2023年辽宁省朝阳重点中学中考数学一模试卷(含解析)

2023年辽宁省朝阳重点中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 3的倒数是( )
A. −3
B. 3
C. −3
3D. 3
3
2. 下列图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 计算：2x⋅(−3x2y3)=( )
A. 6x3y3
B. −6x2y3
C. −6x3y3
D. 18x3y3
4. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是( )
A. AB=BC
B. AC垂直BD
C. ∠A=∠C
D. AC=BD
5. 将b3−4b分解因式，所得结果正确的是( )
A. b(b2−4)
B. b(b−4)2
C. b(b−2)2
D. b(b+2)(b−2)
6. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 90°
7. 均匀的正方体骰子的六个面上的点数分别为1、2、3、4、5，6，抛掷正方体骰子一次，朝上的面上的点数不大于2的概率为( )
A. 1
6B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
8. 已知二元一次方程组{x−y=−5
x+2y=−2的解为{x=−4
y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线
l1：y=x+5与直线l2：y=−1
2
x−1的交点坐标为( )
A. (4,1)
B. (1,−4)
C. (−1,−4)
D. (−4,1)
9.
如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的
E处，EQ与BC相交于点F，若AD=8，AE=4，AB=6，则△EBF
周长的大小为( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 6
10.
二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y
=ac
x 与一次函数y =−ax +b
2a
在同一坐标系内的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 甲、乙两同学最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别是S 2甲=2.17，S 2
乙=3.45，则
数学成绩比较稳定的同学是______．
12. 若式子 x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
13. 已知点P(a+1,−a
2
+1)关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是______．
14. 对于任意的x值都有2x+7
x2+x−2=M
x+2
+N
x−1
，则M，N值为______ ，______ ．
15. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(5,0)、B(6,4)、C(3,0)，将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为______．
16. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(1
2
)−2．
18. (本小题6.0分)
世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
19. (本小题7.0分)
睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要.某校为了解本校学生的睡眠情况，随机调查了40名学生一周(7天)平均每天的睡眠时间x(单位：小时)，并根据调查结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别A组B组C组D组
平均每天睡眠时间x<88≤x<99≤x<10x≥10
(1)分别求出表中m，n的值；
(2)抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是______ 组；
(3)若该校共有1200名学生，请估计该校学生睡眠时间达到9小时及以上的学生人数．20. (本小题7.0分)
在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=x；②函数表达式为y=x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
21. (本小题7.0分)
高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为150米，斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°，求高楼的高度AB(结果精确到0.1米).(参考数据：sin50°≈0.766，cos50
°≈0.643，
t a n50°≈1.192)
22. (本小题8.0分)
如图，AB是的直径，⊙O弦AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点E，使EF=CE，连接AF交⊙Q于点D，连接BD，BF．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AF长为52，求BD的长．
23. (本小题10.0分)
某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售量y(件)是售价x(元件)的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：
售价x(元件)5565
销售量y(件/天)9070
(1)求销售量y与售价x之间的函数关系式；
(2)十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是多少？
(3)十一月份由于原材科上涨等因素，该商品成本价提高了a元/件(0<a≤15)，商品的每天
销售量与销售价的关系不变，若商品的销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不得超过80元/件，商店十一月份销售该商品的过程中，获得的销售最大利润能否为882元？说明理由．
24. (本小题10.0分)
综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的动点(不与点A，B重合)．
操作发现：
(1)如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为______；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
(2)如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC=2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE 的面积．
25. (本小题12.0分)
综合与探究
如图，抛物线y=−1
x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点
