精选-高考数学二轮复习专题三不等式第2讲基本不等式与线性规划学案

第2讲 线性规划与基本不等式[考情考向分析] 1.线性规划的要求是A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一 简单的线性规划问题例1 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．答案 －5解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z 2在y 轴上的截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，其在y 轴上的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1,1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则yx的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝y x ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3,2)时取得最大值23，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.思维升华 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练1 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________. 答案 －2解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a ≥－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(1,1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. (2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ＞0，y ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 取最小值为20＋10＝30. 热点二 利用基本不等式求最值例2 (1)(2018·苏北六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案 8解析 ∵abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4()a ＋b ab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4()a ＋b ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ·4a＋2b ·4b＝4＋4＝8.(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立) (2)设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c＋c b的取值范围是____________________． 答案 [2，5]解析 因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ， 所以S △ABC ＝12a 2＝12bc ·sin A ，所以sin A ＝a 2bc.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ，所以b c ＋cb ＝2cos A ＋sin A ≤5，同时b c ＋c b ≥2(当且仅当b ＝c 时，等号成立)， 所以b c ＋c b∈[2，5]．思维升华 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 跟踪演练2 (1)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.(2)(2018·兴化三校联考)已知函数f (x )＝e x－e －x＋x 3＋3x ，若正数a ，b 满足f (2a －1)＋f (b －1)＝0，则2a 2a ＋1＋b 2＋1b的最小值为________． 答案 94解析 由题意得f (－x )＝－f (x )，且f (x )为单调增函数，最多有一个零点， 所以f (2a －1)＋f (b －1)＝0，即f (2a －1)＝－f (b －1)，所以2a －1＝1－b ，即 2a ＋b ＝2，所以 2a 2a ＋1＋b 2＋1b ＝2()a ＋12－4()a ＋1＋2a ＋1＋b ＋1b＝2()a ＋1＋b ＋2a ＋1＋1b －4＝2a ＋1＋1b. 又2a ＋1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋1b []2()a ＋1＋b ×14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋2b a ＋1＋2()a ＋1b ≥94， 当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号．所以2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为94.热点三 基本不等式的实际运用例3 (2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN ＝θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； (2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．解 (1)在Rt△NFP 中，因为PF ＝3，∠FPN ＝θ， 所以NF ＝3tan θ，所以S △NAP ＝12NA ·PF ＝12()1＋3tan θ×3，在Rt△MEP 中，因为PE ＝1，∠EPM ＝π3－θ，所以ME ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ， 所以S △AMP ＝12AM ·PE ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ×1， 所以S ＝S △NAP ＋S △AMP ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.(2)因为S ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋ 3令t ＝1＋3tan θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得t ∈[]1，4，所以S ＝3＋3t 2－4t ＋423t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋43t ＋33 ≥32×2×t ×43t ＋33＝2＋33，当且仅当t ＝43t ，即t ＝233时，即tan θ＝2－33时等号成立，此时，AN ＝233，S min ＝2＋33.答案 当AN ＝233时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2＋33.思维升华 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．跟踪演练3 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，则这批物资全部运送到灾区最少需____ h. 答案 10解析 时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t ＝400＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋25v400≥225＝10，当且仅当v ＝80时等号成立．1．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)，一年的总存储费用为4x 万元， 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．2．(2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 答案 9解析 方法一 如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋ 12a ×1×sin 60°， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1c ＝1，c a ＝4ac ，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝32时取等号．方法二 如图，以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴c2－1－32c ＝a2－132a ，∴ac ＝a ＋c .以下同方法一．3．已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a －c )≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得 x ＋y ＝2(xy －2)，则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0，即a 2≥a ·c ， 所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)(*)恒成立． 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<－1，(*)恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S 的最大允许值是________平方米． 答案 100解析 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy ， 依题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故0<S ≤10，从而0<S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧40x ＝90y ，xy ＝100，即x ＝15，y ＝203时等号成立．所以S 的最大允许值是100平方米．A 组 专题通关1．(2018·江苏无锡一中期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥0，则z ＝9x ·3y的最大值是________．答案 27解析 由题意得z ＝9x·3y＝32x·3y ＝32x ＋y.不等式组对应的可行域如图所示的△OAB 及其内部，设u ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋u ，当直线y ＝－2x ＋u 经过点A (1,1)时，直线在y 轴上的截距最大，u max ＝2×1＋1＝3， 所以z max ＝33＝27.2．(2018·连云港期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________． 答案 12解析 先根据实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内点到原点的距离的平方，由图可知，z ＝x 2＋y 2的最小值就是直线x －y ＋1＝0与原点的距离的平方， 所以最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12. 3．已知x >1，则函数y ＝2x ＋42x －1的最小值为________． 答案 5解析 ∵x >1，∴2x －1>0， ∴y ＝2x －1＋42x －1＋1≥2(2x －1)·42x －1＋1＝5， 当且仅当2x －1＝42x －1，即x ＝32时，等号成立．4．(2018·常州期末)各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________． 答案3解析 因为{}a n 是各项均为正数的等比数列，且a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，所以a 33－a 3＝a 2＋a 4，则a 33－a 3＝a 2＋a 4≥2a 2a 4＝2a 3，(当且仅当a 2＝a 4，即数列{a n }为正数常数列时取等号)即()a 23－3a 3≥0，即a 23≥3，a 3≥3，即a 3的最小值为3.5．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________．答案 3解析 点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3＋n 422，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”， 所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.6．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析 因为y ′＝12x (x ＋1)＋x ＝3x ＋12x＝32x ＋12x≥232x ·12x＝3， 当且仅当32x ＝12x ，即x ＝13时“＝”成立．所以切线的斜率k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7．已知正数a ，b ，满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案 36解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，∴ab －5≥21a ×9b，化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，当且仅当1a ＝9b ，1a ＋9b＝ab －5，即a ＝2，b ＝18时取等号，解得ab ≥36.8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，1x ＋1y＝1，3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y， 故得到3x x －1＋2y y －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫31－1x＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26， 等号成立的条件为1－1x ＝1－1y，即x ＝y ＝2.9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，又由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 当且仅当34a 2＝b 22时等号成立， 故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 10．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x (0≤x ≤8)． (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5＝75， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即当x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．B 组 能力提高11．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值为________． 答案 4解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．12．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________． 答案 10解析 由f (x )的值域为[0，＋∞)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， 所以c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号． 