天津市武清区2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

天津市武清区2021届新高考第四次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】()cos 221f x x x =++可得1()2cos 2sin 212sin 21226f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确； 对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．设全集U=R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（ ）A ．{x|-1 <x<4}B ．{x|-4<x<1}C ．{x|-1≤x≤4}D ．{x|-4≤x≤1}【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得UA【详解】由()()234410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U{|14}x x A =-≤≤.故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.3．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由题可知：04i i x y <<≤，且i i y xi i x y =可得ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 04t h t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04th t t t=<≤，则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =， 由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<， 所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.4．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.5．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．5C ．26D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】 如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A ．1e 2⎛ ⎝B ．12e ⎡⎢⎣C ．12e ⎛ ⎝⎦D ．12e ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由已知可将问题转化为：y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y ＝kx －12的下方，即可求得：k ＞12；再求得直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，k e 图象即可得解. 【详解】若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根， 则y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝1ln 2m m+＝1m，∴m e 此时，k ＝1m e f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件， 故所求k 的取值范围是1,2e e ⎛ ⎝⎭，故选D.. 【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2 B ．2C 3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知，圆心M 3223a b=+222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，所以圆心M 到渐近线的距离为22(2)3r -=222bb ca b ===+，故221a c b =-=， 所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 9．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.10．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A1 BC1D【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=，故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.11．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（） AB ．C ．2D +1【答案】B 【解析】 【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b c=， 整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 12．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 3．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC + 4．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA的最小值为（ ） A ．12 B 2C 3D 22 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．22y x =±C ．52y x =±D ．22y x =± 6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852 C ．35 D ．3527．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．3118．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．3D ．229．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 10．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 12．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市武清区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】 【分析】4=，解方程即得k 的值.【详解】4=，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.2．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =±B ．y x =±C．y = D．y =【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】双曲线2212y x -=,∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.3．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.4．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.5．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ． 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 8．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数． 【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个． 9．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x=+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 11．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-，()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.12．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市部分区2021届高考数学质量调查试卷(一)一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合Ｐ=｛0，1，3｝，Ｑ=｛1，2，3｝，则Ｐ∩Ｑ=()A. ｛1，2｝B. ｛2，3｝C. {1,3}D. ｛0，1，2，3｝2.已知α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设a=log2332,b=(43)−23,c=(43)32，则a、b、c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. a<c<b4.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是()A. 4B.C. 2D.5.某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到如表：分数段[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是()A. 110B. 115C. 120D. 1256. “a=0”是“函数y=ln|x−a|为偶函数”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件7. 设命题p：∀x∈R，使得x2−3x+2≤0成立，则命题￢p为()A. ∃x0∈R，使得x02−3x0+2≤0成立B. ∃x0∈R，使得x02−3x0+2>0成立C. ∀x∈R，使得x2−3x+2>0成立D. 以上都不对8. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8√3，则双曲线C的标准方程为()A. x 24−y 212=1B. x 24−y 28=1C. x 212−y24=1 D. x 28−y 24=19. 设函数f(x)={x 2−2x −2,x <12x −3,x ≥1，若f(x 0)=1，则x 0=( )A. −1或3B. 2或3C. −1或2D. −1或2或3二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z 1=3+4i ，z 2=1+2i(i 是虚数单位)，则z 1−z 2= ______ ．11. 在(2x −1)8的展开式中，二项式系数最大的项的系数为______.(结果用数字表示)12. 一个袋中放了相同的标号为1、2、3的三个小球．每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球3次．若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分，则3次所得分数之和的数学期望是 ．13. 已知三棱锥A 一BCD 所有顶点都在半径为2的球面上，AD ⊥面ABC ，∠BAC =90°，AD =2，则三棱锥A 一BCD 的体积最大值为______．14. 不等式axx−1<1的解集为{x|x <1或x >2}，则a 的值为______ ．15. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则tanAtanB=______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 已知函数f(x)=√3sinx −cosx ． (I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f(A)=1，a =√3,c =2，求边b 的长和∠C 的大小．17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +1，(n ∈N ∗). (1)求证：数列{a n +1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．18. 如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点．(1)设圆往的高为4，异面直线AD与BC所成角为arccos√26，求圆锥的体积；(2)当圆锥的高和底面半径是(1)中的值时，求二面角B−AD−C的大小．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为45，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为8．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若点M(x0,2)是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点N是椭圆的下顶点，求四边形F1MF2N的面积．20. 已知函数f(x)=|x−1|−|2x+2|．(1)求f(x)值域；(2)若存在唯一的整数x0，使得f(x0)>a，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：因为交集是两集合的公共元素组成的集合，所以Ｐ∩Ｑ={1,3}。

