二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题单元测试 Word版 含答案

配餐作业(三十七)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(时间：40分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1，
则p 是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A 。

答案 A
2．若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a
的整点(x ，y )恰有9个，其中整
点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点。

故选C 。

答案 C
3．(2017·郑州模拟)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为
( )
A.11
5 B ．2 C.95
D ．1
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0。

结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1,0)。

又点(1,0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为2。

故选B 。

答案 B
4．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )
A ．－4
B ．6
C ．10
D ．17
解析 解法1：如图，已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，
2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，
所表示
的平面区域为图中所示的三角形区域ABC (包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)。

根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z
5过点B (3,0)时，z 取得最小值2×3＋5×0＝6。

故选B 。

解法2：由题意知，约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，
所表示的平面
区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)。

将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6。

故选B 。

答案 B
5．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，x ＋3y ≤4，
x ≥m 时，z ＝x －3y 的最
大值为8，则实数m 的值是( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
解析 画出可行域，如图中阴影所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z
3，当直线过点C 时，z 取到最大值，
又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4。

故选A 。

答案 A
6．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影。

由区域⎩⎪⎨⎪⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中的点在直线
x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )
A ．2 2
B ．4
C ．3 2
D ．6
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过
点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝32。

故选C 。

答案 C
7．(2016·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－1，x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，
若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1}
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示。

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3，故选B 。

答案 B
8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3
x ＋1
的取值范
围是( )
A ．[1,5]
B ．[2,6]
C ．[2,10]
D ．[3,11]
解析 画出可行域如图阴影部分所示，设z ＝
x ＋2y ＋3x ＋1
＝
x ＋1＋2(y ＋1)x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1
x ＋1，则z ′的几何意义为可行
域内的动点P (x ，y )与定点D (－1，－1)连线的斜率。

则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]，故选D 。

答案 D 二、填空题
9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝
3x －y 的最大值为________。

解析 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，
∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4。

答案 4
10．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，则x 2
＋y 2的取值范围是________。

解析 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示。

因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25
，所以(x 2＋y 2
)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大
值13，故x 2
＋y 2
的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4
5，13。

答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
45，13
11．设实数x ，y
满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，
x ≤2，
则y －1
x ＋3
的取值范围是________。

解析
作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，
x ≤2，
表示的可行域如图中阴
影部分所示，从图可看出，y －1
x ＋3表示可行域内的点与点A (－3,1)连线
的斜率，其最大值为k AD ＝6－12＋3＝1，最小值为k AC ＝0－12＋3
＝－1
5。

答案 ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－15，1
12．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
|x |＋|y |≤1，
xy ≥0，
则2x ＋y 的
取值范围为________。

解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]。

答案 [－
2,2]
(时间：20分钟)
1．(2017·沈阳模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，
x ≤2，则z ＝|x －y |
的最大值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析 依题意画出可行域如图阴影部分所示，
令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B 。

答案 B
2．(2016·皖江名校联考)已知实数x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0，
若目标函数z ＝ax ＋by ＋5(a >0，b >0)的最小值
为2，则2a ＋3
b 的最小值为( )
A.8＋2143
B.4＋263
C.9＋2153
D.10＋463
解析 作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z ＝ax ＋by ＋5(a >0，b >0)进行变形，可得y ＝－a b x ＋z b －5
b ，所以斜
率为负数，联立⎩⎨
⎧
2x －y ＋2＝0，
x －2y －2＝0，
求出交点A 的坐标为(－2，－2)，
当目标函数z ＝ax ＋by ＋5(a >0，b >0)过点A 时，取得最小值，得a ＋b ＝32，所以2a ＋3b ＝2
3(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋3a b ≥10＋463，当且仅当3a ＝2b 时，取等号，故选D 。

答案 D
3．某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不
超过12千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
解析 设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得的利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤12，
2x ＋y ≤12，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N ，画可行域如图中阴影部分所示，
目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x ＋z 400，这是随z 变化
的一族平行直线，解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，所以⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝4，即A (4,4)。

所以z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)。

故选C 。

答案 C
4．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3，表示的平面区域内的任意一
点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP
→＝λm ＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________。

解析 首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域如图所示。

设点P (x ，y )，然后由m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，且OP
→＝λm ＋μn 得⎩⎨⎧ x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，所以⎩⎨⎧ μ＝x －y ，λ＝－x ＋2y ，所以令z ＝2λ＋μ＝(－x ＋2y )×2＋(x －y )＝－x ＋3y ，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，即z max ＝(2λ＋μ)max ＝－1＋3×2＝5。

答案 5。