初一升初二暑假衔接班数学教程

初一升初二衔接课程
数学
目录
第一部分——温故知新
专题一整式运算 (1)
专题二乘法公式 (3)
专题三平行线的性质与判定 (9)
专题四三角形的基本性质 (11)
专题五全等三角形 (14)
专题六如何做几何证明题 (17)
专题七轴对称 (22)
第二部分——提前学习
专题一勾股定理 (25)
专题二平方根与算数平方根 (29)
专题三立方根 (32)
专题四平方根与立方根的应用 (35)
专题五实数的分类 (39)
专题六最简二次根式及分母有理化 (42)
专题七非负数的性质及应用 (46)
专题八二次根式的复习 (49)
第一部分——温故知新
专题一 整式运算
1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式中的 叫做单项式的系数
单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式
多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为
4.整式加减实质就是 后
5.同底数幂乘法法则：n
m n m a a a +=·
（m .n 都是正整数）；逆运算=+n
m a
6.幂的乘方法则：()
=n
m
a （m .n 都是正整数）
；逆运算=mn
a 7.积的乘方法则：()=n
ab （n 为正整数）；逆运算=n
n
b a
8.同底数幂除法法则：n
m n m a
a a -=÷（a ≠0，m .n 都是正整数）；逆运算=-n
m a
9.零指数的意义：()010
≠=a a ；
10.负指数的意义：()为正整数p a a
a
p p
,01
≠=
- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式
知识点1.单项式多项式的相关概念
归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）
A ．没有加减运算的式子叫单项式
B .3
5ab
π-
的系数是35-
C .单项式－1的次数是0
D .3222
+-ab b a 是二次三项式 例2.如果多项式()1132
+---x n x
m 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值
知识点2.整式加减
归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式(
)⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+--831332
2xy y kxy x 中不含xy 项，求k 的值
知识点3.幂的运算
归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。

例4.已知5,3==n m
a a
求（1）n m a 32+的值 （2）n m a 23+的值
例5.计算 （1）2010
2011
324143⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪
⎭⎫
⎝⎛- （2）()10
1
2201021---+⎪⎭
⎫ ⎝⎛π
知识点4.整式的混合运算
归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。

例6.先化简，再求值：(
)()()b a b a b b
ab b a +--÷--3
222，其中1,2
1-==b a
知识点5.运用幂的法则比较大小
归纳：根据幂的运算法则，可以将比较大小的题分为两种：①化为同底数比较；②化为同指数比较
例7.比较大小 （1）3344555,4,3===c b a （2）25
314132,16,8===c b a
1.若A 是五次多项式，B 是三次多项式，则A +B 一定是（ ）
A .五次整式
B .八次多项式
C .三次多项式
D .次数不能确定
2.已知3181=a ，41
27=b ，61
9=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＞c ＞a 3.若1
4
2-=y x
，1
3
27+=x y ，则y x -等于（ ）
A ．－5
B .－3
C .－1
D .1 4.下列叙述中，正确的是（ ）
A .单项式y x 2的系数是0，次数是3
B .a 、π、0、22都是单项式
C .多项式1232
3
++a b a 是六次三项式 D .
2
n
m +是二次二项式 5.下列说法正确的是（ ）
A .任何一个数的0次方都是1
B . 多项式与多项式的和是多项式
C . 单项式与单项式的和是多项式
D .多项式至少有两项
6.下列计算： ① 0(1)1-=- ② 1(1)1--=- ③ 2
1222-⨯=
④ 2
213(0)3a a a
-=≠ ⑤ 22()()m m a a -=- ⑥ 32
3
21a a a a
÷⨯
=正确的有（ ） A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
7.在()()y x y ax -+与3的积中，不想含有xy 项，则a 必须为 .
8.若()()
q a a pa a +-++382
2
中不含有2
3a a 和项，则=p ，=q .
9.比较大小
（1）11
142081,27,9===c b a （2）751003,2==b a (3)1220245,4,2===c b a
10.计算（1）()
()3
10
22122-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----π （2）2006
2005
532135⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛
专题二 乘法公式
1.平方差公式：()()2
2b a b a b a -=-+
平方差公式的一些变形：
（1）位置变化：()()=+-+a b b a 2
2
b a -=
（2）系数变化：()()=-+b a b a 5353 2
2
259b a -=
（3）指数变化：()()
=-+2323n m n m 4
6n m -=
（4）符号变化：()()b a b a ---= ()
2
222a b b a -=--=
（5）数字变化：98×102=（100－2）×（100+2）=10000－4=9996
（6）增项变化：()()=+-++z y x z y x ()22222
2y z xz x y z x -++=-+=
（7）增因式变化：()()(
)()()()()
=++-=+++-44222244
2
2
b a b a b a b a
b
a b a b a
8
8b a -=
2.完全平方公式：()()2
22
222
2,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+
完全平方公式的一些变形： （1）形如()2
c b a ++的计算方法
()=++2c b a ()()222222222c bc ac b ab a c c b a b a +++++=++++=
（2）完全平方公式与平方差公式的综合运用
()()=--++c b a c b a 22 ()()2222
2242c bc b a c b a ---=+-=
（3）幂的运算与公式的综合运用
()()=-+2222b a b a ()42242228164b b a a b a +-=-=
（4）利用完全平方公式变形，求值是一个难点。