故所求的最小值为10.13．(2018·江苏如东高级中学等五校联考)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则(a 2＋b 2＋c 2)2＋52bc ＋ac的最小值为________． 答案 4 解析 a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋15c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋45c 2 ≥25ac ＋45bc ，即ac ＋2bc ≤52()a 2＋b 2＋c 2，当且仅当a ＝c 5，b ＝2c 5时等号成立， 则()a 2＋b 2＋c 22＋5ac ＋2bc ≥()a 2＋b 2＋c 22＋552()a 2＋b 2＋c 2 ≥25()a 2＋b 2＋c 252()a 2＋b 2＋c 2＝4(经验证两次等号可同时取得)，所以 ()a 2＋b 2＋c 22＋52bc ＋ac 的最小值为4.14．已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (2x ＋1)≥6；(2)已知a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，且对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＋f (2x ＋1)＝|x －2|＋|2x －1|精 品 试 卷 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3x ，x ＜12，x ＋1，12≤x ≤2，3x －3，x ＞2，当x <12时，由3－3x ≥6，解得x ≤－1； 当12≤x ≤2时，x ＋1≥6不成立； 当x ＞2时，由3x －3≥6，解得x ≥3. ∴不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)∵a ＋b ＝1(a ，b ＞0)， ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝23，b ＝13时等号成立，∴对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b 恒成立等价于对∀x ∈R ，|x －2－m |－|－x －2|≤9， 即[|x －2－m |－|－x －2|]max ≤9，∵|x －2－m |－|－x －2|≤|(x －2－m )－(x ＋2)| ＝|－4－m |，∴－9≤m ＋4≤9，∴－13≤m ≤5.。

第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理研热点（聚焦突破）类型一 不等式的性质与解法1．不等式的同向可加性a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭2．不等式的同向可乘性00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭3．不等式的解法一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．[例1] (1)(2012年高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：① c a >cb；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． [解析] (1)根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b. 又c <0，∴ ca > cb ，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数． 又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1. ∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．(2)通过值域求a ，b 的关系是关键．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝(x ＋a 2)2.又∵f (x )<c ，∴(x ＋a2)2<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴262ac m a c m ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩ 解得 26c =， ∴9c = [答案] (1)D (2)9跟踪训练(2012年高考福建卷)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系． ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0， ∴0<a <8.答案：(0，8) 类型二 线性规划求目标函数最值的一般步骤 (1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．[例2] (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2) D．(0，1＋3)[解析]利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴1－3<z<2.∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．[答案] A跟踪训练(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件4312xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z＝11yx++的取值范围是() A．[0，4] B．[14，5]C ．[54，6] D ．[2，10]解析：11y x ++表示过点(x ，y )与点(－1，－1)的直线的斜率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知11y x ++的最小值是101134--=--，最大值是14510--=--，故选B. 答案：B类型三 均值不等式的应用 1. 222a b ab +≥（,a b ∈R ） 2.2a bab +≥（,a b ∈R +） 3. 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b ∈R ）4.22222a b a b abab a b++≥≥≥+（,a b ∈R +） [例3] (2012年高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285 C ．5 D ．6[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15(1y ＋3x )＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12yx ) ＝135＋15(3x y ＋12y x )≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] C跟踪训练已知x>0，y>0，若28y xx y+>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2<m<4 D．－4<m<2解析：因为x>0，y>0，所以28y xx y+≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：D类型四排列与组合1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．2．排列数A m n＝n！（n－m）！.组合数C m n＝n！m！（n－m）！.3．组合数性质(1)C m n＝C n－mn；(2)C m n＋C m－1n＝C m n＋1.[例4](2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6[解析]根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C 12种方法，其余2个数字全排列，共有C 23C 12A 22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数． [答案] B跟踪训练(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．484解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解．分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C类型五 二项式定理1．二项展开式的通项：T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0，1，…，n )． 2．二项式系数为C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C n n (r ＝0，1，…n )．3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．[例5] (2012年高考安徽卷)(x 2＋2)( 21x－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 [解析] 利用二项展开式的通项求解二项式(1x 2－1)5展开式的通项为：T r＋1＝C r5(1 x2)5－r·(－1)r＝C r5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.[答案] D跟踪训练(2012年郑州模拟)在二项式(x2－1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A．32 B．－32C．0 D．1解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，选C.答案：C析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，c ln b≥a＋c ln c，则ba的取值范围是________．【解析】由题意知435ln ln a ca b ca b cc b a c c b ce⎧+⎪+⎨⎪-⇒⎩≤≥≥≥作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c . 此时(ba )max ＝7.由⎩⎨⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e ac ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1. 此时(b a )min ＝4c e e ＋14c e ＋1＝e.所以ba ∈[e ，7]．【答案】 [e ，7]【名师点睛】 本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决．考情展望高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用．常涉及距离型、斜率型、截距型．有时与函数、圆、平面向量等知识相综合． 名师押题【押题】 如果点P 在不等式组1023504310x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≤≤≥所确定的平面区域内，点Q 在曲线(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6【解析】画出可行域，如图所示，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，易知|PQ|的最小值为圆心(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离减去圆的半径1，即|PQ|min ＝|861|5---－1＝2，故选B.【答案】 B。

高考数学二轮总复习 线性规划与基本不等式学案（特长班）一、知识梳理（一）二元一次不等式表示的区域1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立2.、已知x 为正数，求2x+x 1的最小值3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1的最小值.（提示：1的替换）二、高考链接1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能 生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产 品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件 ,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.4、（07山东）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为___________5、函数y=ax-1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为 . 6、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？三、抢分演练1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( ) A 、22a b < B 、22a b ab < C 、2211ab a b< D 、b aa b < 2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，3、.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.4、若变量x,y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)45、设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值6、设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）27、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a <Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥8、不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 310、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则yx 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，≥，则z 的最小值是____________ ．13、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______ 14、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15、若0x >，则2x x +的最小值为______________16、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14。

