【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-2)练习：3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课堂达标

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课堂达标效果检测新人教A版选修1-2 "1.在研究两个分类变量之间是否有关时,可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是( )A.散点图B.等高条形图C.2×2列联表D.以上均不对【解析】选B.等高条形图可以粗略地判断两个分类变量之间是否有关.2.对于分类变量A与B的随机变量K2,下列说法正确的是( )A.K2越大,说明“A与B有关系”的可信度越小B.K2越大,说明“A与B无关”的程度越大C.K2越小,说明“A与B有关系”的可信度越小D.K2接近于0,说明“A与B无关”的程度越小【解析】选C.由独立性检验的定义及K2的意义可知C正确.3.想要检测天气阴晴与人心情好坏是否相关,应该检测()A.H0:晴天心情好B.H0:阴天心情好C.H0:天气与心情有关系D.H0:天气与心情无关【解析】选D.根据假设检验的意义,要先假设两个分类变量之间没有关系.4.若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k为7.22,那么在犯错误的概率不超过的前提下认为两个变量有关系.【解析】因为K2的观测值k=7.22>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量有关系. 答案:0.015.某校文理合卷期中考试后,按照学生的数学考试成绩优秀和不优秀统计,得到如下的列联表:(1)画出列联表的等高条形图,并通过图形判断数学成绩与文理分科是否有关.(2)利用独立性检验,分析文理分科对学生的数学成绩是否有影响.【解析】(1)等高条形图如图所示.(2)由列联表中的数据得到K2的观测值k==科对学生的数学成绩有影响.。

合情推理一、选择题(每小题3分,共18分)1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】选A.由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为36÷5=7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色.2.已知数列{a n}满足a0=1,a n=a0+a1+a2+…+a n-1(n≥1),则当n≥1时,a n等于( )A.2nB.n(n+1)C.2n-1D.2n-1【解析】选C.a0=1,a1=a0=1,a2=a0+a1=2a1=2,a3=a0+a1+a2=2a2=4,a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8,…,猜想n≥1时,a n=2n-1.3.给出下列三个类比结论:①类比a x·a y=a x+y,则有a x÷a y=a x-y;②类比log a(xy)=log a x+log a y,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y,故①正确;根据三角函数的运算法则知:sin(α+β)≠sin αsinβ,②不正确;根据向量的运算法则知:(a+b)2=a2+2a·b+b2,③正确.4.设n棱柱有f(n)个对角面,则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解题指南】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面,过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n条侧棱可作n(n-3)个对角面,由于这些对角面是相互之间重复计算了,所以共有n(n-3)÷2个对角面,从而得出f(n+1)与f(n)的关系.【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面,过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面,可作(n-3)个对角面,n条侧棱可作n(n-3)个对角面,由于这些对角面是相互之间重复计算了,所以共有n(n-3)÷2个对角面,所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{a n},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…a n=a n-1+n.所以a1+a2+…+a n=(a1+a2+…+a n-1)+(1+2+3+…+n)⇒a n=1+2+3+…+n=,观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{b n},则b n=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.6.(2014·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31…A.809B.853C.785D.893【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个,则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405-1=809.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为.【解析】==·=×=.答案:8.(2014·石家庄高二检测)设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为.【解析】由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为,即可得一般的结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥9.(2014·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有S △OBC ·+S △OCA ·+S △OBA ·=0,将它类比到空间的情形应为:若O 是四面体ABCD 内一点,则有 .【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为 V O-BCD ·+V O-ACD ·+V O-ABD ·+V O-ABC ·=0.答案:V O-BCD ·+V O-ACD ·+V O-ABD ·+V O-ABC ·=0三、解答题(每小题10分,共20分)10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中: (1)三角形两边之和大于第三边. (2)三角形的面积S=×底×高.(3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的. …请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.【解析】由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. (2)四面体的体积V=×底面积×高.(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时,我们有真命题:边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a,类比上述命题,请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时,正三角形可类比成正四面体,归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是:棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明:设M 是正四面体P-ABC 内任一点,M 到面ABC,面PAB,面PAC,面PBC 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4. 由于正四面体四个面的面积相等,故有: V P-ABC =V M-ABC +V M-PAB +V M-PAC +V M-PBC=·S △ABC ·(d 1+d 2+d 3+d 4),而S△ABC=a2,V P-ABC=a3,故d1+d2+d3+d4=a(定值).【变式训练】设f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳出一个一般结论,并给出证明.【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=.同理f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想:当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=.证明:设x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=+====.故猜想成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·厦门高二检测)定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那么下图中的(A),(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D,A*DB.B*D,A*CC.B*C,A*DD.C*D,A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|,B表示,C表示—,D表示○,故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2014·西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( )A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)【解析】选B.依题意,由和相同的“整数对”分为一组不难得知,第n组“整数对”的和为n+1,且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).3.(2014·汕头高二检测)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是( )A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2【解析】选B.可以发现:第一个式子的第一个数是1,第二个式子的第一个数是2,…故第n个式子的第一个数是n;第一个式子中有1个数相加,第二个式子中有3个数相加,…故第n个式子中有2n-1个数相加;第一个式子的结果是1的平方,第二个式子的结果是3的平方,…故第n个式子应该是2n-1的平方,故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2014·临沂高二检测)已知x>0,由不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…我们可以得出推广结论:x+≥n+1(n∈N*),则a=( )A.2nB.n2C.3nD.n n【解析】选D.再续写一个不等式:x+=+++≥4=4,由此可得a=n n.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式___________.【解析】观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开方数的和等于20,不等式的右边都是2,因此对正实数m,n都成立的条件不等式是:若m>0,n>0,则当m+n=20时,有+<2. 答案:若m>0,n>0,则当m+n=20时,有+<26.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直,就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为a,b,c的长方体,则这个长方体的体对角线的长度是,故这个长方体的外接球的半径是,这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案:【变式训练】在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为R,则四面体的体积为”.【解题指南】注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论.【解析】三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中类比为三维图形中的,得V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R.答案:V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R三、解答题(每小题12分,共24分)7.观察下列等式:①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.【解析】由①②可看出,两角差为30°,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想:若β-α=30°,则β=30°+α,sin2α+cos2β+sinαcosβ=,也可直接写成sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.下面进行证明:左边=++sinαcos(α+30°)=++sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°)=-cos2α++cos2α-sin2α+sin2α-==右边.故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1),(2),(3),(4)为最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求+++…+的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时,==.所以+++…+=1+×=1+=-.。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.1.1 综合法课堂达标效果检测新人教A版选修1-2 "1.若a>1,0<b<1,则下列不等式中正确的是( )A.a b<1B.b a>1C.log a b<0D.log b a>0【解析】选C.a b>a0=1,b a<b0=1,log b a<log b1=0.2.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则的值等于( )A.2B.C.4D.【解析】选A.lga+lgb=2,lga·lgb=,=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb=4-2=2.3.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,b2=ac,则△ABC的形状是( )A.非等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选B.由条件知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°=ac,即a2-2ac+c2=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.又因为B=60°,所以△ABC为等边三角形.4.已知等差数列{a n},S n表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则S1,S2,S3,…中最小的是.【解析】由于{a n}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.S9==9a5<0.所以S5最小.答案:S55.设a,b,c三数成等比数列,而x,y分别为a,b和b,c的等差中项,求证:+=2.【证明】因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac即=.所以=,又x=;y=.所以+=+=+=2.。

