推理闭包算子及其诱导的空间

泛函分析第二章知识点总结
泛函分析知识点总结Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第二类型集。

解释：完备的距离空间(X,d)(X,d)，∀x∈X∀x∈X都是内点，因为XX在XX中是开集。

一个无处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个XX，即XX不是第一类型集，所以只能是第二类型集。

注：完备的距离空间是第二类型集，那么它的闭包至少存在一个内点。

这个经常被用来证明。

例如，开映射定理、闭图像定理等。

闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。

导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤立点。

所以闭包是集合导集和孤立点组成的集合。

闭集在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

不动点定理压缩映射：设(X,d)(X,d)是距离空间，TT是XX到XX的映射，如果存在一个常数θ(0≤θ<1)θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈Xx,y∈X，满足下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称TT是XX上的一个压缩映射。

不动点定理：设XX是完备的距离空间，TT是XX到XX的压缩映射，则TT在XX上有唯一的不动点x∗x∗.即Tx∗=x∗Tx∗=x∗是方程Tx=xTx=x在XX上的唯一解。

Aa priori distribution 先验分布a priori probability 先验概率a summable a可和的abacus 算盘abbreviate 略abbreviation 简化abridge 略abridged notation 简算记号abscissa 横坐标abscissa of absolute convergence绝对收敛坐标abscissa of summability可和性坐标abscissa of uniform convergence一致收敛横坐标absolute 绝对形absolute address 绝对地址absolute class field 绝对类域absolute coding 绝对编码absolute cohomology 绝对上同调absolute conic 绝对二次曲线absolute convergence 绝对收敛absolute curvature vector绝对曲率向量absolute deviation 绝对偏差absolute differential calculus绝对微分学absolute error 绝对误差absolute extremes /extremum绝对极值absolute frequency/ geometry绝对频率/几何absolute inequality 绝对不等式absolute instability 绝对不稳定性absolute maximum /minimum绝对极大/小值absolute moment /neighborhood绝对矩/邻域absolute neighborhood retract绝对邻域收缩核absolute norm 绝对范数absolute number 不名数absolute parallelism 绝对平行性absolute quadric 绝对二次曲面absolute ramification index绝对分歧指数absolute rotation 绝对旋转absolute space 绝对空间absolute space time 绝对时空absolute term 常数项absolute unit 绝对单位absolute value 绝对值absolute value sign 绝对值符号absolute velocity 绝对速度absolutely continuous 绝对连续的absolutely continuous distribution 、function /measure/part绝对连续分布/函数/测度/部分absolutely continuous transformation绝对连续变换absolutely convergent 绝对收敛的absolutely convergent integral series绝对收敛积分/级数absolutely convex hull 绝对凸包absolutely discontinuous function 绝对不连续函数absolutely integrable 绝对可积的absolutely irreducible character/representation /variety绝对不可约特征/表示/簇absolutely normal number绝对范数absolutely prime ideal 绝对素理想absolutely unbiased estimator绝对无偏估计量absolutely unramified extension绝对非分歧扩张absorbing barrier/ set/ state吸收障碍/集/态absorption 吸收absorption coefficient/curve /factor/index/law/probability吸收系数/曲线/因数/指数/律/概率abstract 抽象的abstract algebra /mathematics抽象代数/数学abstract algebraic geometry抽象代数几何abstract category 抽象范畴abstract complex 抽象复形abstract group 抽象群abstract interval function抽象区间函数abstract number 不名数abstract ordered simplicial complex 抽象有序单纯复形abstract simplex 抽象单形abstract space 抽象空间abstraction 抽象abstraction operator 抽象算子absurd 谬论的absurdity 谬论accelerated motion 加速运动acceleration 加速度acceleration of convergence收敛性的加速acceleration of gravity 重力加速度acceptable quality level合格质量水平acceptance 肯定acceptance inspection 接受检查acceptance limit /line/ number接受界限/线/数acceptance probability/ region /zone接受概率/区域/带access 存取accessibility 可达性accessible boundary point /point /set可达边界点/点/集accessible ordinal number可达序数accessible vertex 可达顶点accessory extremal 配连极值accidental 偶然的accidental coincidence 偶然符合accidental error 随机误差accommodationaccumulated error 累积误差accumulating point 聚点accumulation 累积accumulation point 聚点accumulator 累加器存储器accuracy 准确性accuracy grade/rating准确度accuracy of measurement测量精确度acnod 孤点acount 计算action integral 酌积分action variable 酌变量active restriction 有效限制actual 真实的actual infinity 实无穷acute 尖锐的acute angle 锐角acute angled triangle; acute triangle锐角三角形acuteness 锐度acyclic 非循环的acyclic complex 非循环复形ad infinitum 无穷地adams circle 阿达姆斯圆adams extrapolation method阿达姆斯外插法adaptability 适应性adaptation 适应adapted basis 适应基add,plus 加added circuit 加法电路addend 加数adder 加法器addition 加法addition formulas 加法公式addition sign 加号addition system 加法系addition table 加法表addition theorem 加法定理addition theorem of probability概率的加法定理additional /additive加法的additional code 附加代码additional condition 附加条件additive category 加性范畴additive class 加性类additive functional 加性泛函数additive operator/process /relation加性算子/过程/关系additive separable 加法可分的additive theory of numbers 堆垒数论additivity 加法性address 地address part 地址部分address