内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学3.2三角恒等变换学案(无答案)新人教A版必修4

（－）教学目标
1 知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简
2 能力目标：会灵活运用公式进行推导变形
3 情感目标灵活运用公式化繁为简
（二）教学重点，难点
重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明
难点是用公式求值
（三）教学方法
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以
学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为
学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

重视新旧知识的联系，新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展，形成新知识的同时提升了学生的能力。

在教学过程中，注重培养学生的观察能力，分析问题及解决问题的能力，及分情况讨论的思想，和化归的思想
使学生的数学素养的到提高。

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3。

2 简单的三角恒等变换(2）教学目标知识目标（学习目标）通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。

能力目标理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感态度价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。

高考链接（高考考点）积化和差与和差化积是一种换元的体现,高考中体现这种思想教学重点1。

半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点。

教学重点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。

教学方法与教学准备多媒体,讲练结合教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α 半角公式: 先让学生默写三个倍角公式，特别注意2C α.半角公式学生口答公式教学内容 教学策略 学生活动和效果预测二、新课讲解 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦; (２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，(1)如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考,哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin （α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系． (2)如何用cos α表示sin 2α2，cos2α2和tan2α2？提示：sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2，tan2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan_α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tan α2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin_α＝2sin α2·cosα2＝2sinα2·cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2._cos_α＝cos2_α2－sin2_α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.tan_α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式：.讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sinα2＝1－cos α2＝255，cosα2＝－1＋cos α2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.讲一讲2．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°， ∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·（－cos α）－cosα2＝cos α.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π；(2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.讲一讲3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；(2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin βcos β－A .[尝试解答] (1)左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cosα21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2－1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2－1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2. 所以左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立．(2)因为sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，所以sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)，所以sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β， 所以tan(α＋β)＝sin βcos β－A.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x （sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos xsin x .证明：左边 ＝2sin x cos x ⎝⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cosx2sinx 2＝2cos 2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边． ∴原等式成立．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1；(2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A. 1＋a2B. 1－a2 C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2x2－sin 2x2－cos 2x212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )． 又tan π12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tanθ2<0，∴tanθ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选 C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . 证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x＝sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边，∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x ) ＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos2x )＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin 2 C 2，即cos A cos B ＝sin 2C2＝sin2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或± 35．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________． 解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135， 所以cos 2α＝45， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 答案：－346．化简： (1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2) 12＋12 12＋12cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. 解：(1)原式＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，由于π<4<3π2， ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.(2)∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π. 原式＝ 12＋12 1＋cos 2α2＝ 12＋12|cos α|＝ 12＋12cos α ＝ 1＋cos α2＝ cos 2 α2＝－cos α2. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ . 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2， 函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。

3. 2简单的三角恒等变换学习目标、细解考纲1.引导学生以已有的公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练.2.学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点.3.培养学生化归和整体转化思想，注重方程思想和消元思想的培养．4．通过简单的三角恒等变换的学习，提升学生逻辑推理和运算求解的核心素养.一、自主学习—————（素养催化剂）1．预习学习半角公式2．预习学习积化和差、和差化积公式二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1、已知,31cos =αα是第四象限角，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值变式1：(教材改编）已知α是第四象限角，,51cos sin =+αα求2tan α的值例2、求证：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin变式2：求证：2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+变式3：求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=例3、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值变式4：(教材改编）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为2π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例4、设(){}*,2|,cos sin N k k n n x x f x ∈=∈+=ααα，利用三角变换，估计()αf 在6,4,2=x 时的取值情况，进而对x 取一般值时()αf 的取值范围作出一个猜想.四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

学习资料3．2 简单的三角恒等变换内容标准学科素养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3。

能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象授课提示：对应学生用书第80页［基础认识]知识点半角公式阅读教材P139~140，思考并完成以下问题我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”,那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样?（1）根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin错误!，cos错误!，tan错误!.提示:由sin α＝±错误!，cos α＝±错误!中，将α换为错误!得,sin错误!＝±错误!，cos错误!＝±错误!.(2)利用tan α＝错误!和二倍角公式又能得到tan错误!与sin α,cos α怎样的关系？提示：tan错误!＝±错误!。

知识梳理半角公式：sin错误!＝±__错误!,cos错误!＝±__错误!，tan错误!＝±__错误!．[自我检测］1．若cos α＝错误!，α∈（0,π）,则cos错误!的值为（）A。

错误!B．－错误!C．±错误!D．±错误!答案：A2．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－错误!，cos θ〈0，则tan错误!的值等于()A．－3 B．3 C．－错误!D。

错误!答案:A授课提示：对应学生用书第80页探究一三角函数式的求值[教材P139例1]方法步骤:用“整角”的函数值求“半角”的函数值．［例1］已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝错误!，sin β＝错误!,求cos错误!与tan错误!的值．[解析]因为α为钝角,β为锐角，sin α＝错误!,sin β＝错误!，所以cos α＝－错误!，cos β＝错误!，所以cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.因为错误!〈α〈π，0<β<错误!，所以0〈α－β〈π，所以0〈错误!〈错误!.所以cos 错误!＝错误!＝错误!＝错误!.由0<错误!〈错误!，得sin 错误!＝错误!＝错误!。

