人教A版选修2-1第一章第7课时同步练习§1.4.3含一个量词的命题的否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定[学习目标]1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0).知识点二特称命题的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.[思考](1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.题型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.题型三 特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x ，a >f (x )恒成立，只要a >f (x )max ；若存在一个实数x 0，使a >f (x 0)成立，只需a >f (x )min .跟踪训练3 已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R ).(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围.(1)证明 当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解 ∵f (x )≤4x 恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13， 即实数a 的取值范围是(－∞，－13].1.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是( )A.存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根B.不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根C.对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根答案 C解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx ＋1＝0无实数根.2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.綈p：∀x∈A,2x∈BB.綈p：∀x∉A,2x∉BC.綈p：∃x∉A,2x∈BD.綈p：∃x∈A,2x∉B答案 D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.3.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案 C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0答案 C解析全称命题的否定是特称命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.一、选择题1.下列命题中，为真命题的全称命题是()A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x，x2＝xD.对数函数在定义域上是单调函数答案 D解析A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D.2.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0C.∃x0∈R，lg x0<1D.∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x ＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题.3.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()e x≤1A.∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B.∃x0>0，使得(x0＋1)0C.∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D.∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 Be x≤1”.故选B.解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)04.下列特称命题是假命题的是()A.存在实数a，b，使ab＝0；B.有些实数x，使得|x＋1|<1；C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；D.有些实数x ，使得(12)x <0. 答案 D5.下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )A.两个无理数的和必是无理数B.存在一个实数x ，使1x＝0 C.至少有一个实数x ，使x 2<0D.有个实数的倒数等于它本身答案 D解析 A 项，为全称命题；B 项，1x是不能为零的，故B 为假命题；C 项，x 2≥0，故不存在实数x 使x 2<0，故C 为假命题；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 为真命题.6.命题“存在x 0∈R,02x≤0”的否定是( )A.不存在x ∈R,2x >0B.存在x 0∈R,02x ≥0C.对任意的x ∈R,2x ≤0D.对任意的x ∈R,2x >0答案 D解析 特称命题的否定是全称命题.7.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A.∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB.∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈QC.∀xD ∈∁R Q ，x 3∈QD.∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q答案 D解析 特称命题的否定是全称命题. “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈/Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈/Q ”，故应选D.8.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A.命题p ∨q 是假命题B.命题p ∧q 是真命题C.命题p ∧(綈q )是真命题D.命题p ∨(綈q )是假命题答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C.二、填空题9.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________________. 答案 存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”.10.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是________________.答案 有些函数没有奇偶性解析 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有奇偶性.11.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________.答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8).三、解答题12.已知命题p ：∀x ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0，若綈p 是假命题，求实数m 的取值范围. 解 ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题.也就是∀x ∈R ，有m ＝－(4x －2x ＋1)， 令f (x )＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1， ∴对任意x ∈R ，f (x )≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1].13.已知p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m的取值范围.解 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0.若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真，则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立.当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.又p∧q为真，故p，q均为真命题.所以m<－1且m≥－2，所以m的取值范围为－2≤m<－1.。

