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第三章 土体中的应力计算

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土力学：第三章土中应力计算

土力学：第三章土中应力计算

附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。

第3章 土体中的应力计算

第3章 土体中的应力计算

1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）

第三章土中的应力

第三章土中的应力
2.偏心荷载下的基底压力 pmax
pm in
F G 6e (1 ) lb l
Dr. Han WX
当e<l/6时，基底压力分布图呈梯形,图(a) 当e=l/6时，则呈三角形，图(b) 当e>l/6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
基底边缘最大压力：
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力 pmin≥0，则矩形基底边缘四个角点处的压力可按下列公式计算：
土 力 学
第3章 土中的应力
Stress
1
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
震等)的作用下，均可产生土中应力。
土中应力将引起土体或地基的变形，使土工建筑物(如路堤、土坝等)或建 筑物(如房屋、桥梁、涵洞等)发生沉降、倾斜以及水平位移。
Dr. Han WX
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素(如地下水渗流、地
3
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
Dr. Han WX
土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。
土中有效应力是指土粒所传递的粒问应力，它是控制土的体积(或变形)和 强度两者变化的土中应力。
土中孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，土中水传递的孔隙水应 力，即孔隙水压力；土中气传递的孔隙气应力，即孔隙气压力。 土是由三相所组成的非连续介质，受力后土 粒在其接触点处出现应力集中现象，即在研究土 体内部微观受力时，必须了解土粒之间的接触应
9
Dr. Han WX
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.2 土中自重应力
3.2.1 均质土中的自重力
[例题4-1]某建 筑场地的地质柱 状图和土的有关 指标列于图4-5中。 试计算地面下深

土体中的应力计算

土体中的应力计算

土体中的应力计算在土体中，应力是指单位面积上的力的作用，可以分为垂直应力和水平应力。

垂直应力是指垂直于土体中其中一点的力的作用，通常用σ表示，单位为N/m²或Pa；水平应力是指与土体中其中一点切向的力的作用，通常用τ表示，单位为N/m²或Pa。

在计算土体中的应力时，需要先确定作用力的大小和方向。

作用力可以分为自重应力、表面荷载和边界条件所引起的应力。

自重应力是由土体自身的重力引起的应力，可以通过土体的密度和重力加速度来计算；表面荷载是由于外界施加在土体上的荷载，可以通过荷载的大小和分布情况来计算；边界条件所引起的应力是由于土体边界的约束而产生的应力，可以根据边界条件的空间限制来计算。

计算垂直应力时，需要将作用力作用在单位面积上，即垂直应力等于作用力的大小除以土体的面积。

例如，对于自重应力来说，垂直应力可以通过土体的密度乘以重力加速度来计算。

而对于表面荷载来说，垂直应力可以通过荷载的大小和分布情况来计算。

计算水平应力时，需要考虑土体的弹性特性。

根据弹性理论，水平应力的大小与垂直应力的大小和土体的弹性模量有关。

弹性模量是反映土体抵抗应力的能力的指标，可以通过试验或经验公式估算得到。

一般来说，弹性模量越大，土体的抵抗应力能力越强，水平应力的大小也越大。

在应力计算时，还需要考虑土体的变形特性。

土体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。

弹性变形是指在荷载作用后，土体恢复到无荷载状态时的变形，是可逆的，可以通过应力和应变之间的线性关系进行计算。

而塑性变形是指在荷载作用后，土体不完全恢复到无荷载状态时的变形，是不可逆的，需要通过试验或经验公式来确定。

总之，土体中的应力计算是根据应力平衡原理和弹性力学原理进行的，需要考虑土体的类型、作用力的大小和方向以及土体的弹性和变形特性。

通过合理的应力计算，可以为土壤工程和土木工程的设计和施工提供基础数据。

土力学与地基基础(土中的应力计算)

土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1

土力学第三章

土力学第三章

向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h

A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min

土力学-第三章-土中应力计算详解

土力学-第三章-土中应力计算详解

基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n


均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构

土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析

土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析

从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1


剪应力
xy
yx

3Q xyz
2

R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R

z)2

yz
zy

3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)

第3章土中应力计算

第3章土中应力计算

n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。

《土力学》第三章土体应力计算

《土力学》第三章土体应力计算

x
z
0
y x z
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
§3 土体中的应力计算
§3.1 应力状态及应力应变关系 §3.2 自重应力 §3.3 附加应力 §3.4 基底压力计算 §3.5 有效应力原理
§3 土体中的应力计算
z
§3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
zx
∞
地基：半无限空间
o
y z
∞
xy
x
y yz
∞
x
ij=
x xy xz yx y yz
▪应变条件
▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
A
B
sA sB
▪应变条件
y x 0; xy yz zx 0