Word 文档仅限参照3.2简单的三角恒等变换整体设计教课剖析本节主要包含利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换, 以及三角恒等变换在数学中的应用 . 本节的内容都是用例题来显现的, 经过例题的解答, 指引学生对变换对象和变换目标进行对照、剖析 , 促进学生形成对解题过程中如何选择公式, 如何依据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识 , 从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力 .本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上, 从而使三角函数性质的研究获得延长. 三角恒等变换不一样于代数变换, 后者常常着眼于式子构造形式的变换,变换内容比较单一. 而对于三角变换, 不单要考虑三角函数是构造方面的差别, 还要考虑三角函数式所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差别, 它是一种立体的综合性变换. 从函数式构造、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点, 并以此为依照选择能够联系它们的适合公式进行转变变形, 是三角恒等变换的重要特色.三维目标1. 经过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式, 能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式, 领会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想, 提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 , 并会利用公式进行简单的恒等变形 , 领会三角恒等变换在数学中的应用 .3.经过例题的解答 , 指引学生对变换对象目标进行对照、剖析 , 促进学生形成对解题过程中如何选择公式 , 如何依据问题的条件进行公式变形 , 以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识, 从而加深理解变换思想, 提高学生的推理能力.要点难点教课要点： 1. 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法 , 在与代数变换对比较中 , 领会三角变换的特色 .教课难点：认识三角变换的特色, 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计, 不停提高从整体上掌握变换过程的能力.课时安排2 课时教课过程第1课时导入新课思路 1. 我们知道变换是数学的重要工具, 也是数学学习的主要对象之一, 三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入协助角的变换.前面已经利用引诱公式进行了简单的恒等变换, 本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更为丰富的三角恒等变换.思路 2. 三角函数的化简、求值、证明, 都离不开三角恒等变换. 学习了和角公式, 差角公式, 倍角公式此后, 我们就有了进行三角变换的新工具, 从而使三角变换的内容、思路和方法更为丰富和灵巧, 同时也为培育和提高我们的推理、运算、实践能力供给了广阔的空间和发展的平台 . 对于三角变换 , 因为不一样的三角函数式不单会有构造形式方面的差别, 并且还会有所包含的角 , 以及这些角的三角函数种类方面的差别, 所以三角恒等变换常常第一找寻式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依照选择能够联系它们的适合公式, 这是三角式恒等变换的重要特色 .推动新课 新知研究提出问题①α 与 a有什么关系 ?2②如何成立 cos α 与 sin2a之间的关系？a2③sin 21 cosa2 a1 cosa 2a1 cosa2 =,cos=2,tan=1 cosa 这三个式子有什么共同特色？222④经过上边的三个问题, 你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不一样吗?⑤证明 (1)sin α cos β = 1[sin( α +β )+sin( α - β)];2(2)sin θ +sin φ =2sincos 2 .2并察看这两个式子的左右两边在构造形式上有何不一样？活动：教师指引学生联想对于余弦的二倍角公式cos α =1-2sin2a, 将公式中的 α 用a22取代 , 解出 sin 2a即可 . 教师对学生的议论进行发问, 学生能够发现： α 是 a的二倍角 . 在倍22角公式 cos2α =1-2sin 2 α 中 , 以 α 取代 2α , 以 a取代 α , 即得 cos α =1-2sin2a ,所以 sin 2 a = 1cosa .22①22在倍角公式 cos2 α =2cos 2α -1 中, 以 α 取代 2α , 以 a取代 α , 即得a -1,2cos α =2cos22所以 cos 2a =1 cosa.②22, 即得将①②两个等式的左右两边分别相除tan 2a =1cosa . ③2 1cosa教师指引学生察看上边的①②③式 , 可让学生总结出以下特色：(1) 用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2) 由左式的“二次式”转变为右式的“一次式” ( 即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一同总结出这样的特色 , 并告诉学生这些特色在三角恒等变形中将常常用到 . 提醒学生在此后的学习中惹起注意. 同时还要重申,本例的结果还可表示为 :sina=±1 cosa ,cos a =±1 cosa ,tana=±1cosa, 并称之为半角公式222 221 cosa( 不要求记忆 ), 符号由 a所在象限决定 .2式不单会有构造形式方面的差别 , 并且还有所包含的角 , 以及这些角的三角函数种类方面的差别 . 所以 , 三角恒等变换常常先找寻式子所包含的各个角间的联系, 并以此为依照 , 选择可以联系它们的适合公式 , 这是三角恒等变换的重要特色. 代数式变换常常着眼于式子构造形式的变换 .对于问题⑤：（ 1）假如从右侧出发 , 仅利用和（差）的正弦公式作睁开归并, 就会得出左式 . 但为了更好地发挥本例的训练功能, 把两个三角式构造形式上的不一样点作为思虑的出发点, 指引学生思虑 , 哪些公式包含 sin α cos β 呢？想到 sin( α +β )=sin α cos β +cos αsin β . 从方程角度看这个等式 ,sin α cos β ,cos α sin β 分别当作两个未知数 . 二元方程要求得确定解 ,一定有 2个方程 , 这就促进学生考虑还有没有其余包含sin α cos β 的公式 , 列出sin( α - β )=sin α cos β -cos α sin β 后 , 解相应的以 sin αcos β ,cos α sin β 为未知数的二 元一次方程组 , 就简单获得所需要的结果 .（2）由（ 1）获得以和的形式表示的积的形式后 , 解决它的反问题 , 即用积的形式表示和的形式 , 在思路和方法上都与（ 1 ）没有什么差别 . 只要做个变换 , 令 α +β =θ , α - β=φ , 则α=, β = , 代入 (1) 式即得 (2) 式 .2 2证明 : (1) 因为 sin( α +β )=sin αcos β +cos α sin β,sin( α - β )=sin α cos β -cos α sin β ,将以上两式的左右两边分别相加, 得sin( α +β )+sin( α - β )=2sin α cos β,即 sin α cos β = 1[sin( α +β )+sin( α - β )].2(2) 由 (1), 可得 sin( α +β )+sin( α - β)=2sin αcos β . ①设 α +β =θ , α - β =φ , 那么 α =, β =.把 α , β 的值代入①,22即得 sin θ+sin φ =2sin2cos.2教师给学生合时指引 , 指出这两个方程所用到的数学思想, 能够总结出在本例的证明过程顶用到了换元的思想 , 如把 α +β 看作 θ , α - β 看作 φ , 从而把包含 α , β 的三角函数式变换成 θ , φ 的三角函数式 . 此外 , 把 sin α cos β 看作 x,cos α sin β 看作 y, 把等式看作 x,y 的方程 , 经过解方程求得 x, 这就是方程思想的表现 . 议论结果： ①α 是 a的二倍角 .2②sin 2a =1-cos1cosa .22③④⑤略 ( 见活动） . 应用示例思路 1例1 化简:1sin x cosx . . 1 sin x cosx活动：本题考察公式的应用 , 利用倍角公式进行化简解题 . 教师提示学生注意半角公式和倍角公式的差别 , 它们的功能各异 , 实质同样 , 拥有对峙一致的关系 .Word 文档仅限参照2 sin 2 x 2sin x cos x 2 sin x (sin xcos x)x . 解:原式=2 2 2 2 22 =tan 2 xx x x xx ) 22 cos 22 sin cos 2 cos (cossin22222评论： 本题是对基本知识的考察, 重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简 :sin50 °(1+32(1 33 sin10cos10sin 10 )解: 原式 =sin50 ° 1sin 5022cos10cos10=2sin50 °·sin 30cos10 cos30 sin 10cos10=2cos40°·sin 40sin 80 cos10 =1.cos10cos10 cos10例 2 已知 sinx-cosx=1, 求 sin 3 x-cos 3x 的值 .2活动：教师指引学生利用立方差公式进行对公式变换化简, 而后再求解. 