(家教培优专用)人教版数学八年级下册--二次根式的乘除法-知识讲解(提高)

人教版数学八年级下册说课稿：第16章二次根式的乘除法（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第16章《二次根式的乘除法（一）》是学生在学习了二次根式的概念、性质以及二次根式的加减法之后，进一步深入学习二次根式的乘除法。

本章内容较为抽象，是学生对二次根式知识的进一步拓展，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

本章内容包括二次根式的乘法和除法运算。

二次根式的乘法运算涉及到两个二次根式相乘，需要将它们的系数相乘，根号内的式子相乘，并根据乘法分配律进行化简。

二次根式的除法运算则是将一个二次根式除以另一个二次根式，需要将除数和被除数分别相乘，并将结果化简。

二. 学情分析学生在学习本章内容时，需要具备一定的数学基础，包括二次根式的概念、性质，以及二次根式的加减法运算。

此外，学生还需要具备一定的逻辑思维能力和化简能力。

在实际教学中，我发现部分学生在进行二次根式的乘除法运算时，容易混淆概念，对根号内的式子相乘和化简过程理解不透彻。

因此，在教学过程中，我需要针对这部分学生进行有针对性的讲解和辅导，帮助他们巩固基础知识，提高运算能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的乘除法运算方法，能够熟练进行二次根式的乘除法运算。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次根式的乘除法运算规律，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的乘除法运算方法及步骤。

2.教学难点：二次根式乘除法运算中根号内的式子相乘和化简过程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究、讨论和交流。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。

《二次根式的乘除》知识全解课标要求1．了解二次根式的乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；2．理解最简二次根式的概念，并利用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 知识结构内容解析1．二次根式的乘法法则 一般地，对于二次根式的乘法规定a ·b ＝ab (0,0)a b ≥≥，即二次根式相乘，把被开放数相乘，根指数不变．注意：（1）在进行二次根式的乘法运算中，一定不能忽略被开方数a b 、均为非负数．（2）此法则可以推广到多个二次根式进行运算，如(0,0,0)x y z xyz x y z ⋅⋅=≥≥≥．（3）当二次根式前面有系数时可类比单项式乘单项式的法则进行运算，(0,0)m x n y mn xy x y ⋅=≥≥，即系数之积作为系数，被开放数之积作为被开方数．2．二次根式乘法法则的逆用ab a ·b (0,0)a b ≥≥．即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积． 公式中的条件是限制等号右边的，而对于左边只需0ab ≥(2)(3)-⨯-(2)(3)23-⨯-=--(2)(3)232 3.-⨯-=⨯=3．二次根式的除法法则a ab b=(0,0)a b ≥>． 也就是说两个二次根式相除，把被除数根号内的数除以除数根号内的数的商作为被开方数，根指数不变，并将所得结果化简，这就是二次根式的除法法则，在运用除法法则时需注意以下几点：（1）只有当0,0a b ≥>时，式子才成立，如果a b 、都是负数，虽然0a b >，a b 有意义，但a b 、在实数范围内无意义，如4499--≠--，而应为4442===9939--，若0b =，则a b无意义． （2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数再计算，如194必须化成374，以避免出现类似119=944⨯的错误． 4．二次根式除法法则的逆用(0,0)a a a b b b=≥>．这就是说：算术平方根的商，等于商的算术平方根． 公式中的条件主要是限制等号右边的，对于左边只需要0(0)a b b≥≠，23--2233--=--22263333-===- 5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．被开放书中不含分母，也就是被开方数必须是整数或整式，被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1．二次根式的乘除运算的结果要写成最简二次根式的形式，将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式的形式．重点难点本节的重点是：a ·b ab （a ≥0，b ≥0，ab a ·b （a ≥0，b ≥0，a ba b （a ≥0，b >0）a b a b（a ≥0，b >0）及运用．教学重点的解决方法：从具体例子出发，让学生通过对具体例子的计算发现规律，从而猜想、归纳、总结出二次根式的乘除法法则，并进一步通过计算验证法则的正确性．整个教学过程中由浅入深，循序渐进，逐步深入，适当点拨并与学生充分讨论交流形成共识，类比以往学过的积的算术平方根的性质，设置由浅入深一些练习题，加深对公式、概念的理解与掌握．本节的难点是：二次根式的乘除法法则的逆用ab=a·b（a≥0，b≥0），a b =ab(0,0)a b≥>．教学难点的解决方法：注重分析使得公式有意义的条件，如公式ab=a·b(0,0)a b≥≥中的条件是限制等号右边的，而对于左边只需0ab≥即可，(2)(3)-⨯-(2)(3)23-⨯-=--，而应为(2)(3)232 3.-⨯-=⨯=设置一些由浅入深的习题，通过老师与学生、学生与学生的相互交流来解决难点．教法导引（1）加大学生探索空间，体现由具体到抽象的认识过程根据本节内容的特点，对于二次根式的乘除法法则，编写时注意让学生通过经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程．例如，对于二次根式相乘的乘法法则，教科书首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题，学生通过具体计算，然后利用计算器进行验证，最后归纳得出二次根式的乘法运算法则，这个过程实际上让学生通过探究活动经历了一个由具体到抽象的认识过程；再如，二次根式的除法运算法则也是采用通过学生的探索活动，由具体到抽象地归纳得出结论的方法．（2）适当加强练习，为后续学习打好基础二次根式的乘除运算是后续学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数的重要基础．例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加、减、乘、除运算；在“一元二次方程”一章中，利用公式法解方程时，会用到二次根式的乘除法则．再有，本节主要内容是二次根式的化简和运算，掌握化简的方法和运算规律需要一定的训练．因此，教学中可适当加强练习，使学生较好的掌握二次根式的乘除运算，为后续的学习打下良好的基础．学法建议学习本课知识要建立在充分掌握上一节二次根式的概念与性质的基础上，因此在学习本课知识前需对上一节知识进行复习巩固，加深对上一节知识的理解．在推导二次根式乘除法法则的过程中，通过观察思考、讨论交流、探究反思、归纳总结等学习活动，注重体会一般到特殊的思想方法．对于本节的学习，应在掌握上一节知识点的基础上，着重领会并掌握以下几点：1．二次根式的乘除法法则；2．二次根式的乘除法法则的逆用；3．会进行二次根式乘除混合运算；4．理解最简二次根式的概念，最终将二次根式化成最简形式．。