register 地址寄存器addressing 指定箱位adele 阿代尔adele group 阿代尔群adequate 适合的adherent point 触点adhesion 附着adjacency 邻接adjacency matrix 邻接矩阵adjacent angles/edge/side/ vertex邻角/棱/边/顶adjacent supplementary angles 邻角adjoint boundary value problem 伴随边值问题adjoint determinant 伴随行列式adjoint difference equation伴随差分方程(differential 微分)adjoint differential expression伴随微分式adjoint form/ function/ functor/group伴随形式/函数/函子/群adjoint graph 导出图adjoint linear map 伴随线性映射adjoint matrix 伴随阵(operator算子process过程representation表示space空间surface曲面system系)adjoint system of differential equations 微分方程的伴随系adjoint transformation 伴随算子adjoint vector 伴随向量adjunct 代数余子式adjunction 附加adjunction of an identity element 单位元的附加admissibility limit 容许界限admissible 容许的admissible category /chart容许范畴/容许图admissible control 可行控制admissible decision function/ rule容许判决函数admissible deformation容许形变(domain区域function函数homomorphism 同态,hypothesis假设lifting提升map 映射sequence序列space空间strategy策略subgroup子群test检定value值)affine algebraic set 仿射代数集(collineation直射变换connection联络curvature曲率)affine coordinates 平行坐标affine differential geometry仿射微分几何学affine distance 仿射距离affine group scheme 仿射群概型affine isothermal net 仿射等温网affine length /line /normal parameter仿射长度/直线/法线/参数affine principal curvature 仿射助率affinity 仿射变换affirmation 肯定affirmative proposition 肯定命题affix 附标after effect 后效酌aggregate 集aggregation 聚合agreement 一致air coordinates 空间坐标algebra 代数学algebra of events 事件场algebra of logic 逻辑代数algebra of tensors 张量代数algebra over k 环k上的代数algebraic 代数的algebraic adjunction 代数的附加algebraic branch point 代数分歧点algebraic calculus 代数计算algebraic closure 代数闭包algebraic closure operator代数闭包算子algebraic complement/cone代数余子式/锥algebraic correspondence 代数对应algebraic curve 代数曲线algebraic expression 代数式algebraic hull 代数包algebraic integer/irrational number 代数整数/无理数algebraic lie algebra 代数的李代数algebraic logic of pocket calculator 袖珍计算机的代数逻辑algebraic multiplicity 代数重度algebraic number 代数数algebraic operation 代数运算algebraic polynomial 代数多项式algebraic singularity 代数奇点algebraic space 代数空间algebraic spiral 代数螺线algebraic structure 代数结构algebraic sum /system 代数和/系algebraically closed field 代数闭域algebraically equivalent 代数等价的algebraically dependent elements代数相关元(independent无关)algebraization 代数化algebro geometric 代数几何的algebroid function 代数体函数algebroidal function 代数体函数algorithm 算法algorithm of division 辗转相除法algorithm of euclid 欧几里得算法algorithm theory 算法论algorithmic language 算法语言algorithmization 算法化alignment chart 列线图aliquot part 整除部分alligation 混合法allocation problem 配置问题allowable 容许的allowable defects 容许靠allowable error 容许误差allowance 允许almost all 几乎处处almost certain convergence几乎必然收敛almost everywhere 几乎处处almost impossible event 殆不可能事件almost invariant set 殆不变集almost periodic function 殆周期函数alpha capacity 容量alpha limit set 极限集alphabetical 字母的alphanumeric 字母数字式alphanumeric representation ofinformation 信息的字母数字表示alternate angles 错角alternating chain 交错链alternating differential form外微分形式alternating differential of differential form 微分形式的交错微分alternating direction method交替方向法alternating form 交错形式alternating function 反对称函数alternating group 交错群alternating harmonic series莱布尼兹级数alternating matrix 交错矩阵alternating method 交错法alternating product 外积alternating sequence 交错序列alternating series 交错级数alternating series test交错级数检验alternating sum 交错和alternation 交错alternative 交错;择一alternative algebra /field交错代数/域alternative hypothesis 择一假设alternative normal form 析取范式alternative proposition 选言命题altitude 高度altitude theorem 高度定理amalgamated product 融合积amalgamation 合并ambiguous point 歧点amicable numbers 亲和数amount 量amplitude 振幅;角amplitude of a complex number复数角analog computer 模拟计算机analogous 类似的analogue display 相似表示analogue method 相似法analogy 类似analysis 数学分析analysis of time series时间序列分析analysis of variance 方差分析analytic 分析的analytic arc 解析弧analytic completion /continuation解析开拓analytic curve 解析曲线dynamics 分析动力学analytic expression 解析式analytic function 分析函数analytic function of several variables 多元解析函数analytic geometry 分析几何学analytic index 解析指数analytic manifold 解析廖analytic method 解析法analytic proposition 解析命题analytic set 解析集analytic space 解析空间analytical differential 解析微分analytical geometry 分析几何学analytical hierarchy 解析分层analytical mappinganalytical transformation全纯映射analytically representable function 