2006年全国高中数学联赛模拟试题(五)

2006年全国高中数学联赛模拟试题五（一试）
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分）
1．122320061sin cos sin cos sin cos x x x x x x +++ 的最大值是 ( ) A ．1002 B ．1003 C ．1003.5 D ．小于1002
2．已知,,,a b c d 都是偶数，且0a b c d <<<<，90d a -=，若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，则a b c d +++的值等于 （ ） A ．194 B ．198 C ．200 D ．204
3．已知关于x 的实系数方程4
3
2
0x ax bx cx d ++++=的四个复数根皆为虚根，其中两根之积为13i +，另两根之和为34i +，则实数b 的值为 （ ） A ．25 B ．26 C ．51 D ．145 4．若{}1,2,...,100
n ∈且n 是其各位数字和的倍数,则这种n 的个数是 （ ）
A ．29
B ．31
C ．33
D ．34
5．在平面直角坐标系上有两个圆221:(3)9O x y ++= ，222:(5)25O x y -+= ，以y 轴为折痕，将左右两个半平面折成大小为α
的二面角，若折起后两圆的圆周均在以
3
为直径的球面上，则二面角的大小为 （ ） A ．
6π B ．3π C ．2
π D ．23π
6．将五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使与原所在平面成直二面角，则
所形成的空间图形中，共有异面直线的对数为 （ ） A ．30 B ．50 C ．56 D ．60 二、填空题（本大题共6小题，每小题9分）
7．n 个正整数组成的集合12{,,,}n a a a 满足条件：对12{,,,}n a a a 的任意两个子集，它们各自元素的和不同．则
2
1
n
i
i a
=∑的最小值为 ．
8．设2
()cos f x x ax b x =++，{}{}
()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件
的所有实数a ，b 的值分别为 ． 9．已知,,x y z R +
∈，则
(15)(43)(56)(18)
xyz
x x y y z z ++++的最大值为 ．
10．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交
于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2
CD AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
11．将等差数列{n a }：*4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到 大排成一个数列{n b }，则2006b 的值为 .
12．有5对孪生兄妹参加k 个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.则k 的最小值为 .
三、解答题（本大题共3小题，每小题20分）
13．右图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图，线条为道路．甲从A （0，0）点出发按最短路程走向B （4，3）点，乙从B 点按最短路程走向A 点．如果甲乙两人同时出发，并且以相同的速度前进．那么，甲和乙在路上相遇的概率是多少？
14．已知椭圆222484840x y kx ky k +--+-=（k 为参数），问是否存在一条定直线，使得该直
.
15．已知 ,1
,5,12
12
1121++=
==--+n n n n n a a a a a a a 求}{n a 的通项公式．
2006年全国高中数学联赛模拟试题五（二试）
一、在ABC ∆中，H 为垂心，满足222
7AH BH CH ++=，且3AH BH CH =
，求: （1）ABC ∆的外接圆半径； （2）ABC S ∆达到最大值时三条边的长度．
二、试确定下式的最小值：
11221201
max |()()()|i n n n x F x F x F x x x x ≤≤+++-
（对一切可能的实值函数()(01,1)i F t t i n ≤≤≤≤）．
三、设自然数 k 满足121001100，1,2,,100,,k a a a << 对的任一个排列，取最小的m k >，使
12,,,m k a a a a 至少小于中1k -个数，已知满足1m a =的数列的个数为
100!
4
．求k ．
2006年全国高中数学联赛模拟试题（五）参考答案
一试： 一、选择题
1．122320061sin cos sin cos sin cos x x x x x x +++ 的最大值是 ( ) A ．1002 B ．1003 C ．1003.5 D ．小于1002
答 1003．
解 因为 1223s i n c o s s i n
c o s x x x x +
++ 1s i n c o s n
x x 2212
sin cos 2
x x +≤
+ 2
2
2
2
231sin cos sin cos 222n x x x x n ++++= ，当124n x x x π
==== 时等号成立，所以，欲
求的最大值为2
n
＝1003
2．已知,,,a b c d 都是偶数，且0a b c d <<<<，90d a -=，若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，则a b c d +++的值等于 （ A ） A ．194 B ．198 C ．200 D ．204
3．已知实系数方程4
3
2
0x ax bx cx d ++++=的四个复数根皆为虚根，其中两根之积为13i +，另两根之和为34i +，则b ＝ ． 解：51
4．若{}1,2,...,100n ∈且n 是其各位数字和的倍数,则这种n 的个数是 （ C ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．34
简解：设10,|10n ab a b a b a b ==+++，当a,b 中有一个为0时，显然合于要求，于是所有一位数，及末位为0的二位数与三位数100皆合要求，这种n 有19个。