空间向量及其加减运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·福州高二检测)空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( )A.a=bB.a+b为实数0C.a与b方向相同D.|a|=3【解析】选D.向量a,b互为相反向量,则a,b大小相同方向相反.故D正确.【误区警示】本题易错选B,原因是没有注意向量运算与实数运算的区别.2.已知空间向量,,,,则下列结论正确的是( )A.=+B.-+=C.=++D.=-【解析】选B.根据向量加法、减法运算可得B正确.3.(2014·天津高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n=( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】主要从对应空间向量的大小与方向两个角度进行分析.【解析】选B.对于①与,③与大小相等,方向相反;②与大小相等,方向不相反;④与大小相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是( )①(-)-;②(+)-;③(-)-;④(-)+.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-=-≠;④(-)+=+≠.5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱与底面边长不相等),与向量的模相等的向量(不包括向量)有( )A.1个B.2个C.5个D.11个【解析】选D.||=||=||=||=||=||,故向量,,,,,,,,,,与向量的模相等.【举一反三】若把题目中的条件“与向量的模相等的向量”改为“与向量相等的向量”,则结果如何?【解析】选A.与向量相等的向量只有.6.(2014·武汉高二检测)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,D A边上的中点,则下列各式中成立的是( )A.+++=0B.+++=0C.+++=0D.-++=0【解析】选B.+=+=,+=,易证四边形EFGH为平行四边形,故+=0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.式子(-)+运算的结果是.【解析】(-)+=(+)+=+=.答案:8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,++= ;-+= .【解析】++=++=.-+=-(-)=-=.答案:【一题多解】由平行四边形法则可得+=,+=,故++=.-+=-+=+=.【变式训练】化简-+所得的结果是.【解析】-+=+=0.答案:09.如图在平行六面体AG中,①与;②与;③与;④与;四对向量中不是共线向量的序号为.【解析】由图形知与方向相同,大小相等为相等向量,且为共线向量;与方向不一致不共线;与所在直线相交不共线;与所在直线异面不共线.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)10.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)若A,B,C,D四点在一条直线上,则与共线.(2)互为相反向量的向量的模相等.(3)任一向量与它的相反向量不相等.【解析】(1)正确.因为A,B,C,D四点在一条直线上,所以与一定共线.(2)正确.相反向量的模相等,但方向是相反的.(3)不正确.零向量的相反向量仍是零向量,零向量与零向量是相等的.11.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简(1)++.(2)++,并标出化简结果的向量.【解题指南】(1)利用向量加法法则,注意首尾相接.(2)利用向量相等的概念,注意向量的平移.【解析】(1)++=+=,如图中向量.(2)连接GF,++=++=+=,如图中向量.【变式训练】如图,在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,求证:++=.【证明】+=,+=,所以++=+=.在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,=,所以++=.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.空间任意四个点A,B,C,D,则+-等于( )A. B. C. D.【解析】选D.+-=+=-=.2.(2014·福州高二检测)下列命题中,正确的有( )(1)若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(2)若a=b,b=c,则a=c.(3)向量a,b相等的充要条件是(4)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.(1)正确.因为=,所以||=||且∥.又因为A,B,C,D不共线,所以四边形ABCD是平行四边形.反之,在平行四边形ABCD中,=.(2)正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同.因为b=c,所以b,c的长度相等且方向相同.故a=c.(3)不正确.由a∥b,知a与b方向相同或相反.(4)正确.a=b⇒|a|=|b|,|a|=|b| a=b.故选C.3.(2014·西安高二检测)如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是( )A.与B.与C.与D.与【解题指南】从向量的方向与大小两个角度分析.【解析】选D.因为=,所以||=||,AB∥DC,即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=.4.已知向量,,满足||=||+||,则( )A.=+B.=--C.与同向D.与同向【解析】选D.由条件可知,C在线段AB上,故D正确.【举一反三】若把条件“||=||+||”中的“+”改为“-”则结论如何? 【解析】选C.由条件可知,C在线段AB的延长线上,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是.【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且与,方向相反时,有||-||=||.只有②一定不成立.答案:②6.(2014·泰安高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.则上述结论正确的有(填写正确命题的序号).【解析】因为与,与互为相反向量,所以+与+互为相反向量.故①正确;因为-=,-=,=,所以②不正确;又+++=+++=-(+++),所以③正确;因为-=,-=,=-,所以④正确.故填①③④.答案:①③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·大庆高二检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简:-+- +-.【解析】-+-+-=++=+=.【误区警示】对于向量减法理解错误致误,如-=易错,造成如下错解,-+-+-=++=++=+=.【拓展延伸】化减为加,避免出错掌握向量加法、减法的运算法则及向量的加法的交换律、结合律等基础知识,在求解时可把较杂乱的向量运算有序处理,必要时化减为加,降低出错率.8.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,设=a,=b,=c,(1)用a,b,c表示向量.(2)试求向量a+b+c的模.【解题指南】注意把向量放到对应的平行四边形或三角形中,结合空间向量运算的平行四边形法则与三角形法则求解.【解析】(1)在三角形ACA′中,=-.在四边形ABCD中=+,又=,故=+-=a+b-c.(2)利用向量加法的平行四边形法则,结合正方体性质得a+b+c=++=+=,故|a+b+c|=||=.。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量评估课时作业新人教A版选修2-1 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( )A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量【解析】选D.只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( )A.B.C.D.或【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得检验知选D.3.(2014·金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于( )A. B. C. D.【解析】选D.易得c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以解得故选D.4.(2014·银川高二检测)已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是( )A.·=0B.·=0C.·=0D.·=0【解析】选B.选项A,⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·=0;由A可知·=0,C正确;选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·=0;选项B,若·=0,则BD⊥PC,又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故B不一定成立.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,则向量a+b与a-b的夹角是( )A.90°B.60°C.30°D.0°【解析】选A.因为|a|2=2,|b|2=2,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故选A.【变式训练】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 C.=(0,3,3),=(-1,1,0).设<,>=θ,则cosθ===,所以θ=60°.6.(2014·长春高二检测)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·1()2b 等于( )A.15B.3C.-3D.5【解析】选B.(6a)·1()2b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心,若=+x+y,则x-y等于( )A.0B.1C.D.-【解析】选A.如图所示,=+,所以=x+y,所以=x+y,因为=+,=,所以x=y=,x-y=0.8.(2014·安庆高二检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.过点C作CE垂直于BD,垂足为E,连接AE,则得AC=1,故三角形ABC为正三角形.||2==++-·+·-·=×1+×1+()2-×1×1×cos∠ABC=-=.9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意知,2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即解得即C.10.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+6,z-2), =(0,4,-3),因为∥,且⊥,所以解得所以||=5.【一题多解】设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.所以=(-4,4λ+5,-3λ),又=(0,4,-3),⊥,所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,所以λ=-,所以=,所以||==5.11.(2014·绵阳高二检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E 到平面ACD1的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为d===.12.(2014·荆州高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选D.因为AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D.所以AC⊥BE,故A正确.因为B1D1∥平面ABCD,又E,F在直线D1B1上运动,所以EF∥平面ABCD,故B正确.C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故V A-BEF为定值.①当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系, 如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,所以=(0,-1,1),=,所以·=.又||=,||=,所以cos<,>===.所以此时异面直线AE与BF成30°角.②当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1).所以=,=(0,0,1),所以·=1,||==,所以cos<,>===≠,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,则<,>= .【解析】=,因为△A′BD为正三角形,所以<,>=120°,即<,>=120°.答案:120°14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=,因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角,所以∠B1BO=60°,设棱台高为h,则tan60°=,所以h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,,0),所以=,=,所以cos<,>==,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案:【变式训练】如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点,则异面直线D1E与AC 所成角的余弦值是.【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),=(-4,4,0),=(0,4,-2).cos<,>==.所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案:15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD 与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是.【解题指南】建立空间直角坐标系,求出平面AA1C1C的一个法向量n和,计算cos<n,>即可求解sin α.【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量n=(1,0,0),所以cos<n,>==,即sinα=.答案:16.给出命题:①在□ABCD中,+=;②在△ABC中,若·>0,则△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则=(+);④在空间四边形ABCD中,E,F分别是边BC,DA的中点,则=(+).以上命题中,正确命题的序号是. 【解析】①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;·=||·||·cosA>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,所以△ABC是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线的性质,正确;④如图,=+,+=++=+2=2(+)=2,则=(+),正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,用向量,,表示向量,.【解析】=-=--+.=+=+=+=+(-)=-++.18.(12分)(2014·福州高二检测)如图所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【证明】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M,N分别为AB,PC的中点,所以M,N.所以=,=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以令z2=1,则n2=(0,1,1).因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【知识拓展】用向量证明线面平行的主要方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来.19.