最新人教版八年级数学上册第十四章公式法1

14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解说课稿引言本篇说课稿是针对2022-2023学年人教版数学八年级上册第14章第3节第2课时的内容而撰写的。

本课时主要介绍了运用平方差公式进行因式分解的方法。

通过本节课的学习，学生能够熟练掌握运用平方差公式进行因式分解的基本步骤与方法。

教学目标1.理解平方差公式的含义和特点；2.学会运用平方差公式进行因式分解的基本方法；3.能够独立完成相关的练习题。

教学重点1.理解平方差公式的概念和特点；2.运用平方差公式进行因式分解。

教学难点运用平方差公式进行因式分解的策略与方法。

教学准备1.教师准备好相关教学课件和练习题；2.学生配备上课所需的教材和作业本。

教学过程导入新知1.导入前面所学的因式分解知识，复习平方差公式的相关内容。

学习新知2.引导学生了解平方差公式的概念和特点，包括：–平方差公式的一般形式：a2−b2=(a+b)(a−b)；–平方差公式的含义和作用：将一个二次式转化为两个一次式的乘积。

3.通过示例，引导学生掌握平方差公式的使用方法，并解释其推导过程。

示例包括：–9x2−16y2的因式分解；–4m2−1的因式分解；–a2−49b2的因式分解。

拓展练习4.让学生独立完成一些类似的练习题，巩固平方差公式的运用能力。

归纳总结5.归纳总结平方差公式的使用方法和注意事项，并与学生一起总结相关的解题策略。

课堂小结6.对本节课的要点进行简单总结和梳理，并提醒学生复习巩固相关知识。

课后作业1.完成课堂练习题；2.预习下一节课的内容。

教学反思本节课主要围绕平方差公式进行因式分解展开教学，通过示例和练习的形式，引导学生掌握平方差公式的使用方法和解题策略。

在教学过程中，学生对平方差公式的运用能力逐步提高，但仍有部分学生在推导过程中存在困难。

因此，在今后的教学中，可以采用更多的实例和练习，加强学生对公式的理解和运用能力，提高课堂的互动性，提供更多学生参与交流的机会，增强学生的学习兴趣和主动性。

15.4.2 公式法教学目标1．认识平方差公式与完全平方公式的特点．2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止．4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．教学重难点应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．教学过程导入新课〈方式1〉问题：在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一边长为7.25 cm的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？结果：12.752－7.252→联想到a2－b2＝＝(12.75＋7.25)(12.75－7.25)(a＋b)(a－b)＝20×5.5＝110(cm2)．〈方式2〉问题导入：问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．问题2：运用提公因式法分解因式的第一步是什么？提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．问题3：你能将a2－b2分解因式吗？要将a2－b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．推进新课【活动一】利用平方差公式分解因式问题：(1)你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？(2)你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．由(x＋2)(x－2)＝x2－4，得x2－4＝(x＋2)(x－2)；由(y＋5)(y－5)＝y2－25，得y2－25＝(y＋5)(y－5)．归纳：把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到因式分解的平方差公式注意和整式乘法里的平方差公式的区别．【活动二】应用公式，巩固夯实如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．【例1】 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1)a 2＋y 2(不能)；(2)m 2－n 2(能)； (3)－a 2＋b 2(能)；(4)－a 2－b 2(不能)． 【例2】 把下列各式分解因式： (1)4x 2－9；(2)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 分析、解答略．明确：①平方差公式中a ，b 可以表示任何一个单项式或多项式．②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系，需尝试转化为a 2－b 2的形式． 【活动三】 综合运用因式分解的方法分解因式 【例3】 把下列各式分解因式： (1)x 4－y 4；(2)a 3b －a B ． 分析：(1)x 4－y 4可以写成(x 2)2－(y 2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；(2)a 3b －ab 有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解． 解：略．点拨：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【例4】 利用平方差公式计算： 25×1012－992×25. 解：略．【活动四】 利用完全平方公式分解因式问题：你能将多项式a 2＋2ab ＋b 2与多项式a 2－2ab ＋b 2分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，则恰好是两个数的和或差的平方，我们把a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解． 归纳：把整式乘法的完全平方公式 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2即两个数的平方和加上((或差)的平方． 