图中阴影部分的面积为（ ）A. π6B. π3C. π2D. 2π3【答案】C【解析】【分析】由等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【详解】ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥，60A ∠=︒2222213AD AB BD ∴=-=-=S 扇形AEF 226060(3)3602r πππ⨯=== 故选C ．15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cmr，由题意得：12030 2180ππ⨯=r，解得10(cm)r=，即这个圆锥底面半径为10cm，故选：B．二．填空题1.．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为12π．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．2.（2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π）【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB 可得出结论．【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．3.（2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【解析】【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r＝12，∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．4.（2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2【答案】80【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ， ∴圆锥的母线长为：226810cm +=，∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2， 故答案是：80π．5. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．【分析】连接CD ．构建直径所对的圆周角∠BDC ＝90°，然后利用等腰直角△ABC 的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD ＝BD ＝AD ，从而求得弦BD 与CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC 的面积﹣直角三角形BCD 的面积．【解答】解：连接CD ．∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ；又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CD 是斜边AB 的垂直平分线，∴CD ＝BD ＝AD ,∴＝,∴S 弓形BD ＝S 弓形CD ，∴S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △BCD ；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．6.．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为（2π﹣2）平方厘米．（圆周率用π表示）【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．7.（2021•广东省）如题13图，等腰直角三角形ABC中，90BC=．分别以点B、A∠=︒，4点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】4π- 【解析】211142π24π424ABC B S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=-△⊙阴影，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 26 寸．【分析】过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ，连接OA ，设圆的半径为x ，利用勾股定理在Rt △OAC 中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，连接OA ，如图：∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ，．则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ＝5寸．设圆的半径为x 寸，则OC ＝（x ﹣1）寸．在Rt △OAC 中，由勾股定理得：52+（x ﹣1）2＝x 2，解得：x ＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∴90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∴60COD ∠=︒，∴CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B经过的路径BC长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BClππ⋅==，故答案为：2π．11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为π．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：l＝＝＝π．故答案为：π．12.（2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．13.（2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为6π．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．14.（2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】4 5【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣100π．（结果保留π）【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．故答案为：96﹣100π．16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是_________．【答案】3π-6【解析】【分析】连接BE ，可得ABE △是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=2π-，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB =90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB =45°，∴ABE △是等腰直角三角形，即：AE =BE ，∴弓形BE 的面积=211222242ππ⨯-⨯⨯=-， ∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积=2π-+2454360π⨯⨯-114422⨯⨯⨯=3π-6． 故答案是：3π-6．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．【详解】Ｖ圆柱＝Sh =212560cm ， 这个橡皮泥的一半体积为：2160302V cm ，把它捏成高为5cm 的圆锥，则圆锥的高为5cm ，故1303Sh ， 即15=303S ， 解得=18S （cm 2），故填：18．19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ；16题图DBE A OF C【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接OE ，OD ，OB ，OA ，由题可得：EF OF OE FA OA AB OB BC OC CD OD ==========,,,,,EFO OFA OAB OBC OCD ∴△△△△△△ODE 为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为ODE 和OAB 的面积之和，如图所示：设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，∴⊙O 的面积为22S r a ππ==等边OED 与等边OAB 的边长为a 234OAB a S S ∴==△OED △ 23=2OED OABa S S S ∴+=△△阴 ∴⊙O 的面积与阴影部分的面积比为2223=332S a S a ππ=阴故答案为：233π． 