第三讲二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题【学问梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的全部点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.2．线性规划的有关概念【考点自测】推断下列命题的真假：1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的相识(1)若点（m，1）在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是m 1（）(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0.( )2．对简洁的线性规划问题的理解(3)线性目标函数取得最值的点肯定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( ) 【例题讲解】考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+203062y y x y x 表示的平面区域的面积为（ ） A ．4 B ．1 C ．5 D ．无穷大变式1：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞规律方法 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定精确，其基本方法是“直线定界、特别点定域”． 考点二 线性目标函数的最值【例2】设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为 目标函数z=2x-y 的最小值为 .变式2：（1）已知a ＞0，x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3.若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 (2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.（3）x,y 满意约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 .规律方法 (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是精确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的状况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以依据可行域的顶点干脆进行检考点三：利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【例3】 已知实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值．变式3：．变量x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．规律方法：求非线性目标函数的最值关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于肯定的几何意义．通常与两点之间距离，点到直线距离，两点间连线斜率有关。

2023届二轮专练_专题三 不等式_第1讲 基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为 ． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是 ． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为 ． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为 ．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为 ．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是 ．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为 ． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是 ．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为 ． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为 ． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是 ．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为 ．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为 ．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为 ．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为 ．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为 ．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。

第2讲 基本不等式与线性规划1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算．2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．1. (2018·南京学情调研)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域．目标函数的斜率为32，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为6.2. (2018·苏锡常镇调研一)已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．答案：2 6解析：因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3. (2018·启东调研测试)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y ≤x ，|x|＋|y|≤1，则z ＝12x ＋y 的最大值为________．答案：34解析：线性规划的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z ＝12x ＋y ＝12×12＋12＝34. 4. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：8解析：由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a ＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8., 一) 简单的线性规划问题, 1) 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1) 作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1， 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2) 直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8., 二) 非线性目标函数的最值问题, 2) (2018·泰州中学学情调研)已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝y x的最大值为________．答案：3解析：画出满足条件的可行域，如图所示，由z ＝yx表示过平面区域的点(x ，y)与(0，0)的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A(1，3)，显然直线过A(1，3)时，斜率最大，即z 取得最大值，z max ＝y x＝3.(2018·姜堰、泗洪调研测试)设0<b <a ＋1，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，3)解析：不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，所以a >1，不等式的解集为b1－a<x <b a ＋1.因为0<b <a ＋1，所以不等式的整数解为－2，－1，0，所以－3≤b1－a<－2，2(a －1)<b ≤3(a －1)，作出0<b <a ＋1，2(a －1)<b ≤3(a －1)，对应的可行域△ABC 区域(包括边界AB ，不包括边界AC ，BC )，A (1，0)，B (2，3)，C (3，4)，得区域上的点的横坐标的范围是(1，3)．, 三) 利用基本不等式求二元函数的最值, 3) 已知f(x)＝x 2－x ＋k ，k ∈Z .若方程f (x )＝2在(－1，32)上有两个不相等的实数根．(1) 求k 的值；(2) 求f 2（x ）＋4f （x ）的最小值及对应的x 值．解：(1) 设g (x )＝f (x )－2＝x 2－x ＋k －2，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝k ＞0，g （32）＝k －54＞0，Δ＝9－4k ＞0，－－12∈（－1，32），解得54＜k＜94. 又k ∈Z ，所以k ＝2. (2) 因为k ＝2，所以f (x )＝x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，所以f 2（x ）＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，当且仅当f (x )＝4f （x ）， 即f 2(x )＝4时取等号． 因为f (x )＞0，所以f (x )＝2时取等号，即x 2－x ＋2＝2， 解得x ＝0或1.故当x ＝0或1时，f 2（x ）＋4f （x ）取得最小值4.(2018·徐州期中)已知实数F (0，0，1)满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为________．答案：35解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号．所以1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为35., 四) 多元函数的最值问题, 4) (2018·淮安期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C＋tan C tan A 的最小值为________．答案：25解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为△ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25(当且仅当tan 2A ＝53时等号成立)，所以9tan A tan B ＋tanB tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.方法归纳：多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．(2018·苏州一调)已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43解析：由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，由1a ＋b ＋1c ＝1，得1c ＝1－1a ＋b ＝1－11b －1＋b －1＋2.因为b －1＋1b －1≥2或b －1＋1b －1<－2，所以0<11b －1＋b －1＋2≤14，34≤1c <1，1<c ≤43.1. (2018·浙江卷)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤6x ＋y≥2，，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案：－2 8解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2时，z ＝x ＋3y 取最小值，最小值为－2；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8.2. (2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案：14解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b .因为对于任意x ，2x＞0恒成立，所以结合基本不等式的结论可得2a ＋2－3b ≥2×2a ×2－3b ＝2×2－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b ，a －3b ＝－6，即 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上，2a ＋18b 的最小值为14.3. (2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y≤2x，则2y －x 的最小值是________． 答案：3解析：作可行域，如图，则直线z ＝2y －x 过点A(1，2)时，取最小值3.4. (2018·江苏卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案：9解析：由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，∴ 1a ＋1c＝1，因此4a ＋c＝(4a ＋c ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c的最小值是9.5. (2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1) 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1) 由题意得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，5x ＋5y≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．(2) 设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一簇平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大． 因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，即点M 的坐标为(6，3)． 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018·南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f(x)＝t 1＋t 2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域； (2) 当x 等于多少时，f(x)取得最小值？解：(1) 因为t 1＝9 000x，t 2＝ 3 0003（100－x ）＝1 000100－x,所以f(x)＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，定义域为{x|1≤x≤99，x ∈N *}. (4分)(2) f (x )＝1 000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9（100－x ）x ＋ x 100－x . (8分)因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9（100－x ）x ＞0，x 100－x＞0，所以9（100－x ）x ＋ x 100－x ≥2·9（100－x ）x ·x100－x ＝2×3＝6， (10分)当且仅当9（100－x ）x ＝x100－x，即当x ＝75时取等号．(12分)故当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)1. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x≥1，若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．答案：[2，29]解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y)的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得C(1，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得B(5，2)． z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2，29]．2. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0. (1) 求xy 的最小值；(2) 求x ＋y 的最小值．解：(1) 由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时等号成立， 所以xy 的最小值为64.(2) 由(1)知8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.3. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，则其为斜率为－2，随z 变化的一簇平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)，所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，才能使可能的盈利最大．。