公式中的字母a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式． 【例5】 下列各式是不是完全平方式？ (1)a 2－4a ＋4；(2)x 2＋4x ＋4y 2；(3)4a 2＋2ab ＋14b 2；(4)a 2－ab ＋b 2；(5)x 2－6x －9；(6)a 2＋a ＋0.25. 解：略．【活动五】 应用公式，巩固夯实如果多项式是完全平方式，那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式． 【例6】 分解因式：(1)16x 2＋24x ＋9；(2)－x 2＋4xy －4y 2. 解：略．点拨：两个平方式都含负号，要提负号，再转化为完全平方式． 【活动六】 分解因式的综合运用及换元法思想 【例7】 把下列各式分解因式： (1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (2)(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36. 解：略．本课小结1．利用公式法分解因式．2．分解因式一般先观察有无公因式，如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式；如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止．因式分解学以致用因式分解是整式的一种重要的恒等变形，在解题中有着广泛的应用，借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题．一、用于求值【例1】 已知a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝m ＋4.求a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2的值．分析：根据已知条件，可得a ＋b －c ＝－1，再观察待求式可以变换为(a ＋b －c )2，将a ＋b －c ＝－1整体代入即可．解：a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2.因为a ＋b －c ＝12m ＋1＋12m ＋2－m －4＝－1，所以a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(－1)2＝1. 二、用于说理【例2】 已知a ，b ，c 为不相等的有理数，且(a －c )2－4(a －b )(b －c )＝0，试说明2b ＝a ＋C ．分析：要说明2b ＝a ＋c ，由已知条件，可将(a －c )2－4(a －b )(b －c )进行变形，得到(2b －a －c )2＝0.解：由已知，得(a －b ＋b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0， 则(a －b )2＋2(a －b )(b －c )＋(b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0. 所以(a －b )2－2(a －b )(b －c )＋(b －c )2＝0. 则[(a －b )－(b －c )]2＝0. 所以(a －b )－(b －c )＝0.故a ＋c －2b ＝0，即2b ＝a ＋C ． 三、用于求面积【例3】 长方形的周长为16 cm ，它的两边x ，y 满足(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0.求其面积．分析：根据周长可得x ＋y ＝8，要求长方形的面积，则需要根据(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0，再求出关于x ，y 的另一个关系式，然后解方程组求x ，y 的值即可．解：(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0变形为(x －y )2－2(x －y )＋1＝0， 则(x －y －1)2＝0.所以x －y －1＝0. 又因为x ＋y ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.5.所以长方形的面积为4.5×3.5＝15.75(cm 2)． 四、用于求整数【例4】 已知m ，n 均为正整数，且m 2－n 2＝68，求m ，n .分析：要求m ，n ，则应将m 2－n 2＝68进行变形，转化为二元一次方程组求解． 解：因为m ，n 为正整数，m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝68， 所以(m ＋n )(m －n )等于68×1或34×2或17×4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4.但⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4的解都不是整数，因此应舍去．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝16.五、用于比较大小【例5】 设a ＜b ＜c ＜d ，如果x ＝ca －ab ，y ＝cd －bd ，试比较x ，y 的大小．分析：要比较x ，y 的大小，可以通过作差的方法，比较x －y 与0的大小，当x －y ＞0时，x ＞y ；当x －y ＜0时，x ＜y ；当x －y ＝0时，x ＝y .解：因为a ＜b ＜c ＜d ，所以x －y ＝(ca －ab )－(cd －bd )＝a (c －b )－d (c －b )＝(a －d )(c －b )＜0.所以x ＜y .15．4.2 公式法教学目标1．认识平方差公式与完全平方公式的特点． 2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止． 4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法． 教学重难点应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．