1．4.3 含有一个量词的否定基础梳理1．全称命题的否定：(2)“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定是______________________．自测自评1．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是( )A．不存在x0∈R，2x0＞0B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．3．(1)“至多有三个”的否定为________________．(2)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．基础巩固1．(2014·安徽卷)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥02．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )A．綈p：∃x0∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题3．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：____________________________________．能力提升5．设x ∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B6．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2＋2x ＋12＜0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题7．命题“同位角相等”的否定为__________________，否命题为________________________．8．有以下四个命题：①两直线m ，n 与平面α所成的角相等的充要条件是m ∥n ；②若p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1；③不等式10x >x 2在(0，＋∞)上恒成立；④设有四个函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 12，y ＝x 3，其中在R 上是增函数的函数有3个． 其中真命题的序号是________．9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.10．写出命题“已知a ＝(1，2)，存在b ＝(x ，1)使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定，判断其真假并给出证明．答案基础梳理1．[答案]∃x0∈M，綈p(x0) 特称2．[答案]∀x∈M，綈p(x) 全称想一想：(1)“至少存在一个正方形不是矩形”(2)“对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0”自测自评1．[解析]原命题为特称命题，其否定为全称命题．[答案]D2．对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠03．[解析](1)“至多有三个”的否定为“至少有四个”．(2)该命题的否定为∀x∈Q，x2≠5，为真命题．[答案](1)至少有四个(2)真基础巩固1．[解析]条件∀x∈R的否定是∃x0∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x0|＋x20＜0”．[答案]C2．[解析]命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x0∈R，x20＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．[答案]C3．[解析]由指数函数的性质知，命题p是错误的．而命题q是正确的．故选B.[答案]B4．[解析]命题：“有的三角形是直角三角形”是特称命题，其否定是全称命题，按照特称命题改为全称命题的规则，即可得到该命题的否定．[答案]所有的三角形都不是直角三角形能力提升5．[解析]命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A，2x ∉B，故选C.[答案]C6．[解析]因为2x 2＋2x ＋12＝12(2x ＋1)2≥0，所以p 是假命题．又因为sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以∃x 0＝3π4，使sin x 0－cos x 0＝2，故q 是真命题，故选D. [答案]D7．[解析]全称命题的否定是特称命题，“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．故否定为：有的同位角不相等．否命题为：若两个角不是同位角，则它们不相等．[答案]有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等8．②③9．[解析](1)全称命题，它的否定是存在性命题，綈p ∶∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题， 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，所以綈p 是假命题． (2)全称命题，它的否定是存在性命题，綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)存在性命题，它的否定是全称命题，綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)存在性命题，它的否定是全称命题，綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，由于x ＝－1，x 3＋1＝0.10．[解析]命题的否定：已知a ＝(1，2)，则对任意的b ＝(x ，1)，a ＋2b 与2a －b 都不平行，是一个假命题．证明如下：假设存在b ＝(x ，1)使a ＋2b 与2a －b 平行，则a ＋2b ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)．2a －b ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为a ＋2b 与2a －b 平行，所以存在λ∈R，使得a ＋2b ＝λ(2a －b )．即(2x ＋1，4)＝λ(2－x ，3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ⇔2x ＋1＝43(2－x )． 解得x ＝12. 这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行，故已知命题为真命题，其否定为假命题．。

