高二年级第二学期期中考试理科数学试题

高二级第二学期期中考试 数学科试卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2()sin(1)f x x =+是奇函数， 以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 2. “1a ＞”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列计算错误．．的是（ ）A.sin 0x xdx x =-⎰ B.4π=⎰ C.1210dx =⎰ D.2211210x dx x dx =-⎰⎰4．已知三个方程：①2x t y t=⎧⎨=⎩②2tan tan x t y t=⎧⎨=⎩③2sin sin x t y t=⎧⎨=⎩ (都是以t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(5)1f f -==，'()f x 为()f x 的导函数，且导函数'()y f x =的图象如图所示，则不等式()1f x ＜的解集是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)6． 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．47. 在极坐系中点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆 θρcos 2= 的圆心之间的距离为( )8．已知函数32()(6)3f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,6)- B.(,3)(6.)-∞-⋃+∞C.[]3,6-D.(][,36,)-∞-⋃+∞9． 用数学归纳法证明不等式()1,1111 (122)n N n n n n n *∈++++++＞＞的过程中，从n k =到1n k =+时左边需增加的代数式是 ( ) A ．122k +B ．112122k k -++ C ． 112122k k +++ D ．121k + 10.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),A B --(1,1),C -(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( ) A.23 B.13 C.16 D.1211．设函数()xxf x e e -=-，以下结论一定错误．．的是( ) A ．'()2f x ≥ B ．若21(22)e e f x x ----＜，则x 的取值范围是(2,3)-.C ． 函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增D ．函数()f x 有零点12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ＞时，'()()xf x f x ＞，若(2)0f =，则不等式0()f x x＞的解集为（ ）A ．{02x x -＜＜或}02x ＜＜B ．{2x x -＜或}2x ＞C ．{02x x -＜＜或}2x ＞D ．{2x x -＜或}02x ＜＜第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .14. 已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5p =交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.15. 已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________．16．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求直线l 和圆C 的极坐标方程；（5分）(Ⅱ)设直线l 和圆C 相交于A,B 两点，求弦AB 与其所对劣弧所围成的图形面积．（5分）18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（4分）（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．（8分）19 .（本小题满分12分）（1）若x ，y 都是正实数，且2x y =＞，求证：21xy+＜与21y x +＜中至少有一个 成立．（6分）（2)n N *∈（6分）20．（本小题满分12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元（t 为常数，且25t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元（2540x ≤≤），根据市场调查，销售量q 与xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；（6分）（Ⅱ）若5t =，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．（6分）21.（本小题满分12分）已知函数2()1(1)(0)2k f x n x x x k =+-+≥． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（5分） （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（7分）22.（本小题满分12分） 已知函数1()(cos )()xf x ea x a R -=-+∈.(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（5分）(Ⅱ)若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.（7分）第二学期期中考试高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准一、选择题：（每题5分，满分60分）13.n(n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135...(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯- 14. 4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ 15. -2 16.0 16.【解析】由题意得，2()'()360g x f x x x ==-=，'()660g x x =-=解得1x =，(1)0f =，因为3232(1)(1)(1)3(1)2(1)3(1)20f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2403220162018...(1)02017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0．17.解：（Ⅰ）求直线l 的普通方程为20x -= （1）……………………（1分） 将cos ,sin x p y p θθ==代入（1）得cos sin 20p θθ-= 化简得直线l 的方程为cos()13p πθ-= …………………………（3分）圆C 的极坐标方程为2p = ……………………………………………………（5分）（Ⅱ）2cos 13p p πθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩解之得：A(2,0) , B(2,32π) ……………………（6分） ∴23AOB π∠=,∴21124=?···4=2233AOB S a r ππ=扇形…………………（8分）1··sin 2AOB S OA O B a ∆==4-=3AOB AOB S S S π∆=扇形………（10分） 18. 解：（1）由已知得 当n =1时，有S a a a =-=⇒=1111112； 当n =2时，有221221126s a a a a =-=+⇒=； 同理可得 ,a a ==34111220（说明：1a ，2a ，3a ，4a 一个1分）…………4分（2）猜想：(*)()n a n N n n =∈+11…………5分证明：①当n =1时，由（1）得a ==⨯111212，等式成立 ……6分②假设当(*)n k k N =∈时，()n a k k =+11成立…………7分则 当n k =+1时，有k k k a S S ++=-11[()]()k k k a ka +=-+--1111()k k ka k a +=-+11 ……9分k k ka a k +⇒=+121·2(1)k k k k =++()[()]k k =+++1111 …………10分即 当n k =+1时，等式也成立……………………………11分综合①②可知 ()n a n n =+11对一切*n N ∈都成立………………12分19. 证明：（1）假设1x y +＜2和1y x +＜2都不成立，即1xy+≥2和1y x +≥2同时成立． ∵x ＞0且y ＞0，∴12x y +≥，且12y x +≥．两式相加得222x y x y ++≥+，∴2x y +≤．这与已知条件2x y +＞矛盾，∴1xy+＜2和1y x +＜2中至少有一个成立．……………………（6分）（2）原式子等价于2)n N *∈，两边平方得到224(1)221n n n n +++⇒+⇔+＞＞22212n n n n ⇔+++＞恒成立，得证．……………………（12分）20．解：（Ⅰ）设日销量3030,100,100x k kq k e e e==∴=则 …………………（2分）∴日销量30100x e q e =∴30100(20)(2540)xe x t y x e --=≤≤． ……（6分） （Ⅱ）当5t =时，30100(25)xe x y e-=…………………………………（7分）30100(26)'xe x y e -= …………………………………………………（8分）由'0y ≥得26x ≤，由'0y ≤得≥x 26∴y 在[]25,26上单调递增,在[]26,40上单调递减………………（10分）∴当26x =时,4max 100y e =………………………………………（11分）当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．（12分） 21．解（I ）当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . ………（2分）由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，…………………………………………………（4分）所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. …………………………………………………………（5分） （II ）f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x，x ∈(－1，＋∞)．……………………………（6分）当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )> 0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．……………（7分） 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和(1－k k，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)（9分）当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)…………（10分）当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)（12分）22．解：(Ⅰ)由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，…………………………（1分） 若函数()f x 存在单调减区间，则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤………………（2分）即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π≤+存在取值区间………（4分）所以a <…………………………………………………………………………（5分）(Ⅱ)当0a =时，11()cos ,()(sin cos )x x f x e x f x e x x --'==-+21(1)2()cos(1)cos(1)[sin()]4x x f x f x x x e x π+-'--+⋅+=+⋅-⋅+…………………（6分）由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦，从而cos(1)0x +>，要证原不等式成立，只要证21sin()04x xe x π+--⋅+>对11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立（7分）首先令21()(22)x g x e x +=-+，由21'()22x g x e +=-，可知，当1(,)2x ∈-+∞时()g x 单调递增，当1(,)2x ∈-∞-时()g x 单调递减， 所以211()(22)()02x g x ex g +=-+≥-=，有2122x e x +≥+………………………（9分）构造函数()22)4h x x x π=+-+，11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为'()2)2(cos())424h x x x ππ=-+=-+， 可见，在[]1,0x ∈-时，'()0h x ≤，即()h x 在[]1,0-上是减函数， 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0'()h x ＞，即()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以,在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，min ()(0)0h x h ==，所以()0g x ≥.所以，)224x x π+≤+，等号成立当且仅当0=x 时，……………………（11分）综上：2122)4x e x x π+≥+≥+，由于取等条件不同，故21)04x ex π+-+>，所以原不等式成立. ………………………………（12分）。

甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。

高二第二学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数1ii -的共轭复数的虚部为（）A .1B .1-C .12D .12-2、若2133adx a a =-+⎰，则实数a =（）A .2B .2-3、化简(为（）4、函数),a b 内的A .1个B 56A .157A .0B 8、4 A .129A .2-10A.6011、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（）12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图 所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.1B.43C.2D.83二、填空题（每小题5分，共20分）13、若()102100121021x a a x a x a x -=++++，则3a =.14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值为. 15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()12f x '>，则不等式()12x f x +<的解集是.三、解答题（共计70分）17、（10n2倍.（1）求（218、（12（1）求（2）若19、（12（（20、（12（1）求（2（321、（1222、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.af x x x =+-（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）CBCACADBADBB二、填空题（每小题5分，共20分）13、1680-；14、2-；15、36a a <->或16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分） 17、（1）83n =分；01288888822565C C C C ++++==分.（2）848k k k --18、312分.19、6分；（212分. 20、（2)312x x =-令f '故(f 所以（33 ⎪⎝⎭3 ⎪⎝⎭故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或12分.21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分（2）若两名老师傅只选派1人，则有13414325425460C C C C C C +=种；…7分 （3）若两名老师傅都选派，则有224242233254254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分22、（1）当1a =时，()()1ln 1,0,,f x x x x=+-∈+∞所以()()22111,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞又f （2令f 若a 7若],a e 时，若a e 时，函(]0,e 上分。