解析可表示的函数ancillary statistic 辅助统计量angle 角angle at center 圆心角angle between chord and tangent弦和切线的角angle function 角函数angle of contingence 切线角angle of declination 俯角angle of inclination 斜角angle of intersection 相交角angle of reflection 反射角angle of refraction 折射角angle of rotation 旋转角angular 角的angular acceleration 角加速度angular coefficient 角系数angular coordinates 角坐标angular displacement 角位移angular distance 角距angular distribution 角分布angular domain 角域angular frequency 角频率angular magnification 角放大率angular measure 角测度angular metric 角度量angular momentum 角动量angular velocity 角速度anharmonic ratio 交比annihilator /annulator 零化子annular 环annulus 圆环anomalous propagation 反常传播anomalous scattering 反常散射antecedent 前项anti reflexiveness 反自反性antianalytic function 反解析函数anticlockwise 逆时针的anticlockwise revolution/rotation逆时针回转antiderivative 不定积分的antiisomorphy 反同构antilinear 反线性的antilinear mapping 反线性映射antiparallel 逆平行的antiplane 反平面antipodal map 对映映射antipodal point 对映点antipodal set 对映集antipode 对映点antisymmetric 反对称的antisymmetric function 反对称函数antisymmetrical state 反对称态antitone mapping 反序映射antitonicity 反序性antitony 反序性antitrigonometric function反三角函数apex 顶点apex angle 顶角apical angle 顶角apolar 非极性的apolarity 从配极性apothem 边心距apparent error 貌似误差application 应用applied mathematics 应用数学applied mechanics 应用力学approach 接近approach infinity 接近无穷大approximability 可逼近性approximable 可逼近的approximate 近似的;使近似approximate calculation 近似计算approximate continuity 近似连续性approximate differentiability近似可微性approximate integration 近似积分approximate limit 近似极限approximate number 近似数approximate partial derivative近似偏导函数(近似导数)approximate partial derived function approximate partial /total differential 近似偏/全微分approximate solution 近似解approximate total differentiability 近似全可微性approximate value 近似值approximately equal 近似等于approximation 逼近approximation calculus 近似计算approximation error 近似误差approximation function 逼近函数approximation theory 逼近理论arbitrarily small 任意小arbitrary 任意的arbitrary constant/element /parameter任意常数/元素/参数arbitrary small number 任意小数arc 弧arc component 弧分量arc cosecant 反余割arc hyperbolic function 反双曲函数arc length 弧长arc of a circle 圆弧arc set 弧集arc sine 逆正弦arc sine law 反正弦定律arc sine transformation 反正弦变换arc tangent 反正切arch 拱形archimedean 阿基米德性的archimedean group 阿基米德群archimedean semigroup阿基米德半群archimedean space 阿基米德空间archimedean total order ~ ~ 全序archimedean valuation ~ ~ 赋值archimedes axiom 阿基米德公理archimedes spiral 阿基米德螺线arcwise connected set 弧连通集arcwise connected space弧连通空间arcwise connectedness 弧连通性are 公亩area 面积area function 面积函数area of a circle 圆面积areal coordinates 重心坐标areal derivative 面积导数areal element 面积元素areal integral 面积分areal velocity 面积速度argand plane 复数平面argument 自变数;辐角argument function 辐角函数argument of a function函数的自变数argument principle 辐角原理argumentation 论证aristotelian logic亚里斯多德逻辑学arithmetic 算术arithmetic difference 算术差arithmetic division 算术除法arithmetic element 运算元素arithmetic expression 算术表达式arithmetic function 数论函数arithmetic genus 算术狂arithmetic geometric mean/ series算术几何平均/级数arithmetic mean 算术平均arithmetic number 正实数arithmetic of algebraic number fields 代数数域的数论arithmetic of algebras 代数的数论arithmetic of local fields局部域的数沦arithmetic operation算术操作算术运算arithmetic progression 算术级数arithmetic subgroup 算术子群arithmetic unit 运算元素arithmetics 算术arithmetization 算术化arithmometer 四则计算机arrangement 排列array 排列arrow 射artificial variable 人工变量artificial variable method 人工变量法ascending difference 后向差分ascending power series 升幂级数ascending powers 升幂ascending sequence 递升序列aspherical space 非球面空间asphericity 非球面牲assemblage 集assembler 汇编assertion sign 断定号assignable cause 可指定的原因assignment problem 配置问题associate equation 相伴方程associated equation 相伴方程associated radius of convergence 相伴收敛半径associated space 相伴空间association 结合associative algebra 结合代数associative law 结合律associative law for series级数的结合律associativity 结合性assume 假定assumption 假定assumption formula 假定公式asterisk 星号asteroid 星形线asymmetric 非对称的asymmetric relation 非对称关系asymmetrical 非对称的asymmetrical graph 恒等图asymmetry 非对称性asymptote 渐近线asymptote of curve 曲线的渐近线asymptotic 浙近的asymptotic behavior 渐近状态asymptotic circle 渐近圆asymptotic line 渐近线asymptotic point 渐近点asymptotic value 渐近值asymptotically equal 渐近相等asymptotically equal sequence渐近相等序列asymptotically equivalent function 