对称轴1
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13.1.1轴对称教案一、教学内容本节课我们将学习人教版初中数学七年级上册第十三章“轴对称”的第一节内容,即13.1.1轴对称。
具体内容包括:理解轴对称的概念,掌握轴对称的性质和判定方法,以及应用轴对称解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生理解轴对称的概念,掌握轴对称的性质,能识别并绘制轴对称图形。
2. 培养学生运用轴对称的性质解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象力和创新意识。
三、教学难点与重点教学难点:轴对称的性质及其应用。
教学重点:轴对称的概念、性质和判定方法。
四、教具与学具准备教具:多媒体教学设备、黑板、粉笔、尺子、圆规。
学具:练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入(1)展示一组轴对称的图片,如剪纸、建筑等,让学生观察并思考它们的特点。
(2)邀请学生分享观察到的特点,引导学生发现轴对称的概念。
2. 新课导入(1)讲解轴对称的定义,让学生明确轴对称的含义。
(2)通过实例讲解轴对称的性质,如对称轴、对称点等。
3. 例题讲解(1)找出给定图形的对称轴,并标出对称点。
(2)判断给定图形是否为轴对称图形,并说明理由。
4. 随堂练习(1)绘制给定图形的轴对称图形。
(2)运用轴对称的性质解决实际问题。
5. 小结六、板书设计1. 轴对称的概念2. 轴对称的性质3. 轴对称的判定方法4. 轴对称的应用七、作业设计1. 作业题目:2. 答案:(1)对称轴:_______;对称点:_______。
(2)是否为轴对称图形:_______;理由:_______。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生掌握轴对称的概念、性质和判定方法的情况,对实际问题的解决能力。
2. 拓展延伸:(1)探索轴对称与中心对称的关系。
(2)运用轴对称设计美丽的图案。
(3)研究轴对称在生活中的应用,如建筑、艺术等。
重点和难点解析1. 轴对称的概念及其性质的理解。
2. 轴对称图形的判定方法。
3. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解。
小学数学轴对称知识点总结(一)轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.2、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
(对称轴必须是直线)3、对称点:折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
4、轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。
(二)、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别:轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.联系:1:都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形,反之亦然。
(三)线段的垂直平分线(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线).(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.(证明是必须有两个点)因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.(四)用坐标表示轴对称点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
关于谁谁不变,关于原点都相反(五)等腰三角形等腰三角形性质:性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
第九讲轴对称图形及其性质(一)知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.注意:轴对称图形的对称轴可能只有一条,也可能有多条甚至无数条.2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.注意:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,沿对称轴折叠后,重合的点是对应点,叫做对称点.类似地,重合的线段是对应线段,重合的角是对应角.知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法:先确定图形的两个对应点,再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线,这条直线就是它的对称轴.2、已知对称轴,求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法:(1)先观察已知图形,并确定能代表已知图形的关键点;(2)分别作出这些关键点关于对称轴的对应点;(3)根据已知图形连接这些对应点,即可得到与已知图形成轴对称的图形.经典例题【例1】选择题(1)如图,ABC∠度数为()C∠=︒,则B'∠=︒,20∆与△A B C'''关于直线l对称,若50AA.110︒B.70︒C.90︒D.30︒【解析】A.(2)下列说法:①线段的对称轴有两条;②角是轴对称图形,对称轴是它的角平分线;③两个全等的等边三角形一定成轴对称;④两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线两侧;⑤到直线L距离相等的点关于L对称.其中说法不正确的有()A.3个B.2个C.1个D.4个【解析】D.【例2】如图,AOB∠=︒,BOD ∆与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称,AO的延长线交BC于点D.若46∠=︒.∠=︒,则ADCC22【解析】AOB与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称,∆∴∆≅∆,AOB COB∠=∠,∴∠=∠=︒,ABO CBO22A C,∠=∠+∠BOD A ABO∴∠=︒-︒=︒,462224ABO∴∠=∠=︒,ABD ABO248∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,ADC A ABD224870故答案为:70.【例3】如图,在Rt ABCBC=,AD平分CABAC=,4∠交BC于D点,E,F分ACB∠=︒,3∆中,90别是AD,AC上的动点,求CE EF+的最小值.【解析】在AB上取一点G,使AG AF==∠=∠CAD BAD,AE AE∴∆≅∆()AEF AEG SAS∴=FE EG∴+=+CE EF CE EG则最小值时CG垂直AB时,CG的长度12CG=5【例4】如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.A B C;(1)在图中画出与ABC∆关于直线l成轴对称的△111(2)利用网格线在直线l上求作一点P,使得PA PC+最小,请在直线l上标出点P位置.A B C即为所求作.【解析】解:(1)如图,△111(2)如图,点P即为所求作.【例5】如图,在ABCBC cm==,8=,AB的垂直平分线交AB于点M,交AC于点N,∆中,10AB AC cm在直线MN上存在一点P,使P、B、C三点构成的PBC∆的周长最小值.∆的周长最小,求PBC【解析】如图,连接PA.