矩阵复习

1．方程组的增广矩阵是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：先将方程组化成，即可写出对应的增广矩阵．解：∵方程组，∴方程组可化为，∴其增广矩阵为．故选D．点评：本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及方程组的增广矩阵，属于基础题．2．（2010•卢湾区二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】试题分析：将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选D．点评：本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．3．（2012•闵行区一模）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（）A. B.两两平行C. D.方向都相同【答案】B【解析】试题分析：二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．点评：本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．4．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C试题分析：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；对于④故选C．点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．5．若规定=ad﹣bc则不等式≤0的解集（）A.{x|x≤﹣2或x≥1}B.{x|﹣2＜x＜1}C.{x|﹣2≤x≤1}D.∅【答案】C【解析】试题分析：按照新的运算=ad﹣bc，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．点评：本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．6．若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：利用向量数量积的运算，可得x1x2+y1y2=0．根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式．解：∵，都是非零向量，且与垂直∴x1x2+y1y2=0根据二阶行列式的定义可知，∴故选D．点评：本题的考点是二阶行列式的定义，考查向量垂直的充要条件，考查行列式的定义，属于基础题．7．将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位，所得图象的函数为偶函数，则a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先利用行列式的定义，化简函数，再利用两角和公式对函数解析式化简整理然后根据图象平移法则，得到平移后函数的解析式，利用诱导公式把正弦函数转化成余弦函数，然后根据偶函数关于y轴对称的性质求得a的最小值．解：由题意，函数==2（ cosx﹣sinx）=2sin（﹣x）=﹣2sin（x﹣）图象向左平移a个单位，所得函数图象是y1=﹣2sin（x+a﹣）=﹣2cos[﹣（x+a﹣）]=﹣2cos（﹣x﹣a+）=2cos（x+a﹣）是偶函数则关于y轴对称，则a的最小值为a=故选D点评：本题以行列式为载体，考查行列式的定义，考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是利用偶函数关于y轴对称的性质．8．定义运算，则满足的复数z为（）A.1﹣2iB.﹣1﹣iC.﹣1+iD.1﹣i【答案】D【解析】试题分析：直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．解：因为，所以=zi+z=2．所以z===1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．若规定则不等式log的解集是（）A.（1，2）B.（2，+∞）C.（﹣∞，2）D.（﹣∞，3）【答案】A【解析】试题分析：由二阶行列式的定义知log等价于lg（x﹣1）＜0，所以0＜x﹣1＜1，由此能求出不等式log的解集．解：∵，∴log等价于lg（x﹣1）＜0，∴0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，故选A．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．10．（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A.3﹣iB.1+3iC.3+iD.1﹣3i【答案】A【解析】试题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．11．（2008•静安区一模）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．解：∵sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A：=sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C：=sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选C．点评：本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．12．（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．13．（2012•广州一模）∀a，b，c，d∈R，定义行列式运算．将函数的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：先利用新定义，将函数化简，再得到图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位的函数的解析式，结合函数的对称轴，我们可求ϕ的最小值解：，图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位可得对称轴为：∵所得图象对应的函数为偶函数∴x=0是函数的对称轴∴∴∴ϕ的最小值为故选B．点评：新定义问题，解题的关键是对新定义的理解，图象变换要把握变换的规律，属于基础题．14．（2012•闸北区一模）设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“”是“l1∥l2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，所以，故可得结论解：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选B．点评：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．15．（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．16．矩阵可逆的一个充分不必要条件是（）A.ad﹣bc≠0B.ab﹣cd≠0C.D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵可逆的充要条件是所对应的行列式|A|≠0即ab﹣cd≠0，再根据充分不必要条件的性质可得结论．解：∵∴ab﹣cd≠0即|A|≠0，则矩阵可逆当矩阵可逆，则|A|≠0即ab﹣cd≠0，但不一定成立所以是矩阵可逆的一个充分不必要条件故选C．点评：本题主要考查了矩阵存在逆矩阵的充要条件，同时考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．17．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．解：设矩阵的逆矩阵为，则，∴，∴，∴矩阵的逆矩阵为．故选A．点评：本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．18．已知A=，B=，则（AB）﹣1=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：直接根据二阶矩阵与平面向量的乘法的定义求出AB，进而利用逆矩阵公式即可求出其逆矩阵．解：∵A=，B=，∴AB==∴矩阵AB的行列式为：0﹣1=﹣1≠0∴（AB）﹣1=故选：A．