八年级下册数学：深入探索二次根式的乘除运算一、引言在八年级下册的数学学习中，二次根式的乘除运算是我们必须掌握的重要内容之一。

这一章节不仅要求我们理解二次根式的概念，还要掌握其乘除运算的规则和方法。

通过学习和实践，我们可以发现二次根式的乘除运算在实际生活中有着广泛的应用，如计算面积、体积等。

因此，本文将详细解析二次根式的乘除运算，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、二次根式的概念在探讨二次根式的乘除运算之前，我们首先需要了解什么是二次根式。

二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式，其中a是一个非负实数。

例如，√4、√9等都是二次根式。

二次根式的一个重要性质是，它们可以表示为一个实数的平方。

例如，√4=2，√9=3。

三、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算遵循一定的规则。

当两个二次根式相乘时，我们可以将它们的被开方数相乘，然后再开方。

具体来说，如果有两个二次根式√a和√b（a≥0，b≥0），那么它们的乘积为√(a×b)。

例如，√4×√9=√(4×9)=√36=6。

此外，如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们相乘的结果就是这个被开方数的平方根与被开方数本身的乘积。

例如，√2×√2=2。

四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算也有其特定的规则。

当两个二次根式相除时，我们可以将被除数和除数的被开方数相除。

具体来说，如果有两个二次根式√a和√b（a≥0，b>0），那么它们的商为√(a/b)。

例如，√8÷√2=√(8/2)=√4=2。

需要注意的是，在进行二次根式的除法运算时，我们必须确保除数的被开方数大于0，否则运算将没有意义。

五、实际应用二次根式的乘除运算在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在计算矩形的面积时，我们需要将矩形的长和宽相乘，这就涉及到了二次根式的乘法运算。

同样地，在计算圆柱体的体积时，我们需要将圆柱体的底面积和高相乘，这也涉及到了二次根式的乘法运算。

人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3一. 教材分析《二次根式的乘除》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行学习的。

二次根式的乘除法运算是初中数学中的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。

本节内容主要让学生掌握二次根式的乘除法运算规则，理解并掌握二次根式乘除法运算的性质和规律，提高学生的数学运算能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和加减法运算，但对于二次根式的乘除法运算可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式的乘除法运算规则，通过大量的练习，让学生熟练掌握二次根式的乘除法运算。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的乘除法运算规则。

