专题一 三角函数与平面向量

三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系三角函数是数学中重要的一部分，它描述了一个角度与其对应的三角比例之间的关系。

在平面向量的应用中，我们也经常需要判断向量之间的共线与垂直关系。

本文将从三角函数的基本关系和计算平面向量的共线与垂直关系两个方面进行探讨。

一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正弦值为对边与斜边的比值，记为sinθ。

2. 余弦函数（cosine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其余弦值为邻边与斜边的比值，记为cosθ。

3. 正切函数（tangent）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正切值为对边与邻边的比值，记为tanθ。

这三个函数之间存在基本的关系，可以通过定义和几何关系来推导，具体推导如下：1. tanθ = sinθ / cosθ；2. sin^2θ + cos^2θ = 1，两边同时除以cos^2θ，得到tan^2θ + 1 =sec^2θ，其中secθ为secant函数的值；3. cos^2θ + sin^2θ = 1，两边同时除以sin^2θ，得到1 + cot^2θ =csc^2θ，其中cscθ为cosecant函数的值。

这些基本关系在解三角方程和求解三角函数的值时非常有用。

二、计算平面向量的共线与垂直关系平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以通过坐标或者位移来表示。

当我们需要判断向量之间的共线与垂直关系时，可以利用向量的内积和外积来进行计算。

1. 共线关系若两个向量a和b共线，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。

这可以通过向量的坐标表示进行计算。

假设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，则它们的数量积为x1 * x2 + y1 * y2。

若两个向量的数量积等于零，则它们是共线的。

2. 垂直关系若两个向量a和b垂直，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。

平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。

平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。

对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。

2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。

根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。

3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。

单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。

二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。

它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。

余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。

正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。

具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。

2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值一、填空题（共10小题）1. 已知 cosθ=−513，θ 为第二象限角，则 tanθ= ．2. 若 tanα=2，则 sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α= ．3. 求值：(tan3∘+1)(tan42∘+1)= ．4. 计算：cos 2π8−sin 2π8= ．5. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是 ．6. 已知 sin (x +π6)=14，则 sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)= ．7. 若 tanα=34，则 cos 2α+2sin2α= ．8. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．9. 若将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ．10. 若 tanα=12，tan (α−β)=−13，则 tan (β−2α)= ．二、解答题（共6小题）11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (x 1,y 1) 在单位圆 O 上，∠xOA =α，且 α∈(π6,π2)．（1）若 cos (α+π3)=−1113，求 x 1 的值；（2）若 B (x 2,y 2) 也是单位圆 O 上的点，且 ∠AOB =π3，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C ，D ，记 △AOC 的面积为 S 1，△BOD 的面积为 S 2．设 f (α)=S 1+S 2，求函数 f (α) 的最大值．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P (x 1,y 1)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 π2 后与单位圆交于点 Q (x 2,y 2)，记 f (α)=y 1+y 2．（1）求函数f(α)的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=√2，且a=√2，c=1，求b的值．13. 已知α为锐角，cos(α+π4)=√55.（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin(2α+π3)的值14. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是−2，其图象经过点M(π3,1)．（1）求f(x)的解析式；（2）已知α,β∈(0,π2)，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α−β)的值．15. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)−√3sin(2x−π6)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16. 已知函数f(x)=12sin2x−√3cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求g(x)的值域．答案1. −1252. 1653. 24. √225. 1−√2【解析】函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 可整理为： f (x )=√2sin(2x +π4)+1 ． 6. 916【解析】sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+sin [π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+cos 2(x +π6)=1916.7. 6425【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=6425. 8. x =π6,5π6【解析】3sinx =2−2sin 2x ，即 2sin 2x +3sinx −2=0．所以 (2sinx −1)(sinx +2)=0，所以 sinx =12，所以 x =π6,5π6．9. π6 【解析】方法一：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．因为函数 y =2sinx 的图象至少向左平移 π2 个单位长度后可得到关于 y 轴对称的图象，所以 m +π3 的最小值是 π2，故 m 的最小值是 π6． 方法二：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．令 x +m +π3=π2+kπ(k ∈Z )，得函数图象的对称轴方程为 x =−m +π6+kπ(k ∈Z )．因为图象关于 y 轴对称，所以令 x =−m +π6+kπ=0，得 m =π6+kπ(k ∈Z )．又因为 m >0，所以 m 的最小值是 π6．10. −17【解析】由题意知tan(β−2α)=tan[(β−α)−α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)⋅tanα=13−12 1+13×12=−17.11. （1）126．（2）√34．12. （1）(1,√2]（2）113. （1）因为α∈(0,π2)，所以α+π4∈(π4,3π4)，所以sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=2√55，所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2．（2）因为sin(2α+π2)=sin[2(α+π4)]=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√55×√55=45,cos(2α+π2)=cos[2(α+π4)]=2cos2(α+π4)−1=−35,所以sin(2α+π3)=sin[(2α+π2)−π6]=sin(2α+π2)cosπ6−cos(2α+π2)sinπ6 =45×√32−(−35)×12=4√3+310.14. （1）f(x)=2cosx．（2）12665．15. （1）由题意知，f(x)=sin(2x+π3)+√3cos(2x+π3)=2sin(2x+2π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，解得x∈[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z．（2）因为x∈[−π6,π3 ]，所以π3≤2x+2π3≤4π3．当2x+2π3=π2，即x=−π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值−√3．16. （1）最小正周期为π，最小值为−2+√32．（2）[1−√32,2−√32]．。

平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。

常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。

二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。

具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。

数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。

数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。

叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。

叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。

五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。

六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。

具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。

而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。

三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。

而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。

三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

（1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。

如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。

具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。

（2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。

平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。

这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。

通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。

（3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。

比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。

总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。

只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。

本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。

一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。

假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。

其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。

二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。

设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。

其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。

另外，向量还可以用角度来表示。

假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。

其中，arctan表示反正切函数。

三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。

设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相加。

向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相减。

四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。

根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。

其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。

2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是一个拥有大小和方向的量。

它可以表示为一个有序的数对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。

与此同时，三角函数是数学中重要的函数类别之一。

它们描述了角度和边长之间的关系，并且在三角学、物理学和工程学等学科中扮演着重要的角色。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并说明它们在解决实际问题中的应用。

1. 平面向量的表示与三角函数平面向量可以由其模长和方向角来表示。

模长表示向量的大小，方向角表示向量与x轴的夹角。

根据三角函数的定义，我们可以将平面向量与三角函数联系起来。

1.1 向量的模长与三角函数给定一个平面向量(a, b)，它的模长可以表示为|v| = √(a^2 + b^2)。

在直角三角形中，我们可以将a和b看作直角边的长度。

根据三角函数的定义，我们可以得到：sinθ = b / |v|cosθ = a / |v|其中，θ表示向量与x轴的夹角。

1.2 向量的方向角与三角函数方向角可以通过反三角函数来计算。

给定一个平面向量(a, b)，我们可以计算其方向角θ：θ = arctan(b / a)在计算方向角时，应注意选择合适的反三角函数以确保在不同象限中得到正确的值。

2. 平面向量的运算与三角函数平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

与此同时，三角函数也可以应用于向量的运算中。

2.1 向量的加法与三角函数设有两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的和向量w = u + v可以表示为：w = (a + c, b + d)在计算过程中，我们可以将三角函数应用于向量的对应分量上。

2.2 向量的减法与三角函数同样地，给定两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的差向量w = u - v可以表示为：w = (a - c, b - d)我们可以通过将三角函数应用于向量的对应分量来计算差向量。

三角函数与平面向量现在考虑一个平面上的点\(P(x, y)\)，假设\(r\)是\(O\)到\(P\)的距离，我们可以用向量\(\vec{v} = (x, y)\)表示\(P\)点，它的模长即为\(\，\vec{v}\， = r\)。

那么，\(P\)点的极坐标表示为\((r,\theta)\)，其中\(\theta\)是\(OP\)与正半轴\(OX\)之间的夹角。

根据三角函数的性质，我们有以下关系：\[\begin{align*}\cos \theta & = \frac{x}{r} = \frac{a}{\，\vec{v}\，}, \\\sin \theta & = \frac{y}{r} = \frac{b}{\，\vec{v}\，}, \\\tan \theta & = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}.\end{align*}\]接下来，讨论三角函数与平面向量之间的一些重要性质。

首先是三角函数的周期性。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为\(2\pi\)。

也就是说，对于任意\(x\)，我们都有\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)和\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)。

这说明三角函数的值在\(2\pi\)的整数倍处重复。

类似地，正切函数是周期为\(\pi\)的周期函数。

另外一个重要的性质是三角函数的正交关系。

设\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是两个非零向量，它们的夹角为\(\theta\)。

那么，我们有以下等式成立：\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \，\vec{u}\， \，\vec{v}\， \cos \theta.\]其中，\(\vec{u} \cdot \vec{v}\)表示两个向量的点积。

如果夹角为\(\frac{\pi}{2}\)，即两个向量垂直，那么点积为0。

三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。

本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。

二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。

向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。

而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。

2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。

设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。

通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。

3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。

设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。

三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。

通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。

2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。

通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。

3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。

通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。

三角函数和平面向量三 角 函 数一、本章知识结构二、高考要求1．理解角的有关概念，并能进行弧度与角度的互换。

2．掌握三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象。

3．掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。

4．掌握正弦、余弦定理，并能应用解三角形。

5．掌握平面向量有关知识，如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等，会用向量方法解决简单问题。

常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。

易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。

必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。

三、热点分析1．三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐，一般出现在前两个解答题的位置。

无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。

2．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是研究空间中的对象之一。

它由有向线段表示，具有大小和方向。

而三角函数则是描述角度的函数，涉及到三角形的性质和三角函数的定理。

在本文中，将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。

一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。

假设有平面上的一个向量A，可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。

其中，x表示向量A在x轴上的投影长度，y表示向量A在y轴上的投影长度。

例如，向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为4。

二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以使用勾股定理来计算。

设向量A = (x, y)，则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。

方向角可以使用反正切函数来计算。

设向量A的方向角为θ，可以使用θ=arctan(y/x)来计算。

三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。

设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2)；向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。

四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。

设向量A = (x1,y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。

根据数量积的定义，向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示，即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外，向量还可以进行叉积运算。

向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。

设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。

根据叉积的定义，向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示，即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。

平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。

本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。

向量加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。

二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。

二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通过坐标表示，我们可以进行向量的运算，并用向量表示点、线段以及其他几何对象。

三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。

平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，可以使用三角函数来计算。

四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。

对于任意一个角，可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。

而在平面向量中，向量的方向角正是角的一种度量。

六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。

单位向量是模为1的向量，通过标准化平面向量，可以得到单位向量。

七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。

数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。

八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。

例如，通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。

同时，三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第一讲 三角函数与平面向量综合考点题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2010）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.【跟踪训练】1．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，(cos ,sin ),c x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d ．地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．3.(北京理） 已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）4.（北京）已知函数f(x)=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f(α)的值.5.（北京）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．数学史人物：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨莱布尼茨，一般指戈特弗里德·威廉·莱布尼茨弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz ，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。