渐近等价函数asymptotically normal distribution 渐近正态分布asymptotically normally distributed 渐近正规分布的asynchronous computer异步计算机atlas 坐标邻域系atom 原子atomic element 原子元素atomic formula 原子公式atomic lattice 原子格atomic proposition 原子命题atomicity 原子性attaching map 接着映射attenuation 衰减attenuation constant 衰减常数attraction 引力attractive force 引力attractor 吸引区attribute 属性augend 被加数augmentation 扩张augmentation preserving map增广保存映射augmented complex 扩张复形augmented matrix 增广矩阵austausch 交换autocorrelation 自相关autocorrelation coefficient/function 自相关系数/函数automatic testing 自动检验automation 自动化automaton graph 自动机图auxiliary 辅助的auxiliary angle 辅助角auxiliary circle 辅助圆auxiliary equation 相伴齐次方程auxiliary function 辅助函数auxiliary line 辅助线auxiliary variable 辅助变数average 平均值average deviation 平均偏差average error 平均误差average life 平均寿命average sample number平均样本数average speed 平均速度average term 普通项average time /value平均时间/值averaging 取平均数averaging method 平均法averaging operator 平均算子axes of coordinates 座标轴axial 轴的axial symmetry 轴对称axiom 公理axiom of accessibility 可达性公理axiom of addition 加法公理axiom of choice 选择公理axiom of completeness 完备性公理axiom of the empty set 空集公理axiom of union 并集公理axiom scheme 公理格式axiomatic 公理的axiomatic method 公理法axis 轴axis of a cone 锥轴axis of abscissas 横坐标轴axis of absolute convergence绝对收敛轴axis of affinity 仿射轴axis of convergence 收敛轴axis of coordinate 坐标轴axis of ordinates 纵坐标轴axis of projection 射影轴axis of reals 实轴axis of symmetry 对称轴axisymmetric 轴对称的axonometry 轴测法azimuth 方位角azimuthal 方位角的Bb measurability b可测性back substitution 逆计算backward difference 后向差分backward difference operator 后向差分算子backward difference quotient 后向差商baire function 贝利函数baire measure 贝利测度balance 平衡balanced category 平衡范畴balanced hypergraph 平衡超图balayage 扫除ball 球ballistic curve 弹道banach algebra 巴拿赫代数banach space 巴拿赫空间band 带band chart 带状图band matrix 带状矩阵bar diagram 条线图(bar graph) barrel 桶集barrel shape 桶型barrelled space 桶型空间barrier 闸barycenter 重心barycentric 重心的barycentric complex 重心复形base 底base angle 底角base line 底线base number 底数base of logarithms 对数的底base point 基点base register基址寄存器变址寄存器base space 底空间base vector 基向量basic 基础的basic block /field/ form基本块/形式/基域basic point 基础点basic representation 基本表示basic ring 基环basic solution 基本解basic symbol 基本符号basic variable 基本变量basis 基basis of linear space 线性空间的基basis of vector space 向量空间的基basis replacement procedure基替换过程basis theorem of hilbert希耳伯特基定理basis vector 基本向量batch processing 成批处理bayes decision function贝叶斯判定函数bayes formula 贝叶斯公式bayes postulate 贝叶斯公假设bayes solution 贝叶斯解behavior 行为behavior strategy 行为策略bellman principle 贝尔曼原理beltrami equation 贝尔特拉米方程bending point 转向点bergman metric 伯格曼度量bernoulli equation 伯努利方程bernoulli inequality 伯努利不等式bernoulli method 伯努利法bernoulli number/polynomial伯努利数/多项式bernstein polynomial伯思斯坦多项式bessel inequality 贝塞耳不等式bessel integral 贝塞耳积分best approximation 最佳逼近best estimator 最佳估计量best test 最佳检验best uniform approximation最佳一致逼近beta distribution 分布beta function 函数betti group 贝蒂群betti number 贝蒂数between group variance 群间方差biadditive 双加法的biangular 双角的bias 偏倚biased estimator 有偏估计量biased sample 有偏样本biased statistics 有偏统计量biased test 有偏检验biaxial 双轴的bicartesian square 双笛卡儿方bicompact set 紧集bicompact space 列紧空间biconditional 等价bicontinuous function 双连续函数bicylinder 双圆柱bidimensional 二维的bidimensionality 二维性bifurcation point 歧点bifurcation theory 分歧理论bigraded group 双重分次群bihomomorphism 双同态bijection (bijective mapping)双射bijectivity 双射性bilateral 两面的bilinear 双线性的bilinear form 双线性形式bilinear functional 双线性泛函bilinearity 双线性binary 二元的binary arithmetic 二进制算术binary code 二进制码binary coding 二进制编码binary digit 二进制数字binary digital computer二进制数字计算机binary element 双态元件binary number 二进制数binary number system 二进制数系binary operation 二元运算binary point 二进制小数点binary relation 二元关系binary system 二进制的binary translation 二进制变换bind 连结binomial 二项式binomial coefficient 二项式系数binomial differential 二项式微分binomial differential equation二项微分方程binomial distribution 二项分布binomial equation 二项方程binomial expansion 二项展开式binomial integral 二项式积分binomial series 二项级数binomial theorem 二项式定理biomathematic 生物数学的biomathematics 生物数学biomechanics 生物力学biometrics 生物统计学biometrika 生物统计学biophysics 生物物理学biorthogonal system 双正交系biorthonormal expansion双标准正交展开Biorthonormalization双标准正交化birth rate 出生率bisect 平分bisecting point 平分点bisection 