线性代数期末考试复习资料

基本概念
下方是正文
1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。

2. 对称矩阵：T A A =。

3. 伴随矩阵111*
1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。

4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。

若A 可逆，则11AA A A E --==.
5. 分块对角阵1
2A O A O A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11
112A O A O A ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）
的k 倍加到另一行（列）。

7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。

8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③
(,())E j i k 。

9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。

1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。

10. 线性表示：存在12,,
,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组
Ax β=有解12,,,n k k k 。

11. 线性相关：存在不全为0的数12,,
,n k k k ，使得11220n n k k k ααα++
+=，等价于
齐次方程组0Ax =有非零解。

12. 线性无关：11220n n k k k ααα++
+=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程
组0Ax =仅有零解。

13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,
,r
βββ为12,,
,n ααα的极大无关组。

14. 向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,m βββ表示：12,,,n ααα中任意一个向量可由
12,,,m βββ表示，等价于BX A =有解，12(,,
,)m B βββ=，12(,,
,)n A ααα=。

15. 向量组12,,,n ααα与向量组12,,
,m βββ等价：两个向量组能相互线性表示。

16. 齐次方程组0Ax =基础解系：第一种描述：设12,,
,s ξξξ是方程组的解，且满足① 线
性无关；② 任意一个解可由其表示。

第二种描述：()n r A -个线性无关的解。

17. 特征值和特征向量：,0Ax x x λ=≠。

18. 相似矩阵：存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=，则称,A B 相似。

19. 相似对角化：根据方阵A ，找到可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得1P AP -=Λ。

20. 内积：1122[,]T
n n a b a b a b αβαβ==++
+。

21. 正交：[,]0αβ=。

22. 正交矩阵：T AA E =或者1T A A -=。

特点：A 的列（行）为两两正交的单位向量。

23. 二次型：T
f x Ax =，其中A 为对称阵。

24. 合同矩阵：存在可逆矩阵C ，使得T
C AC B =，则称,A B 合同。

25. 标准型：22
2
1122T n n f y y y y y λλλ=Λ=++
+。

26. 正负惯性指数：标准型中正负系数的个数。

27. 正定二次型：0,0T
x f x Ax ∀≠=>。

28. 正定矩阵A ：对称阵A 使得T
f x Ax =为正定二次型。

基本定理
1. 行列式按行按列展开定理：1122i i i i in in D a A a A a A =++
1122j j j j nj nj a A a A a A =++．
逆过程应用：已知ij n n
D a ⨯=，求1122i i n in b A b A b A +++．将D 中第i 行元素换成对
应的12,,
,n b b b ，得到1D ，则：11221i i n in b A b A b A D ++
+=。

2. n A 为可逆矩阵0A ⇔≠；n A 为可逆矩阵1
**11A A A A A A
--⇒=⇔=。

推论：方阵,A B 满足AB E =，则：①BA E =；②A 可逆，且1
A
B -⇒=。

3. 对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，等价于在矩阵A 的左（右）边乘以一个与之对应
的初等矩阵。

4. 初等变换不改变矩阵的秩。

5. 非齐次方程组m n A x b ⨯=有解⇔b 可由A 的列线性表示⇔()(,)r A r A b =；唯一解
⇔()(,)r A r A b n ==；无穷多解⇔()(,)r A r A b n =<；
非齐次方程组m n A x b ⨯=无解⇔b 不能由A 的列线性表示⇔()(,)r A r A b ≠ 特别地：当方程组的系数矩阵A 为方阵时：唯一解⇔0A ≠。

6. 齐次方程组0m n A x ⨯=仅有零解⇔A 的列向量组线性无关⇔()r A n =；齐次方程组
0m n A x ⨯=有非零解⇔A 的列向量组线性相关⇔()r A n <。

7. 矩阵方程AX B =有解⇔B 的列可由A 的列线性表示()(,)r A r A B ⇔=；B 的列与
A 的列等价()()(,)r A r
B r A B ⇔==。

8. 矩阵A 通过初等行变换变成矩阵B ，则,A B 行向量组等价，列向量组有相同的相关性． 9. 齐次线性方程组
0m n A x ⨯=系数矩阵的秩()r A r n =<，则存在基础解系
12,,
,n r ξξξ-，并且0Ax =的通解为1122
n r n r x k k k ξξξ--=+++，其中
12,,
,n r k k k -为任意常数．
10. 不同特征值对应的特征向量线性无关；实对称阵不同特征值对应的特征向量正交。