20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【分析】根据圆的弧长计算公式l ＝，代入计算即可． 【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．故答案是：100π．21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．【答案】40【解析】【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：设弧所在圆的半径为r ，由题意得， 135253180r ππ⨯⨯=⨯⨯， 解得，r=40cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr＝，解得r＝．故答案为：．23.（2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC 的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．12π，21625.（2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．【答案】9．【解析】【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.设圆锥的母线长为R，∴24012180Rππ⨯=，解得R=9cm．考点：圆锥的计算．三、解答题1.（2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD═OE，OE是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线，故：AB是⊙O的切线．（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）═×（）═﹣．故图中阴影部分的面积是：﹣．2.（2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD ，AC 与围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD ＝S △ACD +S 扇形COD ＝××2×2+ ＝+π． 4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示） ②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）①如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．（1）125，1；（23；②5516a ；（3）①23π；②见解析． 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为a 的正ABC 的面积，再根据()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△解题即可；②设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，先由正切定义，解得OQ 的长，由①中结论知，5OAB ABCDE S S =五边形△，继而得到()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，据此解题； （3）①由切线性质解得30OAB ∠=︒，再由平行线性质及等腰三角形性质解得60COB ∠=︒，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，根据DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△，据此解题．【详解】解：（1）直角三角形的面积为：13462⨯⨯=， 22345+=，设直角三角形斜边上的高为h ，则1562h ⨯⋅= 125h ∴= 设直角三角形内切圆的半径为r ，则11(345)3422++=⨯⨯ 1r ∴=，故答案为：125，1； （2）①边长为a 的正ABC 底边的高为32a ，面积为：2133224OAB a S a a =⋅⋅=△ ()123232431ABC OAB h h h S S a a =++==△△ 123h h h =∴++32a ， 故答案为：32a ； ②类比①中方法可知()1234512ABCDE a h h h h h S ++++=五边形， 设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，由①得5OAB ABCDE S S =五边形△，过O 作OQ AB ⊥于Q ，()1180521085EAB ∠=⨯⨯-=°°， 故54OAQ ∠=°，1tan 54tan 542OQ AQ a =⨯=°°，故()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，从而得到： 12345555tan 54216h h h h h a a ++++=≈°． （3）①AB 是O 的切线，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒2,4OB OA30OAB ∴∠=︒60AOB ∴∠=︒//BC OA60AOB OBC ∴∠=∠=︒OC OB =60OBC OCB ∴∠=∠=︒60COB ∴∠=︒过点O 作OQ BC ⊥//BC OA ，OQ ∴是COB ABC 、的高，ABC OCB S S ∴=26060423603603OBC r S S πππ⨯⨯∴====阴影部分扇形 故答案为：23π； ②如图，连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，则点G 即为所求，连接DG ，∵DEF ABCDEF ABCDF S S S =+六边形五边形△，∵//EG DF ，∴DEF DGF S S =△△，∴DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△．5. （2021•襄阳市） 如图，直线AB 经过O 上的点C ，直线BO 与O 交于点F 和点D ，OA 与O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA OB =，CA CB =．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若//FC OA ，6CD =，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）332π2-6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE ＝EM ； （2）求证：＝； （3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．7. （2021•湖北省黄石市）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，AC 是O 的直径，连接OP ，交O 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：//BC OP ；（2）若E 恰好是OD 的中点，且四边形OAPB 的面积是163，求阴影部分的面积； （3）若1sin 3BAC ∠=，且23AD =，求切线PA 的长．【答案】（1）见解析；（2）823π-；（3）2【解析】【分析】（1）证明∠POB =∠CBO ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）证明△AOD 是等边三角形得∠AOD =60°，设OA =R ，求出AE 3R ，AB 3R ，PO =2R ，根据四边形OAPB 的面积是163R ，再利用AOB AOB S S S ∆=-阴影扇形求解即可；（3）利用1sin 3BAC ∠=设出BC =m ，则AC =3m ，分别求出2AE m =，DE =m ，在Rt △AED 中运用勾股定理列方程，求出m 的值，再证明∠APO =∠BAC ，利用1sin 3BAC ∠=求出P A 的长．【详解】解：（1）证明：∵PA PB ，是O 的切线 ∴PO AB ⊥，即90OEB ∠=︒∴90EOB OBE ∠+∠=︒∵AC 是O 的直径∴∠ABC =90°90EBO CBO ∠+∠=︒∴EOB CBO ∠=∠∴//BC OP（2）∵E 是OD 的中点，且AB ⊥OD ，∴AO =AD ，又AO =OD∴△AOD 是等边三角形∴∠AOD =60°∵P A 是O 的切线，OA 是O 的半径，∴∠OAP =90°∴∠APO =30°∴PO =2AO在Rt AOE ∆中，∠AOE =60°∴∠OAE =30°设OA =R ，则2R OE =∴2AE R =∴2,22AB AE PO AO R ====∵四边形OAPB 的面积是∴16AB PO =2163R =解得，R （负值舍去）∴AB OE ==∵60AOD ∠=︒∴120AOB ∠=︒∴1=82AOBAOB S S S π∆-=-⨯=-阴影扇形 （3）∵90ABC ∠=︒∴1sin 3BAC BC AC ∠== 故设BC =m ，则AC =3m ，∴32AO m = ∵OE //BC∴1122OE BC m == 3122DE OD OE m m m =-=-= 在Rt △AEO 中，222AE AO OE m =-=在Rt △AED 中，222AE DE AD +=∴222(2)(23)m m +=∴2m = (负值舍去)∴22AE =∵90,90OAE AOE APO AOE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴OAE APO ∠=∠1sin sin 3APO BAC ∠=∠= ∴13AE PA = ∴ 362PA AE ==8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OC ，求得∠ACO ＝∠EAC ，根据内错角相等两直线平行得到OC ∥AE ，进。