因为332333333+3ab(a-b). 解完本题后 , 教师指引学 (a-b) =a -3a b+3ab2-b =a -b -3ab(a- b), ∴a -b =(a-b) 生深挖本例的思想方法 , 因为 sinx ·cosx 与 sinx ±cosx 之间的转变 . 提高学生的运算 . 化简能力及整体代换思想. 本题也可直策应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=11. 此方法常常合用于 sin 3x ±cos 3x 的16化简问题之中 .解: 由 sinx-cosx=1, 得 (sinx-cosx)2=1,24即 1-2sinxcosx= 1, ∴sinxcosx= 3.48∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=1(1+ 3)=11.2 816评论： 本题考察的是公式的变形、化简、求值, 注意公式的灵巧运用和化简的方法.变式训练(2007 年高考浙江卷 ,12)已知 sin θ+cos θ = 1, 且2≤ θ ≤ 3, 则 cos2 θ 的值是______________.547答案 :25例 1 已知 cos 4Asin 4 A 求证 cos 4 Bsin 4B 1.cos 2 Bsin 2 B1A sin 2 Acos 2Word 文档仅限参照活动： 本题可从多个角度进行研究 , 因为所给的条件等式与所要证明的等式形式一致 ,不过将 A,B 的地点交换了 , 所以应从所给的条件等式下手 , 而条件等式中含有 A,B 角的正、余 弦, 可利用平方关系来减少函数的种类 . 从构造上看 , 已知条件是 a 2+b 2=1 的形式 , 可利用三角代换 .证明一 : ∵ cos4Asin 4 A 1 ,cos 2 Bsin 2 B42422∴c os A ·sin B+sin A ·cos B=sin B ·cos +B.∴ c os 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B, 即 cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴ c os 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴ (cos 2A-cos 2B)2=0. ∴cos 2A=cos 2B. ∴sin 2A=sin 2B.cos 4 B sin 4 B 22∴Asin 2 A cos B+sinB=1.cos 2证明二 : 令 cos 2Acosa, sin 2A=sin α ,cos B sin B则 cos 2A=cosBcos α ,sin 2A=sinBsin α .两式相加 , 得 1=cosBcos α +sinBsin α, 即 cos(B- α )=1. ∴B - α =2k π (k ∈ Z), 即 B=2k π +α (k ∈ Z).∴ c os α =cosB,sin α=sinB.∴ c os 2A=cosBcos α =cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.44B4B4B=cos B+sin B=1.∴ cos Bsincossin22cos 2 A sin 2 A cos 2 B sin 2 B评论 : 要擅长从不一样的角度来察看问题, 本例从角与函数的种类双方面察看, 利用平方关系进行了合理消元 .变式训练在锐角三角形 ABC 中 ,ABC 是它的三个内角 , 记 S=1 1tan A 1 , 求证 :S<1.1 tan B证明:∵S=1tan A 1 tan B 11 tan A tan B(1 tan A)(1 tan B)tan A tan B tan Atan B又 A+B>90°, ∴90°>A>90° - B>0°.∴tanA>tan(90 ° -B)=cotB>0, ∴ t anA ·tanB>1. ∴S<1.思路 2例 1 证明1 sin x=tan( + x).cosx4 2活动：教师指引学生思虑 , 对于三角恒等式的证明 , 可从三个角度进行推导：①左侧→右边；②右侧→左侧；③左侧→中间条件←右侧 . 教师能够鼓舞学生试着多角度的化简推导.注意式子左侧包含的角为x, 三角函数的种类为正弦, 余弦 , 右侧是半角x,三角函数的种类2Word 文档仅限参照为正切 .解： 方法一：从右侧下手 , 切化弦,得+ x)=sin(x ) sin cos xcos sin xcos xsin xtan(2 24 24 2 2 2 , 由左右两边的角 42cos( x )coscosxsin sin xcosxsinx4 222 2 2 22之间的关系 , 想到分子分母同乘以cos x+sinx, 得(cos x sin x) 2221 sin x2 2 x x xx cos x(cossin)(cossin )22 22方法二：从左侧下手 , 分子分母运用二倍角公式的变形, 降倍升幂 , 得1sin x(cosxsin x) 2cos xsin x2 22 2cosxx x xx ) x sin x(cossin)(cossin cos22222 2 cos x, 得由两边三角函数的种类差别, 想到弦化切 , 即分子分母同除以xx 21tantantan+ x).2 42=tan(1x1 tantanx4 2tan4 22评论： 本题考察的是半角公式的灵巧运用, 以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知 α, β ∈(0,) 且知足 :3sin 2α+2sin 2β =1,3sin2 α -2sin2 β =0, 求 α +2β 的值 .2解 法一: 3sin 223sin 222α +2sin β =1α =1-2sin β ,即3sin α =cos2 β ,①3sin2 α -2sin2 β =03sin α cos α =sin2 β ,②①2 +②2:9sin 4α +9sin 2α cos 2α =1, 即 9sin 2α (sin 2α+cos 2α )=1,∴sin 2α = 1 . ∵ α ∈(0, ), ∴sin α= 1.9232∴ s in( α +2β )=sin α cos2 β+cos α sin2 β =sin α ·3sin α+cos α · 3sin α cos α =3sin α (sin 2α +cos 2α )=3 × 1=1.3∵α , β ∈(0,), ∴ α +2β∈(0,3). ∴ α +2β = .22 2解法二 : 3sin 2α+2sin 2β =1cos2 β=1-2sin 2β =3sin 2α,3sin2 α -2sin2 β =0 sin2 β =32sin2 α=3sin αcos α ,∴ c os( α +2β )=cos α cos2 β-sin α sin2 β =cos α ·3sin 2α -sin α· 3sin αcos α =0.Word 文档仅限参照∵α , β ∈(0,), ∴ α +2β∈(0, 3). ∴ α +2β = .222解法三 : 由已知 3sin 2α =cos2 β ,3sin2 α =sin2 β ,2两式相除 , 得 tan α =cot2 β , ∴tan α =tan(-2 β ).2∵α ∈(0, ), ∴tan α >0. ∴tan(-2 β )>0.22 又∵ β ∈(0,), ∴ <2-2 β < .222 联合 tan( -2 β )>0, 得 0<-2 β< .222∴由 tan α=tan(-2 β ), 得 α = -2 β , 即 α +2β = .222例 2 求证 :sin(a) sin() 1 tan 2sin 2 cos 2tan 2 活动：证明三角恒等式 , 一般要按照“由繁到简”的原则, 此外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中常常使用的方法.(sin coscos sin)(sin coscos sin )证明:证法一 :左侧=2 cos 2sin= sin 2 a cos 2cos 2 a sin 21 cos2 a sin 21 tan2 =右侧 . ∴原式成立 .sin 2 cos 2sin 2 cos 2tan 2 a证法二 : 右侧 cos 2 sin 2sin 2 cos 2cos 2 a sin 2=1-2 cos 2sin 2 a cos 2sin= (sin a coscosa sin )(sin a coscosa sin)sin 2 cos 2= sin( a) sin(a)=左侧 . ∴原式成立 .sin 2 cos 2评论： 本题进一步训练学生三角恒等式的变形, 灵巧运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力 .变式训练1.求证 :1sin 4 cos41 sin 4 cos4 .2sin 1 tan 21 sin 4cos4 2 tan 剖析： 运用比率的基天性质 , 能够发现原式等价于1 sin 4cos4, 此式右边就是 tan2 θ .1 tan 2证明 : 原等式等价于1sin 4 cos4 tan 2.1 sin 4cos4而上式左侧sin 4 (1 cos 4 ) 2sin 2 cos22 sin 2 2 2 sin 2 (cos 2 sin 2 )sin 4(1 cos 4 ) 2 sin 2 cos2=2 cos2 (sin 2cos 2 =tan22 cos 2 2)右侧 . ∴上式成立 , 即原等式得证 .2. 已知 sin β =m · sin(2 α +β), 求证 :tan(1 mα +β)=tan α .1 m剖析 : 认真察看已知式与所证式中的角, 不要盲目睁开 , 要有的放矢 , 看到已知式中的2α +β 可化为结论式中的 α+β 与 α 的和 , 不如将 α +β 作为一整体来办理 .