(12分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.当的值等于多少时,能使A1C⊥平面C1BD?【解析】不妨设=x,CC1=1,A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1B,A1C⊥C1D,而=+,=++=++,由·=0,得(++)·(+)=-+·+·=0,注意到·+·=-,可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍).因此,当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.20.(12分)(2013·上海高考)如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C′(0,2,0),D′(0,0,0).则=(1,0,1),=(0,2,1),设平面D′AC的法向量n=(u,v,w),由n⊥,n⊥,所以n·=0,n·=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D′AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n·=0,所以n⊥.又BC′不在平面D′AC内,所以直线BC′与平面D′AC平行.由=(1,0,0),得点B到平面D′AC的距离d===,所以直线BC′到平面D′AC的距离为.21.(12分)(2014·广东高考)四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证AD⊥平面PCD⇒CF⊥AD,又CF⊥AF⇒CF⊥平面ADF.(2)采用向量法较为方便,以D为原点建立空间直角坐标系,设DC=2,计算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐标,注意到为平面ADF的一个法向量.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,DC∩PD=D,所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD,所以CF⊥AD,而AF⊥PC,即AF⊥FC,又AD∩AF=A,所以CF⊥平面ADF.(2)以D为原点,DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,由(1)知PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,则D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0),=,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),由得取x=4,有y=0,z=,n=(4,0,),又平面ADF的一个法向量=,所以cos<n,>===-,所以二面角D-AF-E的余弦值为.【变式训练】(2014·北京高二检测)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FG∥平面PED.(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥P E.又FG⊄平面PED,PE⊂平面PED,所以FG∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D,P,A,C,B,E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F,G,H(0,1,1).所以=,=.设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即再令y1=1,得n1=(0,1,0).=(2,2,-2),=(0,2,-2).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则即令z2=1,得n2=(0,1,1).所以所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°.依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.由=(0,2,-2),则=(0,2λ,-2λ).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2λ-1,1-2λ).因为直线FM与直线PA所成角为60°,=(2,0,-2),所以=,即=,解得λ=.所以=,=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM的长度为.22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,PA⊥底面ABCD,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.【解析】(1)设<,>=θ,则cosθ==.所以sinθ=.所以V=S□ABCD||=||||sinθ||=16.(2)=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.猜想:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的直四棱柱的体积).【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线的方向向量惟一确定.。

回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2014·渭南高二检测)已知x与y之间的几组数据如下表:则y与x的线性回归方程=x+过点( )A.(0,1)B.(1,4)C.(2,5)D.(5,9)【解析】选C.因为==2,==5,所以根据线性回归方程必过样本中心点,可得=x+必过(2,5).【变式训练】(2014·石家庄高二检测)已知一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)其样本点的中心为(2,3),若其回归直线的斜率估计值为-1.2,则该回归直线方程为( )A.=1.2x+2B.=1.2x+3C.=-1.2x+5.4D.=-1.2x+0.6【解析】选C.由题意可设回归直线为=-1.2x+,由于回归直线过样本中心(2,3),故有3=-1.2×2+,解得=5.4,故回归直线方程为=-1.2x+5.4.2.下列三个命题:(1)随机误差e是衡量预报精确度的一个量,它满足E(e)=0.(2)残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.(3)用相关指数R2来刻画回归的效果时,R2的值越小,说明模型拟合的效果越好.其中真命题的个数有( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.(1)(2)是正确的,(3)中R2越接近1,拟合效果越好,所以(3)错误,故选C.3.(2014·济南高二检测)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【解题指南】先求出所给数据的平均数,利用回归方程过样本点的中心求出即得回归方程,然后将自变量为6代入即可.【解析】选B.因为==3.5,==42,由数据的样本点的中心在回归直线上且回归方程中的=9.4,所以42=9.4×3.5+,即=9.1,所以线性回归方程是=9.4x+9.1,所以当广告费为6万元时=9.4×6+9.1=65.5.4.(2013·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) A.>b′,>a′ B.>b′,<a′C.<b′,>a′D.<b′,<a′【解题指南】审题时,要注意“直线方程”和“回归直线”的区别.【解析】选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为y=2x-2,画出六点的散点图,回归直线的大概位置如图所示,显然b′>,>a′.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如果散点图中的所有的点都在一条直线上,则残差为,残差平方和为,相关指数为.【解析】因为散点图中的所有的点都在一条直线上,所以y i =i y ,相应的残差=y i -i y =0,残差平方和n2ii 1e0==∑.相关指数R 2=1-()()n2iii 1n 2ii 1yyyy ==--∑∑=1-0=1.答案:0 0 1【变式训练】(2014·蚌埠高二检测)已知方程=0.85x-85.7是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中x,的单位分别是cm,kg,则该方程在样本(165,57)处的残差是 . 【解题指南】明确残差的含义,计算出便得(165,57)处的残差.【解析】当x=165时,=0.85×165-85.7=54.55,所以方程在样本(165,57)处的残差是57-54.55=2.45. 答案:2.456.关于x 与y 有如下数据:为了对x,y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲=6.5x+17.5,乙=7x+17,则模型 (填“甲”或“乙”)拟合的效果更好.【解题指南】分别计算两个函数模型所对应的R 2,通过比较与的大小来说明哪个函数模型拟合较好.【解析】模型甲可得y i -i y 与y i -的关系如下表:-所以(y i -i y )2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155,(y i -)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000,所以=1-521521()()iii iii y y y y ==--∑∑=1-=0.845.由模型乙可得y i -i y 与y i -的关系如下表所以(y i -i y )2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2=180,(y i -)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000,所以=1-521521()()iii iii y y y y ==--∑∑=1-=0.82,由=0.845,=0.82知>,所以模型甲的拟合效果比较好.答案:甲三、解答题(每小题10分,共20分)7.在一段时间内,某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:(1)画出散点图. (2)求y 对x 的回归方程.(3)若价格定为1.9万元,则预测需求量大约是多少?(精确到0.01t)【解析】(1)如图所示.(2)列表如下:所以=×9=1.8,=×37=7.4,x i y i=62,=16.6,所以===-11.5,=-=7.4+11.5×1.8=28.1,故y对x的回归方程为=+x=28.1-11.5x.(3)当x=1.9时,=28.1-11.5×1.9=6.25,所以价格定为1.9万元时,需求量大约是6.25t.8.(2014·潍坊高二检测)某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:10.15 4.08检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系,如有,求出y对x的回归方程. 【解析】把置换为z,则有z=,从而z与y的数据为:所以=×(1+0.5+0.333+…+0.005)=0.2251,=×(10.15+5.52+4.08+…+1.15)=3.14,=12+0.52+0.3332+…+0.012+0.0052=1.415003,=10.152+5.522+…+1.212+1.152=171.803,z i y i=1×10.15+0.5×5.52+…+0.005×1.15=15.22102,所以r=≈0.999 8.因为|r|≈0.9998>0.75,所以z对y具有很强的线性相关关系,所以=≈8.976,=-≈1.120,所以所求的z与y的回归方程为=8.976z+1.120.又z=,所以=+1.120.一、选择题(每小题4分,共12分)y)2如下1.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A,B两变量做回归分析,分别得到散点图与残差平方和(y i-i表:哪位同学的试验结果体现拟合A,B两变量关系的模型拟合精度高?( )A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D.残差平方和越小的模型拟合精度越高.2.(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且=2.347x-6.423;②y与x负相关且=-3.476x+5.648;③y与x正相关且=5.437x+8.493;④y与x正相关且=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【解题指南】x的系数的符号决定变量x,y之间的正、负相关关系.【解析】选D.x的系数大于0为正相关,小于0为负相关.【变式训练】(2014·西安高二检测)从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( )A.70.09B.70.12C.70.55D.71.05【解析】选B.先求出=170,=69,代入回归直线方程得=-26.2,把x=172代入回归直线方程得=70.12,故选B.3.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了8次试验,收集数据如下:60设回归直线方程为=x+,则点(,)在直线x+45y-10=0的( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方【解题指南】利用线性回归系数公式求出,的值,从而可确定(,)与直线x+45y-10=0的位置关系. 【解析】选A.由题意,==45,==85,x i y i=33400,=20400,8=16200,8·=30600,所以==,=55.因为55+45×-10=75>0,所以在直线x+45y-10=0的右上方.故选A.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2014·梅州高二检测)在2012年8月15日那天,某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n= .【解析】==,==.因为其线性回归直线方程是:=-3.2x+40,所以=-3.2×+40,即30+n=-3.2(40+m)+200,又m+n=20,解得m=n=10.答案:105.一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量,得到数据(单位均为c m)如表,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:(x i-)(y i-)=577.5,(x i-)2=82.5;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为26.5cm,则估计案发嫌疑人的身高为cm.【解题指南】根据所给的数据,求得回归方程的斜率的值,代入样本中心点求出的值,得到线性回归方程,把所给的x 的值代入预报得出身高. 【解析】经计算得到一些数据:(x i -)(y i -)=577.5,(x i -)2=82.5,所以回归方程的斜率===7,=24.5,=171.5,截距=-=0,即回归方程为=7x,当x=26.5,=7×26.5=185.5,则估计案发嫌疑人的身高为185.5cm. 答案:185.5三、解答题(每小题10分,共20分)6.(2014·海口高二检测)2013年,首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.经气象局统计,北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气,《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级;其中,中度污染(四级),指数为151～200;重度污染(五级),指数为201～300;严重污染(六级),指数大于300.下面表1是该观测点记录的4天里,AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y(千米)的情况,表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI 指数频数统计结果. 