2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 已知x R ∈,命题“若20x >,则0x >”的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2． 设复数11i aiz ++=(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a =（A ）1 （B ）1- （C ）2（D ）2-3． 已知,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底,则一定有 （A ）,,OA OB OC 共线 （B ）,,,O A B C 中至少有三点共线 （C ）OA OB +与OC 共线 （D ）,,,O A B C 四点共面4． 一个关于自然数n 的命题,已经验证知1n =时命题成立,并在假设(n k k =为正整数)时命题成立的基础上,证明了当2n k =+时命题成立,那么综上可知,该命题对于 （A ）一切自然数成立 （B ）一切正整数成立 （C ）一切正奇数成立 （D ）一切正偶数成立5． 4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺,则最终获奖结果种数为（A ）34A （B ）34C （C ）34 （D ）436．如图,OABC 是四面体,G 是ABC ∆的重心,1G 是OG 上一点,且13OG OG =,则（A ）1OG OA OB OC =++ （B ）1111333OG OA OB OC =++（C ）1111444OG OA OB OC =++ （D ）1111999OG OA OB OC =++7．0a b <<是11a b b a+<+的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-上为增函数,则实数a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）(,-∞（C ）[（D ）(,[1,)-∞+∞9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要 安排甲乙丙等5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,其余两个实验舱各安排1人,若甲乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案有（A ）8种 （B ）14种 （C ）20种（D ）116种10．已知a ,b 是异面直线,,A B 是a 上的点,,C D 是b 上的点,2,1AB CD ==,且AC b ⊥, BD b ⊥，则a 与b 所成角为（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）90︒11．已知t 和3t +是函数32()f x x ax bx c =+++的零点,且3t +也是函数()f x 的极小值点, 则()f x 的极大值为 （A ）1 （B ）4 （C ）43 （D ）4912. 设0.0110099,,a b e c ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13．已知函数2()2'(2)3f x x f x =++,则'(2)f 的值为__________. 14．某单位拟从,,,,,A B C D E F 六名员工中选派三人外出学习,要求: (1),A C 二人中至少选一人; (2),B E 二人中至少选一人; (3),B C 二人中至多选一人; (4),A D 二人中至多选一人.由于E 因病无法外出,则该单位最终选派的三位员工为:__________.15．将,,,A B C D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉,每个抽屉只能放一份文件,要求文件,A B 必须放入相邻的抽屉,文件,C D 不能放入相邻的抽屉,则满足要求的放置方法共有__________种.16．双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=在工程学中有广泛的应用,也具有许多迷人的数学性质.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点,A B ,曲线1C 在A 处切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有__________(填上所有真命题的序号).①(sinh())'cosh()x x =,(cosh())'sinh()x x =; ②22sinh ()cosh ()1x x +=; ③点P 必在曲线x y e =上;④PAB ∆的面积随m 的增大而减小.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）(1)请将下列真值表补充完整;(空格处填上“真”或“假”)(2) 给定命题:p 对任意实数x 都有210ax ax ++>成立;命题:q 关于x 的方程2x x a -+有实根.已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题,求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90,2,1,ABC CA CB M ∠=︒==是1CC 的中点, 且1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现,该处的污染指数与附近污染源的 强度成正比,与到污染源的距离成反比,总比例常数为(0)k k >.现已知相距10km 的A ,B 两家化工厂(污染源),A 化工厂的污染强度未知,暂记为(0)a a >,B 化工厂的污染强度为4,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和, 设()AC x km =.(1)试将y 表示为关于,,x k a 的等式;(2)调研表明y 在2x =处取得最小值,据此请推断出A 化工厂的污染强度. 20．（本题满分12分）在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,在“阳马”P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,棱PC 的中点为E ,3PF FB =,连接,,DE DF EF .(1) 若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为3π,求CBCD的值. (2) 设棱PA 与平面DEF 相交于点G ,且PG PA λ=,求λ的值;21．（本题满分12分）已知函数2()ln (0)f x x ax a =->.(1)若()f x 恰有一个零点,求a 的值;(2)若0x 是()f x 的零点,且2y x =在点200(,)x x 处的切线恰与ln y x =相切,求a 的值.22．（本题满分12分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈,'()f x 为()f x 的导函数. