兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文

兰州一中2017—2018—2学期高二年级期末考试试题
数 学（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷(选择题，共60分）
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线错误!x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30° B ． 60° C ． 120°
D ．150°
2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2
{|230}B x x x =-->，则A B =
A ．(,1)(3,)-∞-+∞
B ．(1,2]-
C ．[2,1)--
D ．(,2]
(3,)-∞+∞
3．等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且满足4
1020a
a +=，则13S =
A ．130
B ．150
C ．200
D ．260
4．若命题“∃
∈0x R ，使得01)1(02
0<+-+x a x "是真命题，则
实数a 的取值范围是
A ．（－1，3)
B ．［－1，3]
C ．(,1)
(3,)-∞-+∞
D ．(,1][3,)-∞-+∞
5。

已知 2.1
0.5a =，0.5
2b =， 2.1
0.2c =，则a 、b 、c 的大小关
系是
A ．
a c
b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A 。

新农村建设后，种植收入减少
B 。

新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C ． 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（
）a b a ，则|2|-=a b A ． 2 B ． 23 C ． 4
D ．8
8．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是
A ． ?7<k
B ． ?6<k
C ．?9<k
D ．?8<k
9．已知实数y x ,满足24
122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
，则2z
x y 的最小值是
A ． 2
B ．2-
C ．4
D ．
4-
10．某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，
则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．2
B ．3
C ．25
D ．217
11．已知函数()cos(2)3sin(2)f x x x ϕϕ=--
-（||2
π
ϕ<
）的图象
向右平移12π
个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为
A ．12π
B ．6π
C ．3π-
开始
l o g (1)k
S S k =⋅+是
结束
S 输出1
k k =+否
2,1
k S ==
D ．3
π
12．
已知函数
20()1
2
x x f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩,则不等式2
(2)(2)f x
x f x -<的解
集为 A ．
(,0)(4,)-∞+∞
B ．(,0)(2,)-∞+∞
C ．(,2)-∞
D ．(2,4)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知
lg lg 1
x y +=，
则
的最小值
是 ． 14．若直线1
:m 60l x y ++=与直线2
:(m 2)320l
x y m -++=平行，
则实数m 的值为 ．
15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上
是减函数，则不等式
(1)(ln )f f x -<的解集是
．
16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ，C ,D ,已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分） 已知在等比数列}{n
a 中，11
=a
，且2a 是1a 和13-a 的等差中
项．
（Ⅰ）求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ）若数列}{n
b 满足)(12*N n a n b
n n
∈+-=，求数列}{n b 的前n
项和n
S ．
18．
（本小题12分）
已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-．
(Ⅰ)求()x f 的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦
上的最大值及取得最大值时x 的值．
19．
(本小题12分）
在ABC
∆中,角
,,A B C
所对的边分别为
,,a b c
，已知
tan cos cos )c C a B b A =+.
（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ)若点
D 在边BC 上,且4AD CD ==，ABD ∆的面积为求c 。

20．
（本小题12分）
某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高
三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:
（Ⅰ)求出表中数据，；
（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；
（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛"的情况有多少种，我们可以发现:它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的。

现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三(5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
附:
2
2
(),
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
21．（本小题12分）
如图，在四棱锥P ABCD
-中，底
面ABCD为正方
形,PD DA
⊥。

⊥,PD DC
（Ⅰ）若E是PA的中点，
求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ)若4
==，PE AE
=，
PD AD
求三棱锥A BED
-的高.
22。

（本小题12分）
已知直线l：420
++=，半径为4的圆C与直线l相
x y
切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A 在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在,请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

兰州一中2017-2018—2学期高二年级期末试题答案
数 学（文)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
B D A
C
D A B D A C B A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2 14．1- 15．()10,,e e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝
⎭
16．318
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分） 已知在等比数列}{n
a 中，11
=a
，
且2a 是1a 和13-a 的等差中项．
（Ⅰ）求数列}{n
a 的通项公式；
（Ⅱ)若数列}{n
b 满足)(12*N n a n b
n n
∈+-=,求数列}{n b 的前n
项和n
S ．
解：（Ⅰ）设公比为，则，，
∵是和
的等差中项,∴
，
,
解得或
(舍），∴
． ...。