表1 AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y(千米)情况表2 北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计(1)设变量x=,根据表1的数据,求出y 关于x 的线性回归方程.(2)根据表2估计这30天AQI 指数的平均值.【解析】(1)由x=结合图表,可得x 1=9,x 2=7,x 3=3,x 4=1,所以=(9+7+3+1)=5,=(0.5+3.5+6.5+9.5)=5,所以x i y i =9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58,=92+72+32+12=140,所以==-,=5-5=, 所以y 关于x 的线性回归方程是=-x+. (2)由表2知AQI 指数的频率分别为=0.1,=0.2,=0.4,=0.2,=0.1,故这30天AQI 指数的平均值为:100×0.1+300×0.2+500×0.4+700×0.2+900×0.1=500.【变式训练】设三组实验数据(x1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)的回归直线方程是:=x+,使代数式[y1-(x 1+)]2+[y 2-(x 2+)]2+[y 3-(x 3+)]2的值最小时,=-,=,(,分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数) 若有七组数据列表如下:(1)求上表中前三组数据的回归直线方程.(2)若|y 1-(x 1+)|≤0.2,即称(x 1,y 1)为(1)中回归直线的拟合“好点”,求后四组数据中拟合“好点”的概率.【解题指南】(1)根据所给的数据得出x 与y 的平均数,代入求线性回归方程系数的公式,利用最小二乘法做出结果,把样本中心点代入求出的值,写出线性回归方程.(2)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件个数是4:检验出符合好点的数据,根据所给的表示式检验出符合条件的事件数,根据古典概型概率公式得到结果. 【解析】(1)前三组数的平均数:=3,=5, 根据公式:==,所以=5-×3=,所以回归直线方程是:=x+.(2)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件个数是4:检验出符合好点的数据,|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2,|8-3.5-0.5×6|=1.5>0.2,|7.1-3.5-0.5×7|=0.1<0.2,|8.6-3.5-0.5×8|=1.1>0.2,综上,拟合的“好点”有2组,所以概率P==.7.(2014·西安高二检测)下表是某年美国旧轿车价格的调查资料,以x(年)表示轿车的使用年数,y(美元)表示相应的年均价格,求y关于x的非线性回归方程.【解析】画散点图如图1所示,看出y与x呈指数关系,于是令z=lny.变换后得数据:画散点图如图2所示,由图可知各点基本处于一条直线,由于==5.5,==6.5274,==-0.298,=-=6.5274+0.298×5.5≈8.166,所以表中数据可得线性回归方程为=8.166-0.298x,因此旧轿车的平均价格对使用年数的非线性回归方程为=e8.166-0.298x.。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.3简单的逻辑联结词课堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "1.命题“方程x2-1=0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“或”C.使用了逻辑联结词“且”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】选B.方程x2-1=0的解是x=±1,亦即方程x2-1=0的解是x=1或方程x2-1=0的解是x=-1,故该命题使用了逻辑联结词“或”.2.若命题p:x∈A∩B,则p为( )A.x∈A且x∉BB.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉BD.x∈A∪B【解析】选B.“x∈A∩B”是指“x∈A且x∈B”,故p:x∉A或x∉B.3.若p:12是3的倍数,q:12是4的倍数,则p∧q:;p∨q: ;p: .【解析】用逻辑联结词“且”“或”“非”将p,q联结起来即可.p∧q:12是3的倍数且是4的倍数,p∨q:12是3的倍数或是4的倍数,p:12不是3的倍数.答案:12是3的倍数且是4的倍数12是3的倍数或是4的倍数12不是3的倍数4.设命题p:2x+y=3,q:x-y=6,若p∧q为真命题,则x= ,y= .【解析】若p∧q为真命题,则p,q均为真命题,所以有:解得答案:3 -35.分别指出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的新命题的真假:(1)p:π是无理数,q:π是实数.(2)p:2>3,q:3+6≠9.【解析】(1)p∧q:π是无理数且π是实数,真命题;p∨q:π是无理数或π是实数,真命题;p:π不是无理数,假命题.(2)p∧q:2>3且3+6≠9,假命题;p∨q:2>3或3+6≠9,假命题;p:2≤3,真命题.。

空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,==-,所以向量,,是共面向量.2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.【变式训练】与共线是直线AB∥CD的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有与共线.3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( )A.=++B.=++C.=-++D.以上都不对【解析】选B.因为=++,所以3=++,所以-=(-)+(-),所以=+,所以=--,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则( )A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6=+2+3,得(-)=2(-)+3(-),即=2+3.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则( ) A.a∥e1 B.a∥e2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=t e1,所以t e1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )A.2-B.-+2C.-D.-+【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,所以=2-.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【解析】选A.=+=+(-)=+-=-a+b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=λb,即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2,所以⇒所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.答案:否8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,,表示向量,则= .【解析】=++=++(+)=++(-+)=++.答案:++9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=x a+y b+z c,则x+y+z= .【解析】在△OBD中,=+=+-=+-=+--(-)=+-=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.【解析】如图所示,连接AN,则=-=+-=+-(+)=+(-)-(+)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=++.11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足=++.(1)判断,,三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--.所以向量,,共面.(2)由(1)知向量,,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. 【证明】如图,在封闭图形ABNM中,=++, ①在封闭图形CDNM中,=++, ②又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以+=0,+=0,①+②得2=+,即=+,所以向量,,共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )A.+2+2B.-3-2C.+3-2D.+2-3【解析】选 C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0正确;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C 四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )A.=3-2-B.+++=0C.++=0D.=-+【解析】选C.因为++=0,所以=--,所以M与A,B,C必共面.3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )A. B.3 C.3 D.2【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为( )A.1B.0C.3D.【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=m i+n j是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=x i+y j.答案:充要6.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.因为=,=,所以=2,=2.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以=λ=2λ,=μ=2μ.于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:(1)与向量a和c共面.(2)MN∥面A′AB.【证明】(1)显然=k=k b+k c,且=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+k b,=-=(1-k)a+k b-k b-k c=(1-k)a-k c.因此,与向量a和c共面.(2)由(1)知与向量a,c共面,a,c在面A′AB内,而不在面A′AB内,所以MN∥面A′AB.。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修1-2 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·吉林高二检测)i是虚数单位,计算i+i2+i3=( )A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.i+i2+i3=i-1-i=-1.2.(2014·银川高二检测)在如图的知识结构图中:“求函数的导数”的“上位”要素有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由流程图知“求函数的导数”的“上位”要素有:基本导数公式,函数四则运算求导法则,复合函数求导法则.3.(2014·天津高二检测)已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为( )A.1B.-1C.iD.1-i【解析】选B.z===-i,因此虚部为-1.4.如图所示的知识结构图为结构.( )A.树形B.环形C.对称形D.左右形【解析】选A.由框图知,此类框图是树形结构.5.(2014·温州高二检测)复数的共轭复数为( )A.-+iB.+iC.-iD.--i【解析】选D.z====-+i,则其共轭复数为--i.6.下列命题中:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R且a>b,则a+i3>b+i2;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.复数a+bi(a,b∈R).当a=0且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误.在③中,若x=-1,也不是纯虚数,故③错误.a+i3=a-i,b+i2=b-1,复数a-i与实数b-1不能比较大小,故②错误.④正确.故应选D.7.(2014·西安高二检测)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2【解析】选C.若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2;当a2-a-2=0且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得a=2. 综上所述,当a≠-1时,已知的复数不是一个纯虚数.8.下列判断不正确的是( )A.画工序流程图类似于算法的程序框图,首先把每一个工序逐步细化,按自上向下或从左向右的顺序画B.在工序流程图中可以出现循环回路,这一点不同于算法的程序框图C.工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系,且是有方向的指向线D.结构图用来刻画静态的系统结构,流程图用来描述一个动态过程【解析】选B.概念判断题,对于A,算法的程序框图本身就是一种流程图;对于B,显然错误,因循环结构是算法结构中最常见的一类结构,选B;对于C,主要是考查流程线的知识.流程线是具有方向性的指向线.对于D,主要明确结构图与流程图的概念.9.(2014·武汉高二检测)若a,b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.a2-6a+10=(a-3)2+1>0,-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.所以复数对应的点在第四象限,故应选D. 【变式训练】已知z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(m∈R),若复数z对应的点位于复平面上的第二象限,则m的取值范围是.【解析】将复数z变形为z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i,因为复数z对应的点位于复平面上的第二象限,所以解得3<m<5.答案:3<m<510.(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数Ｎ，输出的数列的通项公式是( )A.a n=2nB.a n=2(n－1)C.a n=2nD.a n=2n－1【解题指南】搞清程序的算法功能是解题的关键，解题时按照程序框图的顺序执行求解,特别注意根据判断框中的条件来执行循环体或结束循环.【解析】选C.当S=1,i=1时,执行循环体,a1=2,S=2,i=2,若不满足条件i>N,执行循环体,a2=4,S=4，i=3,若不满足条件i>N,执行循环体,a3=8,S=8，i=4,若不满足条件i>N,执行循环体,a4=16,S=16，i=5,若输入条件N=4，此时满足条件i>N，即输出a4=16，所以a n=2n.11.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x=-或x=2【解析】选A.由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.故应选A.12.(2014·南昌高二检测)已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根,则p+q的值为( )A.22B.36C.38D.42【解析】选C.因为z=-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以有2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即2(9-4-12i)-3p+2pi+q=0得10-24i-3p+2pi+q=0得10+q-3p+(2p-24)i=0.由复数相等得⇒所以p+q=38.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·嘉兴高二检测)某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工.