一元二次方程解法专题训练-北师版-初三-数学上册

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。

北师大版九年级数学第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1题.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是第2题・下列方程中，不是整式方程的是( ）1A・一x2+5x=23B・*2x3+7x—2=0C.x2+—=3D・7x—1 =2x25第3题.下列各方程中一定是关于x的一元二次方程的是（）A.3x2=4x+mB・ax2一8=0C・x+y2=0D・5xy—x+6=0第4题.若方程(m—1)x2十、仏=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A.m丰1B.m三0C・m三0且m丰1D・m为任意实数第5题・把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项・(1)m2x3+mx2=m2x3+nx2+px+q(2)(2二3+x)(2*3—x)=(x—3)2第6题.设x3-a+3x—10=0和x3b—4+6x+8=0都是一兀二次方程，求(ya—\：b)2004』*；a+\」b)2002的值.第7题.关于x的方程(k+1)x k-1+kx+1=0是一元二次方程，求k的值.第8题.方程-y2-1=-4y化为一般形式后，二次项系数是，一次项系数是，常数项是第9题.若ax2-9x+5=0是一兀二次方程，则不等式3a+6>0的解集是第10题.下列方程中，不是整式方程的是()1A.-x2+5x二2B.J2x3+7x一2=0311C.x2+=3D.7x—=2x25第11题.若方程(m—1)x2+\：mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A.m丰1B.m三0C.m三0且m丰1D.m为任意实数第12题.求关于x的一元二次方程m2—2mx+m(3x2—1)=(m+1)x的二次项系数、一次项系数及常数项.第13题.下列各方程中属于一元二次方程的是()(1)—y2=14(2)t2=21(3)丄=3x2(4)x；x2-x=0(5) x3—x2=5(6)(x2+1)2+x—2=0A.(1)(2)(3).B.(2) (3)(4).C.(1)(2)(6).D.(1) (2).A.ax2+bx+c=9.C.遷x2一旦x一亞=0.342B.k3x+5k+6=0.D.（m一3）x2+J2x一3=0.第14题．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)4x2+6x=9x2一15x+4；(2)(3x-1)(x+2)=—x2+5x+1(3)(2t+3)2-2(t-5)2=-41.第15题.不解方程，估计方程x2-4x-1二0的根的大小(精确到0.1)第16题．下列方程中属于一元二次方程的是()2A.2(x-3)=一4+.B.ax+b=0.xC.2x2—5=x.D.y'x—1=2x+1.第17题.关于x的一元二次方程x2-m(3x-2n)-n=0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．1，3mn，2mn-n2．B．1，-3m，2mn-n2．C．1，-m，-n2．D．1，3m，2mn-n2．第18题.在下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是()第19题填表第20题.若方程ax2+bx+c-1二0是一元二次方程，则必须满足条件•若此方程是一元一次方程，则必须满足条件.第21题.当k时，方程kx2-x二2-3x2是关于x的一元二次方程.第22题.关于x的一元二次方程(3-x)(3+x)-2a(x+2)二4a，化成一般形式是.二次项系数是，一次项系数是，常数项是•第23题.解方程+◎=4时，设y二x，则原方程化成关于y的整x2-13x3x2-1式方程是.第24题.已知a，b，c均为有理数，判定关于x的方程ax2—3x-\:5x+丫'2x2+c=b—1是不是一一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题.m为何值时，关于x的方程(m+、⑵x m2-3mx-m=1是一元二次方程?写出这个一元二次方程的一般形式．第26题．下列各式哪个不是二次三项式(A.ax2+bx+c（a丰0）,a,b,c为实数B.2x2+8xy一5y2C.C.丄-3x-2x2第27题.将方程x+桓=5x2-迈x化成一般形式是.第28题.用一块长宽分别为8cm，6cm的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm2的长方体盒子，据上述题意，可得方程：.第29题.若x=-1是ax2+bx+c=0(a丰0)的一个解，你能求出b-a-c的值吗？第30题.k时，关于x的方程(k2-1)x2-(k-1)x+1=0是一元二次方程．第31题．某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为米.6.答案：3-a=23b-4=2 a=1b= 27.答案：|k—1|=2,k+1丰0,k=—或k=匕k=3参考答案1.答案：k丰32.答案：C3.答案：A4.答案：(1)(m-n)x2-px-q=0，二次项系数为：m-n，一次项系数-p，常数项为-q・(2)2x2-6x-3=0，二次项系数为2,—次项系数为-6，常数项为-3・5.答案：C(\：a_b)2004$a+%/b)2002=a_\b)2[(a_b)(\/a+爲)]2002=(Ja-Jb)2(a-b)2002=(1-s'2)2/1-2)2002=3-2迈8.答案：1,-4,19.答案：a>-2且a丰010.答案：C11.答案：C12.答案：解：将方程m2-2mx+m(3x2-1)=(m+1)x化为一般式:3mx2-(3m+1)x+m2-m=0・・・•已知该方程是一元二次方程，所以m丰0・此方程的二次项系数为3m，一次项系数为-(3m+1)，常数项为m2-m.13.答案：D14.答案：15.答案：解：分别取x=-0.3与x=-0.2时，有：(-0.3)2-4x(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29>0,(—0.2)2—4(-0.2)-1=0.16<0.于是，方程x2-4x—1=0必有一根在-0.3与-0.2之间．分另U取x=4.2与x=4.3时，有：4.22-4x4.2一1=-0.16<0，4.32-4x4.3-1=0.29>0因此，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2与4.3之间.16.答案：C17.答案：B18.答案：C19.答案：20答案：a0；a=0，b021.答案：k H-322.答案：一般形式是x2+2ax+8a-9=0；二次项系数是1，一次项系数是2a,常数项是8a-9.23.答案：3y2—4y+1=024•答案：是一元二次方程，二次项系数为a+<2，一次项系数为—3—躬，常数项为c-b+1.25.答案：m=迈，一般形式为2^2x2—3迈x-迈—1=026.答案：D27.答案：5x2—&2+1)x-总=028.答案：(8—2x)(6—2x)二1529.答案：130.答案：H±131.答案：0，将x=—1代入ax2+bx+c-0，得a—b+c=0，从而b—c—a=0。

