第五章 图论简介(运筹学,中央财经大学)

图论在运筹学中的名词解释一、引言运筹学是一门研究复杂问题的学科，它借助各种数学方法和技术，帮助我们做出最佳的决策。

图论作为运筹学的重要工具之一，被广泛应用于解决各类实际问题。

本文将就图论在运筹学中的几个重要名词进行解释和探讨。

二、图图是图论的核心概念之一。

它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。

在运筹学中，图可以用来描述和分析各种现实场景。

比如，交通网络可以用图来表示，道路是边，路口是顶点；社交网络可以用图来表示，用户是顶点，社交关系是边。

通过构建和分析图，我们可以揭示事物之间的关联性和特征，并利用这些信息进行决策。

三、路径路径是图论中一个重要概念。

它指的是在图中顶点之间连接的一系列边的序列。

在运筹学中，路径常常被用来表示两个顶点之间的最佳路线或最优解。

比如，在物流配送中，我们需要找到从仓库到目的地的最短路径，以最大程度地降低运输成本和时间。

通过图论的路径算法，我们可以高效地找到这样的最短路径，为物流管理提供有效支持。

四、最小生成树最小生成树是一种特殊的图结构，它是原图的一个子图，包含了所有顶点，但只有足够的边连接这些顶点，并使得整个图的总权重最小。

在运筹学中，最小生成树常常被用于解决资源分配和网络设计等问题。

比如，在电力输送系统中，我们需要将发电站和各个消费点以最短的电网连接起来，以确保电能的高效分配和传输。

通过构建最小生成树，我们可以优化电网的布局，降低能源损耗，提高供电可靠性。

五、网络流网络流是图论中的一个重要概念，它用来描述在一个有向图中通过各个边所能承载的最大流量。

在运筹学中，网络流被广泛应用于流程设计和资源调度问题。

比如，在工厂生产调度中，我们需要在供应链上对原材料、组件和成品进行优化配送，以实现最佳生产效率和降低成本。

通过分析网络流，我们可以确定各个节点的产能和需求，从而优化生产计划和物流调度。

六、最短路径最短路径是图论中的一个重要问题，即在图中找到连接两个顶点的最短路径。

在运筹学中，最短路径经常被用于解决物流和通信等问题。

图论的基本概念和应用图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。

图的定义图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构。

节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图有向图中，边是有方向的，表示从一个节点到另一个节点的关系。

如果从节点A到节点B存在一条边，那么我们称节点A指向节点B。

无向图无向图中，边是没有方向的，表示两个节点之间的关系。

如果两个节点之间存在一条边，那么我们称这两个节点是相邻的。

图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。

邻接矩阵邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列分别表示图中的节点，数组元素表示节点之间是否存在边。

如果节点i和节点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。

邻接表邻接表是一种链表的形式，其中每个节点都有一个链表，链表中存储了与该节点相邻的节点。

邻接表更加节省空间，适用于稀疏图。

图的遍历图的遍历是指从图中的某个节点出发，按照一定规则依次访问图中的所有节点。

常见的图遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种递归的遍历算法，从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图中的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续访问其他未被访问过的节点。

广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种非递归的遍历算法，从起始节点开始，按照距离起始节点的距离逐层访问图中的节点。

首先访问起始节点，然后访问与起始节点相邻的所有节点，再访问与这些相邻节点相邻的所有未被访问过的节点，以此类推。

图的应用图论在许多领域都有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

社交网络分析社交网络是一个典型的图结构，其中节点表示用户，边表示用户之间的关系。

通过对社交网络进行图论分析，可以研究用户之间的关系、社区发现、信息传播等问题。

图论知识点总结•对应简单图的度序列，在同构意义下可能不止一个•简单图的度序列最大度一定要小于等于n-1•只要和为偶数就是图的度序列•若图中两点u与v间存在途径，则u与v间存在路•若过点u存在闭迹，则过点u存在圈•一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈•无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系•有向图的顶点之间的单向连通关系不是等价关系•一个简单图G的n个点的度不能互不相同•无向图的邻接矩阵的行和对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的所有元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素等于对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的特征值的平方和等于边数的2倍•若G是非连通的，则邻接矩阵相似于某个对角矩阵•树一定是连通无圈图•树G无环且任意两点之间存在唯一的路•树无回路但任意添加一条边后有回路•回路是边不重的圈的并•如果一个闭迹不是一个圈，那么它一定是没有重边的圈的并集。

•n阶树T的形心由一个点或两个相邻点组成。

•若T只有一个形心，则形心的权小于n/2•若T有两个形心，则形心的权等于n/2•树T的对偶图全是环•G是极大平面图的充要条件各面的次数均为3且为连通图每个n方体都有完美匹配由n方体的构造知：n方体有2n个顶点，每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。