..。

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5分
(Ⅱ），
则．...。

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.....。

.10
分
22．
（本小题12分）
已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-．
(Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
上的最大值及取得最大值时x 的值．
解:(Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16
x π+-
1cos 21
sin 23cos 4-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=x x x 23sin 22cos 13sin 2cos22sin 26x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪
⎝⎭。

....。

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4分
故
()
f x 最小正周期为
π。

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.5分 由2222
6
2
k x k πππππ-≤+≤+得3
6
k x k ππππ-≤≤+
故
()
f x 的单调递增区间是
,,36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦． 。

....。

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.
8分
（Ⅱ）因为64
x ππ
-≤≤
，所以226
6
3
x ππ
π-≤+
≤
．
于是，当
26
2
x π
π
+
=
,即
6
x π
=
时，()f x 取得最大值
2.。

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.。

.12
分
23．
(本小题12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
tan cos cos )c C a B b A =+。

（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若点
D 在边BC 上,且4AD CD ==，ABD ∆的面积为求c .
解：（Ⅰ)由
tan cos cos )c C a B b A +及正弦定理可得
sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，
而
sin sin()0C A B =+>,所以tan C =3
C π
=。

...。

....。

........。

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..。

.。

6分
(Ⅱ）由4AD CD ==及3
C π=可得AC
D ∆是正三角形. 由
ABD ∆的面积为12sin 2
3
AD BD π
⋅⋅=
1
422
BD ⨯⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中,由余弦定理可得
222248248cos
1123
c π
=+-⨯⨯⨯=， 即
c = 。

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..。

..12分
24．(本小题12分)
某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:
（Ⅰ)求出表中数据，；
(Ⅱ）判断是否有99％的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；
(Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的。

现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访,请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
附：
2(),()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++解:（Ⅰ)根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50—20=30(人）,
n =75
—25=50(人） ………………………………………
………………………3分
(Ⅱ）因为2
2125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++,所以有99％的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分
(Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为
{A ，B ｝{A ，C }｛A ，D }{A ,E ｝{A ，a ｝｛A ,b }｛B ,C ｝{B ,D ｝{B ,E }{B ,a }{B ，b }｛C ，D ｝｛C ,E }｛C ,a ｝
｛C ，b ｝｛D ，E ｝{D ，a }｛D ，b ｝｛E ，a ｝｛E ,b ｝{a ,b },共21种，
其中恰为一男一女的包括，
｛A ，a ｝｛A ,b ｝{B ,a }{B ，b ｝｛C ，a }{C ,b ｝｛D ,a ｝{D ，b ｝{E ，a ｝{E ，b },共10种.
因
此所求概率为1021P =。

…………………………
……………12分
25．（本小题12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，
PD DA ⊥，PD DC ⊥。

（Ⅰ)若E 是PA 的中点,求证：PC ∥平面BED ；
（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离。

解：（Ⅰ)设AC 交BD 于G ,连接
EG 。

在正方形ABCD 中，G 为AC 中
点，则在三角形ACP 中，中位
线 EG ∥PC ，
又EG ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ,
∴PC ∥平面BED 。

.....。

...。

5分
（Ⅱ)在PAD ∆中,设
AD 的中点为O ，连接EO ，则122
EO PD ==，且EO ∥PD
又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥,∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD .
又4PD AD ==
，∴DE AE DB BE ==== ∴ 三角形BED 为直角三角形. 又∵A BDE E ABD V
V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ) ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴
11114423232
h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 解
得h =. 所以点A 到平面BED 的距离
为。

.。

..。

.。

12分
26．（本小题12分） 已知直线l
：0x y ++,半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方。

（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ)过点M (2,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方）,问在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴平分∠ANB ？若存在,请求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.
解：（Ⅰ)设圆心C （a ，0)
（a >-，
4=⇒a ＝0或a
＝-（舍）.
所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝
16。

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....。

.4分
（Ⅱ)当直线AB ⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，
假设N （t ，0） (0)t >符合题意,又设A （x 1，y 1)，B (x 2，y 2),
由22(2)16
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1）x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0， 所以x 1＋x 2＝2
241k k +，x 1x 2＝
224161k k -+. .。

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6分
若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN …………8分 即 错误!＋错误!＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)
k x x t --＝0
⇒2x 1x 2－(t ＋2）(x 1＋x 2)＋4t ＝0 ⇒222(416)
1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝
8。

…………11分
所以存在点N为(8，0)时,能使得∠ANM＝∠BNM总成立. ……………12分。