已知：求的值,,ab b a - ：()()ab b a b a 42
2
+-=+，()ab b a b a 22
2
2+-=+
已知：求的值,,ab b a + ：()()ab b a b a 42
2
-+=-，()ab b a b a 22
2
2-+=+
已知：求的值,,2
2
b a
b a ++：()()2
222
b a b a ab +-+= 已知：()()求的值或,,,2
2
b a b a b a b a -+-+：()()4
2
2b a b a ab --+=
（5）运用完全平方公式简化复杂的运算
()998001120001000000110009992
2=+-=-=
知识点1.平方差公式的应用
例1.计算下列各题 （1）⎪⎭
⎫
⎝⎛-
⎪⎭⎫
⎝⎛+
y x y x 2131213122 （2）()()by ax by ax +--- （3）999×1001 例2.计算（1）()()()(
)
112
1212122006
4
2
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++ （2）
2013
201120122012
2
⨯- 知识点2.完全平方公式
例3.计算（1）2
22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x y x （2）()()c b a c b a 22++--+
例4.已知.1,3-==-ab b a 求（1）2
2
b a + (2) ()2
b a +
例5.已知1,5=-=+y x y x ，求xy 的值
知识点3.配完全平方式
归纳：配完全平方式求待定系数有三种情况，①求一次项系数（2个答案）②求另一个平方项（1个答案）③求另一个平方项的底数（2个答案）
例6.已知m x x +-842
是一个完全平方式，则m 的值为（ ） A .2 B . 2± C . 4 D . 4± 知识点4.技巧性运算
归纳：观察规律，找突破口，准确判断是添项还是拆项，熟记常见题型
例6.（1－
2
1）（1+21）（1－31）（1+31）（1－41）（1+41）···（1－101）（1+101）
例7.（1－221）（1－231）（1－241）···（1－291）（1－2101
）
例8.（1+21）（1+221）（1+421）（1+821）（1+1621）（1+322
1
）
例9.19902
－19892
+19882
－19872
···+22
－1
1.已知m+n =2，mn = －2，则m ²+n ²的值为（ ）
A .4
B .2
C .16
D .8 2.若n 为正整数，且72=n
x
，则n n x x 2223)(4)3(-的值为（ ）
A .833
B .2891
C .3283
D .1225
3.若2=-b a ，1=-c a ，则2
2)()2(a c c b a -+--等于（ ）
A .9
B .10
C .2
D .1 4.下列说法正确的是（ ）
A ．2x －3的项是2x ，3
B ．x －1和1
x
－1都是整式 C ．x 2+2xy +y 2与
5
x y
+都是多项式 D ．3x 2y －2xy +1是二次三项式 5.若单项式3x m y 2m 与－2x 2n －
2y 8的和仍是一个单项式，则m ，n 的值分别是（ ） A ．1，5 B ．5，1 C ．3，4 D ．4，3 6.下列多项式中是完全平方式的是( )
A .2x 2+4x －4
B .16x 2－8y 2+1
C .9a 2－12a +4
D .x 2y 2+2xy +y 2 7.若a －
1a =2，则a 2+21
a
的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 8.如果多项式92
++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A .±3
B .3
C .±6
D .6 9.2
4
8
323(21)(21)(21)
(21)1+++++的个位数字为（ ）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 8
10.下列叙述中，正确的是（ ）
A .单项式y x 2的系数是0，次数是3
B .a 、π、0、22都是单项式
C .多项式1232
3
++a b a 是六次三项式 D .
2
n
m +是二次二项式 11.下列说法正确的是（ ）
A .任何一个数的0次方都是1
B . 多项式与多项式的和是多项式