中考数学最全考点分析主要知识点中考数学最全考点分析主要知识点一、相似三角形(7个考点)考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求:(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3:相似三角形的概念考核要求:以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.考点4:相似三角形的判定和性质及其应用考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.考点5:三角形的重心考核要求:知道重心的定义并初步应用.考点6:向量的有关概念考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8:锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.考点9:解直角三角形及其应用考核要求:(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数(4个考点)考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求:(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义.考点11:用待定系数法求二次函数的解析式考核要求:(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原.考点12:画二次函数的图像考核要求:(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点13:二次函数的图像及其基本性质考核要求:(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.注意:(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念(6个考点)考点14:圆心角、弦、弦心距的概念考核要求:清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点15:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求:认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16:垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17:直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点18:正多边形的有关概念和基本性质考核要求:熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19:画正三、四、六边形.考核要求:能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.五、数据整理和概率统计(9个考点)考点20:确定事件和随机事件考核要求:(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.考点21:事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求:(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意:(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.考点22:等可能试验中事件的概率问题及概率计算本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.在求解概率问题中要注意:(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.考点23:数据整理与统计图表本考点考核要求是:(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.考点24:统计的含义本考点的考核要求是:(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.考点25:平均数、加权平均数的概念和计算本考点的考核要是:(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意:在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.考点26:中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求:(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.注意:当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.考点27:频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求:(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意:频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别:在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.考点28:中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用本考点的考核要是:(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.中考数学最全考点分析主要知识点。

【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且x始终与］轴相切于定点C（0,1）.⑴求经过三点的二次匣1数图象的解析式；（2）若二次函教图象的顶点为D,问当上为何值时'四边形也站尹为菱形.【耕音】解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）与y轴相切于点C（0, 1），.-.PC±y^.•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，X•.•P点坐标为（k,1）.（2分）•.•PAU.在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，•'•A(k-90 ).(3分)•.•由。

P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.AOB=OA+2AH=k•••B3小2_1，0）.《4分〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）又二.抛物线过C（。

，1），B（k-^2_r0），[ak^-^h=1•3|—?昭得a=l，h=1-k^.（7分）•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>•・•DH-k2-l.若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）VPH=1，.•-k2-l=l.又">1,（11分）•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。

虹4应=2,直线），=-"：与坐标轴交于D、E。

