专题四 第2讲椭圆双曲线抛物线

(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点 M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线AB过F(1,0)， 依题意可设其方程x＝ty＋1(t≠0)， 由xy＝ 2＝ty4＋x，1， 得 y2－4ty－4＝0. 因为Δ＝16t2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4t，则有x1＋x2＝(ty1＋1)＋(ty2＋1)＝4t2＋2. 因为D是AB的中点， 所以D(2t2＋1,2t). 由抛物线的定义得|AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4t2＋4， 设圆D与l：x＝m相切于M， 因为DM⊥l，即DM⊥y轴，
A.y2＝9x
B.y2＝6x
√C.y2＝3x
D.y2＝ 3x
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于 点G. 设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a， 由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中， ∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3.
①
又x320＋by022＝1，所以 y20＝b21－x320，
②
由①②解得b2＝2.
所以 C 的方程为x32＋y22＝1.
(2)P 是双曲线x32－y42＝1 的右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2
的内切圆的圆心横坐标为
√A. 3
B.2
C. 7
D.3
解析 如图所示，F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，
跟踪演练 2 (1)(2019·浙江省宁波市镇海中学模拟)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
的左、右焦点分别为 F1，F2，B，A 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 O 对称
的两点，且直线 AB 的斜率为 2 2，M，N 分别为 AF2，BF2 的中点，若原点 O 在以线
段 MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为
c2－2
3
2c2＝3c，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝ 3a， ∴渐近线方程为 y＝± 3x.
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x) 得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标. (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.
D.y＝±4x
解析 由题意可设渐近线方程为 y＝bax， 则直线 l 的斜率 kl＝－ab， 直线 l 的方程为 y＝－abx－23a， 整理可得 ax＋by－23a2＝0. 焦点(c,0)到直线 l 的距离 d＝aca－2＋23ab22＝ac－c23a2，
方法一 则弦长为 2 c2－d2＝2
c2－ac－c223a22＝4 3 2c，
例3 (2019·浙江宁波中学模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中， 圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，则P到圆F上的点 的最小距离等于它到y轴的距离，记P的轨迹为E. (1)求E的方程；
解 设P(x，y)，依题意x＞0， 因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|－1. 依题意得，点P到圆F(1,0)的距离|PF|等于P到直线x＝－1的距离， 所以P在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上. 所以E的方程为y2＝4x(x＞0).
|DM|＝12|AB|＝12(4t2＋4)＝2t2＋2>2t2＋1， 所以m<0，解得m＝－1， 设N(x0，y0)，则y0＝2t， 且(2t)2＝4x0，所以x0＝t2， 因为2t2＋1＋2 －1＝t2，所以 N 为 DM 的中点，
所以S△AMD＝2S△AMN， 又因为D为AB的中点， S△AMB＝2S△AMD， 所以S△AMB＝4S△AMN.
思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系， 设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法” 求解.
跟踪演练 3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心 率为12，其右顶点 A 到上顶点的距离为 7，过点 A 的直线 l：y＝k(x－a)(k＜0)与椭 圆 E 交于另一点 B，点 C 为 y 轴上一点.
A. 3
B. 6
√C. 6＋ 3
D. 6－ 2
解析 由已知可得，|OH|＝|M2N|＝|A4B|＝2c⇒|AB|＝2c，
y＝2 2x， x2b2－a2y2－a2b2＝0
⇒x＝±
b2a－2b82a2，
所以|AB|＝ 1＋8·2 b2a－2b82a2＝2c，
18a2c2－9a4＝c4⇒18e2－9＝e4⇒e2＝9＋6 2⇒e＝ 6＋ 3.
cos∠F1AF＝－cos∠AFB＝－13， 设|AF1|＝m，|AF|＝n，在△AF1F中， 由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mncos∠F1AF，
又 m＋n＝2a，所以43mn＝4a2－4c2，即 mn＝3b2，
联立直线 y＝bax 与椭圆ax22＋by22＝1，
得
A
22a，
22b，B－
7＜e＜2＋3
7 .
又因为离心率 e>1，所以 1＜e＜2＋3 7，故选 A.
(2)(2019·温州模拟)已知 F 是椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点，直线 y＝bax 交椭圆于
A，B
两点，若
cos∠AFB＝13，则椭圆
C
25 的离心率是____5____.