第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题【课前热身】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题(本讲对应学生用书第21~22页)1.(必修5 P69练习3改编)不等式x2+x-2<0的解集为.【答案】(-2，1)【解析】方程x2+x-2=0的根为x1=-2，x2=1，故不等式x2+x-2<0的解集为(-2，1).2.(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a=，b=.【答案】-112712【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-1 12，b=7 12.3.(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(0，8)【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以Δ=a2-4×2a<0，所以0<a<8.4.(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】13 -22⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+23-4a a⎛⎫+⎪⎝⎭>0恒成立，于是a2-a-34<0恒成立，解得-12<a<32.5.(必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是.【答案】{m|0≤m≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}.【课堂导学】含参一元二次不等式的解法例1解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2.当a≠0时，原不等式化为a(x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以x<2a或x>2.②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x∈R且x≠2.③当0<a<1时，2a>2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a.④当a<0时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭<0，所以2a<x<2.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式解关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x-1>0. 【解答】由ax2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a；当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a<x<-1；当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x∈∅；当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.三个二次之间的关系例2 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1. (1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1；当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1， 所以-12≤x<1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-42<a<-4+42，所以当0<a<2-4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ， 解得a ≤-4-42或a ≥-4+2，所以当42-4≤a<2时，F (a )=24a . 当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=24-242-442-4442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，，，变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2xb+ab ，即(2x )2-2a (b-1)2x -2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x 的值分别为4，-2b .因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以-2b≤0，即b ≥0.又因为4-2b =2a (b-1)，所以b=4(2)41a a ++≥0，解得a ≤-2或a>-14.恒成立问题与存在性问题例3已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意的x∈[-1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围. 【点拨】恒成立问题中注意变更主元法的运用.【解答】(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0，解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2，1].(2)由题知对称轴方程为x=-a，当-a<-1，即a>1时，f(x)min=f(-1)=3-3a≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去；当-a>1，即a<-1时f(x)min=f(1)=3+a≥0，解得-3≤a<-1；当-1≤a≤1时，f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上，实数a的取值范围是[-3，1].(3)对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0，所以222-120-2120x xx x⎧++>⎨++>⎩，，解得x≠-1，所以x的取值范围是{x|x ≠-1}.变式(2016·盐城中学)已知函数f(x)=22x x ax++，x∈[1，+∞).(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的a∈[-1，1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，即22 x xax++>0，x∈[1，+∞)恒成立，亦即x2+2x+a>0，x∈[1，+∞)恒成立，即a>-x2-2x，x∈[1，+∞)恒成立，即a>(-x2-2x)max，x∈[1，+∞)，而(-x2-2x)max=-3，x∈[1，+∞)，所以a>-3.所以实数a的取值范围为{a|a>-3}.(2)因为a∈[-1，1]时，f(x)>4恒成立，即22x x ax++>4，x∈[1，+∞)恒成立，所以x2-2x+a>0对a∈[-1，1]恒成立，把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，则使g(a)>0对a∈[-1，1]恒成立的条件是(1)0(-1)0gg>⎧⎨>⎩，，即22-210-2-10x xx x⎧+>⎨>⎩，，解得x<1-2或x>2+1.又x≥1，所以x>2+1，故所求x的取值范围是(2+1，+∞).【课堂评价】1.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B=. 【答案】332⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为集合A=(1，3)，B=32∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，所以A ∩B=332⎛⎫ ⎪⎝⎭，.2.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0，则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3).3.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则实数x 的取值范围是 .【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13.4.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0，则实数a 的取值范围是 .【答案】17-4∞⎛⎤⎥⎝⎦， 【解析】对于正实数x ，y ，由x+y+4=2xy ，得x+y+4=2xy ≤2()2x y +，解得x+y ≥4.不等式x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0可化为(x+y )2-a (x+y )+1≥0，令t=x+y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2-at+1≥0，即a ≤t+1t 对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )=t+1t (t ≥4)，则u'(t )=1-21t =22-1t t >0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )=t+1t (t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min =u (4)=4+14=174，于是a ≤174.5.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、 填空题1.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .2.(2016·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.3.(2016·南师附中)若当x>-3时，不等式a≤x+23x 恒成立，则实数a的取值范围是.4.若对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.5.(2016·常州中学)当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是.6.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x，若f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.7.(2016·江苏信息卷)若对任意实数x>1，y>12，不等式p≤22-1xy+24-1yx恒成立，则实数p的最大值为.8.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.二、解答题9.(2016·江苏怀仁中学)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)=2，a>0，b>0，求1a+4b的最小值.10.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)满足①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)-2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围.11.(2015·浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R).(1)当b=24a+1时，求函数f(x)在区间[-1，1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，且0≤b-2a≤1，求实数b的取值范围.【检测与评估答案】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、填空题1. (1，+∞)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R，必须满足24-40aa>⎧⎨∆=<⎩，，解得a>1.2.1【解析】因为正实数x，y满足x+y=2，所以xy≤2()4x y+=224=1，所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.3. (-∞，-3]【解析】设f(x)=x+23x+=(x+3)+23x+-3，因为x>-3，所以x+3>0，故f(x)≥23=2-3，当且仅当-3时等号成立，所以a的取值范围是(-∞，-3].4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30f a af a a=<⎧⎨=+<⎩，，解得a>12.5.(-1，2)【解析】原不等式变形为m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为函数y=12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x∈(-∞，-1]时，m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m<2.6. (-∞，-4]∪[0，+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++，因为f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a≥0或a≤-4.7. 8【解析】令a=2y-1，b=x-1，则22-1xy+24-1yx=2(1)ba++2(1)ab+，问题转化为求2(1)ba++2(1)ab+的最小值.又2(1)b a ++2(1)a b +≥2×ab =2×ab =2ab ab ab ⎛++ ⎪⎭≥2×(2+2)=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号.8. {8，-2} 【解析】当b ≤0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a ·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3，g (x )=x 2-b ，又g (x )的大致图象如图所示，那么由题意可知03-a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，，再由a ，b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩，或-31a b =⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.(第8题)二、 解答题9. (1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，， 解得-14.a b =⎧⎨=⎩，(2) 因为f (1)=2，所以a+b=1，所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9，当且仅当b=2a=12时取等号.10. (1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43.又a∈N*，所以a=1，c=2. 所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1，2]上恒成立.因为当x∈[1，2]时，x+2x∈3⎡⎤⎣⎦，所以2(m-1)≤2，即m+1，所以实数m的取值范围为(-∞+1].11. (1) 当b=24a+1时，函数f(x)=22ax⎛⎫+⎪⎝⎭+1，故其图象的对称轴为直线x=-2a.当a≤-2时，g(a)=f(1)=24a+a+2；当-2<a≤2时，g(a)=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=1；当a>2时，g(a)=f(-1)=24a-a+2.综上，g(a)=222-2 41-22-2 2.4aa aaaa a⎧++≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，，，，，(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1≤t≤1，则-.s t a st b+=⎧⎨=⎩，因为0≤b-2a≤1，所以-22tt+≤s≤1-22tt+(-1≤t≤1).当0≤t≤1时，2-22tt+≤st≤2-22t tt+，由于-23≤2-22tt+≤0和-13≤2-22t tt+≤9-4，所以-23≤b≤9-.当-1≤t<0时，2-22t tt+≤st≤2-22tt+，由于-2≤2-22tt+<0和-3≤2-22t tt+<0，所以-3≤b<0.故b的取值范围是-3⎡⎣，.。