第3章 土体中的应力计算

第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。

第三章-土体中的应力计算

第三章-土体中的应力计算

3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy

假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：

cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。


若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B

土体中的应力计算

土体中的应力计算

土体中的应力计算土体中的应力计算是土力学中的重要内容之一，应力是描述土体内部单元之间相互作用的物理量，应力计算可以帮助工程师了解土体行为，并为工程设计和分析提供依据。

本文将从应力的概念、计算方法和应力分析的应用等方面进行详细探讨。

一、应力的概念应力是描述物体内部受力情况的物理量，是单位面积上的力，通常用σ表示。

根据应力的作用方向，可以将应力分为正应力和剪应力两种类型。

正应力是指与应力面垂直的力，剪应力是指与应力面平行的力。

在土体中，通常将正应力分为垂直应力（垂直于土体中心轴线的应力）和水平应力（与土体中心轴线平行的应力）。

二、应力的计算方法土体中应力的计算可以通过静力平衡方程、弹性理论以及实验和数值模拟等方法进行。

1.静力平衡方程法：利用牛顿第二定律和力学平衡原理，根据土体受力平衡的条件来计算应力。

对于均匀土体来说，可以根据土体所受垂直和水平外荷载以及土体自重的大小来计算应力。

2.弹性理论：应力与应变之间的关系可以用弹性理论来描述。

在土壤力学中，常用的是弹性模量和泊松比来表示土体的弹性性质。

通过应变测量和加载试验，可以计算得到土体的应力应变关系。

3.实验和数值模拟法：通过设计合适的实验和进行数值模拟，可以直接或间接地测量土体中的应力。

例如，可以通过土钉或应变计等仪器来测量土体中的应力分布情况。

同时，通过数值模拟方法如有限元分析等，可以模拟土体中复杂的应力场分布。

三、应力分析的应用应力分析是土力学中的关键研究内容，它可以应用于工程设计和分析等方面。

1.基础工程设计：在土力学中，应力分析是基础工程设计的基础。

通过计算土体中的应力分布情况，可以确定土体中的强度和稳定性，从而指导基础工程的设计和施工。

2.土体力学性质研究：通过对土体中应力的分析，可以研究土体的力学性质和变形规律。

这对于土壤改良和地震灾害分析等方面具有重要意义。

3.岩土工程应用：应力分析可以应用于岩土工程相关的设计和分析。

例如，通过分析土体中的应力分布，可以确定边坡的稳定性和墙体结构的受力情况，从而指导工程设计和施工。

第3章 土中应力计算

第3章 土中应力计算

表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。

土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算

土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
编辑ppt
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
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法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2

土体中的应力计算

土体中的应力计算

土体中的应力计算1.格令法格令法是土力学中常用的一种计算土体中应力的方法，它基于土体中的格令应力体系。

格令应力体系是指土体中各个方向上的应力分量。

常见的格令应力体系包括水平应力(σ_h)，垂直应力(σ_v)和剪应力(τ)。

格令法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定水平应力(σ_h)：水平应力是以土体排列方向为基准的应力分量，通过土体中的外加荷载和支持条件来计算。

常见的计算方法有：a.一维法：当土体受到轴对称荷载时，可以使用一维法计算水平应力。

其中σ_h=P/A，其中P为荷载大小，A为土体的横截面积。

b.二维法：当土体受到平面荷载时，可以使用二维法计算水平应力。

其中σ_h=P/A，P为荷载大小，A为土体的接触面积。

c.三维法：当土体受到体力荷载时，可以使用三维法计算水平应力。

其中σ_h=F/A，F为荷载大小，A为土体的接触面积。

(2)确定垂直应力(σ_v)：垂直应力是指土体中垂直于排列方向的应力分量。

垂直应力的计算方法如下：a.压力传递原理：假设土体为均质、无阻性及无滑动的情况下，垂直应力可通过压力传递原理计算。

垂直应力由上层土体通过土粒间的压缩传递给下层土体，下层土体又继续传递给更下层土体，以此类推。

b.常用公式：经验公式计算垂直应力可使用τ=kσ_v，其中k为土体的地层系数，可以根据实际情况选择合适的数值。

(3)确定剪应力(τ)：剪应力是土体中沿一定面域内的剪力分量。

剪应力的计算方法如下：a.剪切试验：通过进行剪切试验，可以直接测得土体中的剪应力。

b.运动原理：当土体处于平衡状态时，土粒间的剪应力满足平衡条件。

可以根据平衡条件求解土体中剪应力的大小和方向。

2.应变法应变法是另一种常用的计算土体中应力的方法，它基于土体中的应变体系。

应变是指在外力作用下，土体中产生的形变量。

常见的应变体系包括线性应变和体积应变。

应变法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定线性应变(ε)：线性应变是土体中只考虑线性部分的应变。