C . 单项式与单项式的和是多项式
D .多项式至少有两项
12.下列计算： ① 0(1)1-=- ② 1(1)1--=- ③ 2
1222-⨯=
④ 2
213(0)3a a a
-=≠ ⑤ 22()()m m a a -=- ⑥ 32
3
21a a a a
÷⨯
=正确的有（ ） A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 13.已知,x 、y 是非零数，如果5=+y
x xy
，则______________11=+y x .
14.()()(
)()
_________________44
2
2
=++-+b a
b
a b a b a .
15.乘积⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋯⋯⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2
22220001141
1311211219991-1=______________. 16. 若))(3(152
n x x mx x ++=-+，则m = .
17.已知12,3-==+ab b a ，则2
2b ab a +- =__________ 2)(b a -=__________.
18.已知()()7112
2
=-=+b a b a ，
，则ab 的值是 . 19.已知2
131⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+x x x x ，则的值为 .
20.已知2
235b a ab b a +==+，则，的值为 .
21.当x = ，y = 时，多项式1124942
2
-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值 是 .
22.若()()[]1320122
---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 .
23.若x
x x 2
04412，则=+-
的值为 . 24.若()()2
6323----x x 有意义，则x 的取值范围是 .
25.若代数式502142
2
++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y . 26.计算()()()()
2
5
2
1.010432--⨯-⨯-÷-的结果为 .
27.已知199819992000
201x x x x x ++=++，则的值为 .
28.多项式62
114
3
--+
+b a ab a m 是一个六次四项式，则=m . 29.若代数式7322
++a a 的值是8，则代数式9642
-+a a 的值为 . 30.已知y x y xy xy x -=-=-，则，1220的值为 . 31.计算()20016006
125.02⨯-的结果为 .
32.已知()
93
22
=x ，则x = .
33.若624232
2
-++=+n mn m n m ，则的值为 .
34.（1）()()()111011011094
2
++⨯+⨯+⨯ （2）2
22
2482521000-
35.若48,82
2=-=+y x y x ，求y －x 的值
36.（1）若16,9==+xy y x ，求2
2y x +
（2）已知()()4,162
2
=-=+y x y x ，求xy 的值
37.计算 ：(
)(
)(
)
13
131342006
4
2
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
38.已知7,252
2=+=+y x y x ，且x ＞y ，求x －y 的值
39.已知1=+b a ，3a b -=-，求22
3a ab b ++的值. 40.已知a －b =2，b －c =3，求a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值．
专题三 平行线的性质与判定
1.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行 2.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补 3.余角性质： 或 的余角相等 补角性质： 或 的补角相等
例1.如图，AB ，CD 被EF 所截，且∠AEG =∠CFG ,EM ,FN 分别平分∠AEG ，∠CFG 。