证明 : 由 sin β=msin(2 α +β )sin[( α +β )- α ]=msin[( α +β )+ α ]sin( α +β )cos α -cos( α +β )sin α =m0[sin( α +β)cos α +cos( α +β )sin α ] (1-m)· s in( α +β )cos α =(1+m)·cos( α +β)sin αtan( α+β )=1 mtan α .1 m知能训练1. 若 sin α=5 , α 在第二象限 , 则 tan a的值为 ( )13 2A.5B.-5C.1 15D.52. 设 5π <θ <6π ,cos =α , 则 sin等于( )241 aB.1 a1 a 1 aA.2C.2D.223. 已知 sin θ =3 ,3 π <θ < 7 , 则 tan _________________.5 2 2解答 :1.A2.D3.-3 讲堂小结1. 先让学生自己回首本节学习的数学知识: 和、差、倍角的正弦、 余弦公式的应用 , 半角公式、 代数式变换与三角变换的差别与联系 . 积化和差与和差化积公式及其推导 , 三角恒等式与条件等式的证明 .2. 教师点睛之笔总结 : 本节学习了公式的使用 , 换元法 , 方程思想 , 等价转变 , 三角恒等变形的基本手段 . 作业课本习题 3.2 B组 2.设计感想1. 本节主要学习了如何推导半角公式、积化和差、 和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换 . 在解题过程中 , 应注意对三角式的构造进行剖析 , 依据构造特色选择适合公式 , 进行公式变形 . 还要思虑一题多解、 一题多变 , 并领会此中的一些数学思想, 如换元、 方程思想 , “1”的代换 , 逆用公式等 .2. 在近几年的高考取 , 对三角变换的考察仍以基本公式的应用为主, 突出对求值的考察 . 特别 是对平方关系及和角公式的考察应惹起重视 , 此中碰到对符号的判断是常常出问题的地方,同时要注意联合引诱公式的应用, 应用引诱公式时符号问题也是常犯错的地方. 考试纲领对本部分的详细要求是：用向量的数目积推导出两角差的余弦公式, 领会向量方法的作用. 从两角差的余弦公式从而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式 , 二倍角的正弦、余弦、正切公式 , 认识它们的内在联系 , 能运用上述公式进行简单的恒等变换第2课时导入新课思路 1. ( 问题导入 ) 三角化简、求值与证明中, 常常会出现许多相异的角, 我们可依据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系, 运用角的变换 , 交流条件与结论中角的差别, 使问题获得解决,如：α=( α +β )- β ,2 α =( α +β )+( α - β )=(+α )-(- α ),4+α=-(- α ) 等 , 你能总4424结出三角变换的哪些策略？由此商讨睁开.思路 2.( 复习导入 ) 前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转变为形如y=Asin( ω x+φ ) 的函数 , 本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质 . 三角函数和代数、几何知识联系亲密, 它是研究其余各种知识的重要工具. 高考题中与三角函数有关的问题, 多半以恒等变形为研究手段 . 三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不行缺乏的解题技巧 , 要学会创建条件灵巧运用三角公式 , 掌握运算 , 化简的方法和技术 .推动新课新知研究提出问题①三角函数 y=sinx,y=cosx的周期 , 最大值和最小值是多少？②函数 y=asinx+bcosx 的变形与应用是如何的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师指引学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回首, 我们知道正弦函数 , 余弦函数的图象都拥有周期性、对称性、单一性等性质. 并且正弦函数, 余弦函数的周期都是 2k π（k∈ Z 且 k≠0）, 最小正周期都是2π. 三角函数的定义与变化时, 会对其周期性产生必定的影响, 比如 , 函数 y=sinx 的周期是2k π（k∈ Z 且 k≠0） , 且最小正周期是2π , 函数 y=sin2x的周期是 kπ（k∈ Z 且 k≠0）, 且最小正周期是π . 正弦函数 , 余弦函数的最大值是 1, 最小值是 -1,所以这两个函数的值域都是[-1,1].函数 y=asinx+bcosx= a 2b2（a2a sin x b cosx ） ,b 2a2b2∵((a) 2(b)21a cos,b sinφ , a2 b 2a2b2从而可令 a 2b2a2 b 2则有 asinx+bcosx= a 2 b 2（sinxcosφ +cosxsinφ）= a2 b 2sin （x+φ） .所以 , 我们有以下结论：asinx+bcosx= a 2b2sin （ x+φ） , 此中 tan φ = b. 在此后的学a习中能够用此结论进行求几何中的最值问题或许角度问题.我们知道角的观点发源于几何图形, 从而使得三角函数与平面几何有着亲密的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题 , 常需借助三角函数的变换来解决,经过三角变换来解决几何中的有关问题, 是一种重要的数学方法 .议论结果： ①y=sinx ,y=cosx 的周期是 2k π（k ∈ Z 且 k ≠0） , 最小正周期都是 2π ；最大值都是 1, 最小值都是 -1. ②—③(略 )见活动 . 应用示例思路 1例 1 如图 1, 已知 OPQ 是半径为 1, 圆心角为的扇形 ,C 是扇形弧上的动点 ,ABCD 是扇形的内3接矩形 . 记∠C OP=α , 求当角 α 取何值时 , 矩形 ABCD 的面积最大 ?并求出这个最大面积 .活动：要求当角 α 取何值时 , 矩形 ABCD 的面积 S 最大 , 先找出 S 与 α 之间的函数关系,再求函数的最值 .找 S 与 α 之间的函数关系能够让学生自己解决 , 获得：S=AB ·BC=(cos α3sin α )sin α =sin α cosα-3sin 2α.33求这种 y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值 , 应先降幂 , 再利用公式化成Asin( ω x+φ ) 型的三角函数求最值 .教师指引学生思虑：要求当角α 取何值时 , 矩形 ABCD 的面积 S 最大 , 可分两步进行 :图 1(1) 找出 S 与 α 之间的函数关系 ;(2) 由得出的函数关系 , 求 S 的最大值 .解: 在 Rt △ OBC 中 ,BC=cos α ,BC=sin α , 在 Rt △ OAD 中 ,DA=tan60 °= 3 ,OA所以 OA= 3DA=3BC=3sin α .33 3 所以 AB=OB-OA=cos α3sin α .3设矩形 ABCD 的面积为 S, 则S=AB ·BC=(cos α3 sin α )sin α =sin α cos α 3 sin 2α3 3= 1 sin2 α +3 cos2 α - 3 = 1 ( 3 sin2 α + 1 cos2 α )-326 6 32 26=1sin(2 α +)-3 .Word 文档仅限参照因为 0<α <, 所以当 2α +=, 即α =时,S 最大=1- 3 = 3 .3626366所以 , 当α=3时, 矩形 ABCD的面积最大 , 最大面积为. 66评论：能够看到 , 经过三角变换 , 我们把形如 y=asinx+bcosx 的函数转变为形如 y=Asin( ωx+φ ) 的函数 , 从而使问题获得简化 . 这个过程中蕴涵了化归思想 . 本题可引申即能够去掉“记∠C OP=α ”, 结论改成“求矩形 ABCD的最大面积” , 这时 , 对自变量可多一种选择 , 如设 AD=x,S=x( 1x 23x),只管对所得函数还临时没法求其最大值, 但能促进学3生对函数模型多样性的理解,并能使学生感觉到以角为自变量的长处.变式训练(2007年高考辽宁卷,19)已知函数f(x)=sin(ω x+)+sin(ω x-)-2cos2x,x ∈ R( 此中ω266(1)求函数 f(x) 的值域 ;(2) 若函数y=f(x)的图象与直线y=-1 的两个相邻交点间的距离为, 求函数 y=f(x)的单一增区间 .2解: (1)f(x)=3sin ω x+1cos ω x+3sin ω x-1cos ω x-(cos ωx+1) 2222=2(3sin ω x-1cos ω x)-1=2sin(ωx-)-1. 226由- 1≤sin(ω x-) ≤1, 得 - 3≤2sin(ω x-)- 1≤1,66可知函数 f(x) 的值域为［ -3,1 ］ .(2) 由题设条件及三角函数图象和性质, 可知 y=f(x)的周期为π , 又由ω>0, 得2=π, 即得ω=2.于是有 f(x)=2sin(2x-)-1, 再由 2kπ - ≤2x -≤2k π+(k ∈ Z), 解得6262kπ -≤x≤kπ +(k ∈ Z).63所以 y=f(x)的单一增区间为［ kπ-,k π +］(k ∈ Z).评论 : 本题主要考察三角函数公式,63, 考察综合运用三角三角函数图象和性质等基础知识函数有关知识的能力 .例 1求函数 y=sin 4 x+23sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值; 并写出该函数在 [0, π] 上的单一递加区间 .活动：教师指引学生利用公式解题, 本题主要考察二倍角公式以及三角函数的单一性和Word 文档仅限参照周期性等基础知识 . 先用二倍角公式把函数化成最简形式 , 而后再解决与此有关的问题 .