上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)

一、填空题
1．向量的单位向量是______. ()3,4a =
【答案】
34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.
a
a a
【详解】因为，则，
(
)3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为
. a
()1343,4,5
55a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.
34,55⎛⎫
⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.
()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0
【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．
k 【详解】因为，，且，
()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥
所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．
3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】
π2
【分析】求出函数的对称轴即可求解.
【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ
24k x =
+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π
4
x =3π4
x =
即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442
-=故答案为：
. π2
4．已知，则_________ 1
sin cos 2
αα+=sin 2α=【答案】
3
4
-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.
sin 2α
【详解】因为，两边平方后， 1
sin cos 2
αα+=
， ()
2
221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24
ααααααα+=++=+=
所以. 3sin 24
α=-故答案为：
3
4
-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 4
5
【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2α
πcos cos 2αβ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5
α=
又， 2
πcos 12sin
,
0,222αα
α⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
sin
2
α
∴=
==
. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫
∴===
⎪⎝⎭
6．方程在区间上的解集为______.
sin cos 2x x =[]0,π【答案】
π5π,66⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1
sin 2
x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =
5π6
所以方程在区间上的解集为,
sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
故答案为：.
π5π,66⎧⎫
⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π
4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
称，那么的最小值为__________．
ϕ
【答案】
6
π
【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，
()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤
⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136
k k Z π
ϕπ=-∈则当时，有最小值
.
2k =ϕ6
π
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．函数的最小正周期为____________．
sin 1tan tan 2x y x x ⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭【答案】
2π【详解】解析：当时，，
=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛
⎫=+⋅= ⎪⎝
⎭当时，，其中且，
2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫
=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．
2π
故答案为：.
2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称
()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.
()f x ()g x R ()h x
【答案】,Z
ππ,π2k k ⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.
【详解】由题意可知，
()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，
π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x
当时，，
π02x ≤≤
()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ
2π2π242
k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π
2π2π44
k x k -
≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，
0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
当
时，，
ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛
⎫=-=+=+ ⎪⎝
⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π
2π+2π242
k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π
2π+
2π44
k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，
0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π,π2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,
ππ,π2k k ⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦k ∈故答案为：,Z .
ππ,π2k k ⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦k ∈
10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =
b = ，都有成立，则的最小值为_______.
{}
(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=
||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】
815
【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得
,b a
θ|1,0xa yb xy += ，由得出()()
22
15
2cos sin 16
x y y θθ++=
1x y +≤
，令，得出，求不()()()2
22212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫
+++≥+= ⎪⎝⎭
t cos θ=()()
2
22116
+
415
41t t -≥-等式的解集可得结果.
详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a b
θ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515
x y xy θ++
=， ()
2222216
44cos cos sin 115
x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22
15
2cos sin 16
x y y θθ++=1x y +≤ ； ()
()()2
2
2
2
12cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪
⎝⎭
令，则，化简得， cos t θ=()()
2
2
2116
+415
41t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．
111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815
点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.
二、单选题
11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必
sin cos A B =2
A B π
+=2
A B π
=+
2
A π
=
sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.
【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；
sin cos A B =2
A B π
+=2
A B π
=+
ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;
2
A π
=
sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .
【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98π
B ．
π C ．
π D ．100π
197
2
199
2
【答案】B
【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 14
19724π
ω⨯所以，ω≥
π，故选B ． 197
2
【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定
应满足的条件．
2π
ω
13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是
()[]πsin 2f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）
①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④
()f x []1,1-12f x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④
C ．③④
D ．①③
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；
23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，
()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫
+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；
()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，
12f x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，
12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫
-+=-=- ⎪⎝⎭
故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；
12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭12f x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，
()f x
由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.
14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形
ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==
定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．
由，及正弦定理，得，
120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD AC
BAD ABC
==∠∠
解得，．
6BD =AC =在中，，，，
ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =
所以
AB AD ==
因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅
所以,所以， )BC CD =+BC CD +=
所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．
三、解答题
15．已知函数.
()2π2sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭(1)求的单调增区间；
()f x (2)求函数在的值域.
()f x 2π0,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】(1)
7πππ,π,1122k k k ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z
(2) ⎡-⎣
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π
23
x +
【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6
k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππ
ππ,1212
k x k k -
+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；
()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
Z
（2）令，由可得， 2π23t x =+
2π0,3x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，
sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又
， sin y t =3π2t =
2π
sin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-
()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．
()2cos ,(0)6f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；
ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，
ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g x
m =【答案】（1）；（2）． 2
3
ω=
[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．
4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．
【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，
()4f x f π⎛⎫
⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππ
ωπ-=∈Z 2,46
k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω2
3
ω=（2）在（1）中值的条件下，则，
ω23ω=
2
()2cos 3
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
2
()()12cos 1,(0)3
6g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，
()g x π223
k π
π=3k =()2cos 216g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：
()03y g x x π⎛
⎫=≤≤ ⎪⎝
⎭y m =
，则，所以，则，
03
x π
≤≤
26
6
2x π
π
π
-
≤-
≤
0cos 216x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭()13g x ≤≤
且，
()02cos 116g π⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
由图象知：要使恰有两个不同的解，则．
()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两
()sin(),(0,0,0)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<
个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标
(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式
m m 2
344
MC MD π⋅=- ()f x
【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，
，，π
()2sin(+)4
f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式
【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得
由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，
∴点C (1,2)，
∴点N (3,0),点D (5,−2)；
(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，
由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；
∴，
2124MC MD m ⋅=- 又， 2
344
MC MD π⋅=-解得m =
； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω=
==∴φ=； 4
π
∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).
4π
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.
18．已知常数，定义在R 上的函数.
0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；
4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.
n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2
x k k =-∈Z (2)，.
1a =-1347n =
【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；
（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.
【详解】（1）当时，
4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2
x k k =-∈Z （2），
2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+
令，，则，
sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，
()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212
t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；
②当，，即，， 11t =212
t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2
x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，
()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，
202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122
a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =
1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，
()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，
202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，
()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。