与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法． ①作差(商)法；②利用函数的单调性． 2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质 (1)乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；(2)同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (3)同向可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (4)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值． 4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解． (2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化． (3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解． 5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．考点一 不等式性质及解不等式例1、(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}解析：基本法：由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞速解法：令x ＝0，f (x )＝f (0)＝－1＜0. f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0.不适合f (x )＞f (2x －1)，排除C. 令x ＝2，f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)，由于f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在(0，＋∞)上为增函数 ∴f (2)＜f (3)，不适合．排除B 、D ，故选A. 答案：A高频考点二 基本不等式及应用例2、【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以，所以选B.【变式探究】(1)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：基本法：因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 速解法：如图a ，b 分别是直线x a ＋yb ＝1在x ，y 轴上的截距，A (a,0)，B (0，b )，当a →1时，b →＋∞，当b →1时，a →＋∞，只有点(1,1)为AB 的中点时，a ＋b 最小，此时a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4.答案：C(2)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：基本法：x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝2x 2－2y 2＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝x 2y ＋yx ，∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y ＋yx≥212＝2， 当且仅当x 2y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立，故所求最小值为 2.答案： 2高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值 例3、（2018年天津卷）设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点A 的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C 选项.【变式探究】【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.【变式探究】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：作出可行域，如图：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点 A ⎝⎛⎭⎫1，12时，z 取得最大值，z max ＝1＋12＝32. 速解法：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x －2y ＝0得点(－2，－1)，则z ＝－3由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0x ＋2y －2＝0得点(0,1)，则z ＝1 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0x ＋2y －2＝0得点⎝⎛⎭⎫1，12则z ＝32. 答案：32(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12处，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，但a ＝－5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a ＝3，故选B. 速解法：由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a当a ＜0时，由可行域知，当y ＝－1a x ＋z a 过A 点时za最小，z 有最大值，不合题意．当a ＞0时，y ＝－1a x ＋z a 过A 点时，za 最小，z 也最小，故只能选B.答案：B4．数列与不等式数列1. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B. C.D.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D 。

突破点20 不等式与线性规划
(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
(4)a ＋1a ≥2(a ＞0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a
≤－2(a ＜0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．
(5)a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b
，当且仅当a ＝b 时取等号.
已知a ，b ∈R ，则(1)若a ＋b ＝S (S 为定值)，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝S 24
，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值S 24
；(2)若ab ＝T (T 为定值，且T ＞0)，则a ＋b ≥2ab ＝2T ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 取得最小值2T .
(1)“斜率型”目标函数z ＝
x －a
(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．
(2)“两点间距离型”目标函数z ＝ x －a 2＋ y －b 2(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．。

第2课时简单线性规划Q情景引入ing jing yin ru某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？X新知导学in zhi dao xue1．线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数z＝ax＋by＋c叫作目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组最优解可行域内使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题可行解满足约束条件的坐标，称为可行解可行域由所有可行解(x，y)组成的集合称为可行域(1)作出可行域．(2)作出直线l0：ax＋by＝0.(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．Y预习自测u xi zi ce1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( C )A．该直线的截距B．该直线在y轴上的截距C．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在x轴上的横截距[解析] 把目标函数变形为y＝3x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．2．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x 辆6吨的汽车和y 辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( A )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y3．(2019·浙江卷，3)若实数 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则 z ＝3x ＋2y 的最大值是( C )A ．－1B ．1C ．10D ．12[解析]如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C ．4．(2018·全国卷Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为7.[解析] 画出可行域及直线x ＋3y ＝0，平移直线x ＋3y ＝0，当其经过点A (1,2)时，直线的纵截距最大，所以z ＝x ＋3y 的最大值为z ＝1＋3×2＝7.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨求线性目标函数的最值问题例题1 设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值和最小值．[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x ，y 的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.『规律总结』 在求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值时，根据y 的系数的正负，可分为以下两种情形求最值．1．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b >0的最值．在线性约束条件下，当b >0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向，若把l 0向上平移，则对应的z 值随之增大；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之减小，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 2．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b <0的最值．在线性约束条件下，当b <0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向：若把l 0向上平移，所得相应z 值随之减小；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之增大，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 〔跟踪练习1〕(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( C )A ．7B ．8C ．10D ．11(2)(2018·全国卷Ⅲ理，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] (1)画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C ．(2)由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.命题方向2 ⇨求非线性目标函数的最值问题例题2 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[分析] (1)其中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y )到(0,5)距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1的几何意义为平面区域内的点(x ，y )与⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解．[解析] 作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5) 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故 |MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322. |MN |2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72]．『规律总结』 对于目标函数不是直线的形式，这类问题常考虑目标函数的几何意义． (1)形如y －bx －a的式子，表示动点M (x ，y )和定点N (a ，b )连线的斜率k . (2)形如x －a2＋y －b2的式子，表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离|MN |；而(x －a )2＋(y －b )2表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离的平方，即|MN |2.(3)形如|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的式子，表示动点M (x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ；而|ax ＋by ＋c |表示a 2＋b 2d .