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>,证明:对任意a R ∈,存在唯一的012(,)x x x ∈,使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立.绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）答案Ă.˞Պʚ123456789101112CBDCCDAABC BA12.由我们熟知的不等式e x ⩾x +1有e 0.02>1+0.02⇒e 0.01>√1.02,∴b >c又e −x >1−x,当x <1时,有1e x >1−x ⇒e x<11−x∴e 0.01<11−0.01=10099,∴a >bȕ.ฒ˭ʚ13.−414.A,B,F15.2416.1416.显然1正确;事实上,双曲函数满足cosh 2(x )−sin 2h (x )=1,这也是它名称的由来,2错误;C 1在A 处切线:y =cosh (m )(x −m )+sinh (m ),C 2在B 处切线:y =sinh (m )(x −m )+cosh (m ),由此求得两切线的公共点坐标为P (m +1,e m ),故P 在曲线y =e x −1上,3错误;|AB |=e −m ,由前面分析知P 到AB 距离为1,∴S △P AB =12e m,随m 增大而减小,4正确.Ɓ.̛٫ʚ17.(1)从上至下依次为“真”,“假”,“真”,“真”;(2)若命题p 为真命题,则a =0或a >0∆<0,解得a ∈[0,4),若命题q 为真命题,由∆⩾0,解得a ⩽14,要使(¬p )∨q 和p ∨(¬q )都是真命题,则需p,q 同真同假,若p,q 同真,则有a ∈[0,14],若p,q 同假,则有a ⩾4,综上可知,a 的取值范围为[0,14]∪[4,+∞).18.以B 为坐标原点,# »BC,# »BA,# »BB 1方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系B −xyz ,并设AA 1=h ,则相关各点坐标分别为:A (0,√3,0),A 1(0,√3,h ),B (0,0,0),B 1(0,0,h ),C (1,0,0),C 1(1,0,h ),M (1,0,h2)(1)∵# »AM =(1,−√3,h 2),# »BA 1=(0,√3,h ),且AM ⊥BA 1∴# »AM ·# »BA 1=0⇒h =√6,所以,AA 1=√6;(2)∵# »AC 1=(1,−√3,√6),而平面ABB 1A 1的法向量为#»n=(1,0,0),∴cos <# »AC 1,#»n >=1√10=√1010,所以,所求线面角的正弦值为√1010.19.(1)y =k (ax +410−x),x ∈(0,10);(2)y ′=k (4(10−x )2+a x 2)=k (4x 2−a (10−x )2(x (10−x ))2),由题意,y ′|x =2=0⇒16−64a =0⇒a =14,经检验知,当a =14时,y 在(0,2)上单减,在(2,10)上单增,满足题意.所以,A 化工厂的污染强度为14.20.以D 为坐标原点,# »DA,# »DB,# »DP 方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系D −xyz ,并设CD =2,CB =m ,则相关点坐标为:D (0,0,0),A (m,0,0),B (m,2,0),C (0,2,0),P (0,0,2),于是E (0,1,1),又3# »P F =# »F B ⇒# »DF =34# »DP +14# »DB ,所以# »DF =(m 4,12,32)由# »DF =(m 4,12,32)# »DE =(0,1,1)解得平面DEF 的法向量#»n 1=(−4,−m,m ),(1)易知平面ABCD 的法向量#»n 2=(0,0,1),∴cos <#»n 1,#»n 2>=m √2m 2+16由题意知,m √2m 2+16=12,由此解得m =2√2,∴CB CD =m 2=√2;(2)∵# »P G =λ# »P A,∴# »DG =# »DP +λ# »P A =(λm,0,2−2λ),由题意,∵G 是平面DEF 上一点,∴# »DG ⊥#»n 1⇒−4λm +m (2−2λ)=0由此解得:λ=13.21.(1)∵f ′(x )=2x −1x ,在(0,√22),f ′(x )<0,在(√22,+∞),f ′(x )>0,∴f (x )在(0,√22)单调递减,在(√22,+∞)单调递增,且当x →0时,f (x )→+∞,当x →+∞时,f (x )→+∞,∴由题意可知,x =√22是f (x )的唯一零点,由f (√22)=0,解得:a =√2e ;(2)y =x 2在(x 0,x 20)处切线l :y =2x 0(x −x 0)+x 20,整理得:l :y =2x 0x −x 20,设该切线与y =ln x 相切于(t,ln t ),则l :y =1t(x −t )+ln t,整理得:l :y =1t x +ln t −1,∴2x 0=1t x 20=1−ln t ⇒ln t =−ln 2x 0,∴x 20=1+ln 2x 0又由题知:x 20=ln ax 0,∴ln ax 0=1+ln 2x 0=ln 2ex 0∴a =2e 即为所求.22.(1)f ′(x )=1x+a (x >0)1当a ⩾0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)单调递增;2当a <0时,在(0,−1a ),f ′(x )>0,在(−1a,+∞),f ′(x )<0∴f (x )在(0,−1a )单调递增,在(−1a,+∞)单调递减;(2)设F (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x −f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,x ∈(x 1,x 2),显然F (x )在定义域内单调递减,F (x 1)=1x 1−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),G (t )=(1−1t−ln t ),则F (x 1)=(x 1−x 2)G (t )∵G ′(t )=1−tt2,∴在(0,1),G ′(t )>0⇒G (t )在(0,1)单调递增,∴G (t )>G (1)=0,故F (x 1)=1x 1−x 2G (t )>0,同理:F (x 2)=1x 2−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(x 1x 2−1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),H (t )=t −1−ln t,则F (x 2)=1x 1−x 2H (t )∵H ′(t )=1−1t,∴在(0,1),H ′(t )<0⇒H (t )在(0,1)单调递减,∴H (t )>H (1)=0,故F (x 2)=1x 1−x 2H (t )<0,综上可知,F (x )在(x 1,x 2)单调递减,且F (x 1)>0,F (x 2)<0,∴F (x )在(x 1,x 2)存在唯一零点x 0,使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,命题得证.。