解: y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x=(sin 2 x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3 sin2x= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x-).6π ; 最 小 值 是 -2; 在 [0, π ] 上 单 调 增 区 间 是 [0,故该函数的最小正周期是 ],[5, π ].3 6评论： 本题主要考察二倍角公式以及三角函数的单一性和周期性等基础知识变式训练已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,(1) 求 f(x) 的最小正周期 ;(2) 若 x ∈[0,], 求 f(x) 的最大、最小值 .2解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2 cos(2x+ ),4T=2所以 ,f(x) 的最小正周期 =π.25].(2) 因为 x ∈[0,], 所以 2x+ ∈[ ,24 4 4当 2x+ =时,cos(2x+) 获得最大值2,4 442当 2x+=π 时 ,cos(2x+ ) 获得最小值 -1.44所以 , 在[0,] 上的最大值为 1, 最小值为 - 2 .2思路 2例 1 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ )( ω>0,0 ≤ φ≤ π ) 是 R 上的偶函数 , 其图象对于点 M( 3,0)4对称 , 且在区间 [0,] 上是单一函数 , 求 φ 和 ω 的值 .2, 对 f(x), 而在对“ f(x)活动：提示学生在解本题时是偶函数这一条件的运用不在问题上 的图象对于M(3,0) 对称”这一条件的使用上 , 多半考生都存在必定问题. 一般地 : 定义在4R 上的函数 y=f(x) 对定义域内随意 x 知足条件 :f(x+a)=2b-f(a-x), 则 y=f(x) 的图象对于点(a,b) 对称 , 反之亦然 . 教师在这种问题的教课时要赐予充足的提示与总结, 多做些这种种类的变式训练 .解： 由 f(x) 是偶函数 , 得 f(-x)=f(x),即 sin(- ωx+φ )=sin( ω x+φ), 所以 -cos φ sin ωx=cos φsin ω x 对随意 x 都成立 .又 ω >0, 所以 , 得 cos φ =0.Word 文档仅限参照依0≤ φ ≤ π , 所以 , 解得 φ = .2由 f(x) 的 象对于点M 称 , 得 f( 3-x)=-f(3 +x).44取 x=0, 得 f(3 )=-f( 3 ), 所以 f( 3 )=0.∵f( 34 3 4 3 4 3)=sin( + )=cos , ∴cos =0.4 4 2 4 4 又 ω >0, 得3=+k π ,k=0,1,2, ⋯.24 2∴ω =(2k+1),k=0,1,2, ⋯.3当 k=0 , ω = 2 ,f(x)=sin(2x+) 在[0, ] 上是减函数 ;33 22当 k=1 , ω =2,f(x)=sin(2x+) 在[0,] 上是减函数 ;22当 k ≥2 , ω ≥10,f(x)=sin(ω x+ ) 在 [0, ] 上不是 函数 .322所以 , 合得 ω = 2或 ω =2.3, 合三角函数的 象与性 , 函数 行 而后点 ：本 是利用函数思想 行解而解决此 . 式已知如 2 的 Rt △ ABC 中, ∠A=90°,a 斜 , ∠B 、 ∠C 的内角均分 BD 、CE 的 分m 、 n, 且a 2=2mn.:是 否 能 在 区( π ,2 π ］ 中 找 到 角θ , 恰 使 等 式cos θ -sin θ =4(cosB C -cos BC) 成立 ?若能 , 找出 的角 θ; 若不可以 , 明原由 .2 2解: 在 Rt △BAD 中 ,AB=cosB, 在 Rt △B AC 中 ,AB=sinC,m2 a∴ m cosB=asinC.22同理 ,ncos C=asinB.2∴ m ncosBcosC=a 2sinBsinC.2 2而 a 2=2mn,∴cosBcosC=2sinBsinC=8sinB·cosB cosC sin C . ∴sin B sin C = 1 .2 2 222222 8Word 文档仅限参照BCB C积化和差 , 得 4(cos -cos)=-1,22若存在 θ 使等式 cos θ -sin θ=4(cosB C-cosB C)成立,则2 cos( θ + )=-1,2 24∴cos( θ +2)=42 ∴ 5<θ +≤9. 而 π <θ ≤2π,. ∴这样的 θ 不存在 .4 4 2评论 : 对于不确立的开放式问题 , 往常称之为存在性问题 . 办理这种问题的一般思路是先假定结论是必定的 , 再进行演绎推理 , 若推证出现矛盾 , 即能否认假定 ; 若推出合理结果 , 即假 设成立 . 这个研究结论的过程可归纳为假定——推证——定论. 例 2已知 tan( α - β)= 1,tan β=1 , 且 α , β ∈ (0, π ), 求 2α - β 的值 .27解： ∵2α - β=2( α - β)+ β ,tan(α - β )= 1,2∴tan2( α - β )= 2 tan() = 4. 1 tan 2 () 3tan 2() tan4125从而 tan(2 α - β )=tan ［ 2( α- β )+ β ］=37 = 21 1 .1 tan2() tan412517213又∵ tan α =tan ［ ( α- β )+ β］ =tan() tan=1<1.1 tan() tan3且 0<α <π, ∴0< α < . ∴0<2α < .1 42又 tan β =<0, 且 β ∈ (0, π ),7∴ <β <π ,- π <- β <.22∴- π <2α - β <0. ∴2α - β =3.4, 要点在于对角的范围的议论,评论： 本题经过变形转变为已知三角函数值求角的问题注意合理利用不等式的性质, 必需时 , 依据三角函数值 , 减小角的范围 , 从而求出正确角 . 此外 ,求角一般都经过三角函数值来实现, 但求该角的哪一种函数值 , 常常有必定的规律, 若α∈ (0, π ), 则求 cos α ; 若 α∈(,), 则求 sin α 等 .22变式训练若 α , β 为锐角 , 且 3sin 22β =0, 求证： α +2β = .α +2sin β =1,3sin2 α -2sin23sin 2α=cos2 β,2证明： 已知两个等式可化为①3sin α cos α =sin2 β,②Word 文档仅限参照①÷② , 得sin a =cos 2, 即 cos αcos2 β -sin α sin2 β =0,cosa sin 2∴ c os( α +2β )=0.∵0<α < ,0< β < , ∴0<α +2β <3.222∴α +2β = .2知能训练课本本节练习 4.1最小正周期为, 递加区间为 [k, k 解答 : 4.(1)y=sin4x.82](k ∈Z), 最大值2282为 1;2(2)y=cosx+2. 最小正周期为 2π, 递加区间为 [ π +2k π ,2 π+2k π ](k ∈ Z), 最大值为 3;(3)y=2sin(4x+ ). 最小正周期为, 递加区间为 [5 k , k 2242](k ∈Z), 最大值为 2. 3242讲堂小结本节课主要研究了经过三角恒等变形, 把形如 y=asinx+bcosx 的函数转变为形如y=Asin( ω x+φ ) 的函数 , 从而能顺利考察函数的若干性质, 达到解决问题的目的 , 充足表现出生活的数学和“活”的数学 . 作业课本复习参照题 A 组 10、 11、12.设计感想1. 本节课主假如三角恒等变换的应用, 经过三角恒等变形 , 把形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin( ωx+φ ) 的函数 , 从而能顺利考察函数的若干性质 , 达到解决问题的目的 .在教课中教师要重申： 剖析、研究三角函数的性质 , 是三角函数的重要内容. 假如给出的三角函数的表达式较为复杂 , 我们一定先经过三角恒等变换, 将三角函数的分析式变形化简, 而后再依据化简后的三角函数 , 议论其图象和性质 . 所以 , 三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤 . 但需注意的是 , 在三角恒等变换过程中 , 因为消项、 约分、归并等原由 , 函数的定义域常常会发生一些变化 , 从而致使变形化简后的三角函数与原三角函数不等价. 所以 ,在对三角函数式进行三角恒等变换后, 还要确立原三角函数的定义域, 并在这个定义域内剖析其性质 .2. 在三角恒等变化中 , 第一是掌握利用向量的数目积推导出两角差的余弦公式 , 并由此导出角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 ,二倍角公式和积化差、 和差化积及半角公式 , 以此作为基本训练 . 其次要搞清楚各公式之间的内在联系, 自己画出知识构造图. 第三就是在三角恒等变换中 , 要联合第一章的三角函数关系、引诱公式等基础知识 , 对三角知识有整体的掌握 .3. 此后高考对三角变换的考察预计仍以考察求值为主 . 和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍旧是要点考察的地方 , 应当惹起足够重视, 特别是对角的范围的议论, 从而确立符号 . 此外 , 在三角形中的三角变换问题 , 以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热门 . 对三角函数综合应用的考察, 预计仍旧以三角与数列、 不等式、平面向量、 分析几何、三角与解三角形的实质应用为主, 题型主假如选择题、填空题, 也可能以解答题形式出现, 难度不会太大 . 应注意新情形立意下的三角综合应用也是考试的热门.Word 文档仅限参照。