〔跟踪练习2〕(1)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为255.[解析] 本题考查不等式组表示平面区域，点到直线距离公式等． 区域D 如图所示：则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5＝255.(2)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.①求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； ②求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解析] 画出满足条件的可行域，如图阴影部分所示．①u ＝x 2＋y 2表示可行域内的任一点与坐标原点距离的平方，由图可知，u max ＝|OC |2＝73，u min ＝0.②v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.命题方向3 ⇨已知目标函数的最值求参数例题3 已知变量x 、y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为(1，＋∞).[分析] 作出可行域，平移直线使其过(3,1)点时，在y 轴上的截距也取得最大值．[解析] 由约束条件画出可行域(如图所示)．为矩形ABCD (包括边界)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时使直线在y 轴上的截距最大， ∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1.『规律总结』 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．〔跟踪练习3〕本例中，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的范围又是什么？ [解析] 若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，此时a ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤10x ＋4y ≤11x ∈Z ，y ∈Zx >0，y >0.求S ＝5x ＋4y 的最大值．[误解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A (95，2310)时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝915.因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是C (1,2)，这时S ＝13，所要求的最大值为13.[辨析] 显然整点B (2,1)满足约束条件，且此时S ＝14，故上述解法不正确． 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t ＝Ax ＋By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线t ＝Ax ＋By 最近的整点．[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l: 5x ＋4y ＝0，平行移动直线l 经过可行域内的整点B (2,1)时，S max ＝14.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu简单的线性规划问题⎩⎪⎨⎪⎧约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解线性目标函数最优解的确定整数线性规划问题的解法非线性目标函数的最值求解。

2019-2020学年高考数学二轮专题复习 不等式及线性规划教案 文【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1． 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (4)简单对数不等式的解法①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0. 2． 五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a ∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a 、b ∈R)． (3)a ＋b 2≥ab(a>0，b>0)．(4)ab≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)．(5)a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a>0，b>0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论(1)ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0.(2)ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24.∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f(x)<c.∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax2＋2x ＋b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠－1a ，则a2＋b2＋7a －b(其中a>b)的最小值为________．(2)设命题p ：{x|0≤2x －1≤1}，命题q ：{x|x2－(2k ＋1)x ＋k(k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a>0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，则由a>b 得a －b>0. 故a2＋b2＋7a －b＝－＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”． (2)p ：{x|12≤x≤1}，q ：{x|k≤x≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k<121≤k ＋1，∴0≤k≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x>0，y>0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy ＝1，∴(2x ＋y)2－3xy ＝1，即(2x ＋y)2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y)2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y)2≤85，即2x ＋y≤2105. 等号当且仅当2x ＝y>0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x2＋y2＋xy ＝1，得6x2－3tx ＋t2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85，即－2105≤t≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105.方法三 化已知4x2＋y2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a＋2a ≥2－2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a≥7，得a≥32，即实数a 的最小值为32.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________．答案 1解析 由已知得z ＝x2－3xy ＋4y2(*)则xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北改编)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元． 答案 36 800解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21y －x≤736x ＋60y≥900，x ，y≥0，x、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A(5,12)时纵截距最小，∴zmin ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东改编)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________． (2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m 的取值范围是________．答案 (1)－13(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A(3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方即可，即m<－12m －1，解得m<－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．主要看不等号与B 的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1． 若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (2,4]解析 依题意得，(2x ＋2y)2－2×2x×2y ＝2(2x ＋2y)， 则t2－2t ＝2×2x×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t22； 即t22－2t≤0，解得0≤t≤4； 又t2－2t ＝2×2x×2y>0，且t>0， 因此有t>2，故2<t≤4.2． 已知点A(2，－2)，点P(x ，y)在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是________． 答案 [－22，22] 解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C(－1,0)，D(0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、填空题 1． (2012·福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x≠kπ，k ∈Z)； ③x2＋1≥2|x|(x ∈R)； ④1x2＋1>1(x ∈R)． 答案 ①③解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy(当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)，故①正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确； 由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故④不正确．2． 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a >cb；②ac<bc ；③logb(a －c)>loga(b －c)． 其中所有的正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝xc(c<0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a>b>1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb(a －c)>logb(b －c)， 又由对数的换底公式可知logb(b －c)>loga(b －c)， 所以logb(a －c)>loga(b －c)，故选项①②③正确．3． 设A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2＋ax ＋b≤0}，若A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． 所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，于是a ＋b ＝－7.4． 已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m≤0恒成立， 即m≥4x ＋2x 恒成立，只需m≥(4x ＋2x)max ，而(4x ＋2x)max ＝6，∴m≥6.5． 函数y ＝a1－x (a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 4解析 定点A(1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n ＝(m ＋n)⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．6． 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案 4解析 过原点的直线与f(x)＝2x 交于P 、Q 两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ 2k ，y ＝2k 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k ，y ＝－2k ，∴P(2k，2k)，Q(－2k ，－2k)或P(－2k ，－2k)，Q( 2k，2k)．∴PQ ＝2k＋2k＋2k ＋2k＝2 2k ＋1k≥4. 7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，－，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴zmin ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.8． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a>12.9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则a 的值为________．答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k<12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2. 二、解答题11．求解关于x 的不等式ax2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x|x>1}． (2)当a≠0时，原不等式可化为a(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a<0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<1a }．若a>0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a >1，即0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a .综上所述，当a<0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<1a 或x>1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f(x)＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x≤8. (2)因为f(x)＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f(x)min ＝75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．13．已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x ＋1在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明：a>0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx ＋2－b.由函数f(x)在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，所以f′(x)＝a(x －x1)(x －x2)．当x<x1时，f(x)为增函数，f′(x)>0，由x －x1<0，x －x2<0得a>0.(2)解 在题设下，0<x1<1<x2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ ，，， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －2b ＋2－b<0，4a －4b ＋2－b>0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B(2,2)，C(4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)．。