2.提高学生的数学运算能力。

3.培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.二次根式的乘除法运算规则。

2.二次根式的混合运算。

五. 教学方法1.讲解法：教师通过讲解，让学生理解二次根式的乘除法运算规则。

2.练习法：让学生通过大量的练习，熟练掌握二次根式的乘除法运算。

3.小组合作法：让学生通过小组合作，共同探讨二次根式的乘除法运算，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.PPT课件：教师需要准备PPT课件，用于展示二次根式的乘除法运算规则。

2.练习题：教师需要准备适量的练习题，用于让学生进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次根式的性质和加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算学习。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，呈现二次根式的乘除法运算规则，让学生初步了解二次根式的乘除法运算。

3.操练（10分钟）教师让学生进行二次根式的乘除法运算练习，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则。

4.巩固（10分钟）教师通过讲解和练习，让学生巩固二次根式的乘除法运算规则。

5.拓展（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算，提高学生的数学运算能力。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.2二次根式的乘除专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A．1B C D．1【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B B符合题意；C C不符合题意；DD不符合题意；故选：B．2．（2022秋•北碚区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）A．2=−2B=−2C D×4【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．【解答】解：（2＝2≠﹣2，故A错误；=2≠﹣2，故B错误；C错误；=4，故D正确．故选D．3．（2022秋•辉县市校级月考）计算：3÷1的值为（ ）A B．3C D．9【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：3÷=×1故选：A ．4．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是（ ）A =−3B =2C 213D ．2=10【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．【解答】解：A =3，故此选项不合题意；B 2，故此选项符合题意；C ==D ．（﹣2＝20，故此选项不合题意；故选：B ．5．（2022秋•小店区校级月考）下列各式的化简正确的是（ ）A ⋅=（﹣2）×（﹣7）＝14B =C==D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A 、原式=×=2×7＝14，故A 不符合题意．B 、原式==B 不符合题意．C 、原式C 符合题意．D 、原式D 不符合题意．故选：C．6．（2022•吴中区模拟）实数a，b|a+b|结果为（ ）A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．【解答】解：由题意：b＜a＜0，∴a＜0，a+b＜0．|a+b|＝﹣a﹣a﹣b＝﹣2a﹣b，故选：B．7．（2022春•遵义期中）当x＝﹣3时，m等于（ ）A B C D【分析】把x＝﹣3代入解答即可．【解答】解：当x＝﹣3时，原式＝＝∵∴m=故选：B．8．（2022春•x的取值范围是（ ）【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x−2≥0x＞0，解得：x≥2，故选：D．9．（2022春•云阳县期中）若2＜a＜3A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣1【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．【解答】解：∵2＜a＜3，＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．10．（2022春•长兴县月考）已知a＝2020×2022﹣2020×2021，b=c=则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】分别将a、b、c分别平方，再利用完全平方公式化简后对平方进行比较即可．【解答】解：∵a＝2020×2022﹣2020×2021＝2020×（2022﹣2021）＝2020，∴a2＝20202，∵b∴b2＝20232﹣4×2022＝（2022+1）2﹣4×2022＝（2022﹣1）2＝20212，∵c∴c2＝20212﹣1，∵20202＜20212﹣1＜20212，即a2＜c2＜b2，∵a、b、c都是大于0的数，∴a＜c＜b．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•朝阳区期中）计算：2=　13　．【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．【解答】解：2=13．故答案为：13．12．（2022秋• ．【分析】根据二次根式的性质计算即可．13．（2022秋•3﹣x 成立，则x 满足的条件是 x ≤3　．3﹣x ，得到x ﹣3≤0，然后解不等式即可．3﹣x ，∴x ﹣3≤0，解得x ≤3．故答案为：x ≤3．14．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：　−【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式==−13×=故答案为：15．（2022秋•=　2a ．【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：∵b ＜a ＜0＜﹣a ＜2＜﹣b ，∴a +2＞0，b ﹣2＜0，a ﹣b ＞0，∴原式＝|a +2|﹣|b ﹣2|+|a ﹣b |＝a +2+（b ﹣2）+a ﹣b＝a +2+b ﹣2+a ﹣b＝2a ，故答案为：2a ．16．（2022•南京模拟）若a ＜b 可化简为　b ﹣a ．−a（a＜0）化简即可．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣b＜0，=b﹣a，故答案为b﹣a．17．（2022春•x的取值范围为　−12≤x＜1　．【分析】根据商的算术平方根的性质即可得到结果．∴2x+1≥0 1−x＞0，解得：−12≤x＜1，故答案为：−12≤x＜1．18．（2022春•==…=a，b为正整数），则a+b＝　73　．n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可确定出a+b的值．【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，则a+b＝8+65＝73．故答案为：73．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•清水县校级月考）把下列二次根式化成最简二次根式：（1（2（3（4【分析】依据二次根式的性质以及分母有理化进行化简，即可得到最简二次根式．【解答】解：（1（2=（3=（4）1．20．（2022春•宁武县期末）计算：（1×；（2×．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=23（﹣=23×2（﹣×（﹣＝﹣（2）原式=×（=（×（=−23．21．（2022春•赵县月考）化简：（1（2（3（4【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的性质即可求出答案．（3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．（4）根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：（1）原式=12×2（2）原式=＝（3）原式（4）原式=22．（2022春•江阴市校级月考）计算或化简：（1）2（2）如图，实数a、b【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据数轴求出a、b的范围，根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝4＝（2）由数轴可知：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则原式＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣b+a＝﹣2b．23．（2022秋•新蔡县校级月考）发现①2＝　2　，2＝　23　；②　2　；=　23　；总结通过①②2（a≥0）与a a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用2的值．【分析】发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．【解答】解：发现：①2＝2，2=2 3，故答案为：2，2 3；|2|＝2=|−23|=23，故答案为：2，2 3；总结：2＝a（a≥0）=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)；应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，2＝8．24．（2022秋•=x，y为正整数）．材料二：观察、思考、解答：)2=2−2×1×12=+1=3﹣==)2．∴3﹣)2；1．（1（2a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．【分析】（1）把6写成5+1，利用上面的材料可得结论；（2）观察上面的两个材料得结论；（3）根据（2）先得到m、n与a、b的关系，再利用完全平方公式的变形得结论．【解答】解：（1====1．（2a，b，m，n均为正整数），则m+n＝a，mn＝b．（3）由于m、n、a、b=a，b，m，n均为正整数），∴m+n＝4，mn＝3．∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝16﹣2×3＝10．。