点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，矩阵的乘法，难度不大，属于基础题．19．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=，则矩阵A的特征值为（）A.﹣1B.4C.﹣1，4D.﹣1，3【答案】C【解析】试题分析：利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．解：设A=，则由AA﹣1=E得•=，即有解得，即A=，则矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=λ2﹣3λ﹣4，令f（λ）=0，则λ=﹣1或4．故矩阵A的特征值为﹣1，4．故选C．点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．20．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先求ad﹣bc=1，再利用逆矩阵公式求解即可．解：由题意，ad﹣bc=1∴矩阵的逆矩阵是故选A．点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的逆矩阵，关键是利用公式正确求解．21．矩阵A=的逆矩阵为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．解：∵矩阵A=∴A﹣1==故选A．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的公式，代入数据时，不要出错．22．若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素a ij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）A.语文B.数学C.外语D.都一样【答案】B【解析】试题分析：先根据题意找出小明的大致成绩，然后根据经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，就需要看哪课发展的空间大，从而得到所求．解：∵j=k，k∈N*表示第50k名分数，小明的各科排名均在250左右∴小明的各科的分数为语文62，数学59，外69，三门总分约为195数学成绩59在三门中最低，而第50名的成绩为81分，分差较大，有很大的空间提升而经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，则他应把努力方向主要放在数学学科上．故选B．点评：本题主要考查了矩阵的表示，解题的关键就是弄清题意，属于基础题．23．定义运算.=，如.=．已知α+β=π，，则.=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题中的定义可把二阶矩阵的解析式化简，再利用和角或差角的三角函数公式化简后，即可得到正确答案．解：由题中的定义可知，则•===，故选A点评：考查学生利用和与差的正弦、余弦函数公式化简求值的能力，以及掌握题中的矩阵乘方法则来求值的能力．24．点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由矩阵的乘法运算法则，计算M1•M2即可得到．解：由于M1•M2=•=．则点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是．故选D．点评：本题考查矩阵的乘法运算，考查运算能力，属于基础题．25．若一个变换所对应的矩阵是，则抛物线y2=﹣4x在这个变换下所得到的曲线的方程是（）A.y2=4xB.y2=xC.y2=﹣16xD.y2=16x【答案】D【解析】试题分析：确定变换前后点的坐标之间的关系，利用变换前的点在抛物线上，即可得到变换后曲线的方程．解：设抛物线y2=﹣4x上的点（a，b）在变换下变为（x，y），则∴，∴∵（a，b）满足抛物线y2=﹣4x∴b2=﹣4a∴∴y2=16x故选D．点评：本题考查矩阵变换，考查求曲线方程，解题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系．26．在直角坐标系下，若矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），建立关系式，解之即可．解：=则解得故选C．点评：本题主要考查了矩阵的乘法，以及二元一次方程组的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．27．把矩阵变为后，与对应的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵．解：把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→，对照得故选C．点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，属于基础题．28．函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为．【答案】y=x2【解析】试题分析：先设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解：设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=变换作用下新曲线上的对应点，则==即，所以，将代入y=x2得4y=x2，即y=x2（8分）故答案为：y=x2点评：本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，以及轨迹方程等有关知识，属于基础题．29．已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】2【解析】试题分析：先根据增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，解方程，最后求x+y．解：由一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，可得到二元线性方程组，解得，则x+y=2，故答案为2．点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义、二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于容易题．30．已知方程组，则其增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先将方程组整理为，根据增广矩阵的定义即可得答案．解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为点评：本题以方程组为载体，考查增广矩阵，属于基础题．31．线性方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由原二元线性方程组写出增广矩阵即可．解：由二元线性方程组，可得到其增广矩阵为：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．32．已知二元一次方程组的增广矩阵为，则此方程组的解集为．【答案】{（3，2）}．【解析】试题分析：首先根据二元一次方程组的增广矩阵为，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解x，y即可．解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得二元线性方程组的表达式，解得：x=3，y=2，则此方程组的解集为：{（3，2）}．故答案为：{（3，2）}．点评：此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于基础题，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．33．方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是故答案为：点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．34．一个方程组的增广矩阵为A=，则该方程组的解为．【答案】【解析】试题分析：由题意，可得方程组，解方程组，即可得出结论．解：由题意，可得方程组，∴．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，考查学生的计算能力，比较基础．35．方程组所对应的增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．