平分bisector 平分线bisector of angle 角的平分线biunique 一对一的bivalent 二价的bivariate distribution 二维分布bivariate distribution function二元分布函数bivariate frequency function二元频率函数bivariate normal distribution二元正态分布bivariate population 二元总体bivector 二重向量block 块block design 区组设计block relaxation 块松弛block tridiagonal matrix块三对角阵blockdiagram 立体图body 体body of revolution 旋转体boole function 布尔函数boolean algebra 布尔代数boolean optimization 布尔最优化boolean ring/vector布尔环/向量border 边缘border element 边缘元素border of the domain 域的边缘border set 边缘集bordered matrix 加边矩阵bornological set 有界型集bornological space 有界型空间bornology 有界型性bound 界bound decision variable约束决策变量bound term 约束项boundary 边界;边缘boundary collocation 边界配置boundary condition 边界条件boundary correspondence 边界对应boundary curve 边界曲线boundary element method边界元法boundary interval 边界区间boundary layer 边界层boundary line 界线boundary point 边界点boundary simplex 边界单形boundary strip 边界带boundary surface 带边界曲面boundary value 边界值boundary value problem 边值问题bounded 有界的bounded above/ below 上/下有界的bounded above/ below sequence上/下有界序列bounded chain 有界链bounded closed set 有界闭集bounded domain 有界域bounded sequence 有界序列bounded set 有界集合bounded to the downwards/ upwards下/上有界的boundedness 有界性bounding manifold 边界廖bounding surface 边界曲面boundless 无限的box 框brace 大括号bracket 括号brachistochrone 最速降线brachistochrone problem最速降线问题bracket operation 括号运算bragg curve 布喇格曲线braid 辫braid group 辫群branch 分支branch line 分枝线branch of a curve 曲线的分枝branch of function 函数的分枝branch point 分枝点branching 分枝branching process 分枝过程breadth 幅break point 断点;分割点briggs' logarithm 常用对数briggsian logarithm 常用对数broken line 折线broken number 分数brownian motion 布朗运动brownian movement 布朗运动buckling 弯曲budget 顸算buffer 缓冲器bundle 束bundle of planes 平面把bundle of rays 线把bundle of spheres 球把bundle space 丛空间bus 母线byte 字节c function c类函数c mapping c类映射ca set 上解析集calculability 可计算性calculable mapping 可计算映射calculable relation 可计算关系calculate 计算calculation 计算calculating automaton 计算自动机calculating circuit 计算电路calculating element 计算单元calculating machine 计算机calculating punch 穿孔计算机calculating register 计算寄存器calculating unit 计算装置calculation of areas 面积计算calculator 计算机calculus 演算calculus of approximations近似计算calculus of errors 误差论calculus of finite differences差分法calculus of probability 概率calibration 校准canal 管道canal surface 管道曲面cancel 消去cancellation 消去cancellation law 消去律cancelling of significant figures 有效数字消去canonical basis 典范基canonical coordinates 标准坐标canonical decomposition 标准分解canonical equation 典型方程canonical form 标准型canonical function 标准函数canonical homomorphism标准同态canonical image 标准象canonical mapping 标准映射canonical solution 标准解canonical system of differential equations 标准微分方程组canonical variable 典型变量cap 交cap product 卡积capacity 容量card 卡片card reader 卡片读数器cardinal 知的cardinal number 基数cardinal product 基数积cardioid 心脏线carrier 支柱carry 进位carry signal 进位信号cartesian coordinate system笛卡儿坐标系cartesian coordinates 笛卡尔座标cartesian equation 笛卡儿方程cartesian folium 笛卡儿叶形线cartesian product 笛卡儿积cartesian space 笛卡儿空间catastrophe theory 突变理论categorical judgment 范畴判断categorical proposition 范畴判断categorical theory 范畴论categoricity 范畴性category 范畴category of modules 模的范畴category of sets 集的范畴category of topological spaces拓扑空间的范畴causal relation 因果关系causality 因果律cause 原因ccr algebra ccr代数celestial body 天体celestial coordinates 天体坐标celestial mechanics 天体力学cell 胞腔center 中心cell complex 多面复形center of a circle 圆心center of curvature 曲率中心center of expansion 展开中心center of force 力心center of gravity 重心center of gyration 旋转中心center of mass 质心center of pressure 压力中心center of symmetry 对称中心centered process 中心化过程centi 厘centigram 厘克centimetre 厘米central angle 圆心角central confidence interval中心置信区间central line 中线central point 中心点centre of a circle 圆心centre of gyration 旋转中心centrifugal force 离心力centripetal acceleration 向心加速度centroid 形心certain event 必然事件certainty 必然chain 链chance 偶然性;偶然的chance event 随机事件chance move 随机步chance quantity 随机量chance variable 机会变量change 变化change of metrics 度量的变换change of the base 基的变换change of the variable 变量的更换channel 信道channel width 信道宽度character 符号characteristic 特征characteristic boundary value problem 特者值问题characteristic class 示性类charge 电荷chart 图chebyshev function 切比雪夫函数chebyshev inequality /polynomial 切比雪夫不等式/多项式check 校验check digit 检验位chi square