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ． 32．若是一元二次方程，则不等式的解集应是( ). A ． B ．a ＜-2 C ．a ＞-2 D ．a ＞-2且a ≠0 3．（2016•重庆校级三模）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3 4．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是( )．A ．abB ．C ．a+bD ．a-b 5．若，则的值为（ ）．A ．1B ．-5C ．1或-5D ．06．对于形如的方程，它的解的正确表达式是（ ）.A ．用直接开平方法解得B ．当时，C ．当时，D ．当时，二、填空题7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .8．（2014秋•东胜区校级期中）若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .9．已知x ＝1是一元二次方程的一个根，则的值为________． 10．(1)当k________时，关于x 的方程是一元二次方程； (2)当k________时，上述方程是一元一次方程．2530ax ax -+=360a +>12a >20x bx a ++=(0)a a -≠ab290x -=2563x x x -+-x 2()x m n +=x =0n≥x m =±0n≥x m =0n≥x =20x mx n ++=222m mn n ++22(1)(1)10k x k x ---+=11．已知a 是方程的根，则的值为 ．12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．三、解答题13. （2016•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．14．用直接开平方法解下列方程．(1)(2014·沧浪区校级期中)（x+1）2=4； (2) (2015·岳池县模拟)(2x-3)2=x 2．15．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，为实数，且，． (1)求x 的值；(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016•贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=19 2．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．D ．以上都不对 4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）2104x x +-=354321a a a a a -+--a x 2201210x x -+=22201220111a a a -++x 6a b +=29x ab =-ABC S △277x x ++244m m --211216n n ++222y x -+3±A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-1 5．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 6．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若是一个完全平方式，则m 的值是________． 10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1）−x 2+4x +1=0 （2）14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且．(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断三角形的形状．226x x m ++221233x x +=2226810500a b c a b c ++---+=一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．（2016•厦门）方程x 2﹣2x=0的根是（ ） A ．x 1=x 2=0 B ．x 1=x 2=2 C ．x 1=0，x 2=2 D ．x 1=0，x 2=﹣2 2．方程的解是( )A ．B ．C ．，D ．， 3．一元二次方程的解是( )A ．；B ．；C ．；D ．；4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知，则的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足，则________．12．（2016•随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法） （3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）(1)2x x -=1x =-2x =-11x =-22x =11x =22x =-2340x x +-=11x =24x =-11x =-24x =11x =-24x =-11x =24x =210x x --=3222012x x -++2222()(1)2x y x y ++-=22x y +=14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．24b ac -。