2
A，C的坐标分别为(−2,0)，(0,4)，连接AC，BC.点P是y轴右侧的抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接PA，交直线BC于点D，当线段AD的值最小时，求点P的坐标；
(3)点Q是坐标平面内一点，是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
，
【解析】解：3的倒数是3
3
故选：D．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：原式=2×(−3)x1+2y3=−6x3y3．
故选：C．
单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．
本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：b3−4b=b(b2−4)=b(b+2)(b−2)．
故选：D．
直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形内角和公式：(n−2)⋅180°，外角和等于360°是解题的关键．
根据正多边形的内角和公式(n−2)×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形外角和为360°，且每个外角相等求解可得．
【解答】
解：多边形内角和(n−2)×180°=720°，
∴n=6．
则正多边形的一个外角=360°
n =360°
6
=60°，
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：因为一个均匀的正方体的骰子六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6，只有1，2两面不大于2，
所以抛掷一次向上的面的点数不大于2的概率是2
6=1
3
．
故选：B．
先求出一个均匀的正方体的骰子六个面上的6的个数，再根据概率公式解答即可．本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】D
【解析】解：∵二元一次方程组{x−y=−5
x+2y=−2的解为{x=−4 y=1，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−1
2
x−1的交点坐标为(−4,1)．
故选：D．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
设AH=a，则DH=AD−AH=8−a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出∠BFE=∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出△EBF∽△HAE.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键．
【解答】
解：设AH=a，则DH=AD−AH=8−a，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8−a，∴EH2=AE2+AH2，即(8−a)2=42+a2，
解得：a=3．
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH．
又∵∠EAH=∠FBE=90°，
∴△EBF∽△HAE，
．
∵C△H A E=AE+EH+AH=AE+AD=12，
∴C△E B F=2
3
C△H A E=8．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a>0，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且交y轴的负半轴，
∴b>0，c<0，
∴ac<0，
∴反比例函数y=ac
x 的图象必在二、四象限，一次函数y=−ax+b
2a
的图象必经过一二四象限，
故A正确．
故选：A．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定a>0，b>0，由抛物线与y轴的交点位置确定c<0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
11.【答案】甲
【解析】解：因为S2
甲=2.17<S2
乙
=3.45，方差小的为甲，
所以数学成绩比较稳定的同学是甲．故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】x≥2
【解析】
【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
x−2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
13.【答案】a<−1
+1)关于原点的对称点在第四象限，
【解析】解：∵点P(a+1,−a
2
∴点P(a+1,−a
+1)在第二象限，
2
∴{a+1<0①
+1>0②，
−a
2
解①得：a<−1，
解②得：a<2，
∴不等式组的解集为：a<−1．
故答案为：a<−1．
直接利用关于原点对称点的性质以及一元一次不等式组的解法分析得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确解不等式组是解题关键．
14.【答案】−13
【解析】解：∵M
x+2+N
x−1
=M(x−1)+N(x+2)
(x+2)(x−1)
=(M+N)x+(2N−M)
(x+2)(x−1)
∵2x+7 x2+x−2=M
x+2
+N
x−1
，
∴{M+N=2
2N−M=7，解得：{M=−1
N=3，
M x+2+N
x+1
=M(x+1)
(x+1)(x+2)+N(x+2)
(x+1)(x+2)
=M(x+1)+N(x+2)
(x+1)(x+2)
=(M+N)x+(M+2N)
(x+1)(x+2)
，
2x+7 x2+x−2=M
x+2
+N
x+1
，
∴{M+N=2
M+2N=7，解得：{M=−3
N=5，故答案为：−1，3．
先计算M
x+2+N
x+1
得到(M+N)x+(M+2N)
(x+1)(x+2)
，利用2x+7
x2+x−2
=M
x+2
+N
x+1
，得到{M+N=2
M+2N=7，解
方程组即可得到答案．
此题考查了分式的加法运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
15.【答案】(3,2)或(−3,−2)
【解析】解：∵点B的坐标为(6,4)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1，
∴点B的对应点的坐标为(3,2)或(−3,−2)，
故答案为：(3,2)或(−3,−2)．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】43或4
【解析】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF=90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A′C=AC=4，∠ACB=∠A′CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A′EF，
∴AC//A′E，
∴∠ACB=∠A′EC，
∴∠A′CB=∠A′EC，
∴A′C=A′E=4，
Rt△A′CB中，
∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A′E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2−AC2，
∴AB=82−42=43；
②当∠A′FE=90°时，如图2，
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA′=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；
综上所述，AB的长为43或4；
故答案为：43或4；
当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A′EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A′C=A′E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A′B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A′FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
17.【答案】解：(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(1
)−2
2
−(2−3)−4
=1+2×3
2
=1+3−2+3−4
=23−5．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：设每张书签应降价x元，则每张可获利(0.5−x)元，平均每天可售出500+x
×200
0.1
=(2000x+500)张，
依题意得：(0.5−x)(2000x+500)=270，
整理得：100x2−25x+1=0，
解得：x1=0.2，x2=0.05．
答：每张书签应降价0.2元或0.05元．
【解析】设每张书签应降价x元，则每张可获利(0.5−x)元，平均每天可售出(2000x+500)张，利用批发商销售书签平均每天获得的利润=每张的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】C
【解析】解：(1)由题意可得，m=40×30%=12，
故n=40−4−12−20=4；
(2)由题意可知，抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是C组，
故答案为：C；
(3)1200×20+4
40
=720(名)，
答：估计该校有720名学生睡眠时间达到9小时．
(1)用40乘B组所占比例可得求出m的值，再用40减去其它各组人数即可得出n的值；
(2)根据中位数的定义即可求解；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，求出样本容量，利用数形结合的思想是解
答本题的关键．
20.【答案】解：(1)1
2
；
(2)列表如下：
①②
③①③②③
④①④②④
⑤①⑤②⑤
由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②④这3个，
所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为3
6=1
2
．
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】
(1)解：∵①、②放在不透明的盒子A中搅匀，
∴共有2种结果，
∴抽到①的概率是1
2
，
故答案为：1
2
．
(2)见答案．
21.【答案】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE=BF=50米，DF=BE，
∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=50米，
∴DE CE =1
2.4
，
∴CE=2.4DE=2.4×50=120(米)，
∵BC=150米，
∴DF=BE=BC−CE=150−120=30(米)，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴AF=DF⋅tan50°≈30×1.192=35.76(米)，
∴AB=BF+AF=50+35.76≈85.8(米)，
∴高楼的高度AB为85.8米．
【解析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DE=BF=50米，DF=BE，先利用斜坡CD 的坡度，求出CE的长，从而求出BE，DF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OC．
∵点E是OB的中点，
∴BE=OE，
在△BEF和△OEC中，
{B E=OE
∠B E F=∠O E C
，
E F=E C
∴△BEF≌△OEC(SAS)，
∴∠FBE=∠COE，
又∵AC=BC，O为直径AB的中点，
∴∠COE=90°，
∴∠FBE=90°，
而OB是圆的半径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)解：如图，由(1)知：BF=OC，∠FBD+∠ABD=90°，∴tan∠BAF=1
，
2
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠BDF=90°，
∴∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠DBF=∠BAF，
∴tan∠DBF=1
，
2
设FD=x，则BD=2x，AD=4x，
∴AF=5x=52，
∴x=2，
∴BD=22．
【解析】(1)连接OC.根据全等三角形的判定与性质可得∠FBE=∠COE，再由圆周角定理及切线的
判定方法可得结论；
(2)由圆周角定理及三角函数可得tan∠DBF=1
2
，设FD=x，则BD=2x，AD=4x，从而可得答案．此题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．23.【答案】解：(1)设关系式为y=kx+b，
把(55,99)(65,70)代入得：{55 k+b=90
65k+b=70，
解得{k=−2
b=200，
∴y=−2x+200，
即销售量y与售价x之间的函数关系式为y=−2x+200；
(2)设总利润为w元，
根据题意得，w=(x−50)(−2x+200)=−2x2+300x−10000=−2(x−75)2+1250，
∵a=−2<0，
∴当x=75时，w有最大值，最大值为1250，
答：当售价定为75元时，每天获取最大利润，最大利润为1250元；
(3)设总利润为w元，
根据题意得，w=(x−50−a)(−2x+200)=−2x2+(300+2a)x−10000−200a，
∴对称轴为直线x=−300+2a
2×(−2)=300+2a
4
=150+a
2
，
∵−2<0，
∴抛物线的开口向下，
当150+a
2
>80，即10<a≤15时，在对称轴左侧w随x的增大而增大，∵x≤80，
∴当x=80时，w最大=882，
即−2×802+(300+2a)×80−10000−200a=882，
解得：a=7.95<10(舍去)；
当150+a
2
≤80，即0<a≤10时，
∴当x=150+a
2
时，w最大=882，
∵w=−2x2+(300+2a)x−10000−200a=−2(x−150+a
2)2+1
2
a2−50a+1250，
∴1
2
a2−50a+1250=882，
解得a1=8，a2=92(舍去)，