2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（ ） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（ ）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（ ）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（ ）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（ ）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（ ）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（ ）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（ ）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥． 据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数． （1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式． （2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点． （1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值； （2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈． （1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测 高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分） 解：（1） 解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分） 解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立 将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立． 即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减 当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增 所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立） 又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立 构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。

张家口东方中学2012-2013学年第二学期期中考试高二数学（理科）试卷分值：150分 时间：120分钟 出卷人：李瑞兵第Ⅰ卷（选择题60分）一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分）。

1、将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（ ）A ．3种B ．15种C ．125种D ．243种2. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．363. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 ( ) A ．80辆 B ．70辆 C ．60辆 D ．30辆4.一道竞赛题，甲同学解出它的概率为21，乙同学解出它的概率为31，丙同学解出它的概率为41，则独立解答此题时，三人中只有一人解出的概率为（ ）A ．241B ． 2411C ．2417D ． １ 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．126．对于回归分析，下列说法错误的是（ ）A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定.B ．线性相关系数可以是正的或负的.C ．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．D ．样本相关系数(1,1)r ∈-.7. 随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.31 B.32 C. 1D. 08. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（ ）A ．23397C CB ．514100397C -C CC ． 2332397397C C +C CD ．5510097C -C9. 某校在模块考试中约有1000人参加考试，其中数学成绩2(90,) N x s ,（0s >，试卷满分为150分）,统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．200B ．300C ．400D ．600 10．若2014220140122014(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则010202014()()()a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=（ ）A.2012B.2013C.2014D.201511．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 12．抛一枚均匀硬币,正,反面出现的概率都是21,反复投掷,数列}{n a 定义：⎩⎨⎧-=)(1)(1次投掷出现反面第次投掷出现正面第n n a n ,若)(21∙∈+++=N n a a a S n n ,则事件04>S 的概率为 （ ）A ． 1/16B ．1/4C ． 5/16D ．1/2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分）。

2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点： 点、线、面间的距离计算．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： 过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答： 解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（ ）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答： 解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评： 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。