第二章一元一次方程 分节练习 第1节 认识一元一次方程1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（ ）．① ② ③ ④⑤ A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个1.1、【基础题】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为 （ ）A. 02＝＋＋c bx axB. 2232）＋＝（－x xC. 0532＝－＋xx D. 012＝－x1.2、【基础题】若方程 22343x x mx ＝－＋ 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_________.2、【基础题】把方程＝）＋（223x 423）－（x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；（2）一个面积为120 2m 的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？（3）有一面积为54 2m 的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？第2节 用配方法求解一元二次方程4、【基础题】用配方法解下列方程：（1）025122＝＋＋x x ； （2）1042＝＋x x ； （3） 1162＝－x x ； （4） 0422＝－－x x 4.1、【基础题】用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x ； （2） x x 91852＝－； （3） 52342＝－x x ； （4）x x 2452－＝. 5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？ （3）如左下图，在一块长35 m 、宽26 m 的矩形地面上，修建同2320x x +=22340x xy -+=214x x -=21x =2303xx -+=样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2m ，道路的宽应为多少？（4）如右上图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm. 动点P 从点A 出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2 cm /s 的速度向点D 运动，何时点P 和点Q 之间的距离是10 cm ？第3节 用公式法求解一元二次方程6、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：（1）01872＝－－x x ； （2）x x 4142＝＋. （3）0452＝＋－x x ； （4）01422＝＋＋x x . 6.1、【基础题】用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x ； （2） 01692＝＋＋x x ； （3） 38162＝＋x x ； （4）01422＝－－x x . 6.2、【基础题】运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x ； (2) 7962＝＋＋x x ；（3） 2325x x ＝＋； （4） 1)53)(2(＝－－x x . 6.3、【基础题】用公式法解方程 2586x x ＝－ 时，c b a 、、的值分别是 （ ） A. 5、6、－8 B. 5、－6、－8 C. 5、－6、8 D. 6、5、－86.4、【综合Ⅱ】定义新运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝b a a ＋－32，如3★5＝53332＋－⨯. 若x ★2＝6，则实数x 的值是______. 7、【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x x 7522＝＋； （2）x 4031＝）＋－（x ； （3）4y y 4.209.02）＝＋（.7.1、【综合Ⅲ】已知关于 x 的方程 0222＝＋）＋－（x m mx （0≠m ）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值. 8、【综合Ⅱ】列方程解决问题（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.（2）长方体木箱的高是8 dm ，长比宽多5 dm ，体积是528 3dm ，求这个木箱的长和宽. （3）圆柱的高为15 cm ，全面积（也称表面积）是 200 2cm ，那么圆柱底面半径是多少？（4）在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m ），另三边用木栏围成，木栏长40 m.请问，鸡场的面积能达到180 2m 吗？能达到200 2m 吗？能达到210 2m 吗？（6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ （注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.） （7）如图，由点P （14，1）、A （a ，0）、B （0，a ）（a 是正数）确定的△PAB 的面积是18，求a 的值.第4节 用因式分解法求解一元二次方程9、【基础题】用因式分解法解下列方程（1）x x 32＝； （2）x x 452＝； （3）042）＝－）（＋（x x ； （4）22－）＝－（x x x . 9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x ； （2） x x x 22)1(3－＝－；（3）)32(4)32(2＋＝＋x x ； （4）9)3(222－＝－x x .9.2、【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程0)7)(5(＝－－x x 的根，则该三角形的周长为______. 9.3、【综合Ⅱ】解下列方程：（1）5）＝－（x x 23）＋（x x 2； （2）22322）＋＝（）－（x x ； （3）12)3)(2(＝－－x x ；（4）2362）＋＝（＋x x ； （5）2422＋＝＋y y y .10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地面积为12 2m ，求原正方形空地的边长.* 第5节 一元二次方程的根与系数的关系11、【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）0672＝＋＋x x ； （2）02322＝－－x x .11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程032＝－＋kx x 的一个根是 1＝x ，则另一个根是______.11.2、【综合Ⅲ】 设 1x 和 2x 是一元二次方程 0132＝－－x x 的两个实数根，则2111x x ＋＝______，2221x x ＋＝______.第6节 应用一元二次方程12、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（面积和体积问题）：（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m 和15 m ，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246 2m ，求小路的宽度.（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m ，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18 2m ，那么花边有多宽？（3）、如右上图所示，在宽为20 m ，长为32 m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m 2，道路应为多宽？（4）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400 3cm ，求原铁皮的边长.12.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题：（1）有一条长为16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2m 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？（2）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. 要使这两个正方形的面积之和等于17 cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78 2m ，上口比渠底宽0.6 m ，渠深比渠底少0.4 m ，求渠深.（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）★★★（1）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元. 市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？（3）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