解：∵方程组，∴，∴该方程组所对应的增广矩阵=．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．36．（2012•嘉定区三模）系数矩阵为，解为的一个线性方程组是．【答案】【解析】试题分析：先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解，求出待定系数，从而可得线性方程组．解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是，∴=，∴所求方程组为，故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查待定系数法求线性方程组，应注意理解方程组解的含义．37．（2012•杨浦区二模）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．38．（2013•杨浦区一模）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得：故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．39．（2014•杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】6【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y．解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．40．（2014•黄浦区一模）各项都为正数的无穷等比数列{a n}，满足a2=m，a4=t，且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列{a n}各项和的数值是．【答案】32【解析】试题分析：利用是增广矩阵的线性方程组的解，可得m=8，t=2，从而可求公比与首项，利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．解：由题意，，∴m=8，t=2，∴a2=8，a4=2，∵q＞0，∴，∴a1=16，∴无穷等比数列{a n}各项和是=32．故答案为：32．点评：本题考查增广矩阵，考查无穷等比数列{a n}各项和，求出数列的公比与首项是关键．41．行列式的值为．【答案】3【解析】试题分析：考查行列式运算法则，按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可．解：=1×3﹣0×2=3．故答案为：3点评：本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．42．若规定，则不等式的解集是．【答案】【解析】试题分析：根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．43．定义运算=ad﹣bc，若复数z符合条件=3+2i则z= ．【答案】【解析】试题分析：由=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，知2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，所以（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，由复数相等的含义能求出z．解：∵=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，∴2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，∴2ai﹣2b﹣a﹣bi=3+2i，整理，得（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，∴由复数相等的含义，得，解得，∴z=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算和复数相等的性质的灵活运用．44．定义，则函数（x∈R）的值域为．【答案】[﹣4，4]【解析】试题分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．45．不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】试题分析：利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．46．定义运算，如果：，并且f（x）＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是．【答案】m＞【解析】试题分析：由=sinx+cosx=∈[﹣]，且f（x）＜m对任意实数x恒成立，能得到实数m的范围．解：∵，=sinx+cosx=∈[﹣]，∵f（x）＜m对任意实数x恒成立，∴m＞．故答案为：m＞．点评：本题考查二阶行列式的定义和三角函数的知识，解题时要认真审题，注意不等式性质的灵活运用．47．将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】试题分析：根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．48．在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】试题分析：去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．49．（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是．【答案】6【解析】试题分析：先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．点评：本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．50．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，1），则实数a等于．【答案】4【解析】试题分析：先根据二阶行列式，将原不等式等价转化为一元二次不等式，再对a分类讨论，求出a的值即可．解：原不等式可化为：ax2+2＜6，即ax2＜4．当a≤0时，得x∈R，不符合题意；当a＞0时，得x2＜，﹣＜x＜，由已知不等式＜6的解集为（﹣1，1），得=1，∴a=4．故答案为：4．点评：本小题主要考查二次不等式的解法、二阶行列式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．51．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于．【答案】﹣4【解析】试题分析：利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1，+∞），所以a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．52．（2012•徐汇区一模）不等式≥0的解为．【答案】[0，+∞）【解析】试题分析：先根据行列式的运算法则进行化简变形，转化成一元二次不等式，然后解之即可求出所求．解：∵不等式≥0∴（2x+1）2x﹣2≥0，即22x+2x﹣2≥0解得2x≤﹣2舍去，2x≥1，解得x≥0．故答案为：[0，+∞）点评：本题主要考查了二阶行列式，同时考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．53．（2012•德州一模）定义运算，函数图象的顶点是（m，n），且k、m、n、r成等差数列，则k+r= ．【答案】﹣9【解析】试题分析：利用新定义的运算得出二次函数，利用配方法可求函数图象的顶点，利用k、m、n、r成等差数列，可求k+r的值．解：=（x﹣1）（x+3）﹣2（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7∵函数图象的顶点是（m，n），∴m=﹣2，n=﹣7，∵k、m、n、r成等差数列，∴k+r=m+n=﹣9．故答案为：﹣9点评：本题以新定义运算为素材，考查新定义的运用，考查二次函数，考查等差数列，解题的关键是对新定义的理解．54．（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】试题分析：利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．55．（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵。