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第三章 土体中的应力计算
第一节
一、应力—应变关系假设 目前在计算地基中的应力时， 常假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。

概述
线弹性体
实际上土是各向异性的、弹塑性体
二、地基中的几种应力状态 1、三维（空间）应力状态
图3-1 土的应力—应变关系
p e

1、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
2. 弹性地基上的绝对刚性基础(EI=)
弹性解: 基础两端应力为无穷大 实际情况: 马鞍形
(图3-36)
刚性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面 的荷载分布形式不相一致。
3. 弹塑性地基上的有限刚性的基础(0<EI<) 实际情况: 马鞍形 (二)、荷载及土性的影响
目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底压力按 直线分布的材料力学方法。
二、基底压力的简化计算 （一）、中心荷载作用 矩形
p F G P BL BL
式中 P—作用于基础底面的竖直荷载 G —基础及其上回填土的重量 G=GdBL , G为砼基础及其上回填土 的平均容重 G=20kN/m3
B、L —矩形基底的宽度和长度；
条基：在长度方向取1米
p F G P B B
dp在M点引起的附加应力dz 由（3-6a）为：
3 pz3 dd d z 2 2 ( z 2 )5 / 2
在整个圆面积上积分：
z
2 0
d
0
r
z
K0 p
五、感应图法求不规则面积上竖直均布荷载作用下的附加应力
六、影响土中应力分布的因素
（一）、非线性材料的影响
2、r>0 的竖向线上，
z ，z：0 增大 减小 3、z=cost 在P处最大，随r ， z 结论：集中力P在地基中引起 的附加应力的分布是向下、向 四周无限扩散开的。
（二）、水平集中力作用—西罗克课题 西罗克弹性理论解
3Ph xz 2 z 5 2 R
二、矩形面积上各种分布荷载作用 下的附加应力计算 （一）、矩形面积竖直均布荷载