第2讲 基本不等式与线性规划1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算．2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．1. (2018·南京学情调研)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域．目标函数的斜率为32，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为6.2. (2018·苏锡常镇调研一)已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．答案：2 6解析：因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3. (2018·启东调研测试)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y ≤x ，|x|＋|y|≤1，则z ＝12x ＋y 的最大值为________．答案：34解析：线性规划的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z ＝12x ＋y ＝12×12＋12＝34. 4. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：8解析：由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a ＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8., 一) 简单的线性规划问题, 1) 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1) 作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1， 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2) 直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8., 二) 非线性目标函数的最值问题, 2) (2018·泰州中学学情调研)已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝y x的最大值为________．答案：3解析：画出满足条件的可行域，如图所示，由z ＝yx表示过平面区域的点(x ，y)与(0，0)的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A(1，3)，显然直线过A(1，3)时，斜率最大，即z 取得最大值，z max ＝y x＝3.(2018·姜堰、泗洪调研测试)设0<b <a ＋1，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，3)解析：不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，所以a >1，不等式的解集为b1－a<x <b a ＋1.因为0<b <a ＋1，所以不等式的整数解为－2，－1，0，所以－3≤b1－a<－2，2(a －1)<b ≤3(a －1)，作出0<b <a ＋1，2(a －1)<b ≤3(a －1)，对应的可行域△ABC 区域(包括边界AB ，不包括边界AC ，BC )，A (1，0)，B (2，3)，C (3，4)，得区域上的点的横坐标的范围是(1，3)．, 三) 利用基本不等式求二元函数的最值, 3) 已知f(x)＝x 2－x ＋k ，k ∈Z .若方程f (x )＝2在(－1，32)上有两个不相等的实数根．(1) 求k 的值；(2) 求f 2（x ）＋4f （x ）的最小值及对应的x 值．解：(1) 设g (x )＝f (x )－2＝x 2－x ＋k －2，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝k ＞0，g （32）＝k －54＞0，Δ＝9－4k ＞0，－－12∈（－1，32），解得54＜k＜94. 又k ∈Z ，所以k ＝2. (2) 因为k ＝2，所以f (x )＝x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，所以f 2（x ）＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，当且仅当f (x )＝4f （x ）， 即f 2(x )＝4时取等号． 因为f (x )＞0，所以f (x )＝2时取等号，即x 2－x ＋2＝2， 解得x ＝0或1.故当x ＝0或1时，f 2（x ）＋4f （x ）取得最小值4.(2018·徐州期中)已知实数F (0，0，1)满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为________．答案：35解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号．所以1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为35., 四) 多元函数的最值问题, 4) (2018·淮安期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C＋tan C tan A 的最小值为________．答案：25解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为△ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25(当且仅当tan 2A ＝53时等号成立)，所以9tan A tan B ＋tanB tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.方法归纳：多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．(2018·苏州一调)已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43解析：由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，由1a ＋b ＋1c ＝1，得1c ＝1－1a ＋b ＝1－11b －1＋b －1＋2.因为b －1＋1b －1≥2或b －1＋1b －1<－2，所以0<11b －1＋b －1＋2≤14，34≤1c <1，1<c ≤43.1. (2018·浙江卷)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤6x ＋y≥2，，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案：－2 8解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2时，z ＝x ＋3y 取最小值，最小值为－2；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8.2. (2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案：14解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b .因为对于任意x ，2x＞0恒成立，所以结合基本不等式的结论可得2a ＋2－3b ≥2×2a ×2－3b ＝2×2－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b ，a －3b ＝－6，即 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上，2a ＋18b 的最小值为14.3. (2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y≤2x，则2y －x 的最小值是________． 答案：3解析：作可行域，如图，则直线z ＝2y －x 过点A(1，2)时，取最小值3.4. (2018·江苏卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案：9解析：由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，∴ 1a ＋1c＝1，因此4a ＋c＝(4a ＋c ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c的最小值是9.5. (2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1) 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1) 由题意得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，5x ＋5y≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．(2) 设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一簇平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大． 因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，即点M 的坐标为(6，3)． 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018·南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f(x)＝t 1＋t 2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域； (2) 当x 等于多少时，f(x)取得最小值？解：(1) 因为t 1＝9 000x，t 2＝ 3 0003（100－x ）＝1 000100－x,所以f(x)＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，定义域为{x|1≤x≤99，x ∈N *}. (4分)(2) f (x )＝1 000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9（100－x ）x ＋ x 100－x . (8分)因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9（100－x ）x ＞0，x 100－x＞0，所以9（100－x ）x ＋ x 100－x ≥2·9（100－x ）x ·x100－x ＝2×3＝6， (10分)当且仅当9（100－x ）x ＝x100－x，即当x ＝75时取等号．(12分)故当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)1. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x≥1，若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．答案：[2，29]解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y)的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得C(1，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得B(5，2)． z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2，29]．2. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0. (1) 求xy 的最小值；(2) 求x ＋y 的最小值．解：(1) 由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时等号成立， 所以xy 的最小值为64.(2) 由(1)知8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.3. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，则其为斜率为－2，随z 变化的一簇平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)，所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，才能使可能的盈利最大．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【金版学案】2015届高考数学二轮复习 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明一、选择题1．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则有( )A ．f(x)＞g(x)B ．f(x)＝g(x)C ．f(x)＜g(x)D ．不能确定f(x)与g(x)的大小关系解析：∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0.∴f(x)＞g(x)．答案：A2．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14解析：因为3a ×3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 答案：B3．(2014·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析：∵c＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，－1d ＞－1c ＞0.又a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d＜b c .故选B.答案：B4．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1，2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x＋3|－|x －1|≤4，对|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立，所以a 2－3a≥4，解得a≥4或a ≤－1.答案：A5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，2y ≥x ，3x ＋2y≥6，3y ≤x ＋9，则z ＝2x －y 的最大值是( ) A.152 B.92 C.94 D ．2解析：不等式组表示的平面区域如图所示．角点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，C(3，4)，D(0，3)，z A ＝94，z B ＝92，z C ＝2，z D ＝－3.