高考高等数学复习攻略矩阵计算技巧在高考的高等数学中，矩阵计算是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。

但其实，只要掌握了正确的方法和技巧，矩阵计算就能变得轻松易懂。

接下来，就让我们一起深入探讨高考高等数学中矩阵计算的技巧，为你的高考数学加分助力。

一、矩阵的基本概念首先，我们要清楚矩阵的定义。

矩阵是一个按照长方形排列的数表，比如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就记作 A(m×n)。

其中的每一个数都称为矩阵的元素。

在高考中，常见的矩阵类型有二阶矩阵和三阶矩阵。

比如二阶矩阵a b; c d ，三阶矩阵 ab c; d e f; g h i 。

二、矩阵的运算1、矩阵的加法矩阵的加法要求两个矩阵的行数和列数都相同，然后将对应位置的元素相加。

例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 A ＋ B ＝ 6 8; 10 12 。

2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。

比如，k 乘以矩阵 A ，记作 kA ，如果 A ＝ 1 2; 3 4 ，那么 2A ＝ 2 4; 6 8 。

3、矩阵的乘法矩阵的乘法相对复杂一些，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

比如，矩阵 A(m×n) 乘以矩阵 B(n×p) ，得到的结果是一个 m行 p 列的矩阵 C 。

具体计算时，C 矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于 A 矩阵的第 i 行元素与 B 矩阵的第 j 列对应元素乘积之和。