11. 相似矩阵有相同的秩和相同的特征值。

12. 方阵可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔
k 重特征值i λ，
()i r A E n k λ-=-；实对称阵一定可以对角化；A 有n 个不同的特征值则A 一定可以
对角化。

13. 实对称阵一定可以对角化，并且一定存在正交阵Q ，使得1
T Q AQ Q AQ -==Λ.
14. 任意二次型,1
()n
ij i
j
ij ji i j f a x x
a a ==
=∑，总有正交变换x Qy =，化f 为标准形
2
222211n n y y y f λλλ+++= ，其中12,,
,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.
15. 设二次型T
f x A x =的秩为r ，且二次型的标准型分别为2221122r r f y y y λλλ=++
+和
22
21122r r f k z k z k z =+++，则系数12,,,r λλλ和12,,,r k k k 中正负个数相等.
16. 对称阵
A 正定⇔二次型T f x A x =为正定二次型⇔二次型T f x A x =的规范型为
22
2
12n y y y +++⇔A 的特征值全为正⇔A 的各顺序阶主子式全大于0。

基本性质
1. 行列式运算性质：转置不变；对换取反；数乘可提；行列拆分；叠加不变。

2. 矩阵乘法：① AB O =⇒A O =或B O =；② AB BA ≠；③ AB AC =⇒B C =。

3. 矩阵转置：①()T T
A A =
② ()T T T
A B A B +=+ ③ T
T
kA )kA (=
④T
T
T
A B )AB (=
4. 方阵的行列式：①方阵,A B ，AB A B =⋅ ②n
kA k A =，A 为n 阶方阵。

5. 伴随矩阵：①AA A A A E **==； ②1n A A *-=；
③ *1
*()n kA k
A -=
6. 逆矩阵：①11
()
A A --=；
②1
1
1()kA A k
--=
； ③1
11()
AB B A ---=；
④T 1
1T ()
()A A --=，
⑤1
1
A
A --=。

7. 初等矩阵：1(,)(,)E i j E i j -=，1
1(())(())E i k E i k
-=，1
(,())(,())E i j k E i j k -=-。

8. 初等变换与初等矩阵：A 可逆A ⇔等于有限个初等矩阵的乘积；A 可逆，则AB 为对B 进行初等行变换，BA 为对B 进行初等列变换。

9. 行阶梯矩阵的秩等于其非零行的行数。

10. 秩：①()min{,}m n r A m n ⨯≤；
②{}()min (),()r AB r A r B ≤； ③()(,)()()r A r A B r A r B ≤≤+；
④ ()()()r A B r A r B ±≤+；
⑤m n n k A B O ⨯⨯=，则()()r A r B n +≤； ⑥()()T
r A r A =；
⑦*
()()1()10()2n r A n r A r A n r A n ⇔=⎧⎪=⇔=-⎨⎪⇔≤-⎩
.
11. T
A αβ=，,αβ为n 维非零列向量，则()1r A =。

12. 向量组12:,,,m A a αα线性相关⇔向量组A 中至少有一个向量能由其余1-m 个向
量线性表示．
13. 设向量组123,,ααα线性无关，向量组123,,βββ可由123,,ααα线性表示，即
1112131231232122
23313233(,,)(,,)c c c c c c c
c c βββααα⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则123,,βββ无关0C ⇔≠． 14. 相关组添加向量仍相关，无关组减少向量仍无关；无关组添加分量仍无关，相关组减少
分量仍相关。

15. 设向量组12,,,m ααα线性无关，而12,,,,m αααβ线性相关，则向量β必能由向
量组12,,
,m ααα线性表示，且表示式是惟一的．
16. 向量组与它的极大无关组等价；
17. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩． 18. 设12,,
,n r ξξξ-是齐次方程组0Ax =的基础解系，*η是非齐次方程组Ax b =的一个
特解，则Ax b =的通解*1122n r n r x k k k ξξξη--=++
++，
，其中12,,,n r k k k -为任意常数． 19. 设
A 的特征值为12,,
,n λλλ，则：①121122n nn a a a λλλ+++=+++；②
12n A λλλ⋅⋅
⋅=．
20. ,A B 同型且秩相等⇒,A B 等价；方阵,A B 可对角化，且有相同特征值⇒,A B 相似；
对称阵,A B 的特征值正负个数对应相等⇒,A B 合同。

基本方法
1. 求行列式：方法一、利用行列式的性质化三角行列式；方法二、利用性质尽可能多的化
行列式的某行（列）元素为零，然后依此行（列）用Laplace 展开。