综上，当a=8时，可获得最大利润为882元．
【解析】(1)根据一次函数过(55,99)(65,70)可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；
(2)先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润；
(3)根据题意得，w=(x−50−a)(−2x+200)=−2x2+(300+2a)x−10000−200a，把x=80，w =882代入函数解析式，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，掌握总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值是解题的关键．
24.【答案】45°
【解析】解：(1)①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE=90°，DC=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD=45°，
故答案为：45°；
②AD=BE，理由如下：
由①知△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
(2)①AD=1
2
BE，理由如下：
∵BC=2AC，CE=2CD，
∴AC BC =CD
CE
=1
2
，
∵∠ACB =∠DCE =90°，
∴∠ACD +∠DCB =∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD∽△BCE ，∴
AC BC =CD CE =AD BE =1
2
，∴AD =1
2
BE ；
②过C 作CF ⊥AB 于F ，CG ⊥BE 于G ，如图：
∵AC =2，BC =2AC ，
∴BC =4，AB = AC 2+BC 2=2 5，
∴sin ∠ABC =AC AB =22 5= 55=CF BC ，cos ∠ABC =BC AB =42 5=2 55BF
BC
，
∴
CF 4= 55，BF 4=2 5
5
，
∴CF =4
5
5
，BF =8
5
5
，
∵四边形CGBF 是矩形，∴CG =BF =8
5
5
，BG =CF =4
5
5
，
(Ⅰ)当CB =CE 时，如图：
∴BE =2BG =8
5
5
，
∴
△CBE 的面积为12×8 55×8 55
=32
5；
(Ⅱ)当BC =BE 时，如图：
此时BE =BC =4，∵CG =BF =8
5
5
，
∴△CBE 的面积为12
×BE ⋅CG =12
×4×8
5
5
=16
5
5
(Ⅲ)当CE =BE 时，如图：
设BE =CE =t ，则EG =t−4
5
5
，
在Rt △CEG 中，t 2=(8
55)2+(t−4
5
5
)2，解得t =2 5，∴BE =2 5，
∴△CBE 的面积为1
2
CG ⋅BE =12
×8
5
5
×2 5=8，
综上所述，△CBE 的面积为325或16 5
5
或8．
(1)证明△ACD≌△BCE (SAS )，可得∠CBE =45°；②AD =BE ，由△ACD≌△BCE ，即可得AD =BE ；(2)①证明△ACD∽△BCE ，及得
AC BC =CD CE =AD BE =12，故AD =1
2
BE ；②过C 作CF ⊥AB 于F ，CG ⊥BE 于G ，AC =2，BC =2AC ，得BC =4，AB =2 5，即得sin ∠ABC =
AC AB =22 5= 55=CF BC ，cos ∠ABC =BC AB =42 5=2 55BF BC ，可得CF =4 55，BF =8 5
5
，从而CG =BF =
8 5
5，BG =CF =4
55
，(Ⅰ)当CB =CE 时，△CBE 的面积为1
2
×8
5
5
×8
5
5
=
32
5
；(Ⅱ)当BC =BE 时，△CBE 的面积为12×BE ⋅CG =12
×4×8
55=16
5
5
(Ⅲ)当CE =BE 时，设BE =CE =t ，可得t 2=(8
5
5
)2+(t−4
55
)2
，解得BE =2 5，△CBE 的面积为12
CG ⋅BE =1
2
×8
55
×2 5=8．
本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】解：(1)将A (−2,0)，C (0,4)代入y =−1
2x 2+bx +c ，
∴{−2−2b +c =0c =4，
∴{b =1c =4，
∴y =−12
x 2+x +4，
令y =0，则−12
x 2+x +4=0，解得x =−2或x =4，∴B (4,0)；
(2)当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，∵OB =OC =4，∴∠CBO =45°，∴∠DAB =45°，设P (t ,−12
t 2+t +4)，过点P 作PM ⊥x 轴交于点M ，∴PM =AM ，
∴−12
t 2+t +4=t +2，解得t =2或t =−2，
∵点P 是y 轴右侧的抛物线上，∴P (2,4)；
(3)在点Q ，使得以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形，理由如下：设Q (x ,y )，P (m ,−1
2
m 2+m +4)，
①当AQ 为矩形对角线时，AQ =CP ，
∴
{
x −2=m
y =−12
m 2+m +8(x +
2)2
+y 2=m 2
+(−12
m 2+m )2
，
解得{
m =5x =7y =12
或{
m =−2x =0y =4(舍)，
∴Q (7,12
)；
②当AP 为矩形对角线时，AP =CQ ，
∴
{
m −2=x
4+y =−12
m 2+m +4(m +
2)2
+(−12
m 2+m +4)2=x 2+(y −4)2
，
解得{
m =3x =1y =−32
或{
m =0x =−2y =0(舍)，∴Q (1,−32
)；
③当AC 为矩形对角线时，AC =PQ ，
∴
{
x +m =−2
y −12
m 2+m +4=420=(x
−m )2+(y
+12
m 2−m −4)2，
解得{
m =0x =−2y =0(舍)或{
m =−2
x =0y =4(舍)；
综上所述：Q 点坐标为(7,1
2)或(1,−3
2
). 【解析】(1)将A (−2,0)，C (0,4)代入y =−12
x 2+bx +c ，即可求解；
(2)当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，则∠DAB =45°，设P (t ,−12
t 2+t +4)，过点P 作PM ⊥x 轴交于点M ，由PM =AM ，可求P (2,4)；
(3)设Q (x ,y )，P (m ,−1
2
m 2+m +4)，分三种情况讨论：①当AQ 为矩形对角线时，AQ =CP ，可得
{
x −2=m
y =−12
m 2+m +8
(x +2)2+y 2=m 2+(−12
m 2+m )2
，求得Q (7,12
)；②当AP 为矩形对角线时，AP =CQ ，可得
{
m −2=x
4+y =−12
m 2+m +4
(m +2)2+(−12m 2+m +4)2=x 2+(y −4)2
，求得Q (1,−32
)；③当AC 为矩形对角线时，AC =P
Q ，可得
{
x +m =−2
y −12
m 2+m +4=420=(x
−m )2+(y
+12
m 2−m −4)2，此时Q 点不存在．
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，分类讨论，准确计算是解题的关键．。