当a,b 皆不为0，
1091a b a a b a b +=+++
，则9a
a b
+为整数。

若（a+b ，3）=1，将导致a+b|a ，不合，因此3|a+b ，这
时a+b ∈{3，6，9，12，15，18}，如果a+b=偶数，则9a 为偶数，,a b ∴为偶数，因此在a+b=6
时，只有42，24两数适合，a+b=12时，只有48，84两数适合，a+b=18时无解。

在a+b=3时，只有12，21适合，在a+b=9时，使a ，b 不为0的解有18，27，...，81，共8个，在a+b=15时，由935a a a b =+，得a=5，则b=10，不合，因此共有解19+2+2+2+8=33个。

5．在平面直角坐标系上有两个圆221:(3)9O x y ++= ，2
2
2:(5)25O x y -+= ，以y 轴为折
痕，将左右两个半平面折成大小为α
的二面角，若折起后两圆的圆周均在以3
为直径的球面
上，则二面角的大小为 （ ）
A ．
6π B ．3π C ．2
π D ．23π
解：D
6．将五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线的对数为 （ B ） A ．48 B ．50 C ．56 D ．60 二、填空题
7．n 个正整数组成的集合12{,,,}n a a a 满足条件：对12{,,,}n a a a 的任意两个子集，它们各自元素和不同．则
2
1
n
i
i a
=∑的最小值为 ．
解：1(41)3
n
-
8．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}
()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．
答： 04a ≤<，b ＝0．
解： 设0x ∈{}
()0,R x f x x =∈，则0(0)(())0b f f f x ===．
于是()()f x x x a =+．故()2
(())()()()()f f x f x f x a x x a x ax a =+=+++．
显然a ＝0满足题意．
若0a ≠，由于20x ax a ++=的根不可能是0或者－a ，故2
0x ax a ++=没有实数根，于
是2
40a a ∆=-<，所以，04a <<． 综上所述，满足题设条件的a ，b 分别为：04a ≤<，b ＝0．
9．已知,,x y z R +∈，则
(15)(43)(56)(18)
xyz
x x y y z z ++++的最大值为为 ．
解：
15120
10．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交
于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2
CD AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
答
解 ：若60CDB ∠=︒，则18045C A
B ∠=︒-∠-∠=︒，ABD CDE A ∠=∠-∠，30=︒，所以，
CD BD AD >=，从而BCD ABD S S ∆∆>，于是，点E 在边BC 上．
A
C
C
A
不妨设AC ＝1，CD ＝k ．因为
21sin sin sin 22sin ABC b A C S ab C B ∆==
sin 30sin 452sin105︒︒
=
︒
，
同理可得 2
sin 60sin 452sin 75CDE k S ∆︒︒
=
︒
，
所以 2sin 60sin 452sin 75k ︒︒︒
1sin 30sin
4522sin105︒︒
=⋅︒， 故2
6k =
，即2
CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
6． 11．将等差数列{n a }：*4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到 大排成一个数列{n b }，则2006b 的值为 15043 .
解：由于6015=-+n n a a ，故若n a 是3或5的倍数，当且仅当15+n a 是3或5的倍数。

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段：
（0，＋∞）＝(0，60]∪(60,120] ∪(120，180] ∪…，注意第一个区间段中含有{n a }的项
15个，即3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，55，59．其中属于{n b }的
项8个，为：71=b ，112=b ，193=b ，234=b ，315=b ，436=b ，477=b ，598=b ，于是每个区间段中恰有15个{n a }的项，8个{n b }的项，且有k b b r r k 608=-+， k ∈N, 1≤r ≤8．
由于2006＝8×250＋6，而43
6=b ，
所以1504343250602506062006=+⨯=+⨯=b b ．
12．有5对孪生兄妹参加k 个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.则k 的最小值为 .
解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e 表示5对孪生兄妹，首先考虑(3)，不妨设A 只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A 参加的两个组必为ABCDE 和Abcde.然后继续编组，考虑使同组的人尽可能地多，而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中，只有从B,C,D,E 和b,c,d,e 各抽一人（非孪生关系），把这两个人与a 搭配，编成四组：Bac,Cab,Dae ，Ead 才能保证k 最小.最后将余下的没有同组的非孪生关系的每两人编成一组，即为Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc,Eb,Ec ，共8组，因此符合规定的k 的最小值是14. 三、解答题
13．右图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图，线条为道路．甲从A （0，0）点出发按最短路程走向B （4，3）点，乙从B 点按最短路程走向A 点．如果甲乙两人同时出发，并且以相同的速度前进．那么，甲和乙在路上相遇的概率是多少？ 答：
37
256
14．已知椭圆2
2
2
484840x y kx ky k
+--+-=（k 为参数），问是否存在一条定直线，使得该直. 答：22y x =± 15．已知 ,1
,5,
12
12
1121++=
==--+n n n n n a a a a a a a 求}{n a 的通项公式．
解：定义 ,4,3,,0,12121=+===--n F F F F F n n n 有所给关系式,有 )11)(11(112
1
2
2
1
-+++=+
n n
n a a a
有归纳法可得 ,2,1,)11()11(111
2
2
21
2
=++
=+
+n a a a n n
F F n
从而1121
22
5132)25
26(
211++++-==+
n n n n n F F F F F n
a
因此 ,2,1,)
15
13
2(2
121
1
2
=-=-
-+++n a n n n F F F n
其中 ,2,1,])251()251[(5
1
22=--+=--n F n n n
二试：
一、在ABC ∆中，H 为垂心，满足222
7AH BH CH ++=，且3AH BH CH = ，求: （1）ABC ∆的外接圆半径； （2）ABC S ∆达到最大值时三条边的长度．
解答：（1）（i ）当ABC ∆为锐角三角形时，设R 为ABC ∆的外接圆半径，s 为半周长，由余弦定理有：2222cos()AB AH BH AH BH πγ=+-- （其中ACB γ∠=） 因为AB=2R sin γ，2cos CH R γ=，
故22
AB CH +24R = 因而2222
4AH BH CH
R AH BH CH R
=+++
将题中等式代入有3
473R R =+ 即(1)(21)(23)0R R R ++-=
解得3
2
R =
（ii ）当ABC ∆为锐角三角形时，我们有：
22224AH BH CH R AH BH CH R
=++- 得3
473R R =-
即(1)(21)(23)0R R R --+=，因为33(2)AH BH CH R =< ，故解得1R =， 综上，ABC ∆的外接圆半径为
3
2
或1。