§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考1 我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？ 答案 结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2. 思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. 答案 ∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2， 同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和二倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理知识点二 辅助角公式思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫或sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2.一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ))．思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案 θ所在的象限由a 和b 的符号确定． 梳理 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎪⎫其中tan θ＝b a1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．若函数f (x )＝A 1sin(ωx ＋φ1)，g (x )＝A 2sin(ωx ＋φ2)(其中A 1>0，A 2>0，ω>0)，则h (x )＝f (x )＋g (x )的周期与f (x )和g (x )的一致．( √ )3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )4．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.( × )提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.类型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值．跟踪训练1 已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3C.13D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.类型二 三角函数式的化简 例2 化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos2α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos2αcos2α＝1. 反思与感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 跟踪训练2 设α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos2α. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0，故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α ＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.类型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋－cos 4θsin 4θ＋＋cos 4θ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θθ＋sin 2θ2cos 2θθ＋cos 2θ＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证．反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：1cos2θ－tan θ·tan2θ＝1.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明1cos2θ－tan θ·tan2θ＝1cos2θ－sin θsin2θcos θcos2θ＝cos θ－2sin 2θcos θcos θcos2θ＝cos θ－2sin 2θcos θcos2θ＝1－2sin 2θcos2θ＝cos2θcos2θ＝1.类型四 利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x＝1＋cos2x8－－cos2x8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于( )A ．－3B ．3C ．－13D.13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知θ为第三象限角，cos θ＝－1－925＝－45， 所以tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351－45＝－3.故选A.3．化简2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α的结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝tan2α. 4．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为________．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 －1解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a ⎝⎛⎭⎪⎫或sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝aa 2＋b 2. 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A.105B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值 答案 C3．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2sin13°cos13°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°) ＝sin24°，b ＝2sin13°cos13°＝sin26°，c ＝sin25°， ∵y ＝sin x 在[]0°，90°上是单调递增的， ∴a <c <b .4．(2017·安徽芜湖高一期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( ) A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. 5．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 sin A sin B ＝12(1＋cos C )，即2sin A sin B ＝1＋cos C ，∴2sin A sin B ＝1－cos A cos B ＋sin A sin B ， 故得cos(A －B )＝1， 又∵A －B ∈(－π，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形． 6．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π.∴m ＝0舍去，故m ＝8， sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105C ．－155 D.155考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15.∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0.∵sin2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.二、填空题8．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin2α＝12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案32解析 因为1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32. 9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用降幂公式化简求值 答案 56解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝1＋232＝56.10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案33－410解析 由已知得sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π3<α＋π6<π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410.11．sin 220°＋sin80°·sin40°的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 34解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin60°cos20°＋cos60°sin20°)·(sin60°cos20°－cos60°sin20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220° ＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x＝右边．∴原等式得证．13．已知cos2θ＝725，π2<θ<π，(1)求tan θ的值；(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值解 (1)因为cos2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， 所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4.四、探究与拓展14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ； ④f (x )＝2sin2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合． 15．证明：sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝116.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70° ＝12cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°。