若该工程总时数为9天,则完成工序C需要的天数x最多是.【解析】画出流程图如图:又因为该工程总时数为9天,则由图知完成工序C需要的天数x最多是3.答案:314.若复数z=的实部为3,则z的虚部为.【解析】z===,由条件知,=3,所以a=-1,所以z=3+i,所以z的虚部为1.答案:115.(2014·丽江高二检测)下面是中国移动关于发票的表述:我们在充分考虑您的个性化需求基础上提供了以下几种话费发票方式:后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票、全球通发票(包括简单发票和单一发票).你可以根据你的实际情况选择其中的话费发票方式.试写出关于发票的结构图. 【解析】答案:16.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2,所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1,所以3≤4-cosθ≤5,所以λ∈[3,5].答案:[3,5]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)试画出“推理与证明”这一部分内容的知识结构图.【解析】知识结构图如图:18.(12分)(2014·牡丹江高二检测)计算:(1)(1-i)(1+i).(2)+.【解析】(1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)=2×=-1+i.(2)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1005=-1+i-i=-1.【拓展延伸】复数的运算可以看作多项式的化简,加减看作多项式加减,合并同类项,乘法和除法可看作多项式的乘法和除法.19.(12分)明天小强要参加班里组织的郊游活动,为了做好参加这次郊游的准备工作,他测算了如下数据:整理床铺、收拾携带物品8分钟,洗脸、刷牙7分钟,煮牛奶15分钟,吃早饭10分钟,查公交线路图9分钟,给出差在外的父亲发手机短信6分钟,走到公共汽车站10分钟,等公共汽车10分钟.小强粗略地算了一下,总共需要75分钟,为了赶上7:50的公共汽车,小强决定6:30起床,不幸的是他一下子睡到6:50,请你帮小强安排一下时间,画出一份郊游出行前时间安排流程图,使他还能来得及参加此次郊游.【解析】出行前时间安排流程图如图所示.这样需要60分钟,故可以赶上7:50的公共汽车,并来得及参加此次郊游.20.(12分)(2014·长沙高二检测)(1)求复数z=1+cosα+isinα(π<α<2π)的模.(2)如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,试求自然数m,n.【解析】(1)|z|===-2cos.(2)因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以式子lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,从而有由①得m=0或m=3,当m=0时代入②得n<2.又因为m+n>0,所以n=1;当m=3时代入②得n<-1与n是自然数矛盾,综上可得m=0,n=1.21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设z=x+yi,x,y∈R,因为OA∥BC,|OC|=|BA|,所以k OA=k BC,|z C|=|z B-z A|,即解得或因为|OA|≠|BC|,所以x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.【拓展延伸】数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.22.(12分)(2014·青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2.(2)如图所示,由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆半径)=2+1.【变式训练】已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,所以y=-2.又因为==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,所以x=4.所以z=4-2i,又因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.所以解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).【拓展延伸】复数问题实数化在求复数时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想.。

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新人教A版选修1-2 "
1.给出下列推理:
①由A,B为两个不同的定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|,得点P的轨迹为双曲线;②由a1=1,a n=3n-1(n≥2)求出S1,S2,S3,猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式;③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.其中是归纳推理的是( )
A.①
B.②
C.③
D.①②③
【解析】选B.由归纳推理的定义知只有②为归纳推理.
2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=(底×高)可推知扇形的面积S= . 【解析】扇形的弧长类似于三角形的底边长,扇形的半径相当于三角形的底边上的高,可推测S=l r.
答案:l r
3.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有根;第n个图形中,火柴杆有根.
【解析】第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根,……猜想第n 个图形有(3n+1)根.
答案:13 (3n+1)
4.已知数列{a n}的通项公式a n=(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n),试计算f(1),f(2),f(3)的值,并推测出f(n)的表达式.
【解析】因为a1==,a2=,a3=,
所以f(1)=1-a1=,
f(2)=(1-a1)(1-a2)
=
=×==,
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=××=, 推测f(n)=.。

演绎推理一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b.证明:因为∠A=30°,∠B=60°,所以∠A<∠B.所以a<b.其中,划线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【解析】选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.2.演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )A.一般的原理B.特定的命题C.一般的命题D.定理、公式【解析】选A.演绎推理是根据一般的原理,对特殊情况做出的判断.故其推理的前提是一般的原理.3.(2014·厦门高二检测)“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是( )A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形.故应选B.4.“π是无限不循环小数,所以π是无理数”以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B.π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数,π是无限不循环小数,所以π是无理数,故大前提是无理数都是无限不循环小数.5.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论【解析】选C.这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.6.(2014·郑州高二检测)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则( )A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<【解题指南】应用演绎推理结合不等式进行推理.【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y),所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a),即原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.解得-<a<.二、填空题(每小题4分,共12分)7.以下推理过程省略的大前提为: ______________________________.因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为:若a≥b,则a+c≥b+c. 答案:若a≥b,则a+c≥b+c8.(2014·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,其演绎推理的“三段论”的形式为______________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________.【解析】大前提指的是已知的一般原理,小前提指的是所研究的特殊情况,而结论是根据一般原理,对特殊情况做出的判断,故此处的大前提是一切奇数都不能被2整除,小前提是2100+1是奇数,结论是2100+1不能被2整除,故可用三段论表示为:一切奇数都不能被2整除,…………………………………大前提2100+1是奇数,………………………………………………………小前提所以2100+1不能被2整除.…………………………………………结论答案:一切奇数都不能被2整除,…………………………………大前提2100+1是奇数,………………………………………………………小前提所以2100+1不能被2整除.…………………………………………结论9.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.(1)若a+2=0,显然不成立.(2)若a+2≠0,则所以a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,△ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点M,N分别为AB,AC上的点,过M,N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分.(1)问AM+AN是否为定值?请说明理由.(2)如何设计,方能使四边形BMNC的面积最小?【解析】(1)AM+AN是定值,理由如下,△ABC是斜边为2的等腰直角三角形,所以AB=AC==.因为M,N分别为AB,AC上的点,过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分,所以AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN,所以AM+AN=MB+BC+NC.又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2,所以AM+AN=MB+BC+NC=+1,所以AM+AN为定值.(2)当△AMN的面积最大时,四边形BMNC的面积最小,AM+AN=+1.令AM=x,则AN=+1-x,S△AMN=AM·AN=x(+1-x)=-,当x=时,S△AMN有最大值,四边形BMNC的面积最小,即当AM=AN=时,四边形BMNC的面积最小.11.(2014·西安高二检测)已知y=f(x)在(0,+∞)上有意义,单调递增,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x2)=2f(x).(2)求f(1)的值.(3)若f(x)+f(x+3)≤2,求x的取值范围.【解析】(1)因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).(2)因为f(1)=f(12)=2f(1),所以f(1)=0.(3)因为f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2=2f(2)=f(4),且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以解得0<x≤1.一、选择题(每小题4分,共16分)1.“三角函数是周期函数,y=tanx,x∈是三角函数,所以y=tanx,x∈是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确【解析】选C.y=tanx,x∈只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,所以小前提错误,导致整个推理结论错误.2.在“△ABC中,E,F分别是边AB,AC的中点,则EF∥BC”的推理过程中,大前提是( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边长的一半C.E,F为AB,AC的中点D.EF∥BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理.3.已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令A=,B=,则( )A.A>BB.A<BC.A=BD.A与B的大小不确定【解析】选C.作出函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图所示,要使两个函数有且仅有三个交点,则由图象可知,直线在内与f(x)相切.设切点为P(α,-sinα),当x∈时,f(x)=|sinx|=-sinx,此时f′(x)=-cosx,x∈.所以-cosα=-,即α=tanα,所以=====.即A=B.4.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】选A.根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·长春高二检测)已知sinα=,cosα=,其中α为第二象限角,则m的值为. 【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为第二象限角解决.【解析】由sin2α+cos2α=+==1得m(m-8)=0,所以m=0或m=8.又α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0.所以m=8(m=0舍去)答案:8【误区警示】本题易忽略α为第二象限角这一条件出现两个答案的错误.6.(2013·聊城高二检测)已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2 ②f(m+1,1)=2f(m,1)给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9.(2)f(5,1)=16.(3)f(5,6)=26.其中正确结论为.【解析】由条件可知,因为f(m,n+1)=f(m,n)+2,且f(1,1)=1,所以f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=9.又因为f(m+1,1)=2f(m,1),所以f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1)=23f(2,1)=24f(1,1)=16,所以f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26.故(1)(2)(3)均正确.答案:(1)(2)(3)三、解答题(每小题12分,共24分)7.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.(1)求证:A1B⊥AD.(2)求证:EC∥平面AB1D.【解题指南】(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直.(2)线线平行→线面平行.【证明】(1)连接A1D,DG,BD.