distribution 分布chi squared test 检验choice function 选择函数chord 弦chord line 弦chord of contact 切弦chordal distance 弦距离christoffel symbol克里斯托弗尔符号cipher 数字circle 圆circle diagram 圆图circle of contact 切圆circle of convergence 收敛圆circulant 循环行列式circulant matrix 轮换矩阵circular 圆的circular arc 圆弧circular cone 圆锥circular cylinder 圆柱circular disk 圆盘circular domain 圆形域circular frequency 角频率circular functions 圆函数circular measure 弧度circular ring 圆环circular section 圆截面circular sector 圆扇形circulation 循环circumcenter 外心circumcentre 外心circumcircle 外接圆circumscribe 外接circumscribed circle 外接圆circumsphere 外接球class 类class field 类域classical mechanics 经典力学classical sentential calculus经典语句演算classical set theory 经典集论classical statistical mechanics经典统计力学classical theory of probability经典概率论classification 分类classification statistic 分类统计classification theorem 分类定理classify 分类classifying map 分类映射classifying space 分类空间clear 擦去clockwise 顺时针的clockwise direction 顺时针方向clockwise rotation 顺时针旋转clopen set 闭开集closable linear operator可闭线性算子closable operator 可闭算子closed ball 闭球closed circuit 闭合电路closed convex hull 闭凸包closed domain 闭域closed half plane 闭半平面closed half space 闭半空间closed hull 闭包closed interval 闭区间closed kernel 闭核coder 编器codomain 上域coefficient 系数coefficient domain 系数域coefficient function 系数函数coefficient functional 系数泛函coefficient group 系数群coefficient of alienation不相关系数coefficient of association 相伴系数coefficient of covariation 共变系数cofunction 余函数coincidence 一致coincidence point 叠合点coincident 重合的collect 收集collective 集体collinear diagram 列线图collinear points 共线点collinear vectors 共线向量collinearity 共线性collineation 直射变换collineation group 直射群collineatory transformation直射变换collocation method 配置法collocation of boundary 边界配置collocation point 配置点column 列column finite matrix 列有限矩阵column matrix 列阵column rank 列秩column space 列空间column vector 列向量combination 组合command 命令commensurability 可通约性commensurable 可通约的common denominator 公分母common difference 公差common divisor 公约数common factor 公因子common factor theory 公因子论common fraction 普通分数common logarithm 常用对数common point 公共点common ratio 公比commutant 换位commutation law 交换律commutation relation 交换关系commutative 可换的commutative diagram 交换图表commutative group 交换群commutative groupoid 阿贝耳广群commutative law 交换律commutative lie ring 交换李环commutative ring 交换环commutativity 交换性commutator 换位子commutator group 换位子群commute 交换compact 紧的compact convergence 紧收敛compact group 紧群compact open topology紧收敛拓扑compact operator 紧算子compact set 紧集compact space 紧空间compact subgroup 紧子群comparison function 比较函数comparison method 比较法comparison series 比较用级数comparison test 比较检验comparison theorem 比较定理compatibile condition 相容性条件compatibility 一致性compatibility condition相容性条件compensate 补偿compensating method 补偿法compensation 补偿compensation of error 误差的补偿compiler 编译程序compiling routine 编译程序complanar line 共面线complele induction 数学归纳法complement 补集complement of an angle 余角complementary 补的complementary angle 余角complementary set 补集complementary space 补空间complete continuity 完全连续性complete disjunction 完全析取complete field 完全域complete field of sets 集的完全域complete graph/group 完全图/群complete induction 数学归纳法complete space 完备空间complete subcategory 完全子范畴complete system 完备系completely additive 完全加性的completely additive family of sets 完全加性集族completely continuous mapping全连续映射(operator)completely distributive lattice完全分配格completely homologous maps完全同党射completely independent system of axioms 完全独立公理系统completion 完备化complex 复形complex conjugate 复共轭的complex conjugate matrix复共轭阵complex curve 复曲线complex curvelinear integral复曲线积分complex domain 复域complex field 复数域complex flnction 复值函数complex fraction 繁分数complex group 辛群complex line 复线complex line bundle 复线丛complex manifold 复廖complex multiplication 复数乘法complex number 复数complex number plane 复数平面complex plane with cut有割的复平面complex quantity 复量complex root 复根complex series 复级数complex sphere 复球面complex variable 复变量complex vector bundle 复向量丛complexity 复杂性complication 复杂化component 分量composable 组成的compose 组成composite 合成composite divisor 合成除数composite function 合成函数composite functor 合成函子composite group 合成群composite hypothesis 复合假设composite number 合成数computable function 可计算函数computation 计算computational error 计算误差computational formula 计算公式computational mistake 计算误差compute 计算computer 计算机。