高中数学 3.2简单的三角恒等变换（三）教案 新人教A 版必修4教学目标知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=， 所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为 R R R 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP 故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =S课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.R SO。

学习资料3.2 简单的三角恒等变换考试标准课标要点学考要求高考要求1。

三角恒等变换b b2.三角恒等变换的应用 b b知识导图学法指导三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称,可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差）角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.1。

半角公式错误!巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号;数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y＝1＋cosα（α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数,角大值大，因此用“－"号．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!·sin(x＋φ），其中tanφ＝错误!.状元随笔(1)辅助角公式形式上是a sinα＋b cosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成错误!sin（a ＋φ)类型一 三角函数式的化简求值例1 (1）化简错误!＝______；（2）错误!－错误!的值为________．【解析】 （1）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1。

(2)原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4。

【答案】 （1）1 (2)4（1）切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值．（2）80 °＝90 °－10 °,通分，利用辅助角化简求值．方法归纳三角函数式化简原则和方法(1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值;②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数;⑤次数尽量低．(2)三角函数式化简的常用方法:①降幂化倍角;②升幂角减半．(3）利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝错误!sin(x ＋φ)，其中tan φ＝错误!错误!错误!将形如a sin x ＋b cos x (a ,b 不同时为零）的三角函数式写成一个角的某个函数值．跟踪训练1 (1)求值：sin 错误!＝____________________________；cos 错误!＝____________________________。

【学习目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【重点难点】学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【学法指导】Sα、2Cα、2Tα，先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注复习倍角公式2意Cα。

既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余2弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

【知识链接】：1、回顾复习以下公式并填空：Cos(α+β)= Cos(α-β)=sin(α+β)= sin(α-β)=tan(α+β)= tan(α-β)=sin2α= tan2α=cos2α=2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：疑惑点疑惑内容【学习过程】：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2）请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3），请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．【学习反思】sin α/2= cos α/2= tan α/2=sin αcos β= cos αsin β=cos αcos β= sin αsin β=sin θ+sin φ= sin θ-sin φ=cos θ+cos φ= cos θ-cos φ=【基础达标】：课本p143 习题3.2 A 组1、（3）（7）2、（1）B 组2【拓展提升】一、选择题：1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32 B ．－31 C ．31 D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3π2二、填空题4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．5．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________．三、解答题6．已知f （x ）=－21+2sin 225sin x x，x ∈（0，π）．（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；（2）求f （x ）的最小值．。

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3.2 三角恒等变换 小结【学习目标】1．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的恒等变换。

【知识梳理】1． 熟练掌握公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式2． 几个公式变形：2tanα=__________=_______________tan α±tan β=tan(α±β）(1 tan αtan β） 22cos 1cos 2αα+=； 22cos 1sin 2αα-=； ααα2cos 12cos -1tan 2+=3．形如a sin α＋b cos α的化简：a sin α＋b cos α＝错误!sin(α＋φ)， 其中cos φ＝_____，sin φ＝______，即tan φ＝错误!.【自学探究】一、两角和与差的三角函数公式的应用例1:在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝错误!，则tan A tan B 的值为（ ）． A ．错误! B ．错误! C ．错误! D ．错误!例2:化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+。