解析 设椭圆的左焦点为F1，由对称性可知，
√C.x32＋y22＝1
D.x32＋y2＝1
解析 由△AF1B 的周长为 4 3，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4 3，
解得 a＝ 3，则 M－ 3，0，N( 3，0). 设点 A(x0，y0)(x0≠± 3)， 由直线 AM 与 AN 的斜率之积为－23，
可得x0＋y0 3·x0－y0 3＝－23，即 y20＝－23(x20－3)，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得e－1e－2e2＋3e－2＝0.
又双曲线的离心率e>1， 则 e＝ac＝2， ∴ba＝ c2－a2a2＝ ac2－1＝ 3，
∴双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x.
方法二 圆心到直线 l 的距离为 ∴ac－c 23a2＝3c，
(1)求椭圆E的标准方程；
解 由题意可知，椭圆 E 的离心率 e＝ac＝12， a2＋b2＝ 7，a2＝b2＋c2，
所以ba22＝ ＝34， ， 所以椭圆 E 的标准方程为x42＋y32＝1.
(2)若△ABC是等边三角形，求直线l的方程.
解 设AB的中点为M(x0，y0)，连接CM， 则由△ABC 为等边三角形可知 MC⊥AB，且|MC|＝ 23|AB|.
例 1 (1)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，左、右顶点为 M，
N，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点(异于 M，N)，△AF1B N 的斜率之积为－23，则 C 的方程为
A.1x22 ＋y82＝1
B.1x22 ＋y42＝1
解析 因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，
则不妨设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝±2 2x，
即ba＝2 2，
①
又因为a2＋b2＝32，
②
联立①②，解得 a＝1，b＝2 2， 所以双曲线的方程为 x2－y82＝1，设双曲线的左焦点为 F′， 则△FMN 的周长为|NF|＋|MN|＋|MF|＝|NF|＋|MN|＋2a＋|MF′|≥|NF|＋2a＋|NF′|＝
例 2 (1)已知双曲线 M：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，F1F2＝2c. 若双曲线 M 的右支上存在点 P，使sin∠aPF1F2＝sin∠3PcF2F1，则双曲线 M 的离心率的
取值范围为
√A.1，2＋3
7
C.(1,2)
B.1，2＋3
7
D.1，2
板块二 专题四 解析几何
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 热点二 圆锥曲线的几何性质 热点三 直线与圆锥曲线
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴；所谓“计算”，就是指利用待 定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
设内切圆与x轴的切点是H，与PF1，PF2的切点分别为M，N，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2 3，
由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H|，
故|MF1|－|NF2|＝2 3， 即|HF1|－|HF2|＝2 3，
设内切圆的圆心横坐标为x，即点H的横坐标为x，
解析 根据正弦定理可知ssiinn∠ ∠PPFF12FF21＝||PPFF21||， 所以||PPFF21||＝3ac，即|PF2|＝3ac|PF1|， PF1－PF2＝2a， 所以1－3acPF1＝2a，解得PF1＝36c－aca， 而PF1>a＋c，即36c－aca>a＋c，
整理得 3e2－4e－1＜0，解得2－3
故(x＋ 7)－( 7－x)＝2 3， ∴x＝ 3.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦 点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式. (2)求圆锥曲线方程的基本方法是待定系数法，可结合草图确定.
跟踪演练1 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B， 交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为
2|NF|＋2a＝6 5＋2， 当且仅当点 M 为直线 NF′与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以△FMN 周长的
最小值为 6 5＋2.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝ 1－ba2. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ba2. 2.双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的 关系.
22a，－
22b，
则|AB|＝ 2a2＋2b2；
又在△AFB中，由余弦定理可得
2a2＋2b2＝m2＋n2－2mncos∠AFB＝(m＋n)2－83mn， 得到 mn＝34a2－34b2，
所以有 3b2＝34a2－34b2，
即a2＝5b2＝b2＋4b2，c2＝4b2，
所以
e＝ac＝2 5
5 .
思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给 出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方 程或不等式求得离心率的值或取值范围.
(2)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点23a，0且与双曲线 C
的一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M，
N 两点，若|MN|＝432c，则双曲线 C 的渐近线方程为
A.y＝± 2x
√B.y＝± 3x
C.y＝±2x
∴p＝|FG|＝12|FC|＝32，
∴抛物线方程为y2＝3x.
(2)已知双曲线 C 的渐近线方程是 y＝±2 2x，右焦点为 F(3,0)，则双曲线 C 的方程 为_x_2_－__y8_2＝__1__，若点 N(0,6)，M 是双曲线 C 的左支上一点，则△FMN 周长的最小
值为_6___5_＋__2_.