教学过程导入新课〈方式1〉问题：在一个边长为12.75 cm 的正方形内挖去一边长为7.25 cm 的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？结果：12.752－7.252 →联想到a 2－b 2＝ ＝(12.75＋7.25)(12.75－7.25) (a ＋b )(a －b ) ＝20×5.5＝110(cm 2)． 〈方式2〉 问题导入：问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．问题2：运用提公因式法分解因式的第一步是什么？ 提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．问题3：你能将a 2－b 2分解因式吗？要将a 2－b 2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．推进新课【活动一】 利用平方差公式分解因式问题：(1)你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？(2)你能将多项式x 2－4与多项式y 2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．由(x ＋2)(x －2)＝x 2－4，得x 2－4＝(x ＋2)(x －2)； 由(y ＋5)(y －5)＝y 2－25，得y 2－25＝(y ＋5)(y －5)．归纳：把整式乘法的平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2反过来，就得到因式分解的平方差公式注意和整式乘法里的平方差公式的区别． 【活动二】 应用公式，巩固夯实 如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．【例1】 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1)a 2＋y 2(不能)；(2)m 2－n 2(能)； (3)－a 2＋b 2(能)；(4)－a 2－b 2(不能)． 【例2】 把下列各式分解因式： (1)4x 2－9；(2)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 分析、解答略．明确：①平方差公式中a ，b 可以表示任何一个单项式或多项式．②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系，需尝试转化为a 2－b 2的形式． 【活动三】 综合运用因式分解的方法分解因式 【例3】 把下列各式分解因式： (1)x 4－y 4；(2)a 3b －a B ． 分析：(1)x 4－y 4可以写成(x 2)2－(y 2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；(2)a 3b －ab 有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解． 解：略．点拨：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【例4】 利用平方差公式计算： 25×1012－992×25. 解：略．【活动四】 利用完全平方公式分解因式问题：你能将多项式a 2＋2ab ＋b 2与多项式a 2－2ab ＋b 2分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，则恰好是两个数的和或差的平方，我们把a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解． 归纳：把整式乘法的完全平方公式 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2即两个数的平方和加上((或差)的平方． 公式中的字母a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式． 【例5】 下列各式是不是完全平方式？ (1)a 2－4a ＋4；(2)x 2＋4x ＋4y 2；(3)4a 2＋2ab ＋14b 2；(4)a 2－ab ＋b 2；(5)x 2－6x －9；(6)a 2＋a ＋0.25. 解：略．【活动五】 应用公式，巩固夯实如果多项式是完全平方式，那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式． 【例6】 分解因式：(1)16x 2＋24x ＋9；(2)－x 2＋4xy －4y 2. 解：略．点拨：两个平方式都含负号，要提负号，再转化为完全平方式． 【活动六】 分解因式的综合运用及换元法思想 【例7】 把下列各式分解因式： (1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (2)(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36. 解：略．本课小结1．利用公式法分解因式．2．分解因式一般先观察有无公因式，如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式；如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止．学前温故1．平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.2．把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．新课早知1．因式分解的平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2．下列各式运用平方差公式分解因式正确的是（ ）．A ．x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )C ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y ) D ．－x 2－y 2＝－(x ＋y )(x －y ) 答案：B3．因式分解的完全平方公式： a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 4．下列各式能用完全平方公式分解的是（ ）．A ．x 2＋42B ．x 2－2xy ＋4y 2C ．