2018届高三数学文科二轮复习：第一部分课件：层级三 30分的拉分题因人而定酌情自选 含答案 精品

[全国卷3年考情分析][典例] (2016·四川高考)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．[解析] 对于①，特殊值法．取A (1,1)，则A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，A ′的“伴随点”为点(－1，－1)．故①为假命题．对于②，单位圆的方程为x 2＋y 2＝1，设其上任意一点(x ，y )的“伴随点”为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y2＝y ，y ′＝－xx 2＋y 2＝－x ，∴y 2＋(－x )2＝y 2＋x 2＝1.故②为真命题．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③为真命题． ④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，此三点不共线，故④为假命题．故真命题为②③. [答案] ②③1．(2018届高三·湘中高三联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ，①则当n ≥2时，(n －1)·2n＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1，②①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 5≥0，b 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2≥0，－k＋2≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125[典例] (2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[解析] 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. [答案] 1－ln 2[针对训练]2．(2017·郑州质检)设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y22x －1≥a 恒成立，则a 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：选 C 法一：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y22x －1＝x －＋1]2y －1＋y －＋1]22x －1≥x －y －1＋y －2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，y －1＝1，2x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y22x －1的最小值是8，即a ≤8，故a 的最大值是8.法二：令m ＝2x －1，n ＝y －1， 则m >0，n >0，x ＝m ＋12，y ＝n ＋1，4x 2y －1＋y22x －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122n＋n ＋2m＝m ＋2n＋n ＋2m≥4m n ＋4n m ≥24mn ×4nm＝8，当且仅当m ＝1且n ＝1，即x ＝1，y ＝2时取等号， 即4x 2y －1＋y 22x －1≥8， 故a ≤8，所以a 的最大值是8.[典例] (2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x ＜1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－23，2]C ．[－2,2 3 ]D ．[－23，2 3 ][解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．当y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2.当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2. 要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.法二：∵f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立．①令g (x )＝－f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2，g (x )＝－x －2－x 2＝－32x －2≤－2，即g (x )max ＝－2.当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，g (x )＝x －2－x 2＝x2－2，即g (x )＜－2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝－x －2x －x 2＝－32x －2x ≤－23，即g (x )max ＝－2 3. ∴a ≥－2.②令h (x )＝f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2，h (x )＝x ＋2－x 2＝x2＋2≥2，即h (x )min ＝2. 当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，h (x )＝－x ＋2－x 2＝－32x ＋2＞2，即h (x )＞2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，即h (x )min ＝2. ∴a ≤2.综上可知，－2≤a ≤2.法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2， 而⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D.若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.3．(2017·东北四市高考模拟)已知函数f (x )＝cos x ＋mcos x ＋2，若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫75，5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，5 解析：选C f (x )＝cos x ＋m cos x ＋2＝1＋m －2cos x ＋2，令t ＝cos x ＋2，由于－1≤cos x ≤1，因此1≤t ≤3，设g (t )＝1＋m －2t(1≤t ≤3)． 法一：若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，不妨设a <c ，b <c ，则只需满足f (a )＋f (b )>f (c )恒成立，故只需2f (x )min >f (x )max 即可，即2g (t )min >g (t )max .当m ＝2时，f (a )＝f (b )＝f (c )＝1，成立，故m ＝2符合题意；当m <2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧m －＋m －23，m <2，解得75<m <2；当m >2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧2⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23>m －1，m >2，解得2<m <5.综上，75<m <5.法二：令m ＝5，则g (t )＝1＋3t(1≤t ≤3)，∴2≤g (t )≤4.取f (a )＝f (b )＝2，f (c )＝4.不合题意，排除A 、B ；取m ＝1310，则g (t )＝1－710t (1≤t ≤3)，∴310≤g (t )≤2330，取f (a )＝310，f (b )＝310，f (c )＝2330，不合题意，排除D ，故选C.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m[解析] 法一：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝ 2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .法二：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．可设y ＝f (x )＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x ＋1x ，得交点(－1,0)，(1,2)，则x 1＋y 1＋x 2＋y 2＝2，结合选项，应选B.[答案] B[针对训练]4．(2017·沈阳质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的值是( )A ．－38B.316C ．－38D.38解析：选A 法一：令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA ―→·PB ―→＝|PA ―→|·|PB ―→|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38. 法二：如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠AOB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∴PA ―→·PB ―→<0.取P 点为双曲线右顶点． 则|PA |＝|PB |＝12|OP |＝32，∴PA ―→·PB ―→＝－38.[专题过关检测] 一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13 C ．12D ．1解析：选C 法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝a 1＋a 1002＝50(a 50＋a 51)＝－100.4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PF |，当m 取最大值时，|PA |的值为( )A ．