设M是加的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；<2）当P在什么位置时，PA=PB?求出此时P点的坐标j<3）过P作PH1BC,垂足为H,当以PM为直径的OF与BC相切于点N时，求梯形PHBH的面积.图6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4,AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点2.所以令y=0,即司术出D的坐标，而AM-1.印以M(4,1)；(2)因为PA=PB.断以P是AB的香直平分线和直线ED的交点，而AE的中垂线是y=l，断以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=l，求出的x的值即为相应的P的横坐标；(3〉可设P(x，y>，连将PN、MN、NF，因为点P在y・x-：上，所以P《x，粮据蹦意可2得PNlMNi FN±BCi F是圈心，又因N是钱段HB的中点，HN-NB-—»PH-2-(-x*-)t2 2 2BM=1,利用直径对的圆周角是直甬可得到ZHPX-ZHNP=ZHNP-ZBNM=90°•所以ZHPN=ZB取ph ir£x+| NM,又因ZPHN-ZB-900-所以可得到R tAPNH<^RtANMB•所以—•A2=—^，这BM BN—4-x1—样牧可得到关于X的方程，解之即可求出X的值，而饬求面招的四边形是一个直角梯形，南以Spg=也皿滋或"医号)("6+应)=.21_色叵.2 2 24满答】俄；《1)M", 1),D《9,0)；(2分)2(2)V PA=PB>•七点P在线段AB的中毒线上，•.•点P的纵坐标是I，3又•:点P在尸-X-—上，2・.•点P的坐标为(【，1)?(4分)（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，3点P lSy=・x+-上，匕3・'・P（x ,-w+—），2依题意知：PN«LMN>FN^BC,F是圆心，・'・N是线段HB的中点，HN=NB=±M，PH=2.2口，BM=1，<6分）22HPN-ZHNP=NHNP-ZBNM=90°，NHPN=ZBNN1，又ZPHN=ZB=90°5RtAPNH^RtANMBs:HN_PH•'两南，4-x x*.."F=二，-等」22，（8分）x?-12x+14=0»朋得；x-6-j22（^-*>^舍去），k=6-皿=些罕=空也艾竺=一*孕屈，（9分）2【例题31（||-4省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中>0A的丰径为4,圆心A曜标为（2, 0），S与X轴交于E、尸两点，与），轴交于（7、D两点，过点（7作0X的切线时，交x轴于点3.（1）求直线C5的解析式：（2）若抛物线.件履7）日€的顶点在直线3C上,与x轴的交点恰为点E、已求该抛物线的解析式J（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与A4OC相似？直接与出两组这样的点•4［分析】(1>SHAC.根撮区］的李径求出AC. W1B点人的坐麻求出0A，燃后利用勾腹定理列式求出0C・从而得到点C的坐标，再求出ZCAO=60=.然后粮掘直有三甬形两锐角互余米出NB=30。

2022数学中考试题汇编圆一、选择题1.(2022·四川省泸州市)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC=4√2，DE=4，则BC的长是( )A. 1B. √2C. 2D. 42.(2022·吉林省长春市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为( )A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°3.(2022·贵州省铜仁市)如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠C的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.(2022·贵州省贵阳市)如图，已知∠ABC=60°，点D为BA边上一点，BD=10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是( )A. 5B. 5√2C. 5√3D. 5√55.(2022·辽宁省营口市)如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC=4，∠ADC=30°，则BC的长为( )A. 4√3B. 8C. 4√2D. 46.(2022·湖北省宜昌市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°7.(2022·四川省宜宾市)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是( )A. a≥13B. a>13C. 0<a<13D. 0<a≤138.(2022·辽宁省盘锦市)下列命题正确的是( )A. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等C. 过任意三点可以画一个圆D. 对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形9.(2022·湖北省十堰市)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )A. 25°B. 35°C. 40°D. 50°11.(2022·广东省深圳市)已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为( )A. 1：3B. 1：2C. √2：2D. (√2−1)：112.(2022·四川省德阳市)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④BD=DE.其中一定正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 413.(2022·湖南省娄底市)如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是( )A. √3π18B. √318C. √3π9D. √3914.(2022·吉林省)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是(A. 2B. 3C. 4D. 515.(2022·山东省青岛市)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB⏜上，则∠CME的度数为( )A. 30°B. 36°C. 45°D. 60°16.(2022·四川省内江市)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC⏜的长分别为( )A. 4，π3B. 3√3，π C. 2√3，4π3D. 3√3，2π17.(2022·河北省)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2，PA，PB分别与AMB⏜所在圆相切于点A，B.若该圆半径是9cm，∠P=40°，则AMB⏜的长是( )A. 11πcmB. 112πcm C. 7πcm D. 72πcm18.(2022·贵州省毕节市)如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是( )A. 375πcm2B. 450πcm2C. 600πcm2D. 750πcm219.(2022·广西壮族自治区贺州市)如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π−2，则EF的长度为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 3√220.(2022·四川省德阳市)一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是( )A. 16πB. 52πC. 36πD. 72π21.(2022·四川省遂宁市)如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是( )cm2A. 175π3cm2B. 175π2C. 175πcm2D. 350πcm222.(2022·四川省广安市)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是( )A. 圆柱的底面积为4πm2B. 圆柱的侧面积为10πm2C. 圆锥的母线AB长为2.25mD. 圆锥的侧面积为5πm223.(2022·广西壮族自治区贺州市)某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案(即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐).“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图(1)所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm.计时结束后如图(2)所示，求此时“沙漏”中液体的高度为( )A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm二、填空题24.(2022·上海市)如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为______.(结果保留π)25.(2022·湖南省郴州市)如图，点A.B，C在⊙O上，∠AOB=62°，则∠ACB=______度．26.(2022·甘肃省)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC=______°.27.(2022·内蒙古自治区通辽市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为______．28.(2022·上海市)定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______．29.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)______．30.(2022·辽宁省营口市)如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF=______度．31.(2022·辽宁省盘锦市)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC=2，则DE⏜的长是______．32.(2022·山东省青岛市)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF⏜，分别交AB，AC于点E，F.若OC=2，AB=4，则图中阴影部分的面积为______．33.(2022·黑龙江省)已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为______．三、解答题34.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．35.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．36.(2022·山东省威海市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；(2)若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．37.(2022·山东省烟台市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°．(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．38.(2022·辽宁省盘锦市)如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG=∠FAB．(1)求证：BG与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为1，求AF的长．39.(2022·山东省聊城市)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．40.(2022·江苏省泰州市)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC>5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．(1)如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H.连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．41.(2022·内蒙古自治区通辽市)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD=AC，延长CD交OB的延长线于点E．(1)求证：CD是圆的切线；(2)已知sin∠OCD=4，AB=4√5，求AC长度及阴影部分面积．51..【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，BC，∴OD//BC，且OD=12设OD=x，则BC=2x，∵DE=4，∴OE=4−x，∴AB=2OE=8−2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2，∴(8−2x)2=(4√2)2+(2x)2，解得x=1．∴BC=2x=2．故选：C．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°−121°=59°，∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB=80°，∠AOB=40°．∴∠C=12故选：B．4.【答案】A【解析】解：连接OE，BD=5，由已知可得，OE=OB=12∵∠ABC=60°，∴△BOE是等边三角形，∴BE=OB=5，故选：A．5..【答案】A【解析】解：连接AB，如图所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵∠ADC=30°，∴∠ABC=∠ADC=30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC=AC，BC∴BC=AC．tan∠ABC∵AC=4，=4√3．∴BC=4tan30∘故选：A．6..【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=110°，∴∠A=70°，∵∠BOD=2∠A=140°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，∴∠OBD=20°，故选：B．7..【答案】A【解析】解：把A(−2,0)、B(4,0)代入y =ax 2+bx +c 得，{4a −2b +c =016a +4b +c =0， 解得{b =−2a c =−8a， ∴抛物线的解析式为：y =ax 2−2ax −8a =a(x −1)2−9a ，设P(t,a(t −1)2−9a)为x 轴下方的抛物线上的点，则−2<t <4，设C 为AB 的中点，则C(1,0)，∵以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，∴CP ≥12AB ，即CP ≤3，∴(t −1)2+[a(t −1)2−9a]2≥9，∴a 2≥19−(t−1)2，∴a ≤√9−(t−1)2或a ≥√9−(t−1)2， ∵以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，∴抛物线开口向上，即a >0，∴a ≥√9−(t−1)2， ∵√9−(t−1)2≥√9−0，即√9−(t−1)2≥13， ∴a ≥13．故选：A ．8..【答案】D【解析】解：A 选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意； B 选项，三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意； C 选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；D 选项，对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D ．9..【答案】C【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，∵AB⏜=AB ⏜，BC ⏜=BC ⏜， ∴∠ADB =∠ACB =60°，∠BDC =∠BAC =60°，∴∠ADB =∠BDC ，故①正确；∵点D是弧AC上一动点，∴AD⏜与CD⏜不一定相等，∴DA与DC不一定相等，故②错误；当DB最长时，DB为⊙O直径，∴∠BDC=90°，∵∠BDC=60°，∴∠DBC=30°，∴DB=2DC，故③正确；在DB上取一点E，使DE=AD，如图：∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE=CD，∴BD=BE+DE=CD+AD，故④正确；∴正确的有①③④，共3个，故选：C．10..【答案】C【解析】解：∵∠ABC=25°，∴∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°−∠AOP=90°−50°=40°，故选：C．11..