2021年高考天津市数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、综合题（共1题）1、已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．二、解答题（共4题）1、已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．2、已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．3、如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．4、在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．三、填空题（共6题）1、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．2、已知，且，则的最小值为_________．3、已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4、已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．5、在的展开式中，的系数是_________．6、是虚数单位，复数_________．四、选择题（共9题）1、已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.2、已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③3、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.4、设，则的大小关系为（）A. B. C. D.5、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6、从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 367、函数的图象大致为（）A B.C. D.8、设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、设全集，集合，则（）A. B. C. D.============参考答案============一、综合题1、（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则. ①令.当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，，所以. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．二、解答题1、（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.2、（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或. 将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.3、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、. （Ⅰ）依题意，，，从而，所以；（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.4、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.三、填空题1、 (1). (2).【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.2、 4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.3、 (1). (2).【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.4、 5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5、 10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．6、【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.四、选择题1、 D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2、 B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.3、 D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为a>0,b>0，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．4、 D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.5、 C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6、 B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.7、 A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8、 A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.9、 C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7108．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．2021年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．80【解答】解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π【解答】解：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【解答】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次方程最多有两个零点，∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝4﹣i．【解答】解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．【解答】解：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．【解答】解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．【解答】解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为1；（+）•的最小值为．【解答】解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＝＝．（3）由（2）可得sin C＝＝，∴sin2C＝2sin C cos C＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2C cos﹣cos2C sin＝．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．【解答】解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）e m﹣m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m （m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。

天津市武清区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()3,+∞C．(),3-∞-D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t t >，将其代入双曲线方程得：223(1)()1t a t ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A 2B 26C 13D 13 【答案】B【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅. 故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.3．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2- B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a 在b 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-. 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题. 6．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 7．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ． 8．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．16【答案】A 【解析】 【分析】作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 【详解】如图，作//PD AC 交AB 于点D ，则AP AD DP =+，由题意，13AD AB =，14DP AC =，且180ADP CAB ∠+∠=， 所以11111||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABCS S ∆∆=， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 9．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算． 【详解】因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算．属于简单题． 10．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A ．34B ．33 C ．32D 3【答案】B 【解析】【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB≤，故选B ． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．11．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D 【解析】 【分析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需2<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且11142ab x a --=，21142abx a+-=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故11422aba+-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．12．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市武清区2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） AB．C ．12D【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.2．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．12+B ．12C．12-D ．14-【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【详解】由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭ cos 2sin 2122x x=++21sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 故其最小值为：212-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 3．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