1B ． 5 C. 6D ．2 2解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|PA |＝x 2＋y ＋2，所以m ＝x 2＋y ＋2y ＋1，平方得m 2＝x 2＋y ＋2y ＋2，又x 2＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2＝4y ＋y ＋2y ＋2＝4y y ＋2＋1＝1＋4y ＋1y＋2，由基本不等式可知y ＋1y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|PA |＝4＋＋2＝2 2.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，12bc －ad ，ad <bc ，已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x41x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1724 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1724∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(－1,1)解析：选A 由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤－2或x ≥2，124－x 2，－2<x <2，直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝12 4－x 2(－2<x <2)的图象为椭圆的上半部分，B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB <k <1或－1<k <k AD 时，直线l 与f (x )的图象有两个交点．k AB ＝3－02－－＝34，将y ＝k AD (x －2)＋3与y ＝12 4－x 2(－2<x <2)联立消去y ，得(1＋4k 2AD )x 2＋8k AD (3－2k AD )x ＋16k 2AD －48k AD ＋32＝0，令Δ＝0，解得k AD ＝23.综上所述，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 6．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D.7．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝sin x2＋cos x .若当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，32 解析：选B 由题意，当x >0时，f (x )＝sin x2＋cos x <kx 恒成立．由f (π)<k π，知k >0.又f ′(x )＝1＋2cos x＋cos x2，由切线的几何意义知，要使f (x )<kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x <0，∵g ′(x )＝2cos x ＋1＋cos x 2－13＝－x －2＋cos x2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴不等式成立．综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 8．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下述判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值为725解析：选 D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE ―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→·BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→·AC ―→＝0，整理得，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB ―→|·|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|·|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，所以sin π2－2α的最小值是725. 9．(2017·石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1， 则CP AC＝x3＝PQ1，即PQ ＝x3， 又QR 1＝BQ BC ＝APAC＝3－x 3，所以QR ＝3－x3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝36 2x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合图象知选A.10．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→(a ，b ∈R)，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B 使用特殊值法求解．设A (1,0)，B (0，－1)，则OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→＝(a ，－b )．∵C 在圆上，∴a 2＋b 2＝1，∴点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 二、填空题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e <1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e <1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：42．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：(特殊图形)如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BCsin ∠E＝BEsin ∠C，即2sin 30°＝BEsin 75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BFsin ∠FCB＝BCsin ∠BFC，即BFsin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)3．设0<m <12，若1m ＋11－2m ≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题可知，k 的最大值即为1m＋11－2m 的最小值．因为1m ＋11－2m＝[2m ＋(1－2m )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋11－2m ＝3＋1－2m m ＋2m 1－2m ≥3＋22，取等号的条件是当且仅当1－2m ＝2m ，即m ＝1－22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时成立，所以k 的最大值为3＋2 2.故所求实数k 的取值范围是(－∞，3＋2 2 ]．答案：(－∞，3＋2 2 ]4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π125．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝x －2＋y 2≤－2＋－2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋16．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：设AD ＝x ，则AB ＝AC ＝2x ，因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以AB ＋AD >BD ，即2x ＋x >3，x >1，AB －AD <BD ，即2x －x <3，x <3，所以x ∈(1,3)． 在△ABD 中，由余弦定理得9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos A ，即cos A ＝5x 2－94x2，S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×2x ×x ×sin A＝2x21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝32－x 4－10x 2＋，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，S △ABC ＝32 －t －2＋16，当t ＝5，即x ＝5时，S △ABC 有最大值6.答案：67．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝ex －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )为增函数，且f (2)＝e2－2＋2－3＝0，所以函数f (x )＝ex －2＋x －3只有一个零点x ＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解，所以a ＝x ＋4x －1，而函数y ＝x ＋4x－1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x ＝2时，a 取最小值3，且当x ＝1时，a ＝4，当x ＝3时，a ＝103，所以a max ＝4，所以实数a 的取值范围是[3,4]．答案：[3,4]8．对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．对正整数k ，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk－1a n )．