因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱, 所以四边形A1ABB1为正方形.所以A1B⊥AB1.因为点D是C1C的中点,所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D=BD.所以点G为A1B与AB1的交点,所以G为A1B的中点.所以A1B⊥DG.又因为DG∩AB1=G,所以A1B⊥平面AB1D.又因为AD⊂平面AB1D,所以A1B⊥AD.(2)连接GE,所以EG∥A1A,所以GE⊥平面ABC.因为DC⊥平面ABC,所以GE∥DC.又因为GE=DC=a,所以四边形GECD为平行四边形.所以EC∥GD.又因为EC⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,所以EC∥平面AB1D.8.(2014·广州高二检测)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=4a n-3n+1,n∈N*.(1)证明数列{a n-n}是等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.(3)证明不等式S n+1≤4S n,对任意n∈N*皆成立.【解析】(1)因为a n+1=4a n-3n+1,所以a n+1-(n+1)=4(a n-n),n∈N*.又a1-1=1,所以数列{a n-n}是首项为1,且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知a n-n=4n-1,于是数列{a n}的通项公式为a n=4n-1+n.所以数列{a n}的前n项和S n=+.(3)对任意的n∈N*,S n+1-4S n=+-4=-(3n2+n-4)≤0.所以不等式S n+1≤4S n,对任意n∈N*皆成立.【变式训练】已知函数f(x)=(x∈R).(1)判定函数f(x)的奇偶性.(2)判定函数f(x)在R上的单调性,并证明.【解析】(1)对任意x∈R有-x∈R,并且f(-x)===-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)方法一:f(x)在R上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈R,并且x1>x2,f(x1)-f(x2)=-==.因为x1>x2,所以>>0,即->0,又因为+1>0,+1>0.所以>0.所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在R上为单调递增函数.方法二:f(x)在R上单调递增,f′(x)=>0, 所以f(x)在R上为单调递增函数.。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第一章统计案例单元质量评估新人教A版选修1-2 "一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.散点图在回归分析过程中的作用是( )A.查找个体个数B.比较个体数据的大小关系C.探究个体分类D.粗略判断变量的相关关系【解析】选D.散点图对相关关系的判断是粗略的,在一定程度上存在着误差.2.下列关于线性回归的说法,不正确的是( )A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图C.线性回归方程最能代表观测值x,y之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程【解析】选D.根据相关关系及散点图等概念知A,B,C均正确.3.(2014·广州高二检测)若身高与体重有关系,则下列选项中可以用来分析此关系的是( )A.残差B.回归分析C.等高条形图D.独立性检验【解析】选B.身高与体重的关系是相关关系,因此可用回归分析来确定其具体的数值关系,而残差分析是用来分析模型拟合效果的,等高条形图和独立性检验是用来判断两个分类变量是否有关的量.4.(2014·泰安高二检测)下列说法正确的个数是( )(1)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变(2)设有一个回归方程=3-5x,变量增加一个单位时y平均增加5个单位(3)在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系A.0B.1C.2D.3【解析】选C.(1)方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据加上或减去同一常数后,方差恒不变,(1)正确.(2)变量x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故(2)错.(3)对照临界值表可得在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为两个变量有关系,即在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系是正确的,故(3)正确.5.(2014·永州高二检测)已知x,y的值如表所示,若y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x+,则a=( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题意可得=×(4+6+8)=6,=(5+a+6),由于回归直线y=x+过点(,),故×(5+a+6)=×6+,解得a=4.【变式训练】已知x与y之间的一组数据如表所示,则y与x的线性回归方程=x+必过点( )A.(2,2)B.C.D.(1,2)【解题指南】回归直线过样本点的中心(,).【解析】选C.由表中数据可计算=(0+1+2+3)=,=(1+3+5+7)=4.因为回归直线过样本中心点(,),所以回归直线过点.6.(2014·铜陵高二检测)如果某地财政收入x(亿元)与支出y(亿元)满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5.如果今年该地区的财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过( ) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元【解题指南】将所给数据代入y=bx+a+e,利用|e|≤0.5,即可求得结论.【解析】选D.由y=0.8x+2+e知当x=10时,y=0.8x+2+e=10+e,因为|e|≤0.5,所以-0.5≤e≤0.5,所以9.5≤y≤10.5,所以今年支出预计不会超过10.5亿元.7.(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【解题指南】根据独立性检验公式分别求出相应的K2,数据大的与性别有关联的可能性大.【解析】选D.()222152852(6221410)K ,2032163620321636⨯-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯()22225211252(4201612)K ,2032163620321636⨯-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯222352(824128)52(128)K ,2032163620321636⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯222452(143062)52(686)K .2032163620321636⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯分析判断K 42最大，所以选D.8.根据如图所示的列联表得到如下四个判断:①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关;②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关;③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%;④没有证据显示患肝病与嗜酒有关.其中正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由K 2=得K 2的观测值k ≈56.632>10.828>6.635,①②均正确,故选B.9.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可以看出( )A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的百分比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的百分比为60%【解析】选C.由条形图可知,女生中喜欢理科的百分比约为1-0.8=0.2=20%,男生中喜欢理科的百分比约为1-0.4=0.6=60%,因此男生比女生喜欢理科的可能性大些.10.(2014·太原高二检测)变量x,y具有线性相关关系,当x取值为16,14,12,8时,通过观测得到y的观测值分别为11,9,8,5,若在实际问题中,y最大取值是10,则x的最大值不能超过( )A.14B.15C.16D.17【解析】选B.根据题意y与x呈正相关关系,由最小二乘法或计算器求得回归系数=-0.857,=0.729,所以线性回归方程为=0.729x-0.857,当=10时得x≈15.11.两个分类变量X和Y可能的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数满足a=10,b=21,c+d=35,若认为X 与Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,则c的值可能等于( )A.4B.5C.6D.7【解题指南】根据条件可知2.706≤k<3.841.再由K2的公式进行估算可得c值.【解析】选B.若认为X和Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,则K2的观测值k所在的范围为2.706≤k<3.841,根据计算公式K2=,其中n=a+b+c+d,及a=10,b=21,c+d=35可估算出c的值,选B.12.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表:根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程=x+的系数=-2.4,则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为( )A.34.6万元B.35.6万元C.36.6万元D.37.6万元【解题指南】先求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,根据所给的的值,写出线性回归方程,把样本中心点代入求出的值,再代入数值进行预测.【解析】选A.==-4,==25,所以这组数据的样本中心点是(-4,25).因为=-2.4,把样本中心点代入线性回归方程得=15.4,所以线性回归方程是=-2.4x+15.4.当x=-8时,y=34.6.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中x的单位是cm,y的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的随机误差是.【解析】因为回归方程为=0.85x-82.71,所以当x=160时,=0.85×160-82.71=53.29,所以针对某个体(160,53)的随机误差是53-53.29=-0.29.答案:-0.2914.为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的线性回归方程:=0.15x-0.2.由线性回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加万元.【解析】因为线性回归方程=0.15x-0.2,y=0.15(x+1)-0.2,所以1y-=0.15(x+1)-0.2-0.15x+0.2=0.15.所以1答案:0.1515.下表是关于男女生喜欢武打剧的调查表:则列联表中A= ,B= ,C= ,D= .【解题指南】依据列联表中数据的关系,进行加减运算即可.【解析】A=105-39=66,B=100-39=61,C=66+34=100,D=105+95=200.答案:66 61 100 200【互动探究】在本题中条件不变的情况下,在犯错误的概率不超过多少时认为性别与喜欢武打剧有关? 【解析】由表中数据可计算得k=≈14.617>10.828.因P(K2≥10.828)=0.001,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与喜欢武打剧有关.16.(2014·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查,y与x具有相关关系,回归方程为=0.66x+1.562,若A城市居民人均消费水平为7.765(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为.【解析】因为y与x具有线性相关关系,满足回归方程=0.66x+1.562,A城市居民人均消费水平为y=7.765,所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765=0.66x+1.562,所以x≈9.4,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.答案:83%三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1月至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率.(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预报当温差为9℃时的种子发芽数.【解题指南】(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有6种,根据等可能事件的概率得出结果.(2)根据所给的数据,先得出x,y的平均数,即得出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程并进行预报.【解析】(1)设抽到不相邻的两组数据为事件A,从5组数据中选取2组数据共有10种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中数据为12月份的日期数,每种情况都是等可能出现的,事件A包括的基本事件有6种,所以P(A)=,所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.(2)由数据,求得=12,=27,由公式,求得=,=-=-3,所以y关于x的线性回归方程为=x-3.由此可以预报当温差为9℃时的种子发芽数为19或20颗.18.(12分)一项关于A、B两国失业情况的抽样调查结果如下:1512个A国人中有130人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过;而2900个B国人中有87人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过.(1)根据以上数据,建立一个2×2列联表.(2)根据表中数据,你能得到什么结论?【解析】(1)列联表如下:(2)K2的观测值k=≈66.595>10.828,P(K2≥10.828)≈0.001,故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否解雇与国家有关.19.(12分)(2013·吉林高二检测)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如下表:利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关?认为两者有关系会犯错误的概率是多少?K2=【解析】由题意知,a=18,b=12,c=5,d=78,所以a+b=30,c+d=83,a+c=23,b+d=90,n=113.所以K2==≈39.6>10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.【变式训练】巴西医生马廷思收集各种犯有贪污、受贿罪的官员和廉洁官员寿命的调查资料:500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命,152人的寿命大于或等于平均寿命;590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命,497人的寿命大于或等于平均寿命.这里,平均寿命是指“当地人均寿命”.