北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：排列组合与二项式定理

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编算法初步1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．【答案】42.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ． 3B ．4C ． 5D ． 6 【答案】C【解析】第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==；第三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==；第五次循环23528,5x k =+==，此时满足条件输出5k =，选C.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】A【解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】运行相应的程序，则输出n 的值为【答案】95.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的最大整数）(A) 4 (B) 5(C) 7(D) 9【答案】C【解析】第一次循环，0S =，不满足条件，1n =；第二次循环，[1]1S ==，不满足条件，2n =；第三次循环，12,S =+=，不满足条件，3n =；第四次循环，23,S =+=，不满足条件，4n =；第五次循环，3[4]5S =+=，此时不满足条件，5n =。

第六次循环，5[5]7S =+=，此时满足条件，输出 7S =，选C.6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S == 【答案】B【解析】第一次循环，24,3,2S S n <==；第二次循环，24,3329,3S S n <=+⨯==；第三次循环，24,93318,4S S n <=+⨯==；第四次循环，24,183430,5S S n <=+⨯==；第五次循环，3024,S =<不满足条件，输出30,5S n ==，选B.7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】本程序为分段函数2212log 2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩，，，当2x ≤时，由213x -=得，24x =，所以2x =±。

x y O π2π1-1北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考 数学（理科）命题校：北京27中学 2013年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（ ） （A ）1- （B ） （C ）4- （D ）4 2．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（ ）（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-= 3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） （A ）存在一条直线a a ααβ，∥，∥（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为（ ） （A ）2a ≥ （B ）3a ≥ （C ）4a ≥（D ）5a ≥第4题图5. 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）（A ）3 （B） （C ）2 （D第5题图 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) 第6题图ABCOP40 50 60 70 80 90 分数(分)频率(A)41sin(255y x =+ (B) 31sin(225y x =+ (C)441sin()555y x =- (D) 441sin()555y x =+ 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 148.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的零点恰有两个，则实数c 的取值范围是（ ）(A) (]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ (B)(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ (C) 11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在6)11(x+的展开式中，含1x 项的系数是________.（用数字作答）10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个. 11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第11题图12.已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .13．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 第13题图 14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈， 则称S 为封闭集。

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编集合与常用逻辑用语1.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A2.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则 A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. )2,1[=N M D. ]3,3[-=N M 【答案】C3.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】已知集合{}()(){}021,012<-+∈=<+∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B AA.()1,-∞-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21 D.()+∞,2【答案】B5.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<【答案】C【解析】{}|(2)0{02}B x x x x x =-<=<<,所以{12}AB x x =<<，选C.6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则有=14aa -⨯-，即24a =，所以2a =±。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。

全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 （新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-*D2 （山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A ．243B ．252C ．261D ．279*B3 （高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8*B4 （大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22xy 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168*D5 （福建数学（理）试题）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．10*B6 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x *C7 （辽宁数学（理）试题）使得()3nx n N n +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 *B8 （高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）A ．9B ．10C ．18D ．20*C9 （高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15*A10（高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为 （ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40*C二、填空题11（上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为222222(133)(22323)(2232++++⨯+⨯++⨯+⨯=+（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________*483612（高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.*1013（上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).*4514（浙江数学（理）试题）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)*48015（重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________*59016（天津数学（理）试题）6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.*1517（浙江数学（理）试题）设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.*10-18（高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =*2a =-19（高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.*9620（安徽数学（理）试题）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.*21 21（大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种.*480。

2013年高考数学（理）真题分类解析汇编13：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】D【解析】已知（1+ax ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为+a •=5，解得a=﹣12 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数（ ）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。

没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-，选B.3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【天利解析】因为m 为正整数，由（x+y ）2m展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得 b=． 再由13a=7b ，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1）．解得m=6，故选B ．4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D【解析】（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C 3r x r令r=2得到展开式中x 2的系数是C 32=3，（1+y ）4的展开式的通项为T r+1=C 4r y r令r=2得到展开式中y 2的系数是C 42=6，（1+x ）3（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是：3×6=18，故选D ．5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．10【答案】B【天利解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】展开式的通项公式为521(3)3k n kn kkk n kk nnT C x C x---+==。

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心 【答案】C2.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A（B ）2 （C ）115 （D ）3,【答案】B【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =。

P 到直线1:4360l x y -+=的距离为PA ，所以PA PB PA PF FD +=+≥,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以1025FD =，所以距离之和最小值是2，选B.3.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P在双曲线右支上。

所以16PF ===，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-y x ，选B. 4.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p，所以42p=，即8p =。

北京市 10 区 2013 届高三上学期期末数学 ( 理) 试题分类汇编：函数北京市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编函数一、填空、选择题1.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】设 a0.32 , b 20.3 , c log 0.3 4，则A. b a cB. c b aC. b c aD.c a b【答案】 D2.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】某汽车运输企业，购置了一批豪华大客车投入营运，据市场剖析每辆客车营运前n (n N* ) 年的总收益S n（单位：万元）与 n 之间的.当每辆客车营运的均匀利关系为 Sn (n 6)2 11润最大时，n 的值为.【答案】 53.【北京市顺义区 2013 届高三上学期期末理】已知定义域为R 的偶函数 f x在,0 上是减函数,且f1 2 ,则不等式 f 2 x2的解集2为.【答案】1,4.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f (x)= ln x ，则函数 g(x)=f (x) f '( x) 的零点所在的区间是A. （0,1 ）B. （1,2 ）C. （2,3 ）D.（3,4 ）【答案】 B【解析】函数的导数为 f '( x)1，所以xg(x)= f (x) f '( x) ln x1。