（3-19）
同理，
2 px 2 z x ( x2 z 2 )2 2 pxz 2 xz zx ( x 2 z 2 )2
式中， p ——单位长度上的线荷载(kN/m)
(二)、条形面积竖直均布荷载
取微段，
d p pd
，视为线布荷载，
d p 在地基内M点
引起的应力按（3-19）为
z = Ktpt
注：求O/点下的应力时，可用竖向均 布荷载与竖直三角形荷载叠加。
（三）、矩形面积水平均布荷载 由西罗克课题，得矩形角点下任意 深度z处的附加应力z ：
z K h ph
式中 Kh为系数, 可查表3-4 三、条形面积上各种分布荷载作用 下的附加应力计算 平面问题假设：
1、宽度B内荷载沿长度L不变
所以，侧压力系数K0= /（1- ） K0和与土的种类、密度有关，可由试验确定，或查表4-2 由此得： （3-5）
二、土坝的自重应力
第三节 基底压力
（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基上在地基 与基础的接触面上产生的压力（地基作用 于基础底面的反力） （2）接触压力的大小影响因素 地基土和基础的刚度大小 荷载大小
（一）、竖直集中力作用——布辛内斯克解
布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点M的6个应力 分量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向 应力z ，只研究z
3P z 3 P z 5 k 2 2 R z
（3-8）
K称为集中应力系数 讨论z的分布特征： 1、 沿P作用线方向， z 随深 度而减小；
基础埋深
地基土的性质
一、基底压力的分布规律 （一）基础的刚度的影响
基底压力的分布规律
1. 弹性地基上的完全柔性基 础(EI=0) 土坝(堤)、路基、油罐等 薄板基础、机场跑道。
可认为土坝底部的接触压 力 分布与土坝的外形轮廓 相同, 其大小等于各点以 上的土柱重量。(图3-35)
柔性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面 的荷载分布形式相一致。
0 =（ 1 h1+ 2 h2 +…… ）/(h1+ h2 +…… ), 其中地下 水位以下的容重取浮容重，kN/m3 ;
d — 基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土 场地则应从老天然地面起算，d= h1+ h2 +…… , m
说明：当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在 沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉 降，，改取
pmax,min 6ex 6e y F G (1 ) BL L B
条基：在长度方向取1米即可。 三、水平荷载作用 矩形： ph=Ph/BL
条基： ph=Ph/BL
四、基底附加应力(p0) 基底处的地基由于建筑物建造后而增加的应力。只有基底 附加应力才能引起地基的附加应力和变形。 基底附加应力p0:
图3-5 侧限应力状态
第二节
土体的自重应力计算
一、地基自重应力
1．假设岩体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力为
sz = z sx = sy = K0 sz
式中：z——岩体单元的深度（m）
H1
地面
地下水位
——上覆土体的容重（kN/m3）
K0——侧压力系数 若为成层土，则有
土中应力采用总应力表示时： p=1/2*(1+ 3) , q= 1/2*(1- 3)
土中应力采用有效应力表示时(u为孔隙水压力)：
p/=p-u
q/=q
二、几种典型的加载应力路径
（一）、没有孔隙水压力的情况 初始： 1 =0 ，3=C 排水固结u=0 ,/= p=C
1、增加周围压力3 (图3-60a路径1)
2、L5B 3、纵轴方向无位移 4、变形发生在横截面平面内
（一）竖直线布荷载
将
pdy
看成是集中力，则在地基内M点
引起的应力按（3-8）得：
3P z 3 d z dy 2 R 5
3 pz 3dy 2 pz 3 z 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 5 / 2 ( x 2 z 2 )2
pmax,min F G Mx My B L Wx Wy
式中 Mx,My —竖直偏心荷载P对基 底x , y 轴的力矩(kNm); Mx =P ex ; My = P ey
Wx,Wy—基底分别对x , y轴的 抵抗矩 Wx = BL2/6 ，(m3)
Wy = LB2/6
整理后得
第六节
一、应力路径的概念
应力路径
应力历史：土在形成的地质年代中所经受的应力变化情况； 剪应力水平（应力水平）：在应力的变化过程中达到的最大剪应 力与抗剪强度的比值。（max/ f） 应力路径：与主应力面成450角斜面在摩尔圆上表示为一点，该 点的移动轨迹称为应力路径。为简便，在绘制应力路径时，常把 ~ 坐标改换成p~ q坐标。
1. 角点下应力
集中荷载 dP=dxdyp0, M点处d z为
3dP z 3 3 pdxdy z3 d z 2 2 R5 2 ( x y 2 z 2 )5 / 2
3p L B 1 z d z 0 0 ( x 2 y 2 z 2 )5 / 2 dxdy 2 p LBz( L2 B 2 2 z 2 ) LB [ arctan ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( L z )(B z ) L B z z L B z ks P
式中 Ks——_为矩形竖向均布荷载角点下的应力分布系数 Ks=f(L,B,z), (注意: B为荷载面的短边宽度), 可从表3-2中查 得。 2、任一点的应力—角点法 (a）M/在荷载面的边缘 z = z1+ z2 (b) M/在荷载面内部
M/ 1 1 2 / 3 M4 (b) 1 2 3 4 M/ (c)
2、二维（空间）应力状态
xy 0 xz ij 0 yy 0 zx 0 zz
3、侧限应力状态
0 xy 0 ij 0 yy 0 0 0 zz
地面
z
y
z x
二、土力学中应力符号规定 压为正，拉为负，剪应力以 逆时针为正。
2z3 d z pd 2 2 2 [(x ) z )
（3-23）
将（3-23）沿宽度B积分，可得整个条形荷载M点引起的附加应力
z K p
s zz p
三、条形面积上其它分布荷载 详见表3-6 四、圆形面积竖直均布荷载作用时中心点下的附加应力计算
p0 p sz F G 0d BL
F d 1 2 0 d 0 d G p p0
显然，若埋深d=0，则基底 附加应力等于基底应力， 即 p0=p
基坑（槽）
式中
p— 基底应力，kPa;
sz — 土中自重应力，基底处sz =0d, kPa; 0 — 基础底面标高以上天然土的加权平均容重，
2 (a)
z = z1+ z2+ z3+ z4
（c）M/在荷载面外部 z = z3+ z4-z1- z2 （二）、矩形面积竖直三角形荷载
dP x Pt dxdy B dP Pt x dxdy B
dP在O点下任意M处引起的竖直附加 应力dz
3 pt xz3dxdy d z 2 2B ( x y 2 z 2 )5 / 2
p0=p- sz
其中 为0~1的系数（《地基及基础》华南理工大学等编，中国