试分析官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是否有关系?【解析】根据题意列2×2列联表:由公式计算K2的观测值:k=≈325.635.因为325.635>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们的寿命长短有密切关系.20.(12分)想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录:(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系?(2)若年龄相差5岁,则身高有多大差异?(年龄在3～16岁之间)(3)如果身高相差20cm,其年龄相差多少?【解析】(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点落在一条直线附近.设年龄x(岁)与身高y(cm)之间的回归直线方程是=x+,由公式计算得=≈6.314,=-≈72.003,所以=6.314x+72.003.(2)若年龄相差5岁,则预报变量变化6.314×5=31.57.(3)如果身高相差20cm,年龄相差Δx=≈3.168≈3(岁).21.(12分)某运动员训练次数与训练成绩之间的数据关系如下:(1)在图1坐标系中作出散点图.(2)求出回归方程.(3)在图2中作出残差图.(4)计算相关指数R2.(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.【解析】(1)作出运动员训练次数x与成绩y的散点图,如图所示,由散点图可知,它们之间具有相关关系.(2)列表计算如图所示:所以==≈1.0415,=-=-0.00302,所以回归直线方程为=1.0415x-0.00302.(3)残差分析:下面的表格列出了运动员训练次数和成绩的原始数据以及相应的残差数据.作残差图,如图所示,由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域内,说明选择的模型比较合适.(4)计算相关指数R 2=1-82i i i 182ii 1y y y y ==--∑∑（）（）=0.9855.(5)作出预报:由上述分析可知, 回归直线方程=1.0415x-0.00302.将x=47和x=55分别代入该方程可得=49,=57,故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 22.(12分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:(1)试建立y 与x 之间的回归方程.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于平均值的0.8倍为偏瘦,则这个地区一名身高为175cm、体重为82kg的在校男生的体重是否正常?【解析】(1)根据表格中的数据画出散点图,如图所示.从图可以看出,样本点分布在某条指数型函数曲线y=c1的周围,于是令z=lny,得到x与z的数据如表:根据上表中的数据作出散点图,如图所示.由表中数据可计算得z与x之间的回归方程为=0.693+0.020x,则有=e0.693+0.020x.(2)当x=175时,预测平均体重为=e0.693+0.020×175≈66.22,因为66.22×1.2≈79.46<82,所以这名男生偏胖.。

空间向量的数量积运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )A.60°B.30°C.135°D.45°【解析】选 D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>=1-1··cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=.因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.2.(2014·广州高二检测)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,a·b=-|a||b|.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )A. B. C. D.4【解析】选C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.所以|a+3b|=.4.(2014·青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( )A.8B.C.4D.【解析】选D.cos<a,b>=a ba b=,所以sin<a,b>=,所以平行四边形的面积S=|a||b|sin<a,b>=.5.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6B.6C.12D.144【解析】选C.因为=++,所以=+++2·= 36+36+36+2×36cos60°=144.所以||=12.6.(2014·福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则( )A.m∥nB.m⊥nC.m,n既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能【解析】选B.因为m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,所以m⊥n.【一题多解】选B.由向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0)知向量n与向量a,b共面,故向量m⊥n.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于.【解析】a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-=-13.答案:-139.(2014·聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则<a,b>= .【解析】因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0,化简得m·n=-2.又因为|a==6,|b|= ==3, a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18,所以cos<a,b>=a ba b==1,得<a,b>=0°.答案:0°【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求<a,b>. 【解析】(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,解之得|b|2=2a·b=|a|2,所以cos<a,b>=a ba b=,所以<a,b>=60°.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求·的值.【解析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.·=(-)·=·-·,由于·=·(+)=·=1,·=||·||cos60°=××=1.所以·=0.11.(2014·牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:CC1⊥BD.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直. 【证明】设=a,=b,=c,则|a|=|b|.因为=-=b-a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0,所以⊥,即CC1⊥BD.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=k e1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.由a⊥b,得a·b=0,所以(2e1+3e2)·(k e1-4e2)=0.因为e1·e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014·郑州高二检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||.3.(2014·银川高二检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为( ) A. B.2 C. D.【解析】选D.因为=++,所以|2=(++)2=+++2·+2·+ 2·=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,所以||=.【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=a·a,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.4.(2014·天津高二检测)如图,正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么( )A.·<·B.·=·C.·>·D.·与·不能比较大小【解析】选C.因为·=(+)·(-)=(||2-||2)=0,·=(+)·=·(-)+·=||·||·cos120°-||·||cos120°+||·||cos120°<0.所以·>·.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|+|= ,|-|= ,与所成角为.【解题指南】可先化简+知其等于,再用表示进而把向量-用向量,表示.【解析】|+|=||=2;=,·=2×2×cos60°=2,故|-|2=|-|2=-·+=4-2+×4=3,故|-|=.又因为==(-),故·=·(-)=(·-·)=0,因为0°≤<,>≤180°,所以<,>=90°.答案:2 90°6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°;④正方体的体积为|··|.其中正确命题的序号是.【解析】如图所示,(++)2=(++)2==3;·(-)=·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为||||||.综上可知,①②正确.答案:①②三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:(1)·.(2)(+)·(+).(3)|++|.【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.【解析】(1)因为E,F分别是OA,OC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,于是·=||||cos<,>=||·||cos<,>=×1×1×cos<,>=×1×1×cos60°=.(2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+·-2·+·+-2·=1+-2×++1-2×=1.(3)|++|===.【拓展延伸】利用图形找关系在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.8.(2014·济南高二检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,计算<,>.(2)设与的夹角为,求||.【解析】(1)=+,=+.因为BB1⊥平面ABC,所以·=0,·=0.又△ABC为正三角形,所以<,>=π-<,>=π-=.因为·=(+)·(+)=·+·++·=||·||·cos<,>+=-1+1=0,所以<,>=90°.(2)结合(1)知·=||·||·cos<,>+=-1.又||===||,所以cos<,>==,所以||=2.【变式训练】如图所示,已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.【解析】因为点F是BC的中点,所以=(+).所以=-=(+)-=(+-).又||=||=|-|,所以=-2·+①,同理==-2·+. ②由①代入②可得=-2·+-2·+, 所以2-2·(+)=0,所以·(+-)=0.所以·(+-)=0.所以·=0,⊥.同理可得⊥,所以EF是AD与BC的公垂线.。

反证法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·合肥高二检测)用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是( )A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则( )A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于.3.(2014·唐山高二检测)(1)已知:p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知:a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确【解析】选D.(1)错,应假设为p+q>2.(2)假设正确.故选D.4.(2014·杭州高二检测)设a,b,c大于0,则3个数:a+,b+,c+的值( )A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】因为三个数的和不小于6,可以判断三个数至少有一个不小于2,所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+,b+,c+都小于2,即a+<2,b+<2,c+<2,所以++<6,又a>0,b>0,c>0,所以++=++≥2+2+2=6.这与假设矛盾,所以假设不成立.【变式训练】已知x1>0,且x1≠1,且x n+1=(n=1,2,3…).试证:数列{x n}对任意正整数n都满足x n<x n+1,或者对任意正整数n都满足x n>x n+1.当此题用反证法否定结论时,应为( )A.对任意的正整数n,都有x n=x n+1B.存在正整数n,使得x n=x n+1C.存在正整数n,使x n≥x n-1且x n≥x n+1D.存在正整数n,使得(x n-x n-1)(x n-x n+1)≥0【解析】选B.对于数列中的连续两项来说,要么不相等,要么相等.5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然,充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个为负,不妨设P<0,Q<0,R>0,因为P<0,Q<0,即a+b<c,b+c<a,所以a+b+b+c<c+a,即b<0,这与b>0矛盾,所以P,Q,R同时大于零,故选C.6.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD(点D在BC上),则∠ADB+∠ADC=π,若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案:没有一个是三角形或四边形或五边形8.(2014·石家庄高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故②不能推出.若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故④不能推出.对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为__________.【解析】由反证法证明的步骤知,先反设即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.答案:③①②三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013·南阳高二检测)已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【解题指南】反证法来证明正难则反的运用,先否定结论,假设a,b,c,d都是非负数,然后推出矛盾来得到证明.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.【拓展提升】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论的命题等.11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知,求证,本题证明时应分两种情况,即点P在平面α内和点P 在平面α外.【证明】已知:平面α和一点P.求证:过点P与平面α垂直的直线只有一条.证明:如图所示,不论点P在α内或α外,设PA⊥α,垂足为A(或P).