（2）因为4AB BC CA s R = ， 故2222222
2
(4)(4)(4)s 16R AH R BH R CH R ---=
设2
2
2
2
,,,4AH x BH y CH z R t ====。

则322
7()9
4t t t xy xz yz S t
-+++-=
不失一般性，设x y z ≥≥，则7
3
x ≥
，且有 29(3)(1)
(7)1515x x xy xz yz x x x x --++=+-=-≤
等号成立当且仅当3,x =因而322
7159
4t t t s t
-+-≤，
因为312R R =
=或
，故max S =ABC ∆为锐角三角形，3
2
R =
且1AH BH CH ==
二、试确定下式的最小值：
11221201
max |()()()|i n n n x F x F x F x x x x ≤≤+++-
（对一切可能的实值函数()(01,1)i F t t i n ≤≤≤≤）． 解答：详见 《高中数学竞赛专题讲座》 P100
三、设自然数 k 满足121001100，1,2,,100,,k a a a << 对的任一个排列，取最小的m k >，使
12,,,m k a a a a 至少小于中1k -个数，已知满足1m a =的数列的个数为
100!
4
．求k ． 解答：将12,,k a a a 重新排列成12k b b b <<< ，由m 的最小性，设2b t =，则
(1,2,1)m i a t a t i k k m <>=++- ， 当t 固定时.
由1.b t <且b 1不能为1，故b 1有t -2种取法，而3,,k b b t > 故有2100k t C --种取法，而将b 1,b 2,……b k 排列有k!种，于是确定12,,,k a a a 有 (t -2)2100k t C --k!种,而前面分析
(1,2,,1)i a t i k k m >⋅=++- ,而在大于t 的100-t 个数中除去34,,,k b b b 还有
100(2)102t k t k ---=--个数。

故有1
102m k t k A ----种取法,而1m a =是固定的,其余数
1n a +100a 排列有(100)!m
-种。

综上满足 1m a =的排列个数102103211001023
1
(2)!
(100)!k
t
k m k t
t k t m k T t C
k A m --------==+=
--∑∑
1021033
1102103311021033
1003
1
(100)!(102)!
(2)!(100)!
(2)!(102)!(103)!
(100)!(3)!(2)(1)(100)!
(103)!(3)!
(2)!(1)(100)!k
t
t m k k
t
t m k k
t
t m
t m k t k t t k m k k t t m m t t k k t t m t t k k t G --==+--==+----==+---=---------=------=---∑
∑∑
∑∑∑10221
100113
1023
1023
1022
1003
98(2)!(1)(100)!()
(100)!
(1)(100)!
(102)!(100)!(2)!(1)(100)!(102)!(2)!
!(100)!!(100)!k
t m m m k
n n n t k
t k t k k t
t k t k k t C
C C C k k k t k t t k k k k k t k k k C k k C ------=-=-=---=-=---=+-=
------=-----=-=-∑∑
∑
∑因198!
!(100)!
(1)!(99)!
(100)98!
k k k k k k =---=-
由已知100!4T =
，故有100!
(100)98!4
m k -⋅=
2100992504555k k k ⇒-+⨯=⇒=或。