例如，A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50 。

三、矩阵的转置将矩阵的行与列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。

比如，矩阵 A ＝ 1 2 3; 4 5 6 ，那么它的转置矩阵 A^T ＝ 1 4; 2 5; 3 6 。

第2章 矩阵一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵,A 与B 满足=AB O ,并不能得出==A O B O 或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,=≠AC BC C O ,也未必推出=A B . 4. 方阵的行列式与幂性质2.4 设A ,B 均为n 阶方阵,λ为数,则 （1）n λλ=A A ；（2）m A =mA ,m 为正整数； （3）==AB A B B A .由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()k k k k +≠AB AB AB . 5. 矩阵的转置性质2.5 (假设运算都是可行的)（1）()T T =A A ； （2）()T T T +=+A B A B ；（3）()T T λλ=A A ； （4）()T T T =AB B A ；（5）若A 为方阵,则T =A A . 二、逆 矩 阵定理2.2 方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,且1*1-=A A A. 其中*A 为A 的伴随矩阵.推论2.1 若=AB E （或=BA E ）,则A 可逆,且1-=B A . 性质2.6(1) 若A 可逆,则1-A 也可逆,且11()--=A A ,111--==A A A； (2) 若A 可逆,数0≠λ,则λA 可逆,且111()λλ--=A A ；(3) 若、A B 为同阶矩阵且均可逆,则AB 也可逆,且111()---=AB B A ； (4) 若A 可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()T T --=A A ； (5) 若A 可逆,*A 为其伴随矩阵,则*11*()()--=A A .例5.设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,0≠-bc ad ,求1-A .解：1*11d b c a ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭A A A 例6.若12(,,,)n diag a a a =L A ,其中0(1,2,...,)i a i n ≠=,求证：112111(,,,)ndiag a a a -=L A . 矩阵方程：求解方法：矩阵方程=AX B ,若A 可逆,则1-=X A B ；同理对矩阵方程=XA B ,若A 可逆,则1-=X BA ；对于矩阵方程=AXB C ,若A 与B 均可逆,则11--=X A CB .注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换定理2.3 设A 和B 为⨯m n 矩阵,则有（1）r≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P ,使得=PA B ；（2）c≅⇔A B 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得=AQ B ；（3）≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得=PAQ B . 四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A 中不为零的子式最高为r 阶,即存在r 阶子式r D 不为零,而任何1+r 阶子式均为零,则称r D 为A 的最高阶非零子式,称r 为矩阵A 的秩,记作()R r =A .当=A O 时,规定()0R =A .显然{}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A .()m n R m ⨯=A 时,称A 为行满秩矩阵；()m n R n ⨯=A 时,称A 为列满秩矩阵；()n n R n ⨯=A 时,称A 为满秩矩阵；()n n R n ⨯<A 时,称A 为降秩矩阵.性质2.8 （1）若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则()R s ≥A ；（2）若A 中所有t 阶子式全为0, 则()R t <A ；（3）()()T R R =A A ； （4）n n ⨯A 可逆()R n ⇔=A .（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若≅A B ,则()()R R =A B .推论2.3 若,P Q 可逆,且=PAQ B ,则()()R R =A B .性质2.9（1）{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A A B B ； （2）()()()R R R +≤+A A B B ； （3）{}()min (),()R R R ≤A AB B ； （4）()()m n n s R R n ⨯⨯=⇒+≤B O B A A . 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块对于矩阵m n ⨯A ,在其列间引入虚线分块得到()111121,,n n m mn a a aa ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A K M OM L L 令，ααα, 其中j α是A 的第j 列, ()12,,,Tj j j mj a a a =L α. 2. 按行分块对于矩阵m n ⨯A ,在其行间引入虚线分块得到111121T n T m mn T m a a aa ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭KM OM ML令ααA α, 其中T i α是A 的第i 行,()12,,,T i i i in a a a =L α. 3. 对角分块阵设n 阶方阵分块后形如()1212,,,ss diag ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΟΟL O A A A A A A A , 即A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A 为对角分块阵. 对于对角分块阵A ,易知 （1）12s =L A A A A ；（2）A 可逆⇔0,(1,2,,)i i s ≠=L A ,且()111112,,,s diag ----=L A A A A . 例8.对于n 元线性方程组m n ⨯=A x b ,（1） 若按列分块()12,,n =A L ，ααα,则1122n n x x x =⇔+++=Ax b b L ααα;（2）若按行分块()12,,,TT T T m =A L ααα,则(1,2,,)T i i m =⇔==L Ax b x b α.一、单项选择题1. 设行矩阵A = (a 1, a 2, a 3)、B = (b 1, b 2, b 3), 且A T B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112112,则AB T= ( )A . -2B . 2C . -1D . 12. 下列等式中正确的是 ( )A . (A -B )2 = A 2 -2AB + B 2 B . (AB )C = A (BC ) C . (AB )T = A T B TD . (AB )-1= A -1 B -13. 设A 为任意n 阶方阵, X 是1 ⨯ n 阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )A . X T AXB . XAX TC . XAXD . X T AX T 4. 对任意n 阶方阵A 、B , 总有 ( )A . AB =BA B . det(AB ) = det(BA )C . (AB )T =A T B TD . (AB )2=A 2B 25. 