算子代数的效应算子代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是一类特殊的代数结构，即由一组线性算子组成的代数。

这些算子可以是线性变换、微分算子、积分算子等等，它们可以描述物理、工程、经济等领域中的各种现象。

算子代数的研究不仅有理论上的价值，也有着广泛的应用价值。

本文将介绍算子代数的基本概念和性质，以及它在数学和其他领域中的应用。

一、算子代数的基本概念和性质1.1 算子代数的定义算子代数是由一组算子及其线性组合构成的代数结构，其中这些算子可以是线性变换、微分算子、积分算子等等。

一般地，我们可以定义一个算子代数为一个向量空间 $A$，其中定义了一个乘法运算$cdot$，满足以下条件：（1）对于任意的 $a,b,cin A$，有结合律：$(acdot b)cdotc=acdot (bcdot c)$。

（2）存在一个单位元 $1in A$，使得对于任意的 $ain A$，有$acdot 1=1cdot a=a$。

（3）对于任意的 $a,bin A$，有分配律：$acdot (b+c)=acdot b+acdot c$ 和 $(a+b)cdot c=acdot c+bcdot c$。

（4）对于任意的 $ain A$，存在一个逆元 $a^{-1}in A$，使得$acdot a^{-1}=a^{-1}cdot a=1$。

1.2 算子代数的例子下面给出一些算子代数的例子：（1）矩阵代数：所有 $ntimes n$ 实矩阵组成的向量空间$M_n(mathbb{R})$，其中乘法定义为矩阵乘法。

（2）微分算子代数：所有 $C^infty$ 函数的集合$C^infty(mathbb{R})$，其中乘法定义为函数的复合。

（3）多项式代数：所有次数不超过 $n$ 的实系数多项式的集合$mathbb{R}[x]$，其中乘法定义为多项式的乘法。

1.3 算子代数的性质算子代数具有很多重要的性质，下面列举几个：（1）算子代数是一个环。

闭包离散数学1 介绍离散数字是一门应用于计算机科学、数学和工程学行业非常有用的数学分支。

它包括几何图形、排序和逻辑等许多方面，是计算机科学的基础之一。

主要关注的是存储和处理离散的数据，而不是连续的数据。

离散数学的一些术语有泛函、有限集、面积等。

这里我们将对离散数学的闭包作一些简要介绍。

2 闭包离散数学中有许多重要的概念，其中之一就是闭包。

闭包是指包括子元素的集合，它也可以称为自发生成的集合。

它是由一个或多个元素所组成的数学范围，其本质是一个函数。

简单地说，闭包就是数学中定义为一组子元素的集合。

一般来说，它们可以用标准运算符或其他操作符进行操作。

3 示例例如，假设有一个集合S，它的元素是a，b，c。

那么闭包可以定义为：F（a，b，c）= {a,b,c}。

当使用一些操作符来操作集合时，就可以创建新的闭包。

例如，当使用叉乘和并集操作符来操作集合S时，新的闭包可以定义为：F（a，b）=（a X b）U（b X c）= {(a,b)，(b,c)，(a,c)}。

4 作用闭包在数学、物理和工程学中都有着广泛的应用。

最重要的是，它可以帮助程序员们在计算机语言中表达更多复杂的逻辑运算。

此外，在数学中，它们也可以用于推导函数、表达泛函和解决一些特定的算法问题。

5 结论离散数学的闭包是其一个非常重要的概念，它的应用范围很广，包括数学、物理和工程学中，还可用于数据处理和代码实现。

它不仅可以帮助程序员实现更复杂的运算功能，还可以用于表达函数、表达泛函和解决算法问题等方面。

推理闭包子空间的基本性质及其交并运算高超;赵彬【摘要】文中在推理闭包空间基础上结合拓扑学的思想和方法,引入推理闭包子空间的概念,研究推理闭包空间之间连续映射的基本性质,并讨论原有推理闭包子空间与推理闭包空间中两个子空间的交(并)集形成的子空间的关系,明确了交(并)集上的结论闭域.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(044)003【总页数】4页(P351-354)【关键词】模糊逻辑;推理闭包空间;推理闭包算子;推理闭包子空间;连续映射【作者】高超;赵彬【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O189.1;O141.1模糊命题演算系统是模糊逻辑学中一个重要研究方面。