假设过点P还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·济宁高二检测)用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是( )A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.假设结论的反面成立,+不是无理数,则+是有理数.2.(2014·潍坊高二检测)否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.3.已知直线a,b为异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数,且a>b),那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是( )A.0B.1C.2D.无穷多个【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,推理得出矛盾.【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,则有an+2=bn+1,得到(a-b)n=-1,这样的n是不存在的,故假设不成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·郑州高二检测)若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a 的取值范围是.【解析】假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}6.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数,把a1-1,a2-2,…,a7-7相加,利用a1+a2+…+a7=1+2+…+7可推出矛盾.【解析】据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·临沂高二检测)已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于.因为0<a<1,0<b<1,所以1-a>0.由基本不等式,得≥>=.同理,>,>.将这三个不等式两边分别相加,得++>++,即>,这是不成立的,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.8.(2014·温州高二检测)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n.证明数列{c n}不是等比数列. 【解题指南】假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.【证明】假设数列{c n}是等比数列,则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1). ①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n(+),即2=+②.当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等. 【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾,从而假设不成立,原命题成立.。

四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( )A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是( )A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( )A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1<m<2,所以实数m的取值范围为1<m<2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m>2时,Δ<0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m>0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m>1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m>1.答案:m>1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0<m<1.答案:0<m<1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2, 所以p+q<p-p2=-+≤,所以p+q<.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c>b>a,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b>a>c,同理由命题q为真可得:a>c>b或b>a>c,又命题p与q均为真,可得b>a>c.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学综合质量评估新人教A版选修1-2 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·东莞高二检测)若复数z=a+i的实部与虚部相等,则实数a=( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.复数z=a+i的实部为a,虚部为1,则a=1.2.变量y与x之间的回归方程=bx+a( )A.表示y与x之间的函数关系B.表示y与x之间的确定关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合【解析】选D.回归方程是表示y与x具有相关关系,相关关系是一种非确定性关系,而回归方程是由最小二乘法求得的,它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合.3.(2014·上海高二检测)计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( )【解析】选D.由于CPU、存储器属于硬件,故由元素间的从属关系知D正确.4.(2014·天津高二检测)观察下图,可推断出“x”应该填的数字是( )A.171B.183C.205D.268【解析】选B.由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,即12+32+42+62=62,22+42+52+82=109,所以“x”处该填的数字是32+52+72+102=183.5.求证:+>.证明:因为+和都是正数,所以为了证明+>,只需证明(+)2>()2,展开得5+2>5,即2>0,显然成立,所以不等式+>成立.上述证明过程应用了( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证明法【解析】选B.综合法是从已知到结论,分析法是从结论到已知,故B正确.6.对于复数a+bi(a,b∈R),下列结论正确的是( )A.a=0⇔a+bi为纯虚数B.b=0⇔a+bi为实数C.a+(b-1)i=3+2i⇔a=3,b=-3D.-1的平方等于i【解析】选B.a=0且b≠0时,a+bi为纯虚数,A错误,B正确.a+(b-1)i=3+2i⇒a=3,b=3,C错误.(-1)2=1,D 错误.故应选B.7.(2014·绍兴高二检测)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人D.在数列中,a1=1,a n=,由此归纳出的通项公式【解析】选A.演绎推理三段论由大前提——小前提——结论组成,而A满足这一结构,B为类比推理,C,D为归纳推理.【变式训练】命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误【解析】选C.由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.【拓展延伸】应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提、小前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.8.(2014·福州高二检测)若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)之间满足y i=a+bx i+e i(i=1,2,…,n),若e i 恒为0,则R2等于( )A.0B.1C.0<R2<1D.1.5【解析】选B.由于e i恒为0,即解释变量对预报变量的贡献率为100%,此时两变量间的相关指数R2=1. 9.(2014·西宁高二检测)如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )A.26B.24C.20D.19【解析】选 D.单位时间内传递的路线主要有(1)A-D-C-B最大信息量为3;(2)A-D-E-B最大信息量为4;(3)A-G-F-B最大信息量为6;(4)A-G-H-B最大信息量为6,所以单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.10.(2014·济宁高二检测)已知z1,z2,z3∈C,下列结论正确的是( )A.若++=0,则z1=z2=z3=0B.若++>0,则+>-C.若+>-,则++>0D.若=-z1,则z1为纯虚数【解析】选 C.复数与实数的性质有很大的不同,如A,B在实数范围内都正确,但在复数范围内不一定,如02+12+i2=0,说明A错误,如(2+i)2+12+(2-i)2>0成立,但(2+i)2+12>-(2-i)2就是错误的,即B错误,C是正确的,+>-,说明+与-都是实数,当然能得到++>0,故C正确,而对D来讲,z1=0是满足题设条件的,但z1不是虚数,D错误.11.(2014·临沂高二检测)对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,3,…,8),其回归直线方程是y=x+a且x1+x2+…+x8=3(y1+y2+…+y8)=6.则实数a的值是( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意==,=,由于(,)在回归直线y=x+a上,所以a=-=.12.(2014·天津高二检测)若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:①x2-y2=1;②y=x2-|x|;③y=3sinx+4cosx;④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】选B.①x2-y2=1是一个等轴双曲线,没有“自公切线”.②y=x2-|x|=在x=和x=-处的切线都是y=-,故②有“自公切线”.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=,sinφ=,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有“自公切线”.④由于|x|+1=,即x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此曲线没有“自公切线”.故答案为B.【拓展延伸】演绎推理的主要出题模式一般是给出一个一般原理,然后应用这一原理,如本题主要先理解什么叫“自公切线”,然后分别判断所给方程对应曲线是否满足这一原理,进而选择出正确的结论.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.下图为有关函数的结构图,由图我们可知基本初等函数包括.【解析】基本初等函数的下位要素为指数函数,对数函数,幂函数.答案:指数函数,对数函数,幂函数14.(2014·长沙高二检测)已知一个回归方程为=1.5x+4.5,x∈{1,5,7,13,19},则= .【解析】=9,所以=1.5×9+4.5=18.答案:1815.若t∈R,t≠-1,t≠0,复数z=+i的模的取值范围是.【解析】|z|2=+≥2·=2.所以|z|≥.答案:[,+∞)16.(2014·泰安高二检测)若集合A1,A2,…,A n满足A1∪A2∪…∪A n=A,则称A1,A2,…,A n为集合A的一种拆分.已知:①当A1∪A2={a1,a2,a3}时,有33种拆分;②当A1∪A2∪A3={a1,a2,a3,a4}时,有74种拆分;③当A1∪A2∪A3∪A4={a1,a2,a3,a4,a5}时,有155种拆分;……由以上结论,推测出一般结论:当A1∪A2∪…∪A n={a1,a2,a3,…}时,有种拆分.【解析】因为当有两个集合时,33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有三个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有四个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此可以归纳当有n个集合时,有(2n-1)n+1种拆分.答案:(2n-1)n+1【变式训练】已知=2·,=3·,=4·,….若=8·(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则a+t= .【解析】因为=2·,=3·,=4·,由类比推理得:=5·,=6,=7,=8,所以a=8,t=63,所以a+t=71.答案:71三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围.【解析】z=====1-i.因为ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i,所以===.所以=≤,所以a2-2a-2≤0,所以1-≤a≤1+.故a的取值范围是[1-,1+].18.(12分)(2014·黄山高二检测)小流域综合治理可以有三个措施:工程措施、生物措施和农业技术措施.其中,工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉,其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土.生物措施包括栽种乔木、灌木和草木,其功能是蓄水保土和发展多种经营;农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种,地膜覆盖和轮作套种,其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热. 用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来.【解析】19.(12分)某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”影响的试验,其中甲班为试验班(实施了数学学前教育),乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学,但没有实施数学学前教育),在期末测试后得到如下数据:优秀人数非优秀人数总计甲班30 20 50乙班25 25 50总计55 45 100能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用?【解析】因为K2===≈1.010<6.635,所以,在犯错误的概率不超过0.01的前提下,不能认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用.20.(12分)画出“数列”一章的知识结构图.【解析】如图所示.21.(12分)已知正数a,b,c,d满足a+b=c+d,且a<c≤d<b,求证:+<+.【证明】要证明+<+,需证明(+)2<(+)2,需证明a+b+2<c+d+2,因为a+b=c+d,所以只需证明ab<cd,需证明ab-bc<cd-bc,需证明b(a-c)<c(d-b),考虑a+b=c+d,即a-c=d-b,需证明(a-c)(b-c)<0,考虑a-c<0,需证明b-c>0,而b-c>0显然成立,所以+<+成立.22.(12分)(2014·烟台高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,a n>0,a1=,且-,,成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列{b n}满足b n·log3(1-S n+1)=1,求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值.【解析】(1)设数列{a n}的公比为q,由-,,成等差数列,得-3+=,解得q=或q=-1(舍),所以a n=2×.(2)因S n+1==1-,得log3(1-S n+1)=log3=-n-1,所以b n=-,b n b n+1==-,b1b2+b2b3+…+b n b n+1=-+-+…+-=-,由题意得-=,解得n=100.。