上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)

一、填空题

1．向量的单位向量是______. 

3,4a

【答案】

34

,

55





【分析】利用结论：非零向量

的单位向量为，可求得结果.

aa

a



【详解】因为

，则， 

3,4a

22

345a

所以，向量

的单位向量为.

a

134

3,4,

555a

a







故答案为：. 34

,

55





2．若，，当实数k＝______时，. 

1,ak



4,bkk

ab

【答案】4或0

【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可． k

【详解】因为，，且， 

1,ak



4,bkk

ab

所以，解得或， 2

40kk0k4k

故答案为：4或0． 3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin2yx

【答案】 π

2

【分析】求出函数的对称轴即可求解.

【详解】由已知条件得，Z，即，Z，

π

2π+

2xk

kππ

24k

x

k

因为相邻的两条对称轴之间的距离最小，

所以分别令，得，

， 0k

1π

4x3π

4x

即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ

442

故答案为：. π

2

4．已知，则_________ 1

sincos2



sin2



【答案】 3

4

【分析】原式两边平方后，即可计算的值. sin2【详解】因为

，两边平方后， 1

sincos

2



，

2

221

sincossincos2sincos1sin2

4



所以. 3

sin2

4



故答案为： 3

4

5

．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 4

5

【答案】 10

10

【分析】设顶角为

，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可

. 

sin

2π

coscos

2











【详解】设顶角为，底角为，则，， 



2π

4cos5



又， 2π

cos12sin,0,

222







， 4

1

1cos10

5sin

22210





. π10

coscossin

2210











故答案为：. 10

10

6．方程在区间上的解集为______. sincos2xx

0,π

【答案】 π5π

,

66





【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解.

【详解】由得， sincos2xx2

sin12sinxx

即，解得或， 2

2sinsin10xxsin1x1

sin

2x

因为，所以或， 

0,πxπ6x5π

6

所以方程在区间上的解集为, sincos2xx

0,ππ5π

,

66





故答案为：. π5π

,

66



7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对

sin2yx



44

,0

3







称，那么的最小值为__________． 

【答案】

6

【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：

， 

sin22cos2

4yxx















函数图象关于点成中心对称，则：

， 4

,0

3







4

2

32kkZ





整理可得：

， 13

6kkZ





则当

时，

有最小值. 2k

6

【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．函数的最小正周期为____________． sin1tantan

2x

yxx







【答案】 2

【详解】解析：当时，，

=2,xkkZ

sin1tantan0

2x

yxx







当时，，其中

且， 2,xkkZ

sin1cos

sin1tancossinxx

yxx

xx







2xk



2xk



画出图象可得函数周期为． 2

故答案为：. 2

9．已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称

fx

gx

hxmfxngx

为

，

在R上的生成函数.已知，，，，则

hx

fx

gx

1m1n

sinfxx

cosgxx

，在上的生成函数的单调增区间为______. 

fx

gx

R

hx【答案】,

Z π

π,π

2kk





k

【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间

hx

即可.

【详解】由题意可知

， 

sincosxxhx

则， 

sincosπsinπcosπhxxxxxhx

所以是函数的周期， π

hx

又

∵， 

sincossincosxxxhhxxx

∴函数为偶函数， 

hx

当时，， π0

2xπ

sincossincos2sin

4hxxxxxx





此时函数的单调递增区间为，Z, πππ

2π2π

242kxkk

解得，Z, π3π

2π2π

44kxk

k

当

时，单调递增区间为

，故在上函数单调递增， 0kπ3π

,

44





π

0,

2





当时，， ππ

2xπ

sincossincos2sin

4hxxxxxx





此时函数的单调递减区间为，Z， ππ3π

2π+2π

242kxkk

解得，Z, π5π

2π+2π

44kxk

k

当

时，单调递减区间为

，故在上函数单调递减， 0kπ5π

,

4

4



π

,π

2





综上所述，函数的单调递增区间为,Z, π

π,π

2kk





k

故答案为：,Z. π

π,π

2kk





k

10．已知向量

的夹角为锐角，且满足

、

，若对任意的,ab8

15a4

15b

，都有成立，则的最小值为_______. 

(,)(,)|1,0xyxyxaybxy



||1xy

abvv

【答案】 8

15

【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,ba



|1,0xaybxy



，由得出2215

2cossin

16xyy

1xy