2018西城区初三二模数学试卷及答案

北京市西城区2018年初三二模试卷
数 学 2018. 6
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是
A ．3
B ．13-
C ．3-
D ．13
2．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：
鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是
A ．平均数
B ．众数
C ．中位数 D
．方差
6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面
的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y
与时间x
的函数关系的是
7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是
8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为
A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数
2
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．
若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =
；若用阴影部分
围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211
(1)
(1)
n n n n n y x x +++=-
+
与x 轴交于A n ，B n 两点，
若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；
11222011A B A B A B +++ 的值为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181
---⎪⎭
⎫ ⎝⎛--- ．
14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．
求证：AE =BE ．
15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.
16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()2
2()x y y x y +-+的值．
17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数m
y x
=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积．
18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的
统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：
（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；
（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型
客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所
需费用．
20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使
DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．
（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．
21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．
22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB
与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．
请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；
（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角
三角形；
（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝
角三角形．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为
x 1，x 2，则12b
x x a +=-，12c x x a
⋅=． 解决下列问题：
已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为
正数？写出你的结论并说明理由．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．
（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；
（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；
（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴
正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；
（2）若抛物线212y x m k =-
++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；
（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，
E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．
北京市西城区2018年初三二模试卷
数学答案及评分标准 2018.6
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=1
12
- ……………………………………………………………4分 =3
2
． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分
∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，
∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分
解得2k <． ……………………………………………………………………2分
（2）∵2k
<，
∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分
∴ 1
42a b c ===，
，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分
代入求根公式x =，得2x =
=-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-
16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122
=+xy x ①，152
=+y xy ②，
∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分
17．解：（1）∵ 反比例数m
y x
=
()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，3
22
m n ==-．
∴ 反比例函数解析式为3
y x
=-
．………………………1分 点B 的坐标为3
(2)2
B -，．……………………………2分
∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，
3
(2)2
B -，两点，
∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩
解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
∴ 一次函数的解析式为11
22
y x =--．……………………………………3分
（2）设一次函数11
22
y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．
∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5
=4
． …………………………5分
18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分
（2）
………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .
解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，
∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形.
∵4CD =，
∴ MN =CD = 4．
∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，
∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ．
∴ △ADM ≌△BCN ．
又∵10AB =，
∴ AM =BN =()11(104)322
AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分
∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，
∴
4DM =．
∴ 4tan 7DM ABD BM ∠=
=．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，
∴ ∠F =90︒．
∵∠DMN =90︒，
∴ ∠F =∠DMN .
∴ DM ∥EF ．
∴ △BDM ∽△BEF ．
∵ DE BD =，
∴ 12
BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分
∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分
21．（1）证明：如图4．
∵ 点A 是劣弧BC 的中点，
∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分
又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，
∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴ AB AD AE AB
=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分
（2）解：∵ AE =2，ED =4，
∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．
∴AB =．………………………………………………………4分
∵ BD 为⊙O 的直径，
∴ ∠A =90︒．
又∵ DF 是⊙O 的切线，
∴ DF ⊥BD.
∴ ∠BDF =90︒．
在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．
∴ ∠ABC =∠ADB =30︒.
∴∠DEF=∠AEB=60︒，
903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．
∴ △DEF 是等边三角形．
∴ EF = DE 5分
22．解：（1）
……………………………………………………1分
（2）
……………………………………………………3分
（3）
……………………………………………………5分
23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分
（2）2c a
．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．
理由如下：
设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (
,0)2c a ，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，
∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a
＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．
∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，
∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数．
∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）
∴ A M B x x x <<，即22c m a <<．
∴
5572c m a +<+<，即572N c x a
+<<． 以下判断52c a +与B x 的大小关系： ∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0，
∴ 66(42)(
5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a +-+-+-=+-===>． ∴B x a
c >+52． ∴ 52N B c x x a
>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，
∴B N y y >，即0y >.
∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分
24．解：（1）52，265
．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8，
∴ 82PD DF PF t =-=-．
在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．
即()2228364t t -=+．
解得 78
t =
．…………………………………4分 ∴ t 为7
8时△PDE 为等腰三角形． （3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84
EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠
∴.90︒=∠=∠BFH DGH
∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，
3
84
D H D F F H t =-=-， .532535
4438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=，
∴ 28DP t =-．
由DP=DG 得3322855t t -=-+
． 解得 7213t =
． …………………………………………………………………5分 检验：724613
<<，此时点P 在DE 边上.
∴ t 的值为7213
时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PF PBF BF
∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS ∠=
． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．
此时()5725821854cos cos +-=-=
⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5
545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 5245115545
66-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ． ∴ 728tan 1124
PS t PBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124
t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩ （以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）
25．解：（1）B
，………………………………………………………1分 C
．………………………………………………………3分
（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B
点的坐标为,2)B k m +， C
点的坐标为,2)C k ．
如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，
两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．
由三角形中位线的性质可得点D
的坐标为,)D k m +，点E
的坐标为)E k ．
由勾股定理得DE ． ∵
DE= ∴ m=4． ……………………………4分
∵ D
恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为
， ∴
=．解得k=1．
此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E
两点的坐标分别为D
，E ． ∴
OD =
OE =
∴ OD=OE=DE ．
∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=
12．……………………6分 （3）E 1，E 3
点的坐标分别为1E ，E
3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．
则
1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得
.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴ 直线13E E
的解析式为2
m y =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.
∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．
∵ D 1，D 3
两点的坐标分别为11)D m +
，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4．
∴ 1313D D E E =．
∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．
设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）
可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝
⎛- ∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =
︒⋅=∠⋅= ∴
1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。