设A 是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC , 则必有 ( )A . A = 0B . B ≠C 时A = 0 C . A ≠ 0时B = CD . |A | ≠ 0时B = C 6. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵, E 为单位阵, 若ABC = E , 则下列各式中总是成立的有 ( )A . BAC = EB . ACB = EC . CBA = ED . CAB =E 7.设n 阶方阵A 、B 、C 满足AB=BC=CA=E,则A 2+B 2+C 2= （ ） （A ）A 2B 2C 2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC8. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, 则A -1等于 ( ) A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020003B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001C . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010003D . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300029. 设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2321, 则矩阵A 的伴随矩阵A * = ( ) A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1322B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1322 C . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1232 D . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232 10.设A 、B 都是n 阶方阵,且=AB O ,则下列一定成立的是（ ）.（A ）=A O 或=B O ； （B ）、A B 都不可逆； （C ）、A B 中至少有一个不可逆； （D ）+=A B O .11.若矩阵1120121012a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩()2R =A ,则a 的值为（ ）.（A ）0； （B ）0或-1； （C ）-1； （D ）-1或1.12.一个值不为零的n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（ ）.（A ）保持不变； （B ）保持不为零； （C ）保持相同的正负号； （D ）可以变为任何值.13.设A 是3阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则*(3)=A （ ）.（A ）*3A ； （B ）*9A ； （C ）*27A ； （D ）*/3A . 14.设A 为⨯n m 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 且1()R r =A , ()R r =AC ，则( ）.（A ）1r r >； （B ）1r r <； （C ）1r r =； （D ）r 与1r 的关系依C 而定. 15.已知A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵，若AB=E ，则 ( )(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n16. 已知A 有一个r 阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r二、填空题. 1. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛5443, 则A -1 = . 2. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310210001, 则A -1 = .5. 设A 为3阶方阵, det(A )=2, 则det(-2A ) = .6.若A 为2009阶矩阵,且满足T =-A A ,则=A .7.设44⨯矩阵234(,,,)=A αγγγ,234(,,,)=B βγγγ,其中234,,,,αβγγγ均为 四维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则+=A B __________.8.设A 为3阶矩阵,且满足=A 2,则1-=A ______,22-=A _______,*=A ________,**()=A ________.9.设()ij s n a ⨯=A 与rs n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E0B 00等价,则矩阵A 的秩()R A =________. 10.设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A ,()ij n n i ja ⨯=⋅B ,已知行列式a =A ,则行列式=B .三、 计算题1.已知123143210321,530140321250--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ,求32-A B .2.计算下列矩阵乘积：（1）12113412-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111311*********-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 3.已知(1,2,3),(1,1,2),,T T ==-==X Y A X Y B YX ,求4,,A B A .4.若2312312,,21031⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 求AB 及()TAB .5.（1）设100100λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求3A ；（2）设101020001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求(2,3,)k k =L A ．6.将矩阵212341352012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为标准形.7.已知1/22/21/2⎛⎫=⎪⎪⎭A ,且6=A E , 求11A8. 设A 为3阶方阵, det (A ) =21, 计算行列式det [(3A ) -1 - 2A *]. 解: (3A ) -1 - 2A * = 31A -1- 2⋅det (A ) A -1 = 31A -1- A -1 =32-A -1, det [(3A )-1- 2A *]=332⎪⎭⎫ ⎝⎛-det (A -1) = 332⎪⎭⎫ ⎝⎛-[det (A )] -1= 2716-. 9. 设矩阵D = A -1 B T (CB -1 + E ) T - [(C -1) T A ] -1, 其中A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, B = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021, C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1087654321,求出矩阵D .解:D =A -1 B T (CB -1+E ) T - [(C -1) T A ] -1= A -1 [(CB -1 + E ) B ] T - A -1[(C -1) T ] -1= A -1(C + B )T - A -1 C T = A -1(C T + B T ) - A -1 C T = A -1(C T + B T - C T ) = A -1 B T 。