若数列{Δ2a n }的各项均为2，且满足a 11＝a 2 015＝0，则a 1的值为________．解析：因为数列{Δ2a n }的各项均为2，即Δa n ＋1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa 1＋2n －2，即a n ＋1－a n ＝Δa 1＋2n －2，所以a n －a 1＝(n －1)Δa 1＋(0＋2＋4＋…＋2n －4) ＝(n －1)Δa 1＋(n －1)(n －2)(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－a 1＝10Δa 1＋10×9，a 2 015－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，即⎩⎪⎨⎪⎧0－a 1＝10Δa 1＋10×9，0－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，解得a 1＝20 140. 答案：20 1409．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则b ＝________ ；λ＝________ .解析：法一：(三角换元)在圆O 上任意取一点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |可得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[(cos θ＋2)2＋sin 2θ]，整理得1＋b 2－5λ2－(2b ＋4λ2)·cos θ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2－5λ2＝0，2b ＋4λ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.法二：(特殊点)既然对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，使得λ与b 为常数，那么取M (1,0)与M (0,1)代入|MB |＝λ|MA |，得⎩⎪⎨⎪⎧b －2＝9λ2，b 2＋1＝5λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.答案：－12 1210．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝q p，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略[全国卷3年考情分析][常考题点逐一突破][典例] (2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得，a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．[针对训练]1．(2017·沈阳质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b ＝6， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ>0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上， ∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20， ∴k 1k 2＝2－12x 2x 20－4＝－12.故k 1k 2为定值．[典例] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． [解] (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则直线BQ 的斜率为－1k.则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为y －94＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[针对训练]2．(2017·沈阳质检)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2. (1)求椭圆的方程；(2)点A 为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22，C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22， 故S △ABC ＝12×2×2＝ 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1，消去y ，化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k ＋1，x 1x 2＝2k 2－22k ＋1，|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22k 2＋12－4·2k 2－22k 2＋1＝22·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －k ＝0的距离d ＝|－k |k 2＋1＝|k |k 2＋1， ∵O 是线段AC 的中点， ∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k |k 2＋1，∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·k 2＋12k 2＋1·2|k |k 2＋1＝2 2k 2k 2＋k 2＋2＝2 214－1k 2＋2< 2.综上，△ABC 面积的最大值为 2.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t －tk 23＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t ＋k23＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t ＋k23k 2＋t.由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k k －k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －k 2＋k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.故k 的取值范围是(32，2)．解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． [题后悟通][针对训练]3．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0消去y ，得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2. ∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0. ∴12k 2m 2k 2＋2＋m 2－k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0.当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0， ∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即－m 2m2m 2－1>0.解得1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1,4).[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．[题后悟通]直线过定点问题的解题模型[针对训练]4．(2017·郑州模拟)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2消去y ，得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1－x 24x 1＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2).[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3. 由PM ―→＝NQ ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM ―→＝NQ ―→，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t9，⎭⎪⎫可得y 4＝2t －159 又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[针对训练]5．(2017·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．解：(1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝ m －m 2＝m2，故e ＝c a ＝22. (2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)． 所以x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝2·m －3.|CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上， 因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49，故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．[高考大题通法点拨] 圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线[思维流程][策略指导]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．[解] (1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16(12k 2－3)>0，所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，。