典型的模糊命题演算系统有Lukasiewicz模糊命题演算系统［1］，模糊命题演算的形式演绎系统［2］，基础模糊命题演算系统BL*［3］等。

吴洪博教授通过对命题演算系统L*共同特征的研究［4－5］提出了基于命题演算系统的一种推理闭包算子，并且建立了一般非空集合上的推理闭包空间［6］，并在推理闭包空间之间引入了连续映射［7］。

本文结合拓扑学的思想和方法［8－12］，研究了推理闭包子空间的基本性质及它们之间连续映射的性质。

进一步通过推理闭包空间中的两个子空间的交集和并集运算，探索了推理闭包空间中两个子空间与它们的交集(并集)形成的推理闭包子空间的关系，给出了交集(并集)上的结论闭域形式，这有助于更深入地理解全体推理闭包子空间的结构，为范畴论中研究万有空间做了必要的准备。

1 预备知识定义1［6］设X是一个非空集合。

若c:2X→2X，满足条件:1)c(∅)≠∅;2)∀A∈2X，A⊆c(A);3)∀~D⊆2X，如果~D是2X的定向子集，c(∪~D)=∪D∈~D c(D);4)∀A ∈2X，c(c(A))=c(A)，则称c为X上的一个推理闭包算子，这里2X为X的幂集，称c(A)为A的推理闭包。

§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A 并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x 为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．定理2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．则（l）d（）=；（2）A B蕴涵d（A）d（B）；（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；（4）d（d（A））A∪d（A）．证明（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，有U∩（2）设A B．如果．这证明了d（A）d（B）．（3）根据（2），因为A，B A∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．另一方面，如果综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可．)（4）设：即（4）成立．定义2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．例如，根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．定理2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集．例2.4.3 实数空间R中作为闭集的区间．设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：（1）X，∈F（2）如果A，B∈F，则AUB∈F（从而如果)（3）如果≠在此定理的第（3）条中，我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义．证明根据定理2.4.2，我们有T={|U∈F}其中，T为X的拓扑．（1）∵X，∈T，∴（2）若A、B∈F ，则（3）令：定理证明完成．总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,A X,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)定理2.4.4 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：证明（1）成立是由于是闭集．（2）成立是根据闭包的定义．（3）成立是因为（4）成立是因为＝A∪d（A）∪d（d（A))＝A∪d（A）=在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第（3）条和第（4）条．定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集．证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．定理2.4.7 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．证明因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理2.4.5(4)与定理2.4.4有另一方面，由于是一个闭集，并且，所以(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系，即得所求证的等式．由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A 的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：（l）f是一个连续映射；（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即；(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即．证明（1）蕴涵（2）．设B Y是一个闭集．则是一个开集，因此根据（1），是X中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集．(2)蕴涵（3）设A X．由于f（A），根据（2），成立．(3)蕴涵(4)设A Y集合(B)X应用（3）即得（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）可见:．总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1．2。

数学分析分支
数学分析（Analysis）是一门重要的数学学科，它广泛应用于工程、物理、经济学、金融数学、力学等基础学科，并被广泛用于证明合成数学和计算机科学的结论。

数学分析的兴起可以追溯到古希腊的数学，可以说是数学史上最重要的发明之一。

随着时代的发展，数学分析有效地框定了几何学，特别是在球面几何学中，它起到了重要的作用。

另外，随着欧拉以及拉格朗日的发现，微积分和正则计算技术也越来越重要。

数学分析的本质是利用大量的技术理论，来证明一些数学定理的有效性。

它不仅仅是对抽象数学思想的研究，更是一种对实际问题的解决，具有更广阔的应用范围。

一般来说，数学分析分两类，一是计算性有限数学分析（calculus），它利用数学分析理论和技术，求解数学方程，解决无穷小量和极限问题；二是函数空间理论（Functional Analysis），它利用函数空间的理论，讨论向量定义域的拓扑结构、函数空间的连续性、闭包的性质、算子的收敛特性等。

数学分析有着广泛的应用。

在物理学的分析中，数学分析的技术曾经被用于研究无穷小量、极限和不精确的物理系统。

在几何学中，数学分析的技术被用于研究几何学实体的结构、形状和空间位置，在经济学中，数学分析的技术被用于分析市场决策流
程以及研究各种经济数据，在投资领域也有着广泛应用，被广泛用于估算和预测股票、基金等投资产品的风险收益比。

总而言之，数学分析具有十分广泛的应用前景，它已成为科学和技术发展的重要基石。

它贯穿于众多科学领域，不仅可以用于理论研究，还可以为实际现实问题的解决提供一系列科学解答。