【答案】B【解析】解：如图，连接OC，过点B作BM⊥AE于M，∵BC是⊙O的切线，OC为半径，∴OC⊥BC，即∠DCE=90°=∠OCD+∠BCD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE=90°，∴∠DCA=180°−90°=90°=∠BCD+∠BCA，∴∠OCD=∠BCA，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC=∠BCA，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠E=90°=∠E+∠ODC，∴∠A=∠ODC，∴∠A=∠BCA，∴BA=BC，又∵BM⊥AC，∴AM=MC=12AC，∵∠A=∠CDE，∠AMB=∠DCE=90°，∴△ABM∽△DEC，∴AMDC =12=BMEC，∴S△ABCS△DCE =12AC⋅BM12CD⋅EC=BMEC=12，故选：B．12.【答案】C【解析】解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，故①正确；如图，设△ABC 的外心为O ，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =120°，∴∠BEC ≠120°，故②错误；∵∠BAD =∠CAD ，∴BD⏜=DC ⏜， ∵点G 为BC 的中点，∴OD ⊥BC ，∴∠BGD =90°，故③正确；如图，连接BE ，∴BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∵∠DBC =∠DAC =∠BAD ，∴∠DBC +∠EBC =∠EBA +∠EAB ，∴∠DBE =∠DEB ，∴DB =DE ，故④正确．∴一定正确的是①③④，共3个．故选：C ．13.【答案】A【解析】解：作AD ⊥BC 于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，AD 和BE 交于点O ，如图所示，设AB =2a ，则BD =a ，∵∠ADB =90°，∴AD =√AB 2−BD 2=√3a ， ∴OD =13AD =√33a ， ∴圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是：π×(√33a)2×122a⋅√3a2=√3π18，故选：A．14.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=4，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3<r<5，故选：C．15.【答案】D【解析】解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=∠DOE=60°，∴∠COE=2∠COD=120°，∠COE=60°，∴∠CME=12故选：D．16.【答案】D【解析】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，=60°，∴∠BOC=360°6∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC=OB=6，∵OM⊥BC，BC=3，∴BM=12∴OM=√OB2−BM2=√62−32=3√3，=2π，BC⏜的长为：60π×6180故选：D．17.【答案】A【解析】解：作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，如图，⏜所在圆相切于点A，B．∵PA，PB分别与AMB∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∴优弧AMB对应的圆心角为360°−140°=220°，∴优弧AMB的长是：220π×9180=11π(cm)，故选：A．18.【答案】C【解析】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD=AB−BD=15cm，∵∠BAC=120°，∴扇面的面积S=S扇形BAC−S扇形DAE=120π×452360−120π×152360=600π(cm2)，故选：C．19.【答案】C【解析】解：设OE=OF=r，则90°×π×r2360∘−12r2=π−2，∴r=±2(舍负)，在Rt△OEF中，EF=√22+22=2√2，故选：C．20.【答案】C【解析】解：如图，AB=8，SA=SB=9，所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，由扇形面积的计算公式得，圆锥侧面展开图的面积为12×8π×9=36π，故选：C．21.【答案】C【解析】解：在Rt△AOC中，AC=√72+242=25(cm)，所以圆锥的侧面展开图的面积=12×2π×7×25=175π(cm2).故选：C．22.【答案】C【解析】解：∵底面圆半径DE=2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD=2.5m，∴圆柱的侧面积=2π×2×2.5=10π(cm2)，所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE=2m，即BC=2cm，圆锥的高AC=1.5m，∴圆锥的母线长AB=√1．52+22=2.5(cm)，所以C选项符合题意；×2π×2×2.5=5π(cm2)，所以D选项符合题意．∴圆锥的侧面积=12故选：C．23.【答案】B【解析】解：如图：∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD=DE，π×62×6=由已知可得：液体的体积为π×32×7=63π(cm3)，圆锥的体积为1372π(cm3)，∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π−63π=9π(cm3)，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为x cm，则CD=DE=(6−x)cm，π⋅(6−x)2⋅(6−x)=9π，∴13∴(6−x)3=27，解得x=3，∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，故选：B．24.【答案】400π【解析】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD=BD=12AB=12(AC+BC)=12×(11+21)=16，∴CD=BC−BD=21−16=5，在Rt△COD中，OD2=OC2−CD2=132−52=144，在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2=144+256=400，∴S⊙O=π×OB2=400π，故答案为：400π．25.【答案】31【解析】解：∵∠AOB=62°，∴∠ACB=12∠AOB=31°，故答案为：31．26.【答案】70【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=110°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−110°=70°，故答案为：70．27.【答案】√33π【解析】解：如图，取AB的中点J，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠BAP=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙J上运动，当J，P，C共线时，PC的值最小，在Rt△CBJ中，BJ=√3，BC=3，∴tan∠CJB=BCBJ=√3，∴∠BJC=60°，∴当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长=60π×√3180=√33π.故答案为：√33π.28.【答案】2−√2【解析】解：如图，当⊙O过点C，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG=CF=DE，此时⊙O最大，过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC，∵CG=CF=DE，∴OP=OM=ON，∵∠C=90°，AB=2，AC=BC，∴AC=BC=√22×2=√2，由12AC⋅OP+12BC⋅ON+12AB⋅OM=S△ABC=12AC⋅BC，设OM=x，则OP=ON=x，∴√2x+√2x+2x=√2×√2，解得x=√2−1，即OP=ON=√2−1，在Rt△CON中，OC=√2ON=2−√2，故答案为：2−√2．29.【答案】5−34π【解析】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB 于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C=90°，OD=OE=OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5，∵S△ABC=S△AOC+S△COB+S△BOA，∴4×32=4⋅OD2+3⋅OE2+5⋅OF2，解得OD =OE =OF =1，∴图中阴影部分的面积为：4×32−1×1−π×12×34=5−34π， 故答案为：5−34π. 30.