课堂效果落实. [·福建高考]命题“∀∈[，＋∞)，＋≥”的否定是( ). ∀∈(－∞，)，＋<. ∀∈(－∞，)，＋≥. ∃∈[，＋∞)，＋<. ∃∈[，＋∞)，＋≥解析：本题考查含有量词的命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选.答案：．全称命题“所有能被整除的整数都是奇数”的否定是( )．所有能被整除的整数都不是奇数．所有奇数都不能被整除．存在一个能被整除的整数不是奇数．存在一个奇数，不能被整除解析：全称命题的否定是特称命题，而，是全称命题，所以，错．因为“所有能被整除的整数”的否定是“存在一个能被整除的整数”，所以错，正确，故选.答案：．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )．：∀≥，－－≥；綈：∃≥，－－<．：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈：每一个四边形的四个顶点共圆．：有的三角形为正三角形；綈：所有的三角形不都是正三角形．：∃∈，＋＋≤；綈：∀∈，＋＋>解析：若：有的三角形为正三角形，则綈：所有的三角形都不是正三角形，故错．答案：．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定．解析：原命题的全称量词是“每个”，对其否定是“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性．写出下列命题的否定，并判断其真假：()三角形的内角和为°；()∃∈，＋＝；()∀∈，－＋＝.()至少有两个实数，使＋＝.()∃，∈，如果＋＝，则＝且＝.解：()此命题为全称命题，其否定为：存在一个三角形，它的内角和不等于°，是假命题．()此命题为特称命题，其否定为：∀∈，＋≠，是真命题．()此命题为全称命题，其否定为：∃∈，－＋≠，是真命题．()此命题为特称命题，其否定为：至多有一个实数，使＋≠，是假命题．()此命题为特称命题，其否定为：∀，∈，如果＋＝，则＝或＝，是假命题．。

高中数学人教A版选修2-1同步练习：1.4.2含有一个量词的命题的否定第一章 1.4.2含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案] B[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.2．(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0 [答案] C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3．(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．4．(2014·贵州湄潭中学期中)已知命题p：∀x∈R,2x>0，则()A．¬p：∃x∈R,2x<0 B．¬p：∀x∈R,2x<0 C．¬p：∃x∈R,2x≤0 D．¬p：∀x∈R,2x≤0[答案] C[解析]全称命题的否定为特称命题，“>”的否定为“≤”，故选C.5．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件[答案] B[解析]由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q 假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确．6．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0[答案] B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．给出下列三个命题：①5≥5；②存在x∈R，使得2x＋1＝3；③对任意的x∈R，有x2＋1＜0，其中为真命题的是______________________．[答案]①②[解析]对于①，由5≥5成立，故①为真；对于②来说，因为2x＋1＝3，所以x＝1.所以存在x∈R，使2x ＋1＝3，故②为真命题；对于③，因为x2＋1＞0恒成立，则不存在x∈R，使得x2＋1＜0，故③为假命题，所以①②为真命题．三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题11．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(¬p)∧qC．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)[答案] B[解析]由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q为真命题，∴(¬p)∧q为真命题，故选B.12．(2014·福建厦门六中期中)下列命题错误．．的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”．B．“x＝1”是“x2－3x＝2＝0”的充分不必要条件．C．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．[答案] D[解析]由逆否命题的定义知A正确；x＝1时，x2－3x＋2＝0成立，但x2－3x＋2＝0时，不一定有x＝1，故B正确；由特称命题的否定为全称命题知C正确；p 与q只要有一个为假命题，p∧q为假命题，故D错．13．(2014·抚顺二中期中)下列说法正确．．的是() A．命题“∀x∈R，e x>0”的否定是“∃x∈R，e x>0”B．命题“已知x、y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题[答案] B[解析]A显然错误；若x＝2且y＝1，则x＋y＝3，∴B正确；如图，在x∈[1,2]时，y＝x2＋2x的图象总在y＝ax的图象的上方，但y＝x2＋2x(1≤x≤2)的最小值不大于y＝ax(1≤x≤2)的最大值，故C错；若f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝0或a＝－1，故原命题的逆命题为假命题，∴D错误．14．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是()A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析]∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2x＋ln x的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a>0，方程ln2x＋ln x－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，故D为假命题．二、填空题15．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋14<0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则p∨q，p∧q，¬p，¬q中是真命题的有________．[答案]p∨q¬p[解析]∵x2－x＋14＝(x－12)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝π4，使sin x0＋cos x0＝2，故q是真命题，因此p∨q是真命题，¬p是真命题．16．(2014·福州市八县联考)已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p ∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是________．[答案]m≤－2或－1<m<2[解析]p：m≤－1，q：－2<m<2，∵p∧q为假命题且p∨q为真命题，∴p与q一真一假，当p假q真时，－1<m<2，当p真q假时，m≤－2，∴m的取值范围是m≤－2或－1<m<2.17．命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．[答案]a>2或a<－2[解析]由于∃x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.三、解答题18．(2014·马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(¬p)∧q为真，试求实数m的取值范围．[解析]对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，对命题q：|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8对a∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )∧q 为真，则p 假q 真， ∴⎩⎨⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x) （3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究问题2：写出命题的否定 （1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：()U UU A B A B = 痧 ,()U UU A B A B =痧四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。