《用公式法求解一元二次方程》一、填空题。

1、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为____________，确定_____________________ _______________________________的值，当__________时，把a,b,c 的值代入公式，x 1，2=__________________求得方程的解。

2、方程3x 2－8=7x 化为一般形式是_______________________，a=______,b=________,c=_______,方程的根x 1=____________,x 2=____________。

3、用公式法解方程24123y y =+，方程的根x 1=____________,x 2=____________。

二、选择题。

)1、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2210x x +-=B ．220x ++=C ．210x +=D ．220x x -++=2、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）、2=24312122⨯-± 、2=24312122⨯-±- 、2=24312122⨯+± 、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±-- 3、方程x 2+3x=14的解是（ ） =2653± =2653±- =2233± =2233±- 4、下列各数中，是方程x 2－5x+5=0的解的有（ ）￥个个 个 个 5、方程x 2+(23+)x+6=0的解是（ ）=1,x 2=6 =－1,x 2=－6 =2,x 2=3 =－2,x 2=－3三、用公式法解下列方程：1、2210x x +-=2、21683x x +=3、5x 2+2x －1=0`4、6y2+13y+6=05、x2+6x+9=76、2x2+12x=2 >四、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗此时A的值为多少【《用公式法求解一元二次方程》参考答案1、一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 a ac b b 242-±-2、3x 2－7x －8=0 3 －7 －861457 61457-+ 3、32y ±=二、1．C三、1、1x =-± 2、121344x x ==-，． ，3、解：a=5,b=2,c=－1 ∴Δ=b 2－4ac=4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=56110242±-=±- ∴x 1=561,5612--=+-x 4、解：a=6,b=13,c=6 ∴Δ=b 2－4ac=169－4×6×6=25＞0 ∴x 1·2=12513122513±-=±- ∴x 1=－23,x 2=－32 5、解：整理，得：x 2+6x+2=0 ∴a=1,b=6,c=2∴Δ=b 2－4ac=36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－76、x 1·2==－3±10四、解：依题意，可得：4x 2+2x －1=3x 2－2整理，得x 2+2x+1=0 ∴(x+1)2=0,∴x 1=x 2=－1 ∴当x=－1时，A=13.。