求证：EM ∥FN 例2.如图，直线AB ∥CD ，MH ，GN 分别平分∠EMB ,∠CNF ，求证：MH ∥NG 例3.如图，已知AB ∥CD ，分别探索下列两个图中∠B ,∠D ，∠E 之间的关系
3. 如图，已知AB∥CD，猜想下列三个图中∠B,∠D,∠E，∠F之间的关系
4.如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2l1、l2交于点C、D．点P在MN 上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时∠α、∠β、∠γ有何数量关系？（只须写出结论）
专题四三角形的基本性质
1．三角形三边的关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边
（2）三角形任意两边之差小于第三边
设a，b，c为三角形的三边，用不等式表示三边的关系
2．三角形内角和定理及推论
（1）定理：三角形三个内角的和等于180°
（2）直角三角形的两个锐角互余
3.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角
（2）三角形外角性质。

①三角形的一个外角等于和它不相邻的
②三角形的外角和等于
4.三角形具有稳定性
5.三角形中的三种重要线段
（1）三角形的角平分线：三角形内一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。

（2）三角形的中位线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中位线
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
注意：
（1）三角形的角平分线、中线、高线都是；角的平分线是
（2）三角形的三条角平分线、三条中线均相交于三角形一点：
三角形的三条高线：锐角三角形在三角形；钝角三角形在三角形；直角三角形在三角形。

α
β
γ
l
l
1
2
A
B
C D M
N
E
P
知识点1.三角形三边的关系
归纳：三角形三边的关系常用来判断三条已知线段能否构成三角形，确定三角形第三边的范围，以及证明
线段的不等关系。

三角形边长问题中，一定要注意判断三角形的存在性。

例1.如果三角形的两条边长分别为23cm 和10cm ，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为 cm
例2.在△ABC 中，AB =AC ，中线BD 把△ABC 的周长分为15和6两部分，求△ABC 各边的长
知识点2.三角形内角与外角
归纳：（1）在角的计算中，尽量转化在同一三角形内，根据内角和定理进行计算
（2）三角形外角性质是非常重要的知识点，通常结合角平分线、高线及三角形内角定理来解题较为常见
例3. 如图，某零件中∠BAC =90°，∠B ，∠C 应分别是
检验工人量得∠BDC =148°例4.已知△ABC 中，∠C =∠ABC =2∠A ，BD
是AC 求∠DBC 的大小 例5.如图，射线AD ，BE ，CF 构成如图所示的角， 求∠1+∠2+∠3等于多少？
www .czsx .com .cn
1.已知三角形的三个内角度数比是1:5:6Ａ．６０°
Ｂ．７５° Ｃ．９０° ２.现有２ｃｍ．４ｃｍ．５ｃｍ．８ｃｍ一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３.已知△ＡＢＣ为直角三角形，∠Ｃ＝９０°则∠１＋∠２等于 4.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是 度5.已知△ＡＢＣ中，ＣＤ为中线，ＡＣ＝３ｃｍ，ＢＣ=则△ＡＣＤ与△ＢＣＤ的周长相差 6.如图，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝４０°，∠ＡＣＢ＝１０４ＢＤ为ＡＣ边上的高，ＢＥ平方∠ＡＢＣ，求∠ＢＥＣ7.已知△ＡＢＣ，（１）图１，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和∠求∠Ｐ与∠Ａ的关系 （２）图２，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＥＣＢＤ和∠ＢＣＥ
专题五 全等三角形
1.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
（3）全等三角形对应边上的高，中线以及对应角的平分线
（4）全等三角形的周长、面积
2. 三角形全等的判定
（1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简称SSS ）
（2）两边及夹角分别对应相等的两个三角形全等（简称SAS ）
（3）两角及夹边分别对应相等的两个三角形全等（简称ASA ）
（4）两角及其一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称AAS ）
（5）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL ）
注意：两边一角（SSA ）和三角（AAA ）对应相等的两个三角形不一定全等
知识点1.三角形全等的证明问题
例1.如图，一直∠DCE =90°，CD =CE ,AD ⊥AC 于A ，BE ⊥AC 于B
例2.
知识点2.多次证明三角形全等
归纳：有些线段或角的问题只用一次三角形全等无法证明，所以，需要进行2次证明三角形全等。

例3.如图，AB =CD ，AE =DF ，CE =BF ，求证：BE ∥CF
知识点3.三角形中的和、差、倍、分问题
归纳：利用三角形全等来证明线段的“和”“差”“倍”“分”，一般采用————截长或补短的方法
①截长法：就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条线段中的一条线段，然后证明剩下的线段等
于两条短线段中另一条线段。