一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。

高二下学期期中考试 数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()23z i i -=+，则Z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．将4封信投入3个信箱，可能的投放方法共有（ ）种 A ．12B ．24．C ．81D ．643．甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.55，那么甲不输的概率为（ ） A ．0.25B ．0.3C ．0.55D ．0.854．今有8件不同的奖品，从中选6件分成三份，两份各1件，另一份4件，不同的分法有（ ） A ．420B ．840C ．30D ．1205．若随机变量X 服从正态分布(8,1)N ，则(910)P X <<=（ ）附：随机变量()()2,0x Nμσσ->，则有如下数据：()0.6826P x μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=A ．0.4472B ．0.3413C ．0.1359D ．16．若3nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．9B ．18C ．135D ．12157．5人排成一排，要求甲乙两人之间至多有1人，则不同的排法有（ ）种． A ．84B ．72C ．96D ．488．某人射击一次击中目标的概率为0.5，则此人射击3次至少2次击中目标的概率为（ ） A ．38B ．34C ．18D ．129．已知随机变量X 的分布列为：X 0 1P1P - P若()(01)4D X p =<<，则P 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．2310．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（ ） A ．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B ．在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有C ．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打鼾D ．在100个心脏病患者中一定有打鼾的人11．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．240种D ．120种12．某公司过去五个月的广告费支出X 与销售额Y （单位：万元）之间有下列对应数据：x2 4 5 6 8y▲ 40 60 50 70工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失，已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为 6.517.5y x =+，则下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关：②丢失的数据（表中▲处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为69.5万元．其中，正确说法有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知，(234022342 5x a a x a x a x a x -=++++4，则()()202423a a a a a ++-+=__________．14．设随机变量ξ服从正态分布()5,3N ，若()(3)1P a P a ξξ>+=<-，则实数a =__________． 15．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）．16．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和13，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数()()2212433()Z i m i m i m R =+-+-+∈（1）当m 为何值时，Z 为纯虚数?（2）当m 为何值时，Z 对应的点在21y x =+上?18．已知2nx x ⎫⎪⎭的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等．（1）求n ；（2）求展开式中4x 项的系数．19．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率20．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教． （I ）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（II ）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 21．某中学研究性学习小组为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明，在爱看课外书的24人中有18人作文水平好，另6人作文水平一般；在不爱看课外书的26人中有7人作文水平好，另19人作文水平一般．（I ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表爱看课外书不爱看课外书总计 作文水平好 作文水平一般总计（Ⅱ）将其中某4名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4，某4名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为2的倍数或3的倍数的概率．参考公22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++·参考数据：()20P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x （元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y （件）111086514.2（1）根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．附：回归直线方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，ˆa y bx =-，55211392502.5i i ii i x y x ====∑∑1、在最软入的时候，你会想起谁。

2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中考试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）.1．如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A．2 B．1C．2D．42．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．168B．167C．153D．1353．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种B．360种C．369种D．372种4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程ŷ=9.4x+9.1，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.55．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，2A，…，A14.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

A．8B．9C．10D．117．已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则（）A．a0=0B．a3=−280C．a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−3D．a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−7 8．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个9．武威创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A．19B．16C．13D．1210．若m,n,l为空间三条不同的直线，α,β,γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊥l,n⊥l，则m//n B．若m⊥β,m//α，则α⊥βC．若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD．若α∩β=m,β∩γ=n,m//n,则α//β11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在直线x+y−1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A､B两点，则|AB|=（）A ．12B ．14C ．16D ．1812．定义在R 上的函数()y f x =满足()6()f x f x -=，()()3'()03x f x x ->≠，若()()010f f ⋅<，则函数()f x 在区间()5,6内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．至少有2个零点D ．可能有无数个零点第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）.13．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两个总分和为X ，则X =3的概率是______．14．二项式(3x +2x )6(n ∈N ∗)的展开式中的x 2系数为_________.(用数字作答)15．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．16．由下面的茎叶图可知，甲组37．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______． 四、解答题（共70分）17（10分）．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外都相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列．18（12分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50)，50,60)，60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

广东碧桂园学校2007-2008学年度高二下学期期中考试试卷数 学 （理 科）（适用范围2-2＆2-3之第一、二章）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1． 复数(1)(1)i i +-=………………………………………………………………………（ ） A . 2 B . 2-C . 2iD . 2i -2． 下列积分的值等于1的是………………………………………………………………( )A.1xdx ⎰B.1(1)x dx +⎰C.11dx ⎰ D.1012dx ⎰3． 已知曲线y ＝3x 2上的一点A （1，3），则过点A 的切线的斜率等于…………………（ ）A ．2 B. 4 C.12 D.6 4. 4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为…（ ）A ．4242A AB ．5252A A C ．55AD ．6622A A5． 函数y ＝221x x ++上的点到直线2x －y 4-=0的最短距离…………………………（ ）A ．5 B. 52 C. 53 D. 06.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15则第n 个三角形数为……………………………………………………………………（ ）（A ）n （B ）)1(21+n n （C ）12-n （D ）)1(21-n n 7. .函数y =ax 3－x 在(－∞,+∞)上是减函数，则…………………………………………（ ）A.a =31B.a =1C.a =2D.a ≤08. 已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则,E D ηη分别是……………………（ ）A. 6和2.4B. 2和2.4C. 2和5.6D. 6和5.6二、填空题：本大题共6小题，其中9～12题是必做题. 每小题5分，满分30分. 9． (1)(34)(34)i i i +++÷-的值所对应的点在第 象限. 10.函数3269y x x x =-+的极大值为： 。