－x 2－4xy ＋4y 2D ．9(x ＋y )2－6(x ＋y )＋1 答案：D1．用公式法分解因式【例1】 运用公式法分解因式：(1)49m 2－19n 2；(2)a 2＋4ab ＋4b 2.分析：应用公式法分解因式的关键是找清公式中的字母各代表什么．解：(1)原式＝(7m )2－⎝⎛⎭⎫13n 2＝⎝⎛⎭⎫7m ＋13n ⎝⎛⎭⎫7m －13n . (2)原式＝(a ＋2b )2.【例2】 计算：1.992－2.992.分析：1.99相当于平方差公式中的a,2.99相当于平方差公式中的B．解：1.992－2.992＝(1.99－2.99)×(1.99＋2.99)＝(－1)×4.98＝－4.98.点拨：如果按一般步骤进行，计算量很大，极易出错．如果能利用因式分解的方法，就可大大简化运算过程．2．分解因式的一般步骤【例3】分解因式：(1)x3－4x；(2)3x2－6x＋3.分析：(1)先提公因式x，再用平方差公式；(2)先提公因式3，再用完全平方公式．解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)；(2)3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.点拨：分解因式应首先考虑提公因式，当没有公因式或提完公因式后再考虑公式法．可借助以下口诀记忆：分解因式并不难，提公因式要领先，能用公式用公式，公式不行至此完．1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）．A．x2－xy B．x2＋xy C．x2＋y2D．x2－y2答案：D2．若多项式a2－ma＋16能用完全平方公式分解因式，则m的值是（）．A．－8 B．8 C．±4 D．±8答案：D3．分解因式：a2＋4a＋4＝________.答案：(a＋2)24．若多项式4a2＋M能用平方差公式分解因式，则单项式M＝________(写出一个即可)．答案：答案不唯一．如：－b25．如图，求圆环形绿化区的面积．解：圆环的面积＝π×352－π×152＝π×(352－152)＝π×(35＋15)(35－15)＝1 000π(m2)．6．把下列各式分解因式．(1)a3b－9ab3；(2)2x2＋4x＋2；(3)－49a＋28a2－4a3；(4)16(x＋y)2－24(x＋y)＋9.解：(1)a3b－9ab3＝ab(a2－9b2)＝ab(a＋3b)(a－3b)．(2)2x2＋4x＋2＝2(x2＋2x＋1)＝2(x＋1)2.(3)－49a＋28a2－4a3＝－a(49－28a＋4a2)＝－a(7－2a)2.(4)16(x＋y)2－24(x＋y)＋9＝[4(x＋y)－3]2＝(4x＋4y－3)2.能力提升1．给出下列各式：①x2＋y2；②x2－y2；③－a2＋b2；④－m2－n2；⑤x2－3.其中在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（）．A．2个B．3个C．4个D．5个答案：B2．把代数式mx 2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是（ ）．A ．m (x ＋3)2B ．m (x ＋3)(x －3)C ．m (x －4)2D ．m (x －3)2 答案：D3．在多项式①x 2＋2xy －y 2，②－x 2＋2xy －y 2，③x 2＋xy ＋y 2，④1＋x ＋24x 中，能用完全平方公式分解的是（ ）．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D4．分解因式：x (x －1)－3x ＋4＝________. 答案：(x －2)25．已知x ＋y ＝1，那么12x 2＋xy ＋12y 2的值是________． 答案：126．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果：________.答案：答案不唯一，如：x 3－2x 2y ＋xy 2＝x (x 2－2xy ＋y 2)＝x (x －y )2.7．用因式分解的方法计算：22402320122011 ＝________.答案：18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4－y 4，因式分解的结果是(x －y )(x ＋y )(x 2＋y 2)，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：(x －y )＝0，(x ＋y )＝18，(x 2＋y 2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3－xy 2，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是________．(写出一个即可)答案：103010(或301010或101030)9．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．答案：A 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )210．给出三个多项式2a 2＋3ab ＋b 2,3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：答案不唯一．如：3a 2＋3ab －(2a 2＋3ab ＋b 2)＝3a 2＋3ab －2a 2－3ab －b 2＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 11．在实数范围内分解因式： (1)4x 2－5；(2)x 4－16.解：(1)4x 2－5＝(2x )2－2＝(2x x ； (2)x 4－16＝(x 2)2－42＝(x ＋4)(x 2－4) ＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －2)．12．若a ，b ，c 分别是△ABC 的三边，且a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，请说明△ABC 是等边三角形．分析：对a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca 变形，得到(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，从而得到a ＝b ＝C ．