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了解回归分析在经济与管理中的广泛应用；
掌握回归分析的基本概念、基本原理及其分析应
用的基本步骤； 熟练掌握使用软件求解回归方程及其运行输出结 果的分析与使用； 能应用回归分析方法解决实际问题（分析各种变 量间的关系，进行预测和控制）
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本章主要内容：
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一. 多元线性回归的数学模型
设被解释变量 Y 与 P 个解释变量 X1, X2, · · · , XP 之间
存在线性相关关系。 则 Y 与 X1, X2, · · · , XP 之间的多元 线性回归模型为：
Y= 0 + 1 X1 + 2 X2 + · · · + P XP + 回归有如下数据结构：
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记 tk 为检验 H0k 的统计量，则当 H0k为真时， 统计量
tk ～t (N-P-1)，k = 1, 2,· · · ,P
因此，在给定水平 下，若 tk > t(N-P-1) 就拒绝 H0k，说明 Xk 的作用显著。 反之，则说明 Xk 的作用不显著。
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2. 存在不显著变量后的处理
若经检验，Xk 的作用不显著， 则应从模型中剔除 Xk，并重新求解 Y 对余下的 P-1 个变量的回归方程。
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四. 回归系数的显著性检验
在多元回归中，回归方程显著的结论仅表明模型中 各 j 不全为零，但并不说明它们全不为零。也即并不 能保证每个解释变量都对 Y 有重要影响。 如果模型中含有对 Y 无显著影响的变量，就会降低 回归方程的预测精度和稳定性。 因此，需要从回归方程中剔除对 Y 无显著影响的变 量， 重新建立更为简单的回归方程。 如果某个变量 Xk 对 Y 的作用不显著， 则模型中 k 就可以为零。故要检验的原假设为 H0k：k = 0，k = 1, 2, · · · ,P
yi = 0 + 1 xi1 + 2 xi2 + · · · + p xip + i
(12.4-1)
设第 i 次试验数据为 (xi1, xi2 ,· · · , xip, yi )，则多元线性 (12.4-2)
i ～N(0, 2 )，且相互独立
i = 1, 2, · · · ,N
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二. 参数 的最小二乘估计
若检验中同时存在多个不显著的变量，则每次只能 剔除一个显著性水平最低的变量，重新求解新的回归 方程。再对新的回归系数进行检验，直至所有变量都 显著为止。 当模型中解释变量很多时，通常会存在较多的不显 著变量，以上步骤就非常繁琐。更为有效的方法是采 用“逐步回归”来求解多元线性回归方程。
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逐步回归方法简介
ˆ ,β ˆ , , β ˆ 为参数 , , · 设 β · , P 的最小二乘估计， 0 1 P 0 1 ·
则多元线性回归方程为
ˆ β ˆ X β ˆ X β ˆ X ˆβ Y 0 1 1 2 2 P P
在多元线性回归中，同样使用最小二乘法进行参数 估计。 T ˆ ( β ˆ ,β ˆ ,,β ˆ ) 同样称 β 为回归方程的回归系数。
逐步回归的基本思想是： 采用一定的评价标准，将解释变量一个一个地逐步 引入回归方程。每引进一个新变量后，都对方程 中的所有变量进行显著性检验，并剔除不显著的 变量，被剔除的变量以后就不再进入回归方程。 采用逐步回归方法最终所得到的回归方程与前述方 法的结果是一样的，但计算量要少得多。 在 SPSS 软件的线性回归功能中就提供了逐步回归 的可选项。
§12.1 §12.2 §12.3 §12.4 多元线性回归的数学模型 参数β的最小二乘估计 多元回归模型的显著性检验 预测与控制
本章内容重点：
回归方程和回归系数的显著性检验；多元线性回 归及其预测和控制；软件的求解分析。
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§12.1 多元线性回归的数学模型
在许多实际问题中，对某一变量 Y 有重 要影响的解释变量不止一个，此时就需要研 究一个随机变量 Y 与多个普通变量 X1, X2, · · · , XP 之间的回归关系，这就是多元回归问题。 多元线性回归分析的原理与一元线性回 归是类似的。
求该商品年需求量 Y 关于价格 X1和家庭年平均收 入 X2 的回归方程。
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案例 3 分析
用 Excel 求解案例 3，可得回归方程如下：
ˆ 11.1671.903 Y X1 0.1695 X2
由方差分析表，Significance F = 0.0001，因而回归 方程极高度显著。 对回归系数的显著性检验结果为： X1 的P-value = 0.0268，X2 的 P-value = 0.0262 都是一般显著。 此外还得到回归方程的标准误差：
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【案例3】需求量与价格及收入间的关系
家电商品的需求量 Y 与其价格 X1 及居民家庭平均 收入 X2 有关。 下表给出了某市 10 年中某家电商品需求量与价格 和家庭年平均收入水平间的数据。
需求量(万台) 3.0 价格(千元) 收入(千元)
4.0 6.0 5.0 4.5 6.8 6.5 3.5 8.0 7.0 3.0 10 8.5 3.0 16 7.5 3.5 20 10 2.5 22 9.0 3.0 24 11 2.5 26 12.5 2.0 28
2 2 ˆ ˆ ST ( yi y ) ( yi yi ) (yi y) 2
= SE + SR 同样称 SR 为回归平方和， SE 为剩余平方和。
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检验 H0 的统计量
可以证明，当 H0 为真时，统计量 S R /P F ～F( P, N-P-1) S E / ( N P 1) 检验过程同样可以列成一张方差分析表。多元回 归方差分析表的格式与一元回归完全相同。
0 1 P
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三．回归方程的显著性检验
如果变量 Y 与 X1, X2, · · · , Xp 之间并无线性关系， 则 模型(12.4-1)式中各一次项系数应全为零。 因此要检验 的原假设为
H0：1 = 2 = · · · = p = 0
为构造检验 H0 的统计量， 同样需要对总的偏差平 方和 ST 作如下分解：