高二理科数学下册期中考试复习题（4.20）1、i 是虚数单位。

已知复数413(1)3i Z i i+=++-，则复数Z 对应点落在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限2．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得5 分，答错得－5分；选乙题答对得4分，答错得－4分. 若4位同学的总分为0，则这4位同学得分各不相同情况的种数是（ ） A ．48 B ．36 C ．24 D ．183. 从1到10这10个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 （ ）A 18种B 30种C 45种D 84种4. 若多项式=++++++++++=+82010991010,)1()1()1(10a a a x a x a x a a x x 则（ ）A ．509B ．510C ．511D ．10225.用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N *++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++D.231k k ++ 6.设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 且 (3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A. (－3，0)∪(3，+∞)B. (－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3)7.已知函数)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、在区间[-1,3]上是减函数，则b a +的最小值是（ ） A. 32 B. 23 C.2 D. 3 8．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜 率是 （ ）（A ）2 （B ）－1 （C ）12 （D ）－2 9．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）(A) １ (B) 2 (C) ２ (D) 2210.求由曲线y x =-，直线2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ） A.40(2)x x dx -+⎰ B.40xdx ⎰ C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰11.设20lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = 12.（x +x 4－3）4的展开式中含x 2的项为________.13．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角,记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系,可以求得当2n …时,()f n = ．14.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_____________.15(1)求定积分1222x dx --⎰ 的值；(2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z16．在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba 的范围.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4… … …17.设函数22()(1)ln(1)2f x x x =+-++.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若不等式()f x m >在1[1,1]x e e ∈--恒成立，求实数m 的取值范围.（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在0[1,2]x ∈，使不等式09()4f x a m a>++成立，求实数m 的取值范围.18.已知函数11()ln()x f x x x =+-+ （1）求()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b a b a -≥-．。

界石铺中学期中测试高二数学（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分.1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件2、由直线1,2x x==，曲线2y x=及x轴所围图形的面积为（）A．3 B．7 C．73D．133、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x，如果()0f x'=，那么x x=是函数()f x的极值点，因为函数3()f x x=在0x=处的导数值(0)0f'=，所以，0x=是函数3()f x x=的极值点.以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确4、函数xxxf ln)(=，则（）（A）在),0(∞上递增；（B）在),0(∞上递减；（C）在)1,0(e上递增；（D）在)1,0(e上递减5、已知函数32()(6)1f x x ax a x=++++有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）（A）-1<a<2 (B) -3<a<6 （C）a<-3或a>6 (D) a<-1或a>26、函数2sin(2)y x x=+导数是（）A.2cos(2)x x+ B.22sin(2)x x x+ C.2(41)cos(2)x x x++ D.24cos(2)x x+7、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是（）(A)111<+ba(B)111≥+ba(C)211<+ba(D)211≥+ba8、函数59323+--=xxxy的极值情况是（）（A）在1-=x处取得极大值，但没有最小值(B)在3=x处取得极小值，但没有最大值（C）在1-=x处取得极大值，在3=x处取得极小值(D)既无极大值也无极小值9、'()f x是()f x的导函数，'()f x的图象如右图所示，则()f x的图象只可能是（A）（B）（C）（D）10、函数2()2lnf x x x=-的递增区间是( )A.1(0,)2B.11(,0)(,)22-+∞及 C.1(,)2+∞ D.11(,)(0,)22-∞-及考场：考号：班级：姓名：11、函数sin y x =的图象上一点3(,)32π处的切线的斜率为（ ） A ．1 B ．32 C ． 22 D ．1212、 若000(2)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．2B ．－2C ． 12D ．12-一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。