解：∵a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2bc ＋2c A ．∴(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(c 2－2ac ＋a 2)＝0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ∴a －b ＝0且b －c ＝0且c －a ＝0. ∴a ＝b ＝C ．∴△ABC 是等边三角形．创新应用13．阅读下面的解题过程： (1)分解因式：x 2－4x －12. 解：x 2－4x －12 ＝x 2－4x ＋224422--⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－12 ＝x 2－4x ＋4－4－12＝(x －2)2－42＝(x －2－4)(x －2＋4) ＝(x －6)(x ＋2)．(2)请仿照第(1)小题的解法把下列各式分解因式： ①a 2＋2a －8； ②y 2－y －6.解：①a 2＋2a －8＝a 2＋2a ＋22⎛⎫ ⎪⎝⎭2－22⎛⎫ ⎪⎝⎭2－8 ＝a 2＋2a ＋1－9 ＝(a ＋1)2－32＝(a ＋1＋3)(a ＋1－3) ＝(a ＋4)(a －2)． ②y 2－y －6＝y 2－y ＋12-⎛⎫ ⎪⎝⎭2－12-⎛⎫ ⎪⎝⎭2－6 ＝12y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2－254＝12y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2－52⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝15152222y y ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝(y ＋2)(y －3)．因式分解学以致用因式分解是整式的一种重要的恒等变形，在解题中有着广泛的应用，借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题．一、用于求值【例1】 已知a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝m ＋4.求a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2的值．分析：根据已知条件，可得a ＋b －c ＝－1，再观察待求式可以变换为(a ＋b －c )2，将a ＋b －c ＝－1整体代入即可．解：a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2.因为a ＋b －c ＝12m ＋1＋12m ＋2－m －4＝－1，所以a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(－1)2＝1. 二、用于说理【例2】 已知a ，b ，c 为不相等的有理数，且(a －c )2－4(a －b )(b －c )＝0，试说明2b ＝a ＋C ．分析：要说明2b ＝a ＋c ，由已知条件，可将(a －c )2－4(a －b )(b －c )进行变形，得到(2b －a －c )2＝0.解：由已知，得(a －b ＋b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0， 则(a －b )2＋2(a －b )(b －c )＋(b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0. 所以(a －b )2－2(a －b )(b －c )＋(b －c )2＝0. 则[(a －b )－(b －c )]2＝0. 所以(a －b )－(b －c )＝0.故a ＋c －2b ＝0，即2b ＝a ＋C ． 三、用于求面积【例3】 长方形的周长为16 cm ，它的两边x ，y 满足(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0.求其面积．分析：根据周长可得x ＋y ＝8，要求长方形的面积，则需要根据(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0，再求出关于x ，y 的另一个关系式，然后解方程组求x ，y 的值即可．解：(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0变形为(x －y )2－2(x －y )＋1＝0， 则(x －y －1)2＝0.所以x －y －1＝0. 又因为x ＋y ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.5. 所以长方形的面积为4.5×3.5＝15.75(cm 2)． 四、用于求整数【例4】 已知m ，n 均为正整数，且m 2－n 2＝68，求m ，n .分析：要求m ，n ，则应将m 2－n 2＝68进行变形，转化为二元一次方程组求解． 解：因为m ，n 为正整数，m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝68， 所以(m ＋n )(m －n )等于68×1或34×2或17×4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4.但⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4的解都不是整数，因此应舍去． 所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝16.五、用于比较大小【例5】 设a ＜b ＜c ＜d ，如果x ＝ca －ab ，y ＝cd －bd ，试比较x ，y 的大小．分析：要比较x ，y 的大小，可以通过作差的方法，比较x －y 与0的大小，当x －y ＞0时，x ＞y ；当x －y ＜0时，x ＜y ；当x －y ＝0时，x ＝y .解：因为a ＜b ＜c ＜d ，所以x －y ＝(ca －ab )－(cd －bd )＝a (c －b )－d (c －b )＝(a －d )(c －b )＜0.所以x ＜y .。

