第9章
习题9-1
1． 判定下列级数的收敛性：
(1) 11
5n n a ∞
=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞
=-+1
)1(n n n ;
(3) ∑∞
=+13
1
n n ; (4) ∑∞
=-+12)1(2n n
n ; (5) ∑∞
=+11ln n n n ; (6) ∑∞
=-12)1(n n
;
(7) ∑∞
=+11
n n
n ; (8) 0(1)21n n n n ∞
=-⋅+∑．
解：（1）该级数为等比级数，公比为
1a ,且0a >,故当1
||1a
<,即1a >时，级数收敛，当1
|
|1a
≥即01a <≤时，级数发散. （2）
Q n S =+++L
1=
lim n n S →∞
=∞
∴
1
n ∞
=∑发散.
（3）113
n n ∞
=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11
n n ∞
=∑发散，故原
级数
11
3
n n ∞
=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22
2n n n
n n n n ∞
∞-==⎛⎫
+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而11
12n n ∞
-=∑,1(1)2m n
n ∞
=-∑是公比分别为1
2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2
2n n n n ∞
-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln
ln ln(1)1
n
n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞
=-∞,所以级数
1
ln
1
n n
n ∞
=+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==-
∴ lim n n S →∞
不存在，从而级数
1
(1)
2n
n ∞
=-∑发散.
（7）Q 1
lim lim
10n n n n U n
→∞
→∞+==≠
∴ 级数
1
1
n n n ∞
=+∑发散. （8）Q (1)(1)1
, lim 21212
n n n n n n U n n →∞--==++
∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1
(1)21n n n
n ∞
=-+∑发散.
2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：
(1) ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※
∑∞
=++1)2)(1(1n n n n ;
(3) ∑∞
=⋅1
2sin n n n π
; (4) 0πcos 2n n ∞
=∑．
解：Q （1）1111, 23n n n n ∞
∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112
3n n n ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其
和为1+
12=3
2
. （2）Q
11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫
=-+ ⎪++++⎝⎭
∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
1lim 4n n S →∞
=
故级数收敛，且其和为14
. （3）πsin 2n U n n =,而π
sin
ππ2lim lim 0π222n n n U n
→∞→∞=⋅=≠，故级数1
πsin
2n n n ∞
=⋅∑发散. （4）π
cos 2
n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-
故lim n n U →∞不存在，所以级数
π
cos
2
n n ∞
=∑发散. 3※
． 设
1n
n U
∞
=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明
1
n
n U
∞
=∑亦收敛．
证：设
1
(0)n
n n U
U ∞
=>∑加括号后级数1
n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1
n n U ∞
=∑的部分和
1
n k k S U ∞
==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使
1
1
n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑
又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n
n S →∞
存在，即原级数
1
n
n U
∞
=∑亦收敛.
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性：
(1) ∑∞
=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞
=+1
n n n
1;
(3) ∑∞
=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )
5(1
2；