2. 求解矩阵方程：方法：通过矩阵运算将方程化为,,AX B XA B AXB C ===三种方式，
具体运算放最后一步，注意左，右乘。

3. 求矩阵的秩：A 具体时，将r
A B −−→（行阶梯矩阵），()()r A r B B ==中非零行的行
数；A 为抽象矩阵时，利用秩的不等式证明()r r A r ≤≤. 4. 讨论向量组的相关性：① 12,,
,s ααα具体时，构造矩阵12(,,,)s A ααα=，比较秩
与个数的关系；②. 12,,
,s ααα抽象时，先设11220s s k k k ααα+++=，通过恒等
变形或乘法，或重组，得到120s k k k ====，或者用秩的理论判断，
12(,,,)s r s ααα=.
5. 求极大无关组：将向量组的各向量做为矩阵的列，12(,,
,)r
s A B ααα=−−→行阶梯
矩阵，向量组的秩等于矩阵B 的秩，每个阶梯上取一列（一般取阶梯竖线右边的第一列），
构成极大无关组。

6. 求基础解系和通解：先求()r A ，得()n r A -，通过矩阵的运算，求出Ax O =的()
n r A -各线性无关的解及Ax b =的一个特解，再利用解的结构得到通解。

7. 含参数方程组Ax b =求解：①．(|)r
A b −−
→行阶梯型，讨论()(|)?r A r A b b =⇔可否由A 的列线性表示；②．特别，当A 为方阵时，求出0A ≠的条件，即唯一解的条件，再把0A =中的参数代入原方程组，继续由()(|)?r A r A b =，判断是表达式不唯一，还是不能由其表示。

8. 方阵特征值，特征向量求法：① 解0A E λ-=，得根12,,
,n λλλ，② 解方程组
()0i A E x λ-=，得基础解系12,,,s ξξξ，从而得到对应i λ的特征向量为
11s s k k ξξ++，其中12,,,s k k k 不全为0.
9. 方阵对角化：①0A E λ-=求特征值；②()0i A E x λ-=得所有特征值的特征向量
12,,,n ξξξ；③ 令12(,,
,)n P ξξξ=，1
n λλ⎛⎫
⎪Λ=
⎪ ⎪⎝
⎭
，则1P AP -=Λ。

10. 二次型正交变换下化标准形：① 写出对称阵A ，② 求0A E λ-=，得特征值
12,,
,n λλλ，③ 将每一个特征值代入()0i A E x λ-=，得基础解系12,,,s ξξξ，正
交单位化（一个向量时，只要单位化），最终得到所有特征值对应的（特征）向量
12,,
,n ηηη，④12(,,
,)n Q ηηη=，令x Q y =，得二次型的标准形
2
222211n n y y y f λλλ+++= 。

【其中②，③，④步也为对称阵通过正交矩阵Q 对角化
的步骤。

】
基本例题
1.
2111
242233634448
1
00622822
6422823
303
30412033303
3
4
4
4
44
4
D -----------=
=--=--=-=----
2. 已知100110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，011101110B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且1()T T
X E B A B E --=，求X ．
解：1
1
()[()]T
T
T
X E B A B E X B E B A E ---=⇒-=()T
X B A E ⇒-=
10
0()110111T
B A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪
⎪-⎝⎭，()1T B A -=-，所以()T B A -可逆 故1
100(())110211T X B A --⎛⎫
⎪=-=-- ⎪ ⎪---⎝⎭。

3. 设1234(1,2,1,0),(4,5,0,5),(1,1,3,5),(0,3,1,1)===--=T T T T
αααα．
(1)求向量组1234,,,αααα的秩及其一个最大无关组；
(2)把该向量组的不属于最大无关组其他向量用这个最大无关组线性表示．
解：令123414
1
010302
5130110(,,,)103100010
5510
000A αααα-⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
-
⎪ ⎪
== ⎪
⎪
- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
(1). 1234(,,,)()3r r A αααα==，极大无关组为124,,ααα (2). 312430αααα=-++.
4. 设向量T
T
T
a a a ),1,1(,)1,,1(,)1,1,(321===ααα
和T
a a ),,1(2=β
，确定a 的值，使得
⑴β 能由321,,ααα 唯一线性表示； ⑵β 不能由321,,ααα 线性表示；⑶β 能由
321,,ααα
线性表示，但表示式不唯一。