天津市武清区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题.A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题；③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C.【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．复数432i z i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部.【详解】解：432iz i +=-=()()()()43251012225i i ii i i +++==---+-，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.4．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案.【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.5．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（）A ．2B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】【分析】根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n .【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即 ()23248282cos 804a a b a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==，解得λ==-所以442n a b =+所以 ()2223442163223248322cos 483244a b a a b b n π+=+⋅+=-==+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84【答案】B【解析】【分析】 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】D【解析】【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ，则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．8．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果.【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 9．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．10【答案】C【解析】【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a .【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =， 所以71614a a d =+=．故选C ．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.10．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.11．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．72 【答案】B【解析】【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论.【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种. 故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.12．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n，则2n x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．120【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322z y x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r 得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市西青区2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?【答案】B 【解析】 【分析】由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 2．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程2222623r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC 与ADC 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ，则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ， 由3BN ND ==，1cos 3BND ∠=可得3cos ON BN BND =⋅∠=，23OD =，2326333OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴13ON ND =即点O 为ADC 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，126OO r =-,∴222262333r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得6r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.3．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A 【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.4．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，则第一次检测出B 类产品的概率为35； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.5．要得到函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（）， 再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ=-+=- 故选B ．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键． 6．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】 【分析】4=，解方程即得k 的值.【详解】4=，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.7．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PFc a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.8．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B．y =C．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.9．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.10．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）A ．24πB ．86πC ．433πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．11．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题. 12．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+ B ．1C ．5D【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市武清区2021届高二上学期数学期末教学质量检测试题一、选择题1. 设集合A = {2,? }, B = {x \x 2-2x >0},则A B=（）A. {4}B. （2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}2. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为众数为人，平均值为c,则（）a b a b4. 命题“对任意xcR,都有%2>0"的否定为（ ）A. a=b = cB.。

= b <cC. a 〈b 〈cD. Z? 3 33.若 a>b ,则下列不等式成立的是（),1 1A.->-1 1B,—<- C. a 3 >b 3D・ a 2 > b 1A.存在都有>0 B,对任意xeR,使得%2 <0C.存在x o g R,使得蚌<0D,不存在x^R,使得x 2<05. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCQ 是梯形，AB//CD,若平面PAD 平面PBC = l,则（ ）A. 1//CDB. IHBCC./与直线AB 相交D. /与直线D4相交6. 设有一个回归方程y =6-6. 5x,变量x 每增加一个单位时，变量y 平均（）A.增加6. 5个单位B.增加6个单位C.减少6. 5个单位D.减少6个单位7. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12 3 4 5 - 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ....... 4027 4029 40318 12 16 ............. 8056 806020 28 . (16116)该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A. 2017 x22015B. 2017 x22014C. 2O16x22015D. 2016x220148. 从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有（）A.80种B.100种C.120种D.240种r29.已知玲互分别为双曲线—-/=1的左右焦点，点P（3,l）,点A在双曲线上，则|AP|+|AE,|的一3一最小值为（）A.726-2^3B.^26-4C.V26+4D.726+2^310.等差数列{%}的前，?项和为S,”若Se=38,则2知-%2=()A.2B.4C.6D.82211.设椭圆C：与+%=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为耳、a bF?,P是C上的点，pf2±f,f2,NP耳F2=30,则C的离心率为（）A.亟B.11C.—D.立332612.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A.0.42B. 0.12C.0.18D.0.28二、填空题13.在（x~I—）5的展开式中，上的系数为____________.2yjx x14.设集合A-{-1,1,3},2?=切+2,口2+4},Ac8={3},则实数。