北师版数学九年级上册第1章 一元二次方程的实际应用专题训练一、循环问题1．2017－2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为( ) A. 12x(x －1)＝380 B ．x(x －1)＝380 C. 12x(x ＋1)＝380 D ．x(x ＋1)＝380 2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张留念，全班共送1 190张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( ) A ．x(x ＋1)＝1 190 B ．x(x －1)＝1 190×2 C ．x(x －1)＝1 190 D ．2x(x ＋1)＝1 1904．3．九(1)班张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后学会的同学每人教会相同的人数，每人每轮教会的人数相同，经过两轮，全班57人(含张老师)都能做这套健美操，问：每轮中每人必须教会几人？设每人每轮必须教会x 人，可列方程为.4. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为_____人． 二、传播问题5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出小分支的数量是( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．76．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共为_____人． 三、面积问题7. 如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的，如果AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为( )A．2 B．3C．4 D．68．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝09．某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)( )A．1.2米 B．15米 C．2米 D．1米10．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多( )A．12步 B．24步 C．36步 D．48步11．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为.12．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t(t≠0)s.(1)BQ＝cm，PB＝cm；(用含t的代数式表示)(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．14. 如图所示，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？15．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD 的面积为y m2.(1)求AE的长(用x的代数式表示)；(2)当y＝108 m2时，求x的值．三、利润问题16. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是( )A．6 B．8 C．10 D．1217. 某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_______元．18. 某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．(1)求平均每次价格下调的百分率；(2)某人准备以每平方米8100元的价格购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性返还装修费每平方米200元，试问哪种方案更优惠？19. 十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：(1)学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；(2)已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？四、数字问题21．若两个连续整数的积是20，那么这两个整数的和是.22．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出一个3×3位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为.23．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数．五、平均变化率问题24．微信红包是沟通人们之间的感情的一种方式．已知小明在2017年端午节和2019年端午节收到的微信红包分别为300元和675元，若这两年端午节小明收到的微信红包的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )A．300(1＋2x)＝675B．300(1＋x2)＝675C．300(1＋x)2＝675D．300＋x2＝67525．吉祥旅行社3月底组织赴云台山风景区旅游的价格为每人1 000元，为了吸引到更多的游客，该旅行社在4月底、5月底进行了两次降价，两次降价后的价格为每人810元，那么这两次的平均降价率为_____. 26．某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”，该市现计划在两年后将本市的绿化总面积增加到72.8万亩，求该市绿化面积每年的平均增长率．六、行程(动态)问题27. 放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家．已知他们两家的距离为1 000米，且他们行走的速度都是40米/分．若小林用了15分钟到家，则小明到家用了( ) A ．15分钟 B ．20分钟 C ．25分钟 D ．30分钟28. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度都是1 cm/s ，则经过____s 后，P ，Q 两点之间的距离为2 5 cm.29. 已知小君、张静两人均在同一地点，若小君向北直走160米，再向东直走80米后，可到幸福百货，若张静向西直走x 米后，她与幸福百货的距离为340米，求x 的值．30. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝12厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动(到点B 终止)，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动(到点C 终止)，若两点同时出发，经过几秒△PBQ 的面积等于矩形ABCD 面积的19？参考答案：一、循环问题1. B2. C3. 1＋x＋x2＝574. 11二、传播问题 5. A 6. 22 三、面积问题7. D 8. C 9. D 10. A 11. x(x ＋40)＝1200 12. 解：设AB ＝x m ， 则BC ＝(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300. 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，BC ＝50－2×10＝30>25，故x 1＝10不合题意，舍去．∴x ＝15，50－2x ＝20. 答：可以围成AB 为15 m ，BC 为20 m 的矩形 13. 解：(1)2t ，5-t(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52. 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2， 当t ＝2 s 时，PQ 的长为5 cm(3)存在t ＝1 s 时，能够使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2. 理由：矩形ABCD 的面积为5×6＝30(cm 2)， 使五边形APQCD 的面积等于26 cm 2， 则△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，由(5－t)×2t×12＝4，解得t 1＝4(舍去)，t 2＝1.即当t ＝1 s 时，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 214. 解：设AB 的长度为x m ，则BC 的长度为(100－4x) m ．根据题意，得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.当x 1＝20时，100－4x ＝100－4×20＝20(m)．当x 2＝5时，100－4x ＝100－4×5＝80(m)．∵80>25，∴x 2＝5舍去．即AB ＝20 m ，BC ＝20 m ．所以，羊圈的边长AB ，BC 分别是20 m ，20 m15. 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍．∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，AB ＝3a ，∴8a ＋2x ＝80， ∴a ＝－14x ＋10.∴AE ＝2a ＝－12x ＋20(2)∵S 矩形ABCD ＝AB·BC，∴3(－14x ＋10)·x＝108.整理，得x 2－40x ＋144＝0，解得x ＝36或4.即当y ＝108 m2时，x 的值为36或4 三、利润问题16. A 17. 4018. 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，根据题意可得10000(1－x)2＝8100，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)．∴平均每次下调的百分率为10%(2)方案①可优惠：8100×100×(1－0.98)＝16200(元)；方案②可优惠：100×200＝20000(元)．∴方案②更优惠19. 解：(1)设该校所派人数为x人，∵人均旅游费低于1000元，∴x＞25，∵人均旅游费高于700元，∴1000－20(x－25)＞700，解得x＜40，即x的取值范围为25＜x＜40(2)若该校所派人数为25人，25×1000＝25000＜27000，∴安排的老师人数多于25人，设该校所派人数为x人，根据题意，得x[1000－20(x－25)]＝27000，整理，得x2－75x＋1350＝0，解得x1＝30，x2＝45(舍去)．即学校安排了30名老师去北京旅游20. 解：(1)设每件衬衫应降价x元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理得x2－30x＋200＝0.解得x1＝20，x2＝10.因为要尽快减少库存，所以x应取20.∴每件衬衫应降价20元(2)由(1)知商场每天盈利为(40－x)(20＋2x)＝－2(x－15)2＋1250，∵－2(x－15)2≤0，∴当x＝15时，－2(x－15)2＋1250有最大值为1250.∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元几何问题四、数字问题21. 9或-9 22. 14423. 解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x＋2)，根据题意得(10x ＋x ＋2)2＝10(x ＋2)＋x ＋138，解得x 1＝－1411(舍去)，x 2＝1， 则原来的两位数为31五、平均变化率问题24. C 25. 10%26. 解：设该市绿化面积每年的平均增长率为x ， 由题意，得20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝72.8，解得x ＝0.2或－3.2(不合题意，舍去)．∴该市绿化面积每年的平均增长率为20%六、行程(动态)问题27. B 28. 429. 解：由题意，得(x ＋80)2＋1602＝3402，整理，得(x ＋80)2＝90 000，解得x1＝220，x2＝－380(舍去)，∴x 的值为22030. 解：设经过x 秒△PBQ 的面积等于矩形ABCD 面积的19， 根据题意，得12(6－x)·2x＝6×12×19， 解得x 1＝2，x 2＝4.∴经过2秒或4秒△PBQ 的面积等于矩形ABCD 面积的19。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20042002的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-= A ．（1）（2）（3）． B ．（2）（3）（4）． C ．（1）（2）（6）． D ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）22469154x x x x +=-+； （2）2(31)(2)51x x x x -+=-++ （3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0.1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ）A ．22(3)4x x-=-+． B ．0ax b +=．C 25x -=．D 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，3mn ，22mn n -．B ．1，3m -，22mn n -．C ．1，m -，2n -．D ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．29ax bx c ++=． B ．3560k x k ++=．C 20x x -=．D ．2(3)30m x -+-=．第19题． 填表第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -++=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题． m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） A ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 B ．22285x xy y +-C ．2132x x -- D ．2132x x--第27题． 将方程25x x +=化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积 为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．参考答案 1.答案：3k ≠ 2.答案：C 3.答案：A4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -．（2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-． 5.答案：C6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-g g7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠ 10.答案：C 11.答案：C12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -． 13.答案：D 14.答案：15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时， 有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间．分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间． 16.答案：C 17.答案：B 18.答案：C 19.答案：20答案：0a ≠；0a =，0b ≠ 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -． 23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a 3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =210-= 26.答案：D27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：1 30.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。