解：【含参数，线性表示问题⇔非齐次方程组解的存在性讨论，未知数个数等于方程个数】 设),,(321ααα
=A ，则2)1)(2(1111
1
1||-+==a a a
a a A ， 故 ⑴当2-≠a 、1时，0||≠A ，β
=x A 有唯一解，即β 能由321,,ααα 唯一线性表示；
⑵当2-=a 时，由⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++30002121111242112121111
2)|(123r r r A β
可知：)|(32)(β A r A r =<=，β
=x A 无解，即β 不能由321,,ααα 线性表示；
⑶当1=a 时，321αααβ
===。

显然，β 能由321,,ααα
线性表示，且表示式不唯一。

5. 已知线性方程组
12341234
12341234230,
2641,3271,6,
x x x x x x x x x x ax x x x x x b +-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨
+++=-⎪⎪---=⎩ 讨论,a b 为何值时：（1）方程组无解；（2）有解，并求其通解． 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：
1123011
2
301
04
1121641012210
1221()3271008000080011610
00020
0002A b a a a b b b ⎛-⎫⎛-⎫⎛--⎫
⎪ ⎪
⎪
--
⎪ ⎪ ⎪
=→→ ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， (1)当2b ≠-时，()()R A b R A ≠,方程组无解; (2) 当2b =-时，()()R A b R A =,方程组有解;
ⅰ) 当8a =-时，()()24R A b R A ==<,方程组有无穷多解,此时
104110
1221()0000000000A b ⎛--⎫ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，13423440,
220
x x x x x x -+=⎧⎨++=⎩，得基础解系：4122,1001-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
13423441,221
x x x x x x -+=-⎧⎨
++=⎩，得特解：(1100)T
- 得通解12411221
100010X c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（12,c c 为任意常数）．
ⅱ) 当8a ≠-时，()()34R A b R A ==<,方程组也有无穷多解,此时
100110
1021()0010000000A b ⎛-⎫
⎪
⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，即142431,21,0,x x x x x +=-⎧⎪
+=⎨⎪=⎩
得通解1121
0010X c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（c 为任意常数）．
6.设矩阵A 与B 相似，且1112002
420203300A B a b -⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭
(1)求,a b 的值；(2) 求可逆阵P ，使1
P AP B -=． 解：(1) 221456(1)226(1)6b a a A a b a b ++=++=⎧⎧=-⇒⇒⎨
⎨
⨯⨯=-=⎩⎩
(2) 2λ=时，12111111112
220001,033300001A E λξξ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-=-→⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6λ=时，3511101/31/31222012/32/3233100013A E λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-=--→⇒=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或
则123111(,,)102013P ξξξ-⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
．
7. 设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为22
12y y +，且Q 的第3列
为22
T
．（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）证明A E +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵． 解：（Ⅰ）由题意，A 的特征值为1231,0λλλ===，
1T Q AQ Q AQ AQ Q -==Λ⇔=Λ
，可知(
22
T
为A 的对应30λ=的特征向量，
设A 的对应121λλ==的特征向量为123x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且已知123x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
与202⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
正交，从而130x x +=，取12011,001αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
，单位化为12021,002ηη⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ - ⎝⎭
，
令0221000Q ⎛
⎪
= ⎪
⎝
⎭
，则
0100110122110
010020222010100222
2T A Q Q ⎛
⎫
⎛⎫ ⎪
⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪
⎪
⎪
⎝
⎭
⎝
⎭
．
（Ⅱ）【证明】：A E +的特征值为12
32,1λλλ'''===，又()T
A E A E +=+，故A E +为正定矩阵．
8. 设A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵T
B E A A λ=+，试证：当0λ>时，
矩阵B 为正定矩阵．
证明：因为()()T T T T T T T T
B E A A E A A E A A B λλλ=+=+=+=，所以B 对称，
又设x 为任意n 维非零向量，则()()()()T T T T T x Bx x E A A x x x Ax Ax λλ=+=+，
因为()()0T Ax Ax ≥，0T x x >，0λ>，所以0T x Bx >，从而B 为正定矩阵． 9已知向量组（Ⅰ）：123,,ααα；（Ⅱ）：1234,,,αααα；（Ⅲ）：12345,,,,ααααα．如果各向量组的秩分别为(R Ⅰ)(R =Ⅱ)3=，(R Ⅲ)4=，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4．
证明：()3r I =⇔123,,ααα线性无关，()3r II =⇔1234,,,αααα线性相关， 从而4α可由123,,ααα线性表示，即4123k ααλαμα=++
414243123541235(,,,)(,,,)c kc c c c c λμααααααααα----，从而
123541235(,,,)(,,,)4r r ααααααααα-==．。