【答案】30【解析】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角=(6−2)×180°÷6=120°，∵AB =BC ，∠B =120°，∴∠BAC =∠BCA =12×(180°−120°)=30°，∵∠BAF =120°，∴∠CAF =∠BAF −∠BAC =120°−30°=90°，如图，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，则AM =CM(等腰三角形三线合一)， ∵∠BMA =90°，∠BAM =30°，∴BM =12AB =12，∴AM =√AB 2−BM 2=√12−(12)2=√32， ∴AC =2AM =√3，∵tan∠ACF =AFAC =1√3=√33， ∴∠ACF =30°，故答案为：30．31.【答案】518π【解析】解：连接OE ，OD ，∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠B =∠C =180°−50°2=65°，又∵OB =OD ，OA =OE ，∴∠B =∠ODB =65°，∠A =∠OEA =50°，∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，∴∠DOE =50°，由于半径为1，∴DE ⏜的长是50×π×1180=518π．故答案为：518π．32.【答案】4−π【解析】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA=90°，∴∠BOA+∠A=90°，由题意得：OB=OC=AE=AF=2，∴阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)=12AB⋅OB−90π×22360=12×4×2−π=4−π，故答案为：4−π．33.【答案】26+10π【解析】解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，∴圆锥的母线长为13，∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2×13+2π×5=26+10π．故答案为26+10π．34.【答案】(1)证明：连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴∠DAE=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵OA=OE，∴∠OAE=∠AED，∴∠ADE=∠PAE；(2)证明：由(1)知：∠ADE=∠PAE=30°，∵∠DAE=90°，∴∠AED=90°−∠ADE=60°．∵∠AED=∠PAE+∠APE，∴∠APE=∠PAE=30°，∴AE=PE；(3)解：设CE=x，则DE=CD+CE=6+x，∴OA=OE=6+x2，∴OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2．∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA=PB，PO平分∠APB，∴PO⊥AB．∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴△OAC∽△OPA，∴OAOC =OPOA，∴6+x26−x2=14+x26+x2，即：x2+10x−24=0．解得：x=2或−12(不合题意，舍去)，∴CE=2．35.【答案】(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO=90°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=180°−∠AEB=90°，∴∠ACB+∠EBC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠D=∠EBC；(2)解：∵CD=2BC，∴BD=3BC，∵∠DAB=∠CEB=90°，∠D=∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴BDBC =ABEC=3，∴AB=3EC，∵AB=AC，AE=3，∴AE+EC=AB，∴3+EC=3EC，∴EC=1.5，∴AB=3EC=4.5，∴⊙O的半径为2.25．36.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADE=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE；(2)解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC=90°，在Rt△BCF中，CF=4，BC=3，∴sinF=BCCF =34，∵∠F=∠BAC，∴sin∠BAC=34．37.【答案】解：(1)如图，切线AD即为所求；(2)连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD=90°，∵∠DAB=75°，∴∠OAB=15°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=15°，∴∠BOA=150°，∴∠BCA=12∠AOB=75°，∵∠ABC=45°，∴∠BAC=180°−45°−75°=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC=2，∴∠BCO=∠CBO=30°，∵OH⊥BC，∴CH=BH=OC⋅cos30°=√3，∴BC=2√3．38【答案】解：(1)连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=90°，∴BE是圆O的直径，∵∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，∠FBG=∠FAB，∴∠FBG+∠EBF=90°，∴∠OBG=90°，故BG是圆O的切线；(2)如图，连接OA，OF，∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，∴∠EFD=90°，∠FDE=45°，∴∠FED=45°，∴∠AOF=90°，∵OA=OF=1，∴AF2=AO2+FO2=1+1=2，∴AF=√2，AF=−√2(舍去)．39.【答案】(1)证明：在△AOF和△EOF中，{OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=√FC2−AC2=8，∵∠OCE=∠FCA=90°，∴△OEC∽△FAC，∴EOAF =COCF，设⊙O的半径为r，则r8=6−r10，解得r=83，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=83，∴OF=√AF2+AO2=83√10，∴FD=OF−OD=83√10−83，即FD的长为83√10−83．40.【答案】解：(1)设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，∵EF=′10，∴OE=12EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OE，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴ME=MO，又∵MO=EO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=90°，∴l ME ⏜=60π×5180=5π3，即半圆O 在矩形ABCD 内的弧的长度为5π3；(2)连接GO ，HO ，∵∠GOH =90°，∴∠AOG +∠BOH =90°，∵∠AGO +∠AOG =90°，∴∠AGO =∠BOH ，在△AGO 和△OBH 中，{∠AGO =∠BOH ∠GAO =∠HBO OG =OH，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴OB =AG =t −5，∵AB =7，∴AE =t −7，∴AO =5−(t −7)=12−t ，在Rt △AGO 中，AG 2+AO 2=OG 2，∴(t −5)2+(12−t)2=52，解得：t 1=8，t 2=9，即t 的值为8或9．41.【答案】(1)证明：如图，连接OD ，∵AC =CD ，∴∠A =∠ADC =∠BDE ，∵∠AOB =90°，∴∠A +∠ABO =90°，又∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ，∴∠ODB +∠BDE =90°，即OD⊥EC，∵OD是半径，∴EC是⊙O的切线；(2)解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD=45，设OD=4x，则OC=5x，∴CD=√OC2−OD2=3x=AC，在Rt△AOB中，OB=OD=4x，OA=OC+AC=8x，AB=4√5，由勾股定理得，OB2+OA2=AB2，即：(4x)2+(8x)2=(4√5)2，解得x=1或x=−1(舍去)，∴AC=3x=3，OC=5x=5，OE=OD=4x=4，∵∠ODC=∠EOC=90°，∠OCD=∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴OCEC =CDOC，即5EC =45，∴EC=254，∴S阴影部分=S△COE−S扇形=12×254×4−90π×42360=252−4π=25−8π2，答：AC=3，阴影部分的面积为25−8π2．。