由于 g(1) ln1 1 1 0 ，g(2)ln 210 ，x2因此函数 g(x)= f (x) f '( x) 的零点所在的区间为(1,2) .选B.5.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数：① f (x)2x ，②f (x) cos(x1x2) ，③f ( x) |x 1|2.22则以下四个命题对已知的三个函数都能建立的是命题 p : f ( x) 是奇函数；命题q : f ( x 1)在(0， 1) 上是增函数；命题 r :11；命题 s : f ( x)的图像f ( 2)2对于直线 x 1 对称A．命题p、q B ．命题q、s C ．命题r、s D．命题p、r【答案】 C【分析】当 f ( x)x 2 2x时，函数不是奇函数，因此命题 p 不可以使三个函数都建立，清除A,D.①f ( 1)(1)221113 1 222 4 4 2f ( 1) cos(21 ) cos42 12 222 2成立；②成立；③11 112 1 建立，因此命题 r 能使三个函数f ( ) | 1|222 2 2 2都建立，因此选 C.6. 【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】给出以下命题：①在区间 (0,)上，函数1, y12 3中有三个是增函数；②y xx 2 ,y ( x 1) , yx若 log m 3log n 30，则0n m 1 ；③若函数 f (x) 是奇函数，则 f ( x 1) 的图象对于点 A(1,0) 对称；④已知函数 f ( x)3x 2 , x2,则方程f (x)1有2个log 3 ( x 1),x 2,2实数根，此中正确命题的个数为（A ）（B ）2（C ）3（D ） 4【答案】 C1【分析】①在区间 (0, ) 上, 只有 y x 2， y x 3是增函数 ， 所 以①错 误。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 【答案】D【解析】1{|(21)(1)0}{1}2B x x x x x x =-+>=><-或，所以{01}A B x x x =><-或，即(,1)(0,)-∞-+∞，选D.2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】55(2)5(2)122(2)(2)5i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθC ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ【答案】A【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6P π 转化为点cos 2cossin 2sin166x y ππρθρθ======，即，过点且平行于x 轴的直线为1y =，在化为极坐标 为sin 1=ρθ，选A.4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ （A ）2k <（B ）3k <（C ）4k <（D ）5k < 【答案】C【解析】第一次循环，满足条件，112,2S k =+==;第二次循环，满足条件，2226,3S k =+==;第三次循环，满足条件，26315,4S k =+==;第四次循环，不满足条件，输出15S =，此时4k =，所以条件应为4k <，选C.5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若0b =，则()cos f x x b x x =+=为奇函数。

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空、选择题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即2112,2d a d d a ==，所以211111123a a d a a a a a ++===，选C. 2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .【答案】310【解析】因为121,,,9a a 是等差数列，所以121910a a +=+=。

1231,,,,9b b b 是等比数列，所以22199b =⨯=，因为1220b b =>，所以23b =，所以212310b a a =+。

3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ） （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥. 【答案】5,16 12n m+ (第一个空2分，第二个空3分) 5、【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 【答案】18,22n +-【解析】由n mnm a a a +=可得211a a a =，所以222124a a ===。

北京市海淀区2013届高三上学期期末考试理科数学试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是 A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1- B.12-C.13- D.14.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S == 5.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO 交圆O 于,A B两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DEOE EP=⋅ D.2PCPA AB=⋅6.数列{}na 满足111,n n aa r a r+==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}na 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C.108D.728. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，EDABOC则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12(,)33 B.1(,1)2C.2(,1)3D.111(,)(,1)322U二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______. 10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和nS =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________. 13. 点(,)P x y 在不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22___.k = 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（03r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k=的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.DA BC22234三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos2222x xx f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别 为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车B 型车天数车辆数 14 20 20 16 15 105（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B MC E ⊥，求AM 的长；（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分） 已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C ypx=上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB分别交直线2x =-于点,M N .（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx=--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，xabca b c ++()f x dd t4求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.3cos 1223cos 121x x x x =+-=++πsin()6x =+………………6分又sin y x=的单调递增区间为ππ2π,2π22k k -+（），()Z k ∈所以令πππ2π2π262k x k -<+<+π6C=………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.6 3020=+这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分 （II ）设“事件iA 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件jB 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j =则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分 520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=所以1//EO A B………………2分又EO⊂平面1AECAEC，1A B⊄平面1所以1//AECA B平面1………………4分（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建立空间直角坐标系………………2分又(0)1f=-，f=-，'(0)2所以()f x在(0,(0))f处的切线方程为21y x =-- ………………4分 （II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞………………6分 当a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞ 11(1,)a a+1a a+1(,)a a++∞'()f x -无定义 -0 +()f x]]极小值Z所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+，单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当a <时，11a x a+=<所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分令2x =-， 得11242M y y y -=+=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2 ………………13分20. （本小题满分14分） 解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以h ≤ ………………1分 而2()()2f x hh x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1h h x x =+当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h <综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++，所以4()a f a d a b c =<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()c f c t a b c =<++ 三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++ 所以240d t +-<………………6分因为,d d a b <所以()0,b ad ab-<而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +->………………8分 (Ⅲ)因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >，记020()0f x m x =>因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数.所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k>> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分。