当遇到角平分线时，以角平分线为公共边在较长的边上截取相等部分的方法，构造三角形全等
例4.如图，AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，点D 、E 、C 在同一直线上，证明：AD +BC =AB
②补短法：就是延长两条短线段中的一条线段，使延长线的部分等于两条短线段中的另一条线段，
再证明延长后的线段等于长线段
当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等
例5.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，且CD =AB ，∠ADB =∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，
求证：AC =2AE C E D
B A
1.下面两个等腰三角形一定全等的是（ ）
A .边长分别为2和3的两个等腰三角形
B .边长分别为3和5的两个等腰三角形
C .边长分别为4和7的两个等腰三角形
D .边长分别为5和11的两个等腰三角形
2.如图，AB =AC ,AD =AE ,AB ,DC 交于点M ，AC ,BE 交于点N ，∠DAB =∠EAC ，证明：AM =AN
4.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 中点，过E 做EF ∥AD ，交AB 于G ，交CA 的延长
线于F ，求证：BG =CF
5.如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠1=∠2，CE ⊥BD ，CE 交BD 的延长线于E ，
求证：BD =2CE
6.证明：在直角三角形中30°所对的直角边等于90°角所对的斜边的一半
专题六 如何做几何证明题
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种
基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如
证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直
到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看
成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在
实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图
形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题
的目的。

1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可
化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂
线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1.已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF
分析：由∆A B C 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒
A B 45，由D 是AB 中点， 可考虑连结CD ，易得C DA D =，∠=︒D C F 45。

从而不难发现∆∆D C F D A E ≅ 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的
中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又
是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆E F G
是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同
旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个
角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图所示，设BP 、CQ 是∆A B C
的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BC 分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。

同理，延长
AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。

从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解
成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C
=︒==90。

求证：FD ⊥ED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）
例5. 已知：如图，在∆A B C 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求证：AC
＝AE ＋CD
分析：在AC 上截取AF ＝AE 。

易知∆∆A E O A F O ≅，∴∠=∠12。

由∠
=︒B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。

∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：A B Q P H
C K A B C
D
E
F F E D
C B
A
A C E D F
B A
O E B
D C
∆∆F O CD O C F C D C
≅∴=， （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较
长线段。

（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒E A F 45。

求证：EF ＝BE ＋DF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不妨延长CB 至G ，
使BG ＝DF 。

1.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 上一个动点，若∠B ＝60°，AB ＝BC ，且∠DEC ＝60°；求
证：BC ＝AD ＋AE
2.如图所示，已知∆A B C
为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝ED
3. 已知如图，在Rt △ABC 中，AB =CD ，∠ABC =90°，∠ABD =∠DBC ，CE ⊥BD 的延长线于点E ，证明：BD =2CE
A E
D
B C 4.图(1)中,C 点为线段AB 上一点,△ACM ,△CBN 是等边三角形,AN 与BM 相等吗?说明理由;
如图（2）C 点为线段AB 上一点, 等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在AB 的异侧,此时AN 与BM 相等吗?
说明理由;
如图（3）C 点为线段AB 外一点,△ACM ,△CBN 是等边三角形,AN 与BM 相等吗?
说明理由。

图(1) 图
(2) 图(3) 专题七 生活中的轴对称
1.角平分线
（1）角平分线上的一点到角两边的 相等
（2）角的内部到角两边距离相等的点，一定在这个角的
2.线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 相等
E
D C B A A B D C
E N A
C
M B
M N C B A C B F E D
C
B A M N
（2）到线段的两端点的距离相等的点在这条线段的
3.等腰三角形
（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，两边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线重合叫做“”
（3）等边三角形：是特殊的等腰三角形，其中有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形同样具备“三线合一”的性质
4．含30°的直角三角形
在直角三角形中30°所对的直角边等于90°角所对的斜边的一半
知识点1.角平分线及线段垂直平分线
例1.如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90°，证明：AC+CD=
例2.如图，△ABC中，AB=10，AC=6.BC的⊥平分线分别交
例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD
求，∠B的度数
知识点2.等腰三角形与等边三角形
例4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夹角为20°，则顶角为多少度？
例5.如图，在△ABC中，AB=AC，E为BC中点，BD⊥AC，垂足为D，若∠EAD=20°
例6.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD
1.如图，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11CM,则△ABD的周长为cm
2.如图，在△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC= 度
3.如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=
4.如图，DE是△ABC中AB
若∠B=30°，求∠C的度数
5.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E都在
6.如图，△ABC，AB=AC，D在AB上，
试探究DF
专题一 勾股定理
一、勾股定理：
1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a ²+b ²=c ²。

二、勾股定理的证明：常用的是拼图法
用拼图法验证勾股定理的思路是：1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积是不会改变的；2）根据同一图形的面积不同的表示方法，列出等式，推到出勾股定理。