人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。

专题10二次函数与圆存在性问题二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．7．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．8．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．9．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．10．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．11．（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．12．（2021•常州二模）如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x 轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．13．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值14．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．15．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m （k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．18．（2021•雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．19．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．20．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．21．（2022•炎陵县一模）抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．22．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A （4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵抛物线经过点C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴抛物线的表达式是；（2）①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为（3﹣t，3t），∵F点在抛物线上，∴，∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．∴F坐标为（，）．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C 代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，∴点A（﹣2，0），点B（6，0），把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，x N+x M＝﹣＝4（k+1），x N x M＝＝8k﹣12..........①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，y M+y N＝4k2，y M y N＝﹣16k2................②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴x O＝（x N+x M）＝2（K+1），代入直线方程得y O＝2k2，∴圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【分析】（1）①把点M（﹣1，0），N（2，6）代入到y＝﹣2x2+bx+c中，可得b和c的值．②设P（a，﹣2a2+4a+6），再利用M（﹣1，0），N（2，6），得到MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值．（2）令C（0，c），当y＝0时，代入抛物线得x A x B＝﹣，根据两角对应相等，可得△AOC∽△DOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值．【解答】解：（1）①把M（﹣1，0）N（2，6）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；②由①，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6）∵M（﹣1，0），N（2，6），∴MN＝＝3，∴PM＝，PN＝，又∵PN⊥MN，则PM2＝MN2+PN2，（﹣1﹣a）2+（2a2﹣4a﹣b）2＝（3）2+（2﹣a）2+（2a2﹣4a）2．整理得：4a2﹣9a+2＝0，∴（a﹣2）（4a﹣1）＝0．∴a1＝2，a2＝．当a＝2时，P与N重合，∴a＝，PN＝．（2）证明：设OA＝﹣x A，OB＝x B，OD＝﹣n当y＝0时，﹣2x2+bx+c＝0，∴x A x B＝﹣，∴OA•OB＝﹣x A x B＝．∵∠CAO＝∠BDO，∠ACO＝∠DBO∴△AOC∽△DOB∴＝∴OA•OB＝OC•OD∴＝c•（﹣n）．∵c≠0∴n＝﹣．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；＝×PM×OP＝×AP×3，可得a＝﹣；（2）抛物线的顶点为M（，2﹣a），由S△APM（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at2﹣3at+2），求出M（﹣1，0），由垂径定理可得AM＝AQ，＝①，PQ＝AP，得②，联立①②可得a＝．【解答】解：（1）y＝ax2﹣3ax+2＝a（x﹣）2+2﹣a，∴抛物线的对称轴为x＝，∴P（，0），令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），∴PA＝；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2﹣a），∵a＜0，∴2﹣a＞0，∴S △APM ＝×PM ×OP ＝×AP ×3，∴（2﹣a ）×＝×3，解得a ＝﹣；（3）连接PQ ，BP ，AM ，∵MP ⊥AB ，∴＝，∵＝2，∴＝，∴AM ＝AQ ，设Q （t ，at 2﹣3at +2），∵AP ＝，P （，0），∴M （﹣1，0），∴＝①，∵PQ ＝AP ，∴②，联立①②可得t ＝或t ＝﹣1（舍），将t ＝代入①，可得a ＝．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E 的运动时间t的最小值．【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P 为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；。

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。

中考数学圆与相似的综合复习附答案解析一、相似1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∴代入，得解得∴抛物线对应二次函数的表达式为：（2）解：如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．由得对称轴为直线x=1，∴∴∴为等腰直角三角形．∴∴∴∴为等腰三角形．设∴在中，∴∴整理，得解得，∴点P的坐标为或（3）解：存在点M，使得∽．如图，连结∵∴为等腰直角三角形，∴由（2）可知，∴∴分两种情况．当时，∴，解得．∴∴当时，∴，解得∴∴综上，点M的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。

2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。