答案：B6. (2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝4x，所以容器总造价为z ＝2(x ＋y)×10＋20xy ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，由基本不等式得，z ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80≥160，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低．故选C.答案：C二、填空题7．(2014·上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·（xy ）2＝2 2.当且仅当x 2＝2y 2时等号成立． 答案：2 28．若A 为不等式组⎝ ⎛x≤0，y ≥0，y －x≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析：作出平面区域(如图)，动直线x ＋y ＝a ，当a 从－2变化到1时扫过的区域为四边形AOBC ，∵BD ＝1，且△BCD 为等腰直角三角形，∴S △BCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. ∴S 四边形AOBC ＝12×2×2－14＝74. 答案：74三、解答题9．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．解析：由x 2－2x －8≥(m＋2)x －m －15，得x 2－4x ＋7≥m(x－1)，∴对一切x ＞2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． ∴m 应小于或等于f(x)＝x 2－4x ＋7x －1(x ＞2)的最小值． 又f(x)＝x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥ 2（x －1）·4x －1－2＝2， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． ∴f(x)min ＝f(3)＝2.故m 的取值范围为(－∞，2]．10.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，S 最小？并求出最小值．解析：(1)设AM ＝y ，则x 2＋4xy ＝200.∴y ＝50x －x 4. ∴S ＝4 200x 2＋210×4×xy＋80×4×12y 2＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000(x ＞0)． (2)S ＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000≥ 2 4 000x 2×400 000x2＋38 000＝118 000， 当且仅当x ＝10时等号成立，即x ＝10米时，S 有最小值118 000元．。

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为. (第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得yD=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为.【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为. 【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y≥211·x y1323.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+的最小值为.【答案】52【解析】设t=24x+(t≥2)，易知y=t+1t在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t= 24x+=2，即x=0时，ymin=52.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1(2016·泰州期末)若正实数x，y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值是.【点拨】设x+12y=z进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y=z，代入之后转化为关于y的方程(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x+12y用q来表示后再整理求最值.【答案】2-1【解析】方法一：令x+12y=z，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z2-5)≥0，化简得2z2+4z-7≤0，故0<z≤-1+2.检验：当z=2-1时，方程(*)可化为(17-12y2-(12-16)y+8=0，此时y1+y2>0，y1·y2>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y的最大值为2-1.方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2xy⎛⎫⎪⎝⎭=5111-22y y⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12-1y，x-1522y，+1y成等比数列，设公比为q(q>1)，将x，1y用q表示，则x+12y=23(-1)1qq++12=32-12-1qq+++12≤2-1，当且仅当q-1=2-1q，即q= 1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌2a b+a，b>0)和ab≤22a b+⎛⎫⎪⎝⎭≤222a b+(a，b∈R).变式1 (2016·天一中学)设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x =b y =2，a+b =4，则2x +1y 的最大值为 .【答案】4【解析】因为x=log a 2，y=log b 2，所以2x +1y =2log 2a +1log 2b =log 2a 2+log 2b=log 2(a 2b ).又4=a+b ≥2a b ，当且仅当a=b 时取等号，所以a 2b ≤16，所以log 2(a 2b )≤4.变式2 (2015·扬州期末)设实数x ，y 满足x 2+2xy-1=0，则x 2+y 2的最小值是 .【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y 较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x 2+y 2想到将条件应用基本不等式构造出x 2+y 2，然后将x 2+y 2求解出来.【答案】5-12【解析】方法一：由x 2+2xy-1=0，得y=21-2xx ，从而x 2+y 2=x 2+221-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=254x +214x -12≥2516-12=5-12，当且仅当x=±415.方法二：由x 2+2xy-1=0，得1-x 2=2xy ≤mx 2+ny 2，其中mn=1(m ，n>0)，所以(m+1)x 2+ny 2≥1，令m+1=n ，与mn=1联立解得m=5-12，n=512+，从而x 2+y 2≥1512+=5-12.变式3 (2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x +lg lg z y =lg z 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x y y x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg yx ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2016·全国卷Ⅲ)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x yx y=⎧⎨+=⎩，，得A112⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线z=x+y过点A时，z取得最大值，所以z max=1+12=32.(例2)变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(3，0)，C(2，1)，易知z= 21yxyx++=1+15231yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3(2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(单位：万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3，问：P能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk(ax+5)，x∈N*.(2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)aka+=2(25)ak a+≤23(25)aa+=1253aa⎛⎫+⎪⎝⎭≤2532aa⨯⨯=130<120.答：P不可能大于120.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤120.答：P不可能大于120.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为. 【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32x x+⎛⎫⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号.2.(2016·海门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是.【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a=2b，n=a+1b=2a，所以m+n=2(a+b)≥4 a b=4.3.(2016·北京卷)若实数x，y满足约束条件2-03x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y的最大值为. 【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)4.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b的最小值为. 【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b)2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】2【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=2AB=32温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】专题三 不等式第1讲 基本不等式与线性规划一、 填空题1.(2015·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1a x (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2016·新海中学)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(-2，0)的距离相等，则2x+4y的最小值为.7.(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.8.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x，y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y ，b=22x xy y ++，c=mxy (m ∈N *).求证：若对任意正数x ，y 可使a ，b ，c 为三角形三边，则m 的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三 不等式第1讲 基本不等式与线性规划一、 填空题1. 4 【解析】依题意得1a +1b =1，所以a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+1b ⎫⎪⎭=1+a b +b a +1≥2+2·a b b a =4，当且仅当a=b=2时等号成立.2. 7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A (5，3)时，z 取得最大值，所以z max =2×5-3=7.(第2题)3. 7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A 时，z 取得最大值.联立-13y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩，，即A (1，2)，故z max =1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x )≥2a 1=3，当且仅当x-1a x=a 1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12.6.2【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y 24xy⋅22x y+42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为27. 216 000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则1.50.51500.39053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，， 即330010390053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得M 的坐标为(60，100)， 所以当x=60，y=100时，z max =2 100×60+900×100=216 000.8. (2，+∞) 【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax ，代入第二个方程整理得(1-ab )x=1-b ，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b ≠0，所以ab=1且b ≠1，所以由基本不等式得a+b>a b 2，故a+b 的取值范围是(2，+∞).二、 解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x +27y +2=3x +33y +2≥233?3x y+2=33x y +2=432=20，当且仅当3x =33y 且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy ， 所以5≤x+y+5=3xy ，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy ≥259， 当且仅当x=y=53时取等号，故xy 的最小值是259.10. (1) 设AP=x m ，AQ=y m ，则x+y=200，△APQ 的面积S=12xy ·sin 120°=4xy ，所以S≤22x y +⎫⎪⎝⎭=2 500S max =2 500.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40 000=1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值7，此时x=2007.11.①因为，c>0，故a+c>b恒成立.②若a+b>c恒成立，即恒成立.=2+得m<2+故当m<2+a+b>c恒成立.③若b+c>a恒成立，即恒成立.令t≥2)，则当t=2时，取得最大值，得m>2-故当m>2b+c>a恒成立.综上，22+由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。