常见的方法如下：
方法一：
做8
a 、
b 、
c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
方法二：
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四
个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、
F 、C 三点在一条直线上，C 、
G 、D 三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +. ∴ ()22214
c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.
方法三：
以a 、b 为直角边（b >a ）， 以c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE ,
∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.
∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -. ∴ ()2
2214c a b ab =-+⨯.
∴ 222c b a =+.
三、勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间嗦存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边不具备这一特征，因而在应用勾股定理的时候，必须知道考察的对象是直角三角形。

四、勾股定理的应用：
1.已知直角三角形的任意两边，求第三边
知道直角三角形一边，可得到另外两边之间的数量关系
五、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a ,b ,c ,满足a ²+b ²=c ²，那么这个三角形就是直角三角形，c 边就是斜边。

1.勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它是通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a ²+b ²与最长边的平方c ²作比较，若a ²+b ²=c ²，则是直角三角形，若a ²+b ²<c ²，则是钝角三角形，若a ²+b ²>c ²，则是锐角三角形。

注：不要误认为三角形的最长边一定就是c 边，也可用是a ,b 边，要看清题目。

六、勾股数：
1. 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 以及它们各自的相同倍数（整数倍，小数倍）
2.对于两个任意的正整数m ,n （m >n ）,则m ²+n ², m ²－n ²,2mn 也成勾股数。

且(m ²－n ²)²+(2mn )²=(m ²+n ²)²。

七、有关“蚂蚁怎样走最近”的问题：
通常的做法是将立体图形展开成为平面图形，然后再在平面图形上找准与立体图形相对应的点，连结两点之间的线段就是最短距离。

1.勾股定理的直接应用：
例1.正方形的面积是2，它的对角线长为_______。

2.求第三条边的长：
225 400 A 225 400 B 256 112 C 144
400 D 例2.在直角三角形中，a =3 b =4.第三边的平方是________。

例3.已知两条线段的长为6cm 和8cm ，当第三条线段取__________时，这三条线段能组成一个直角三角形。

3.与高，面积有关：
例4.两个直角分别是3和4的直角三角形斜边上的高是_________。

例5.等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是_______cm ².
4.判断三角形的形状:
通常做法是找较短的两条边，求它们的平方和，再和最长的边的平方进行比
较。

5.求线段的长：
例6.在直角三角形中，∠C =90度，∠1=∠2，CD =1.5 BD =2.5，求AC 的长。

6.求最短距离：
例7.如图所示，蚂蚁要从棱长为5cm 的正方体的A 点爬到B 点，问最短距离是多少？
7.有关梯子的问题：一般情况下，隐含的条件是墙与地面垂直，自己做示意图，再求解。

例8.长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45度角，作业时调整为60度角，则梯子顶端沿墙角而升高了_____m .
8.有关旗杆的问题：一般情况下隐含的条件是旗杆与地面垂直，自己作示意图，再求解。

例9.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A . 2cm
B . 3cm
C . 4cm
D . 5cm
2.求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

=A S =B S =C S =D S
3.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm
2.8米
9.6米
5.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm ，高是30cm ，一只小蚂蚁在圆筒底的A 处，它想吃到上底与下底面中间与A 点相对的B 点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？
6.如图折叠长方形的一边BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB =3，BC =5，求折痕EF 的长．
7.如图所示，已知四边形ABCD 中，AD =3cm ，AB =4cm ，DC =12cm ，BC =13cm ，且AB ⊥AD 。

求四边形ABCD 的面积。

8.如图14.2.7，已知CD ＝6m ， AD ＝8m ， ∠ADC ＝90°， BC ＝24m ， AB ＝26m ．求图中阴影部分的面积．
9.如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形
ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．
（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，
a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值；
（2）根据以上规律写出a n 的表达式．
10.A 、B 与建筑物底部D 在一直线上，从建筑物顶部C 点测得A 、B 两点的俯角分别
是30°、60°，且AB =20，求建筑物CD 的高。

11.某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
12.如图，要为一段高5米长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯
_______米。

专题二 平方根与算数平方根
一、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的
算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；
（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；
（3）a 0≥（0≥a ）。

二、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根
（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“－a ”,读作“负
根号a ” ，它们互为相反数；
B
C
A 30° A E
B
C D F
5m
13m。