北师大版初三数学上册一元二次方程复习题（含解析）知识讲解+例题解析+强化训练◆知识讲解1．一元二次方程的一样形式ax2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）2．一元二次方程的解法（1）直截了当开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分b2－4ac ≥0）． 3．二元三项式ax2+bx+c=a （x －x1）（x －x2）．其中x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a△>0时，•方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等实数根x1=x2=－2b a ；当△<0时，方程没有实数根．5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－b a ，x1x2=c a．6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0．7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（尽管是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情形．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情形的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．当m=2时，原方程为3x=0，现在方程只有一个解，x=0．当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=12．例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0 （1）x2+x－2=0 （2）x2+2x－3=0 （3）x2+（n－1）x－n=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一样进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，因此x1=－1，x2=1．<2>（x+2）（x－1）=0，因此x1=－2，x2=1．<3>（x+3）（x－1）=0，因此x1=－3，x2=1．<n>（x+n）（x－1）=0，因此x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根差不多上整数根等．【点评】本例从教材要求的差不多知识动身，探究具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观看、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】第一化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采纳的是间接设未知数的方法．若直截了当设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一样形式为______，其中a=___ _，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－52x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．假如a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a －5，那么a 的取值范畴是______．二、选择题11．关于x 的一元二次方程2x2－3x －a2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1 BC D12．若关于x 的一元二次方程（m －1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．013．关于x 的一元二次方程x2－（k+1）x+k －2=0的根的情形是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定14．已知关于x 的方程x2－（2k －1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k•的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．115．方程mx2－4x+1=0 ）A ．14B ．2m C ．2m D ．以上都不对16．关于x 的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，则k 的取值范畴是（ ）A ．k<94B ．k>94C ．k ≤94D ．k ≥94 17．方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x2+ax+b=0 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318．若a ，b 是方程x2+2x －2021=0的两个不相等的实数根，则a2+3a +b 的值是（ ）A ．－2021B ．2021C ．2021D ．2021三、解答题19．解方程：（1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=020．汽车产业的进展，•有效促进我国现代化建设，•某汽车销售公司2 021年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，且从2021年到2021年，•每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2021年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率连续保持不变，估量2021年盈利多少万元？21．假如方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，•并求方程的另一个根．22．某村打算建筑如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？23．黄冈百货商店服装柜在销售中发觉：•“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉，•假如每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，•那么每件童装应降价多少元？24．近年来，由于受国际石油市场的阻碍，汽油价格不断上涨，•请你依照图所示的信息，帮小明运算今年5月份汽油的价格．25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此运算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍旧为60%，问甲车间技术革新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，同时发觉在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，如此乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？参考答案1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．，x2=13．－34．9 3 2516545．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2）7．p=±28．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－111．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D19．（1）x1=83，x2=2（2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0∴（x－2）2=3，x－2=∴x2=220．（1）设每年盈利的年增长率为x，依照题意得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2021年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：估量2021年该公司盈利2592万元．21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，依照题意，得（x－2）·（2x－4）=288．解那个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14．因此x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．依照题意，得（12x－2）·（x－4）=288．解那个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28．因此x=28×12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x•应取20．24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．•依照题意，得1501.8x －150x=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解那个方程，得x1=4.8，x2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2 =－3不符合实际意义，故舍去．答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg．由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）．（90－75）×1.6%+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为7 5kg，•用油的重复利用率为84%．。