一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。

P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。

Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。

Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。

线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间， 可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。

矩阵分析复习第一章线性空间与线性变换一、线性空间1．线性空间：设V 是一个非空集合。

如果V 满足:（I）在V 中定义一个“加法”运算，即当V y x ，时，有唯一的和V y x （封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律z y x z y x )()(； （2）交换律x y y x ；（3）零元律O V ，称为零元， x V 有x O x ； （4）负元律x V ， y V 称为x 的负元，使O y x 。

（II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ,时，有唯一的V kx （封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律ky kx y x k )(； （6）分配律lx kx x l k )(； （7）结合律x kl lx k )()( ；（8）恒等律x x 1；[数域中一定有1]2．线性空间的基与维数基：设V 是数域K 上的线性空间，)1(,,21 r x x x r 是属于V 的r 个任意元素，如果它满足（1）r x x x ,,21 线性无关；（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,21 线性表示。

则称r x x x ,,21 为V 的一个基。

维数：基中的元素个数称为V 的维数，记为V dim 。

3.坐标：称线性空间n V 的一个基n x x x ,,21 为nV 的一个坐标系，nV x ，它在该基下的线性表示为：),2,1,,(1n i V x K x ni i ni ii则称n ,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为Tn ),,(214.基变换与坐标变换：设n x x x ,,21 及n y y y ,,21 是nV 的两组基，),2,1(1n i x cy ni iij j即C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,212122221112112121其中C 称为过渡矩阵。

矩阵及其性质知识点及题型归纳总结
1. 矩阵基本概念
- 矩阵是一个二维数组，由行和列组成。

- 矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

2. 矩阵的性质和运算
- 矩阵的转置：交换矩阵的行和列, 记作A^T。

- 矩阵的加法：对应位置元素相加。

- 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素乘以一个数。

- 矩阵的乘法：满足左乘法则和右乘法则。

- 矩阵的逆：对于可逆方阵，存在逆矩阵使得矩阵乘法满足乘法逆的要求。

3. 矩阵的特殊类型和性质
- 单位矩阵：一个方阵的主对角线上元素为1，其他元素为0。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

- 对角矩阵：只有主对角线上元素非零，其他元素为0。

- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身。

- 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0。

- 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0。

4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法和转置操作。

- 矩阵的性质判断：检查矩阵是否为对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。

- 矩阵的逆和行列式：求逆矩阵、计算行列式的值等。

- 矩阵的方程求解：解线性方程组、求矩阵的特征值和特征向量等。

以上是矩阵及其性质的基本知识点及题型归纳总结。

通过掌握这些知识，你将能够更好地理解和应用矩阵在数学和工程等领域的相关问题。

矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。

一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。

2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。

3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。

4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。

5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。

2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。

3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。

4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。

5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。

1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。

线性代数第⼆章矩阵试题及答案第⼆章矩阵⼀、知识点复习1、矩阵的定义由m?n个数排列成的⼀个m⾏n列的表格，两边界以圆括号或⽅括号，就成为⼀个m?n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是⼀个4?5矩阵.⼀个矩阵中的数称为它的元素,位于第i⾏第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的⾏数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与⼏个特殊矩阵⾏数和列数相等的矩阵称为⽅阵，⾏列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上⾓到右下⾓的对⾓线称为主对⾓线。

下⾯列出⼏类常⽤的n阶矩阵,它们都是考试⼤纲中要求掌握的.对⾓矩阵: 对⾓线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对⾓线上的的元素都为1的对⾓矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对⾓线上的的元素都等于⼀个常数c的对⾓矩阵,它就是c E.上三⾓矩阵: 对⾓线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三⾓矩阵: 对⾓线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满⾜A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满⾜A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对⾓线上的元素⼀定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1阶梯形矩阵:⼀个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满⾜:①如果它有零⾏，则都出现在下⾯。

②如果它有⾮零⾏，则每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的列号⾃上⽽下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的位置称为台⾓。

每个矩阵都可以⽤初等⾏变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运⽤的基本运算，必须⼗分熟练。

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。