14.3.2公式法（1）平方差公式教学设计一、教学目标：1．能说出平方差公式的特点．2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．3．初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．5．在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，增强观察能力和归纳总结的能力. 二、重点难点：重点：掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式．难点：使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解．三、教学过程：(一).复习巩固：知识回顾：1、什么叫因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做这个多项式的因式分解.2. 分解因式⑴ 3ab2－3a2b⑵ 12x2+18x+6⑶ 6p(p+q)－4q(p+q)引出问题：如果一个多项式没有公因式，还能分解因式吗？例如：⑷x2 – 4=首先我们来计算(x+2)(x-2)=x2–4因此根据因式分解定义可以得到⑷x2 – 4= (x+2)(x–2）从而引出今天的课题：因式分解—公式法（1）平方差公式.设计意图：回顾因式分解的概念，强调因式分解是把一个多项式转换成几个整式乘积的形式，并且复习提取公因式法因式分解的关键，然后引出新的问题，当没有公因式时如何进行因式分解.着对因式分解的方法提出了新的要求，激发学生的学习兴趣，引发学生思考，从而引出今天的可以，让学生带着问题去学习，提高课堂效率.(二).过程探究1.新课导入：由平方差公式(a+b)(a-b) = a2-b2 （乘法公式）可以得出a2-b2 =(a+b)(a-b) （因式分解）从而总结出：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.表示为：a2 － b2 = (a+b) (a－b)这就是用平方差公式进行因式分解.设计意图：从上面的引例进一步探索平方差公式与因式分解的联系，开门见山，以填空的形式让学生给出a2 － b2 =？？让学生很自然的理解平方差公式的逆运算也是因式分解的形式，进而引出今天的学习重点.2.根据以上计算题思考：（1）观察上面的公式，思考具有什么样形式的多项式才能借助平方差公式进行因式分解呢？（2）因式分解的结果有什么样的形式特征？（3）试试用文字语言描述能用平方差公式分解因式的多项式特点：一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两个平方项异号.设计意图：引导学生用自己的语言叙述所发现的公式特点，允许学生之间互相补充，教师不急于概括，对表现好的同学进行鼓励，引导学生往正确的方向走.让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础.三、探究提升，学以致用练习1:下列多项式能用平方差公式因式分解吗？为什么？①x2+y2 ②x2 － y2③ －x2+y2 ④－x2 － y2例3 分解因式:(1) 4x2–9y²解：a² - b² = ( a + b)( a - b )4x² - 9y²=(2x)²-(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)注意：公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式.设计意图：让学生在交流中归纳能用平方差公式分解因式的多项式特点,强化认知，教师引导归纳，判断是否能用平方差公式的依据是首先必须得是一个二项式并且符号相反，还能写成平方的形式，观察，抓住公式的特点，使得运算达到事半功倍的效果.练习2: 分解因式(1) a2 －b2 (2) 9a2-4b2例3 分解因式:⑵ (x+p)2 – (x+q)2解：原式=【(x+p)+(x+q)】【 (x+p)– (x+q)】= (x+p+ x + q) (x+p–x–q)= (2x+p+ q) (p–q)注意：公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式、多项式.设计意图：培养学生的学会用整体法的意识，深化对平方差公式在因式分解中的应用.凡是能满足公式特点的都能用公式求解，进一步强调公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式、多项式，加深学生的印象.练习3. 把下列各式因式分解1)( x + z )²- ( y + z )²2)4( a + b)² - 25(a - c)²设计意图：一讲一练，让学生有充分的时间去体会平方差公式在因式分解中的应用.在这里学生容易把题目跟整式乘法中完全平方公式混淆，教师要及时发现并纠正学生潜意识的错误，并且不断让学生重复运用平方差公式进行因式分解的关键点.第二题中要将系数一起写成平方的形式，让学生对用平方差公式进行因式分解有更进一步的了解.例4 分解因式(1) x4 －y4 (2) a3b–ab小结：1.因式分解的步骤:①提取公因式②公式法.2.因式分解要彻底，应进行到每一个因式不能分解为止.练习4: 分解因式(3) x2y– 4y(4) –a4 +16设计意图：结合上节课提取公因式的内容，将两个内容衔接到一起，引导学生在解决问题的时候要先观察是否能有公因式，总结因式分解的步骤是先提取公因式再套用公式.一道题进行因式分解要分到不能再分为止，例如例题4的（2）.一边讲题一边和学生总结做题注意点，然后立即练习巩固，强化认知.四、课堂小结：1.利用平方差公式分解因式:a2－b2=（a+b)(a-b).2.因式分解的步骤:①提取公因式②公式法.3.因式分解要彻底，应进行到每一个因式不能分解为止.4.计算中应用因式分解,可使计算简便.设计意图：学生归纳总结本节课的主要内容—平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验，交流在探索过程中的心得和体会，也不断积累数学活动经验．拓展训练：1. 分解因式：（1） m3– 4m（2）47.52 –42.52（3）a (a+b)2－a2. 对于任意的自然数n,(n+7)2 －(n － 5)2 能被24整除吗? 为什么?设计意图：随着问题难度的层层递进，对公式的应用要求更高，通过拓展练习，让不同层次的学生都有提高，教师更深入了解学生对本节知识的掌握情况．5.作业布置：课本相应习题。