第2课时 三角恒等变换的应用1．掌握三角恒等变换的方法．2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．三角恒等变换(1)a sin α＋b cos α＝______sin(α＋θ)(ab ≠0)，其中tan θ＝____，a 和b 的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论b a ＝±1、±3、±33的情况．(2)sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x cos x ＝__________.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f (x )＝__________的形式来解决．【做一做1－1】 sin x －cos x 等于( )A ．sin 2x B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 C.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4【做一做1－2】 函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小值等于__________．答案：(1)a 2＋b 2b a (2)12sin 2x (3)A sin(ωx ＋φ)【做一做1－1】 C 原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.【做一做1－2】 －12 y ＝12sin 4x ，则最小值为－12.三角恒等变换问题剖析：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换． 三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角”的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角，有没有互余、互补的角，角与角之间有没有和、差、倍、半的关系，什么角需要保留，什么角需要化掉等．在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是：尽量减少三角函数式中角的个数(最好只含有相同的角)；尽量减少三角函数式中函数名称的种类(最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦；在选择使用三角变换公式时，应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．题型一 讨论三角函数的性质【例1】 已知函数f (x )＝sin 2x ＋a sin x cos x －cos 2x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.(1)求常数a 的值及f (x )的最小值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的单调增区间．分析：(1)利用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1求得a ，再将函数f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求出最小值；(2)利用(1)求出函数f (x )在R 上的单调增区间，再与⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2取交集．反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f (x )的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．题型二 在实际中的应用【例2】 要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析：用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值．反思：本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．题型三 易错辨析【例3】 当函数y ＝sin x ＋3cos x ，x ∈R 取最大值时，求自变量x 的取值集合S .错解：y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则y 取最大值2时，有x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，则x ＝π3＋2k π(k ∈Z )．即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z. 错因分析：令k ＝0，则x ＝π3＋2k π＝π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋3cos π3＝32＋32＝3≠2.其原因是化简函数解析式没有保持恒等变换，错认为cos π6＝12，sin π6＝32.反思：将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的，如本题．本题中，还可能出现的错误变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案：【例1】 解：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， ∴sin2π4＋a sin π4cos π4－cos 2π4＝1，解得a ＝2. ∴f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－1，则f (x )的最小值为－ 2.(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则0≤x ≤3π8. ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8.【例2】 解：如图，设圆心为O ，长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，S ＝(R sin α)·2(R cos α)＝2R 2sin αcos α＝R 2sin 2α.当sin 2α取最大值，即sin 2α＝1时，长方形截面面积最大．故α＝π4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R 2.【例3】 正解：y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则y 取最大值2时，有x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，则x ＝π6＋2k π(k ∈Z )．即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋2k π，k ∈Z.1．函数y ＝22ππcos sin 44x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 2．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是__________．3．如图所示，圆心角为直角的扇形AOB ，半径OA ＝2，点C 是»AB 上任一点，且CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，设∠AOC ＝x ，矩形OECF 的面积为f (x )．求：(1)f (x )的解析式；(2)矩形OECF 面积的最大值．4．(2011·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝cos x x ＋2cos 2x －1.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最大值和最小值．5．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才使△OAB 的周长最大？答案：1．A y ＝22ππcos sin 44x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πcos 24x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin 2x ，周期T ＝2π2＝π.2．[－，] y ＝2sin x ＋2cos x ＝π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则值域是[－，．3．解：(1)∵f (x )＝OE ·EC ＝OC cos x ·OC sin x ＝4sin x cos x ＝2sin 2x ， ∴f (x )＝2sin 2x ，x ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)∵f (x )＝2sin 2x ，x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴0＜2x ＜π.∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值2， 即矩形OECF 面积的最大值为2.4．解：(1)∵f (x )＝2cos 2cos 1x x x +-2cos 2x x +＝π2sin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝ππ2sin 266⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＝2，且函数f (x )的最小正周期为π. (2)由x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦可知，π6≤2x ＋π6≤7π6，所以，当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，f (x )有最大值，最大值为2； 当2x ＋π6＝7π6即x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为－1.5．分析：用∠AOB 表示△OAB 的各边长，转化为求三角函数式的最大值．解：设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R πsin 4R α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜3π4.∴l R +＝＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4.故当α＝π4时，△OAB 的周长最大．。

班级 姓名 学号 一、学习目标二、问题与例题 问题1：什么是倍角公式问题2：α与2α有什么关系？ 例题1：试以cos α表示2sin 2α、2cos 2α、2tan 2α。

问题3：已知cos α，如何求sin ,cos ,tan ?222ααα 问题4：代数式变换与三角变换有什么不同？例题2：求证：（１）()1sin cos sin sin()2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ （２）sin sin 2sin cos .22θϕθϕθϕ+-+= 问题5：()sin y A x ωϕ=+的性质如何？例3：如何求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值呢？例4、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的点，ABCD 是扇形的内接矩形。

记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积。

三、目标检测1、求证2(sin 2cos )1sin 4ααα-=-2、求证（1）[]1cos sin sin()sin()2αβαβαβ•=+-- （2）sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--= 3、求下列函数的最下正周期，递增区间及最大值（1）sin 2cos 2y x x =（2）22cos 12x y =+ 问题6：我们学习了简单的三角恒等变换，你能归纳一下本节主要的知识点吗？配餐作业一、基础题(A 组)1、已知钝角α满足1cos 3α=-，则sin 2α等于 （ ） A 、13 B 、23 C 、63 D 、162、若1sin()5αβ+=，1sin()10αβ-=， 则tan tan αβ等于 （ ） A 、310 B 、13 C 、110D 、3 3、sin cos x x +的最大值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、2 D 、324、已知，则的值为 （ ）A 、2B 、12C 、12或不存在D 、2或不存在 5、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += （ ） A 、153B 、153-C 、53D 、53- 二、巩固题(B 组)6、已知1sin 24θ=，且42ππθ，求cos sin θθ-的值7、已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是三、提高题(C 组)8、海中有一小船S ，在一条东西方向的海岸线的南方，距海岸线的最近点B 为5km ，在B 的正东岸有一个小镇Q 离B 也是5km ，划船的人想用最短的时间到达Q ，已知他每小时步行6km ，但每小时只能划船4km ，他应该朝什么方向划船登岸？。