天津武清区学校2021年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的前n项为S n，若公差d=﹣2，S3=21，则当S n取得最大值时，n的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．∴a1=7﹣d=9．则a n=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．由a n=11﹣2n≥0，得，∵n∈N*，∴n≤5．即数列{a n}的前5项大于0，自第6项起小于0．∴当S n取得最大值时，n的值为5．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．2. 设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若，则（）A、3：4B、2：3C、1：2D、1：3参考答案：A3. 有以下几个数列：⑴a n =，⑵ S n = n ( 2 – 3 n )，⑶a n + a n +1 = 2 a n + 2，⑷a n =，⑸a n a n + 2 = a，⑹a n =log 2 6 n，其中是等差数列的有（）（A）⑴⑶（B）⑵⑷（C）⑶⑸（D）⑵⑹参考答案：D4. 在数列中,,则 ( )A. B. C. D.参考答案：D5. 若函数=(2-3+3)x 是指数函数，则（）A ＞1且≠1B ＝1C ＝1或＝2D ＝2参考答案：D6. 等于( )A. B. C. D.参考答案：略7. （3分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=21﹣x在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．解答：解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C点评：本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于容易题．8. 已知A(1,2)，B(0,4)，则=（）A．(－1,2) B．(－1,0) C．(5,0) D．(1,2)参考答案：A9. 下面给出的四类对象中，构成集合的是…………………………………………( )A．某班个子较高的同学 B．大于2的整数C．的近似值 D．长寿的人参考答案：B略10. 数列{a n}的前n项和为S n=4n2﹣n+2，则该数列的通项公式为（）A．a n=8n+5（n∈N*）B．a n=C．a n=8n+5（n≥2）D．a n=8n+5（n≥1）参考答案：B【考点】数列的函数特性．【分析】S n=4n2﹣n+2，n=1时，a1=S1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵S n=4n2﹣n+2，∴n=1时，a1=S1=4﹣1+2=5．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n2﹣n+2﹣[4（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=8n﹣5．∴该数列的通项公式为a n=（n∈N*）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a= ．参考答案：﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．12. 已知圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是______cm.参考答案：4【分析】先设球的半径为，根据三个球的体积加上水的体积等于圆柱形容器的体积，列出等式，即可求出结果.【详解】设球的半径为，则底面圆的半径为，从而有，由此解得.故答案为：4【点睛】本题主要考查几何体的体积的相关计算，熟记体积公式即可，属于常考题型.13. 若正实数{a n}满足，则的最小值为______ ．参考答案：9【分析】根据，展开后利用基本不等式求最值.【详解】等号成立的条件是，即，，解得：的最小值是9.【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.14. 若关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为________.参考答案：【分析】利用判别式可求实数的取值范围.【详解】不等式有解等价于有解，所以，故或，填. 【点睛】本题考查一元二次不等式有解问题，属于基础题.15. 幂函数在时为减函数，则m=．参考答案：216.在1，2，4，5这4个数中随机取两个数，则所取的两个数和为6的概率为______.参考答案：【分析】先求出基本事件的总数，再求出所取得2个数的和为6包含的基本事件的个数，由此能求出所取的两个数的和为6的概率.【详解】在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，基本事件总数：所取的两个数和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），共有m=2个，因此：所取得2个数得和为6得概率为：.故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.17. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，，那么x<0时，f(x)= ___参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三数学参考答案（二）第1页（共7页）2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅∠7CD=25sinsin 3sin 714BD ADB ABπθ⨯⋅∠===天津市部分区2021年高三质量调查试卷（二）数学参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．10211．1512．13．1314．2156三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）在BCD ∆中，8,5,3BC BD DBC π==∠=，由余弦定理，得，…………………3分即22258258cos=493CD π=+-⨯⨯⨯，所以………………………………………………………………6分（2）在ABD ∆中，27,5,,3AB BD ADB BAD πθ==∠=∠=，由正弦定理，得sin sin AB BDADB θ=∠，所以,……………………………9分题号123456789答案DBCABADAC高三数学参考答案（二）第2页（共7页）sin sin cos cos sin 666πππθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C xyz-所以11cos 14θ===…………………………………11分所以………………………………12分5331111==1421427⨯-⨯………………………………14分17．（1）证明：依题意，以点C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系…………………………1分则()()()10,2,00,0,02,0,1B C A ，，，()1,1,1M ，()()110,0,10,2,1C B ，，所以()12,2,1A B =-- ，()11,1,0C M =，所以112200A B C M ⋅=-++=，………3分所以11A B C M ⊥，即11A B C M ⊥. (4)分（2）解：由（1），得13A B = ，()10,2,1B C =--，所以113A B B C =-,1B C = ，……………6分所以111111cos ,5A B B C A B B C A B B C⋅===.AB CA 1B 1C 1Mxzy高三数学参考答案（二）第3页（共7页）()11,1,0C M =即所求直线1A B 与1B C所成角的余弦值为5.……………………………9分（3）解：依题意及（1），得()12,0,1CA =.设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则110,0,n A B n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,20,x y z x z -+-=⎧⎨+=⎩…………………………………10分令1x =，得2,0z y =-=，所以()1,0,2n =-………………………………11分由（1）及题意知，1C M ⊥平面11ABB A ，所以平面1AA B 的法向量是…………………………………12分所以n =，1C M = 11n C M ⋅=.所以111cos ,10n C M n C M n C M===…………………………14分设二面角1A A B C --的平面角为ϕ，由于0ϕπ<<，所以sin 10ϕ===，故所求二面角1A A B C --的正弦值为10.………………………………15分高三数学参考答案（二）第4页（共7页）0d =()111n a n n =+-⨯=11123n n n b b q --=⋅=⨯2243a b ==，22143x y +=()()()6191323219nn n -+++=+-21293444n n n +=+++18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项，所以2428a a a =⋅，即()()()213117d d d +=++，解得1d =或.………………………2分又因为0d ≠，所以1d =.所以.……………………………………………………3分因为322n n b S -=（N n *∈），所以，当2n ≥时，11322n n b S ---=，………………………………………4分所以()()11320n n n n b b S S -----=，所以()1320---=n n n b b b ，即-1=3nn b b （2n ≥）.当1n =时，11322b S -=，又因为11S b =，所以12b =，…………………………………6分所以数列{}n b 是以2为首项、3为公比的等比数列.所以.……………………………………………………7分（2）因为12,23,n n n n c n -+⎧=⎨⨯⎩为奇数,为偶数.…………………………………8分所以，数列{}n c 的前21n +项和为()()135213572323333n n -++++++++++ ………………………11分……………………………………………13分…………………………………………………………15分19.解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当焦点1F 到直线l 的距离取最大值时，l x ⊥轴，此时2232b AF a ==.①………………………………………………………2分又C 的离心率12e =，所以222222112c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，②解①②，得.……………………………………………4分所以椭圆C 的方程为.……………………………………5分高三数学参考答案（二）第5页（共7页）y =6355⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,0063,55PN x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭21221,2525⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）依题意及（1），得直线EF的方程为)2y x =-，即.