划分顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。

X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。

所以n方体是偶图。

很容易验证n方体的每个顶点度数为n，所以n方体是n正则偶图。

因此，n方体存在完美匹配。

树T有完美匹配当且仅当对所有顶点v∈T，o(T-v)=1必要性：树T有完美匹配，由Tutte定理知o(T-v)≤|{v}|=1显然T是偶数阶的图，o(T-v)≥1.因此o(T‒v)=1。

充分性：对于T的任意顶点v，假设Tv是T-v仅有的奇分支，且Tv与v之间的边为uv。

图论的基本定义和应用图论是一门数学分支，它以图这一数学结构为基础，研究各种图上的问题。

图是一种结构，包括顶点和边，顶点代表图中的元素，边描述元素之间的关系。

图论是研究图这一数学结构的性质和应用的学科。

图的基本定义在图论中，一个图由顶点集合V和边集合E组成，一般记为G = (V, E)。

其中，V是图中所有顶点的集合，E是图中所有边的集合。

如果边是由独立的顶点对构成的，就称这种图为无向图；如果边是由有序的顶点对构成的，就称这种图为有向图。

每条边都可以表示为(e,u,v)，其中e是边的标识，u和v是与边相连的两个顶点。

图的结构在图论中，有些图具有特定的结构，这些结构可以被用于解决各种各样的问题。

下面是一些常见的图结构。

树型结构：树是一种无环连接的图，其中有一个特殊的顶点称为根。

在树中，从根到任意一个顶点所经过的边所构成的路径都是唯一的。

树是一种重要的数据结构，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

环型结构：环也是一种无向图，但是它具有特定的环形结构，其中每个顶点都与它相邻的两个顶点相连。

环型结构被广泛应用于通信网络和其他领域的设计中。

网状结构：网状结构是由多个环型结构和其他结构组合而成的图，其中有多个顶点是连接到其他顶点上的。

网状结构在物流和电力等领域中被广泛应用。

图的应用图论被广泛应用于计算机科学、工程和管理学等领域。

下面是一些常见的图论应用。

路由算法：在通信网络中，路由算法被用来确定包从源节点到目标节点的最佳路径。

路由算法可以利用图的结构来计算最短路径或其他优化路径。

最优化问题：许多最优化问题可以被转换为图的形式，例如最短路径问题和最小生成树问题。

通过使用图的模型来解决这些问题可以提高效率和可靠性。

社交网络分析：社交网络可以用图的形式进行建模，每个人都是一个顶点，他们之间的关系可以表示为边。

通过社交网络分析，可以了解网络中的信息流动模式和社交结构。

总结图论是一门广泛应用于各种学科的数学分支，其基本定义包括顶点和边。

第五章图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18 世纪。

第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。

1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。

1857 年，凯莱在计数烷C n H2n+2 的同分异构物时，也发现了“树”。

哈密尔顿于1859 年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。

如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。

图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。

哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。

在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。

图 1 哥尼斯堡七桥问题当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。

欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。

他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。

问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。

欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。

图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。

图论简介图论属于拓扑学topology。

拓扑学分为一般拓扑学和代数拓扑学，前者来源于数学分析，最终研究一般的拓扑空间和一般的拓扑结构，而后者来源于几何，实际上是一种几何学的分支。

我们主要讨论后者，重点是利用图形的几何拓扑性质。

拓扑性质，就是几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保持的性质，只是这种变形要求原来不再一起的点不能粘在一起，原来一起的点也不能断开，也就是图形变换前后每点附近的点还是在附近。

这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，称为同胚。

一个图形和它同胚的图形称为拓扑等价。

拓扑学就是研究图形的拓扑性质。

也就是图形经过连续变换下，保持不变的性质。

图论以图为研究对象的数学分支。

图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。

通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。

图论则是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。

看一些例子：一、哥尼斯堡七桥问题。

当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题。

最有代表性的工作是著名数学家L.Euler于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg Seven Bridges Problem)。

东普鲁士的哥尼斯堡城(现今是俄罗斯的加里宁格勒，在波罗的海南岸）位于普雷格尔(Pregel)河的两岸，河中有一个岛，于是城市被河的分支和岛分成了四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。

如同德国其他城市的居民一样，该城的居民喜欢在星期日绕城散步。

于是产生了这样一个问题：从四部分陆地任一块出发，按什么样的路线能做到每座桥经过一次且仅一次返回出发点。

这就是有名的哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡七桥问题看起来不复杂，因此立刻吸引所有人的注意，但是实际上很难解决。

瑞士数学家(Leonhard Euler)在1736年发表的“哥尼斯堡七桥问题”的文章中解决了这个问题。

这篇论文被公认为是图论历史上的第一篇论文，Euler也因此被誉为图论之父。

欧拉把七桥问题抽象成数学问题---一笔画问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问题不存在解。