=++,8=,BC cm的周长BC PB PC∆PBC∴+的值最小时,PBC∆的周长最小,PB PC垂直平分线段AB,MN∴=,PA PB,∴+=+=PB PC PA PC AC cm10∴+的最小值为10cm,PB PC∴∆的周长的最小值为18cm.PBC故答案为18cm【例6】在等边ABC∆中,点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且=,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM,求证:PA PM=.AP AQ【解析】证明:AP AQ,=∴∠=∠,APQ AQP∆是等边三角形,ABC∴∠=∠,B C∠=∠+∠,,AQP C CAQ∠=∠+∠APQ B BAP∴∠=∠,BAP CAQ点Q关于直线AC的对称点为M,∴=,QAC MAC∠=∠,AQ AM∠=∠,BAP CAQ∴∠=∠,MAC BAP∴∠+∠=∠+∠=︒,BAP PAC MAC CAP60∴∠=︒,PAM60=,AP AQ∴=,AP AM∴∆是等边三角形APM∴=.AP PM配套练习1、如图,ABC ∆与DEF ∆关于直线l 对称,BE 交l 于点O ,则下列说法不一定正确的是()A .AC DF=B .BO EO =C .AD l ⊥D .//AB EF【解析】D .2、在44⨯的正方形网格中,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,在图中画出与ABC ∆关于某条直线对称的格点三角形,最多能画()个.A .5B .6C .7D .8【解析】C .3、如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后,B 、D 两点落在B '、D '点处,若得70AOB ∠'=︒,则B OG ∠'的度数为.【解析】根据轴对称的性质得:B OG BOG∠'=∠又70AOB ∠'=︒,可得110B OG BOG ∠'+∠=︒1110552B OG ∴∠'=⨯︒=︒.4、如图,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6BC =,8AC =,10AB =,动点P 在边AB 上运动(不与端点重合),点P 关于直线AC ,BC 对称的点分别为1P ,2P .则在点P 的运动过程中,线段12P P 的长的最小值是.【解析】如图,连接CP ,点P 关于直线AC ,BC 对称的点分别为1P ,2P ,12PC PC P C ∴==,∴线段12P P 的长等于2CP ,如图所示,当CP AB ⊥时,CP 的长最小,此时线段12P P 的长最小,90ACB ∠=︒ ,6BC =,8AC =,10AB =,4.8AC BC CP AB⨯∴==,∴线段12P P 的长的最小值是9.6,故答案为:9.6.5、如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题:(用直尺画图)(1)画出格点ABC ∆(顶点均在格点上)关于直线DE 对称的△111A B C ;(2)在DE 上画出点P ,使1PB PC +最小;(3)在DE 上画出点Q ,使1||QB QC -最大.A B C即为所求作.【解析】(1)如图,△111(2)如图,点P即为所求作.(3)如图点Q即为所求作.。
对称(1)、知识框架(2)、知识概念1.对称轴:如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.性质:(1)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
(6)角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合(7)到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上3.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。
5.等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)6.等边三角形角的特点:三个内角相等,等于60°,7.等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
8.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
10.定理①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上②关于某条直线对称的两个图形是全等形③线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合④两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上⑤如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分则这两个图形关于这条直线对称。
轴对称图形一.定义如果把一个图形沿着一条直线翻折过来,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。
比如说圆、正方形等。
轴对称图形是指某个图形可以根据一条射线对折,而且对折起来时重合的。
可见,轴对称图形是指一个图形。
轴对称图形可以有一条,二条,多条对称轴。
而成轴对称,是指某图形和另一图形可以重合,相当于这两个图形全等。
所以呢,成轴对称是指两个图形之间存在的一种关系。
成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
如下图:二.举例例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形只有一条对称轴,有的有二条或二条以上对称轴,圆有无数条对称轴,都是经过圆心的直线。
但不管哪一种轴对称图形,最少有一条对称轴。
要特别注意线段,有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。
三.性质1.对称轴是一条直线。
2.垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线,或中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
3.在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
(从直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫点到直线的距离)4.在轴对称图形中,沿对称轴将它对折,左右两边完全重合。
5.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线6.图形对称四.定理及其逆定理定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(全等形不一定关于某条直线对称)。
全等形定义:在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。
(或者可以表述为关于某条直线对称的两个图形是全等形)定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。
定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,五.画轴对称图形的方法1、找出所给图形的关键点。
轴对称是什么意思
轴对称的意思如下:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,称这两个图形轴对称。
这条直线称为对称轴。
如果两个图形关于某直线成轴对称,那么对应点的连线被对称轴垂直平分。
轴对称的性质是:
1、对称轴是一条直线。
2、在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离
相等。
3、在轴对称图形中,沿对称轴将它对折,左右两边完全重合。
4、如果两个图形关于某条直线对称,那么这条直线就是对称轴
且对称轴垂直平分对称点所连线段。
5、图形对称。