一、填空题(写出下列一元二次方程的根)1．3(x －1)2－1=0．__________________ 2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________ 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )． A ．x=2B ．x 1=x 2=2C ．x=4D ．x 1=x 2=46．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x=3B ．x=±3C ．x=±9D ．3±=x7．072=-x x 的根是( )． A ．77=x B ．77,021==x x C ．x 1=0，72=xD ．7=x8．(x －1)2=x －1的根是( )． A ．x=2 B ．x=0或x=1 C ．x=1D ．x=1或x=2三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2=0．10．(x ＋3)(x －3)=3． 11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______) 14．x 2－2x=224．(最佳方法：______) 15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______) 16．6－2x 2=0．(最佳方法：______) 17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______) 18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x=______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________． 二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x=0B ．有一个相同，x=0C ．都不相同D ．以上都不正确23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab=0(ab ≠0)的根是( )．A ．bax a b x 2,221==B ．bax a b x ==21,C ．0,2221=+=x abb a xD ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c)x ＋(a －b)2＋(b －c)2=0有两相等实数根．求证：a ＋c=2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c=0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________． 32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)中的两根为,24,221aacb b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________． 并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______． (3)若方程x 2－4x ＋3k=0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜；④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．答案与提示1．⋅-=+=331,33121x x 2．x 1＝1，x 2＝－1． 3．.1,3221==x x4．.102,10221-=+=x x5．B ． 6．B ． 7．B ． 8．D ． 9．⋅-==21,3221x x10．.32,3221-==x x 11．x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n. 12．⋅==ax a x 2,2121 13．51,021==x x (因式分解法)． 14．x 1＝16，x 2＝－14(配方法)． 15．6191±=x (分式法)． 16．3±=x (直接开平方法)． 17．x 1＝16，x 2＝－1(因式分解法)． 18．2121==x x (公式法)． 19．2215±=x (公式法)． 20．x ＝8．21．x ＝－a ±b. 22．B ． 23．B ． 24．x 1＝2，x 2＝－2．25．.227±=y 26．⋅==22,221x x 27．k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x kx28．0或⋅3529．∆＝4[(a －b)－(b －c)]2＝4(a －2b ＋c)2＝0．30．3(x －1)(x ＋3). 31．⋅+---)21)(21(x x 32．,,a c a b - (1);25,23-- (2)－8，－6；(3);34,2 (4).2;94;372;916;1⑤④③②①--。

一元二次方程应用经典题型★列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．★几类常考的一元二次方程应用题.一、面积问题（参考课本P38、48练习）1．如图，要在长、宽分别为40米、24米的矩形赏鱼池内建一个正方形的亲水平台．为了方便行人观赏，分别从东、南、西、北四个方向修四条等宽的小路与平台相连，若小路的宽是正方形平台边长的14，小路与亲水平台的面积之和占矩形赏鱼池面积的16，求小路的宽．2．一块长为60m，宽为50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为xm，则a ______________________；（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总的占地面积为22430m，请问通道的宽度为多少？二、增长率问题1、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？2．某市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？3、某电脑公司2019年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。