………………………………………6分由,E F 为直线交椭圆C 的两个交点，且点E 在第一象限，解方程组221,43y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得点(8,,0,55E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为线段EF 的中点为M ，线段EM 的中点为N ，所以点M 的坐标为4355⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,-，点N 的坐标为.……………8分设点P 的坐标为()00,x y ，则022x -≤≤，且004,55PM x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，…………10分所以2200021225PM PN x y x ⋅=+-+ .③……………………………………11分因为点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=，所以2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，④……………………………………………………12分将④代入③，得()2222000000211961431224425425425x PM PN x x x x x ⎛⎫⋅=+--+=-+=-- ⎪⎝⎭ ，因为022x -≤≤，所以，当02x =时，PM PN ⋅取得最小值2125；当02x =-时，PM PN ⋅取得最大值22125..…………………………………14分故所求PM PN ⋅的取值范围为.…………………15分20.解:（1）易知函数()f x 的定义域为R ，且()()()=231e xf x x x '+-…………1分所以()1=0f '.高三数学参考答案（二）第6页（共7页）因为()1e f =-，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为e y =-.………3分（2）由（1）得()3()21e 2x f x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，令()=0f x '，得3,12x x =-=.所以，当3(,)2x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3(,1)2x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.…………………………………5分所以=1x 是()f x 的极小值点.又,当0x <时，()0f x >；当302x <<时，()0f x <；当32x >时，()0f x >，.………………………………………………………6分所以()f x 只能在302⎛⎫ ⎪⎝⎭，内取得最小值，因为=1x 是()f x 在302⎛⎫⎪⎝⎭，内的极小值点，也是最小值点.所以()()min 1ef x f ==-.……………………………………………………………7分（3）由（1）及题意，得()()1e ln xh x x a x =--，0x >，因为()10h =且曲线()y h x =与x 轴有且仅有一个公共点，所以函数()h x 有且仅有1个零点，且这个零点为1，且2e ()e x xa x ah x x x x-'=-=.…………………………………………………8分①当0a ≤时，()0h x '>，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()1=0h ，所以符合函数()h x 有且仅有1个零点，且这个零点为1;………………………9分②当0e a <<时，令2()e xm x x a =-，(0)x >，22()2e e (2)e 0x x x m x x x x x '=+=+>，……………………………………10分所以在(0,)+∞上，函数()m x 单调递增，因为(0)0=-<m a ，()1e 0ma =->，………………………………11分所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0m x =，即020x x ea =，高三数学参考答案（二）第7页（共7页）所以在0(0,)x 上()0m x <，即()0h x '<，所以()h x 单调递减；在()0,1x 上()0m x >.因为0e a <<，所以在[)1,+∞上也有()0m x >，所以在0(),x +∞上()0m x >，即()0h x '>，所以()h x 单调递增………………12分所以()()()000220000002min 00111e e ln e ln x x x h x h x x x x x x x x ⎛⎫==--=-+- ⎪⎝⎭.令()211ln t x x x x=+-（01x <<），则()32121121110t x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()t x 在区间()0,1上单调递减，所以()()10t x t >=，所以020011ln 0x x x +->，即()00h x <.因为0e a <<且a 为常数，显然当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞.所以函数()h x 在区间()00,x 和()0,x +∞上各有一个零点．………………………13分③当e a =时，()()1e eln x hx x x =--，0x >，所以2e e e ()e x x x h x x x x-'=-=.令2()e e x n x x =-，(0)x >，所以22()2e e (2)e 0x x x n x x x x x '=+=+>，所以在()0,+∞上，()n x 单调递增.…………………………………………………14分因为(1)e e 0n =-=，所以，在(0,1)上()0n x <，即()0h x '<，所以在区间(0,1)上()h x 单调递减；在(1,)+∞上()0n x >，即()0h x '>，所以在区间(1,)+∞上()h x 单调递增.所以()min ()10h x h ==，符合题意．………………………………………………15分故所求a 的取值范围是{}{}0e a a ≤ .…………………………………………16分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}2 B. {}2,3 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B I .【详解】由题设有{}2,3A B Ç=，故选：B .2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i - B. 42i- C. 62i+ D. 42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i+=-+=+3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l p p =l =.故选：B.4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（ ）A. 0,2p æöç÷èøB. ,2ππæöç÷èøC. 3,2p p æöç÷èøD. 3,22p p æöç÷èø【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z pppp p -<-<+Î，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø，对于函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø，由()22262k x k k Z p p p p p -<-<+Î，解得()22233k x k k Z ppp p -<<+Î，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33p pæö-ç÷èø，则20,,233p p pæöæöÍ-ç÷ç÷èøèø，2,,233p p p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33p p æöç÷èø，32,,233pp p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø且358,,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，358,2,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，CD 选项均不满足条件.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x w j +看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把w 化为正数．5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A. 13 B. 12C. 9D. 6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF æ+ö×≤ç÷èø即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF æ+ö×≤=ç÷èø（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6. 若tan 2q =-，则()sin 1sin 2sin cos q q q q+=+（ ）A. 65-B. 25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2q =-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos q q q q q q q q q q q q q q+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145q q q q q q q q ++-====+++．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2q =-，求出sin ,cos q q 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7. 若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y ¢=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()t ty e ex t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e ¢=-.当t a <时，()0f t ¢>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t ¢<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =¹==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =¹=¹乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P a a ，()2cos ,sin P b b -，()()()3cos ,sin P a b a b ++，()1,0A ，则（ ）A 12OP OP =uuu r uuur B. 12AP AP =uuu r uuurC. 312OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuu r uuur D. 123OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuur uuur 【答案】AC 【解析】.