二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的观点形如 （ ）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但一定注意：由于负数没有平方 根，因此是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。

例 1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 、 x （ x>0 ）、 0、42、-2 、 1 、xx yx y （ x ≥ 0， y?≥ 0）．剖析：二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0．知识点二：取值范围1、 二次根式存心义的条件：由二次根式的意义可知，当 a ≧ 0 时， 存心义，是二次根式，因此要使二次根式存心义，只需使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无心义的条件：因负数没有算术平方根，因此当 a ﹤0 时， 没存心义。

例 2．当 x 是多少时， 3x 1 在实数范围内存心义？ 例 3．当 x 是多少时，2x 3 +1在实数范围内存心义？x1知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即0（ ）。

注：由于二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，因此非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方近似。

这个性质在解答题目时应用许多，如若，则 a=0,b=0 ；若 ，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。

例 4(1) 已知 y=2 x + x2 +5，求xy的值． (2) 若 a 1 + b 1 =0，求 a 2004+b 2004 的值1知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上边的公式也能够反过来应用：若，则，如：，.例 1 计算1．（3） 2 2．（3 5）2 3．（5） 2 4．（7） 2 2 6 2例 2 在实数范围内分解以下因式:（1） x2-3 （ 2） x4-4 (3) 2x 2-3知识点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 要点二、二次根式的除法1.除法法则： )a a a b a b b b==÷或（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a a a =来确定，如：a a 与a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a b +与a b ，a b a b 与，a x b y a x b y 与.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1） 21521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-【答案与解析】（1）原式=7111111171123(3()2872282711÷=⨯-⨯⨯⨯ =34- (2)原式=22122a a a a a -÷=-【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】b b a b a x xb a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=22225214633a b x a bx a b b--⨯⨯⋅÷+=225()()552 263()21812a b a b x b bbx a b a b-+⋅⋅==+-2.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3. 把下列各式分母有理化：522a b-a b+【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252=••= （2）b a b a ba b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--•-=-•--•-=--)()()(222222 （3）b a b a b a b a b a b a ba -=-•+-•-=+-)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.举一反三：99++14. 已知323x =+，323y =-，求下列各式的值：（1）x y x y +-；（2）223x xy y -+.【思路点拨】先把x 、y 的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】 2323743,7432323x y -+==-==++-（1）74374373743743x y x y +-++==---- 2222(2)3(743)3(73)(73)(73)194x xy y -+=---+++=【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.。