【物理】1.4《探究单摆的振动周期》教案(粤教版选修3-4)

探究单摆的振动周期教案

摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。

补充：机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。

提问：单摆的回复力又由谁来提供？

2．单摆的回复力

要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。单摆从A位置释放，

沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时

摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分

解成切线方向分力G1和沿半径方向G2，悬线拉力T和G2合力必然

沿半径指向圆心，提供了向心力。那么另一重力分力G1不论是在O

左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G1作用下摆球才能

回到平衡位置。（此处可以再复习平衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。）因此G1就是摆球的回复力。

回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动

是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近

似：（1）sinα≈α；（2）在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。

这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜5°。

在分析了推导过程后，给出结论：α＜5°的情况下，单摆的回复力为

满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，

当α＜5°时，单摆振动是一种简谐运动。

3．单摆振动是简谐运动

特征：回复力大小与位移大小成正比，方

向与位移方向相反。

但这个回复力的得到并不是无条件的，一

定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有

这个特征。这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

条件：摆角α＜5°。

前面我们所学简谐运动是以弹簧振子系统为例，单摆振动和弹簧振子不同，从回复力上说，虽然都具有同一特征，却由不同的力来提供。弹簧振子回复力由合力提供，而单摆则是由重力的一个分力来提供回复力。这是回复力不同，那么其他方面，还有没有不同呢？我们在学习弹簧振子做简谐运动时，还提到过弹簧振子系统周期与振幅无关，那么单摆的周期和振幅有没有关系呢？下面我们做个实验来看一看。

4．单摆的周期

要研究周期和振幅有没有关系，其他条件就应不变。这里有两个单摆（展示单摆），摆长相同，摆球质量不同，这会不会影响实验结果呢？也就是单摆的周期和摆球的质量有没有关？那么就先来看一下质量不同，摆长和振幅相同，单摆振动周期是不是相同。

演示1]将摆长相同，质量不同的摆球拉到同一高度释放。

现象：两摆球摆动是同步的，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不会受影响。

那么就可以用这两个单摆去研究周期和振幅的关系了，在做之前还要明确一点，振幅是不是可任意取？这个实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。

[演示2]摆角小于5°的情况下，把两个摆球从不同高度释放。

现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期和振幅无关。

刚才做过的两个演示实验，证实了单摆振动周期和摆球质量、振幅无关，那么周期和什么有关？由前所说这两个摆摆长相等，如果L不等，改变了这个条件会不会影响周期？

[演示3]

取摆长不同，两个摆球从某一高度同时释放，注意要α＜5°现象：两摆振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动和摆长有关。具体有什么关系呢？经过一系列的理论推导和证明得到周期公式：（荷兰物理学家惠更斯发现）

同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜5°。

条件：摆角α＜5°

且我们还可以根据这个周期公式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。

提问：由以上演示实验和周期公式，我们可知道周期与哪些因素有关，与哪些因素无关？

答：周期与摆长和重力加速度有关，而与振幅和质量无关。

单摆周期的这种与振幅无关的性质，叫做等时性。单摆的等时性是由伽利略首先发现的。钟摆的摆动就具有这种性质，摆钟也是根据这个原理制成的，据说这种等时性最早是由伽利略从教堂的灯的摆动发现的。如果条件改变了，比如说（拿出摆钟展示）这个钟走得慢了，那么就要把摆长调整一下，应缩短L，使T减

五、

小；如果这个钟在北京走得好好的，带到广州去会怎么样？由于

广州g小于北京的g值，所以T变大，钟也会走慢；同样，把钟

带到月球上钟也会变慢。

(秒摆—周期为2秒的单摆)

补充：1、等效摆长问题：

上面两个图的周期分别为：

T1= T2=

2、等效重力加速度问题：

①将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的，

倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图。

A．摆球做简谐运动的回复力为：

B．摆球做简谐运动的周期为：

C．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为：

②将单摆放在加速上升的电梯中则周期为T=

【知识运用】

例题1．甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动

的图象如图，由图可知

A．甲和乙的摆长一定相等

B．甲的摆球质量较小

C．甲的摆角大于乙的摆角

D．摆到平衡位置时，甲和乙摆线所受的拉力可能相等。

例题2．用单摆测定当地的重力加速度：

α

θ