14.3.2 公式法（一）说课稿一、教材分析本节课是《人教版八年级数学上册》中的第14章第3节的第2个学法内容——公式法（一）。

本节课主要教授一元二次方程的解法，通过引入公式法的方法，帮助学生理解和掌握解一元二次方程的基本步骤和思路。

二、教学目标1.知识与能力目标：–掌握一元二次方程的基本概念和性质；–理解公式法解一元二次方程的基本思路；–能够运用公式法解答一元二次方程的问题。

2.过程与方法目标：–培养学生分析问题和解决问题的能力；–培养学生合作学习和独立思考的能力；–培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和热爱；–培养学生勇于思考、勇敢探究的品质；–培养学生团结合作、互帮互助的价值观。

三、教学重点与难点1.教学重点：–掌握公式法解一元二次方程的基本思路和步骤；–能够正确运用公式法解答一元二次方程的相关问题。

2.教学难点：–在运用公式法解答一元二次方程的过程中，学生需要较强的逻辑思维能力和数学运算能力。

四、教学准备1.教学工具：–课件、黑板、彩色粉笔、实物拼图。

2.教学材料：–教材《人教版八年级数学上册》第14章第3节课文。

五、教学过程1. 引入导入（5分钟）通过提问学生一元二次方程的定义，引导学生回顾、复习上节课所学的概念和性质。

并简要介绍本节课的教学目标和内容。

2. 知识讲解（10分钟）通过课件展示一元二次方程的标准形式，并讲解一元二次方程的定义、解的概念以及一元二次方程的解的特点。

引入公式法的概念，并与其他解法进行比较和对比，说明公式法的优势和适用条件。

3. 引入公式法（15分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考在已知一元二次方程的形式的情况下，如何运用公式法来解答问题。

分步骤引导学生理解公式法的基本思路和步骤，并通过实物拼图的方式帮助学生形象地理解和记忆公式法的运用过程。

4. 练习（20分钟）在黑板上出示一些简单的一元二次方程题目，要求学生运用公式法来求解。