【分析】A 、B 写出1OP uuu r ，2OP uuur 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP a a =uuu r ，2(cos ,sin )OP b b =-uuur ，所以1||1OP ==uuu r ，2||1OP ==uuur ，故12||||OP OP =uuu r uuur ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP a a =-uuu ，2(cos 1,sin )AP b b =--，所以1||2|sin |2AP a =====uuu r，同理2||2|sin |2AP b ==uuur ，故12||,||AP AP uuu r uuur 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP a b a b a b ×=´++´+=+uuu r uuur ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP a b a b a b ×=×+×-=+uuu r uuur ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP a a a ×=´+´=uuu r uuu r ，23cos cos()(sin )sin()OP OP b a b b a b ×=´++-´+uuur uuur22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin a b a b b a b b a b=---cos cos 2sin sin 2cos(2)a b a b a b =-=+，错误；故选：AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA Ð最小时，PB =D. 当PBA Ð最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4=>，所以，点P 到直线AB42-<410+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ^，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB l m =+uuu r uuu r uuur，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，则（ ）A. 当1l =时，1AB P △的周长为定值B. 当1m =时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12l =时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ^D. 当12m =时，有且仅有一个点P ，使得1AB ^平面1AB P 【答案】BD的【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1l =时，11=BP BC BB BC CC m m =++uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r，即此时P Î线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A错误；对于B ，当1m =时，1111=BP BC BB BB B C l l =++uuu r uuu r uuur uuur uuuu r，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12l =时，112BP BC BB m =+uuu r uuur uuur ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH m =+uuu r uuu r uuur ，所以P 点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ö÷÷ø，()0,0P m ,，10,,02B æöç÷èø，则11A P m æö=-ç÷ç÷èøuuur ，10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，()10m m -=，所以0m =或1m =．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12m =时，112BP BC BB l =+uuu r uuu r uuur ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN l =+uuu r uuuu r uuuu r ，所以P 点的轨迹为线段MN ．设010,,2P y æöç÷èø，因为0,0A ö÷÷ø，所以01,2AP y æö=ç÷ç÷èøuuu r，11,12A B æö=-ç÷ç÷èøuuur ，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx x a f x -=×-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=×-，故()()322x x f x x a --=-×-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --×-=-×-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ^，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p \+=-u u u r 因为PQ OP ^，所以260032p p p p ´-=>\=\Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+¥，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+¥，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ´的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ´，20dm 6dm ´两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ´，10dm 6dm ´，20dm 3dm ´三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==å______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ´，562dm dm ´，53dm dm ´，3102dm dm ´，3204dm dm ´，共5种；（2）由题意可得12120S =´，2360S =´，3430S =´，4515S =´，L ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+´´´=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+´´=++++L ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --æö-ç÷++æöèø=++++-=+-ç÷èø-L ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +ìüíýîþ结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ¹，则111111n n n n a a d a a ++æö=-ç÷èø，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.的【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-L ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-´=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++L ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-L ，所以()20241820210S a a a a =++++-L ()1291091021021023103002b b b b ´æö=++++-=´´+´-=ç÷èøL .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以X 的分布列为X20100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =´+´+´=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =´+´+´=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19. 记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABCÐ【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC Ð=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB Ð、cos CDB Ð，又ADB CDB p Ð=-Ð，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC Ð..【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =Ð，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =Ð，即sin sin C cABC b=Ð，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b bc c ADB b b b +--Ð==×，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--Ð==×，∵ADB CDB p Ð=-Ð，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-Ð==-，当2213a b =时，7cos 16ABC Ð=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC Ð=；综上，7cos 12ABC Ð=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB p Ð=-Ð得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC Ð.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ^；（2）若OCD V 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45°，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD I 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO Ì平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD Ì平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D Ç=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF Ð为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF pÐ=因为BO OD =,OCD V 为正三角形,所以OCD V 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF \==+=从而EF=FM=213AO \=AO ^Q 平面BCD,所以11111332BCD V AO S D =×=´´´=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ×=×，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t æöç÷èø，设直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ×的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ×的表达式，由TA TB TP TQ ×=×化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t æöç÷èø，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ì=+-ïíï-=î，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k æö-+-+-+=ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k æö-+ç÷èø=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++æö×=+×-×-=+×-+=ç÷-èø，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++×=-，因为TA TB TP TQ ×=×，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -¹，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+¥上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,¥+，又()1ln 1ln f x x x ¢=--=-，当()0,1x Î时，()0f x ¢>，当()1,+x Î¥时，()0f x ¢<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b æöæö=ç÷ç÷èøèø，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x Î时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e Î+¥时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x ¢¢¢=+-=---()ln 2x x =--éùëû，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x ¢>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -æö¢=++--=+-ç÷++èø，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -¢=-=++，当10x -<<时，()0u x ¢>；当0x >时，()0u x ¢<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+¥上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t æö+≤<ç÷+èø，故()0S t ¢<恒成立，故()S t 在()1,+¥上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（）A.{}0 B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln ||0,10x x <+>，所以()0f x <，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、 、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c a b <<C.b c a<< D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10<= ，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>，0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3π B.4πC.9πD.12π【答案】B 【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥ ，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠= ，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，CD ∴==，因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD ππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.7.若2510a b ==，则11a b+=（）A.1-B.lg 7C.1D.7log 10【答案】C 【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】 2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==.故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若||CD AB =．则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.9.设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x aππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦⎝⎦B.5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150x a x a -+++= 最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-，（1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；所以若52a >时，()f x 有1个零点.综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．【答案】4i -【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-.故答案为：4i -.11.在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.12.若斜率为的直线与y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【答案】【解析】【分析】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==.13.若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥当且仅当21a b =且b b=，即a b ==所以21a b a b ++的最小值为.故答案为：14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF + 的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ 可求出；将()DE DF DA+⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（I ）（II ）（III ）321116-【解析】【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c =，即可求出；（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2:1:A B C =，由正弦定理可得::2a b c =，b =2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-==；（III ）3cos 4C = ，7sin 4C ∴==，3sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯⨯=，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭373113211828216=⨯-⨯=.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）39；（III ）13.【解析】【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ⊥ ，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C θ= 运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m⋅=⋅ 结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =- ,()112,2,0A C = ,()12,1,2A E =- ,设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪= ，令12x =，则()2,2,1m =- ，因为1220m D F =⋅-= ，所以1m D F ⊥ ，因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得，()12,2,2AC = ，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为θ，则1113sin cos ,9m A C AC m m C A θ⋅===⋅ ；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =- ，则22cos ,3DB m DB m DB m ⋅==⋅ ，所以二面角11A A C E --的正弦值为13=.18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为5，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -+=.【解析】【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x x y y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为5c e a ==，故2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x x y y +=，联立00221515x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MP BF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故066y =，0566x =-，所以，直线l的方程为166x y -+=，即0x y -+=.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.19.已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*n k n N =<∈【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k -==，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n n n c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n n n c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n -<==，所以112n n k k k k -==<，设10121112322222n n k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422n n k n k k n --==+⎫<=-<⎪⎭.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为n k =由错位相减法即可得证.20.已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)x h x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e =+'，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)x h x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.。