高考周测16.docx

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高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
增城中学2016高三数学（理科）每周一测（16）（2015.12.27）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则()..R A B =
A ．()1,3
B ．()1,3-
C ．()3,5
D ． ()1,5- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为
A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠
B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠
C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠
D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ 3．欧拉公式cos sin ix
e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i
e 表示的复数在复平面中位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数2
22,1,
()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则52f
f ⎡
⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
A ．1
2
-
B ．1-
C ．5-
D ．12
5．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015
S S
=+，则数列{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．2015
D ．2016
6．若ln2,5a b == 0
1,s i n 4c x d x
π
=
⎰，则,,a b c 的大小关系 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<
7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
A ．
518 B ．-518 C ．79 D ．-7
9
8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该 几何体的体积等于
第8题图
-12
第16题图
A ．123
B ．163
C ．203
D ．323
9．已知函数()()()21sin ,02
f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位
()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为
A ．π
B ．
34π C ．2π D ．4
π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点， 设(),AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是
A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]3,4
C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3
,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为 A ．3 B ．22 C ．23 D ．33 12．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列说法错误的是 A ．2x =是()f x 的极小值点
B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．已知向量b ()3,4=，a b ⋅3=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是________． 14．若函数()1,02
1,20
x x f x x -<≤⎧=⎨
--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则a =_________．
15．设实数x ，y 满足约束条件20
2x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩
，
则2z x y =+的最大值为________． 16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠=，6,8AC BC ==，D 为边AC 上的
一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）
ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10,15AC BC ==．
第10题图
第19题图
(Ⅰ)求ABC ∆的面积；
(Ⅱ) 如图，点()10,0D ,若函数()sin()(0,0,)2
f x M x M π
=ω+ϕ>ω>ϕ<
的图象经过A 、C 、D 三点，且A 、D 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．
18．（本题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，
求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

19．(本小题满分12分)
如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =
，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿
AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． (Ⅰ)求证：AD BM ⊥；
(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，
二面角E AM D --的余弦值为5
5
．
20．（本小题满分12分）
如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，x 轴被曲线C 2：
y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y
轴的交点为M ，过坐
标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . (1)求C 1，C 2的方程；
记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1
S 2
＝λ，求λ的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数()e ,x
f x x R =∈．
(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；
(Ⅱ)设,a b R ∈，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫
≠===
⎪
-⎝⎭
试比较,,A B C 三者的大小，并说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22、(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线 交于点E ，D A 交C B 于点F ． （I ）求证：C//D B E ；
()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC=BC ，求C ∠BA ．
23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xoy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点
的极坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛
-4,22π，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=. （Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线⎩
⎨⎧+-=+=t y t
x l 223:(t 为参数）距离的最小值.
24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()f x x a =-.
（I ）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--； （II ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，
()11
0,02a m n m n
+=>>，求证：24m n +≥.
增城中学2016届高三数学(理科)每周一测（16）答题卷
班别_________ 姓名___________ 学号________成绩______
一、选择题：
二、填空题：
13． ． 14． ．
15. . 16． .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
18. （本小题满分12分）
19. （本小题满分12分）
20. （本小题满分12分）
21. （本小题满分12分）
22. （满分10分）选修4-1：几何证明选讲( )选修4-4：坐标系与参数方程( )选
修4-5不等式选讲( )
评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
A D
B A B D
C C
D B AC
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 13. 53-
14. 21- 15．10 16．3
7
三、解答题
18. 17．（1）在△ABC 中，60B = ………………1分 由余弦定理可知：
222
2cos60a b c bc =+- ………………2分 ∴2
101250c c --=
556c AB ∴==+ ………………4分 又∵10cos605AO =⋅=
56BO ∴= 125
(556)53(323)22
ABC S
∴=+⨯=+. ………………6分 (2)T=2×（10+5）=30,
∴15
π
ω=
………………8分 ∵(5)Msin((5))015
f π
-=⋅-+ϕ=
sin()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π
∴-+ϕ=π∈
2πϕ<，3
π
∴ϕ=。

………………10分
(0)Msin
533
f π
==， M 10∴= (x)10sin()153
f x ππ
∴=+ ………………12分
18．
19．.解：（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM .
∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM⊥平面ADM
∵AD ⊂平面ADM ∴AD⊥BM； ………6分 （2）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ=， 则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =， (1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--
(2,0,0)AM =-，设平面AME 的一个法向量为(,,),m x y z =
202(1)0
x y z λλ=⎧⎨
+-=⎩ 取y=1，得20,1,,1x y z λ
λ===
- 所以2(0,1,
)1m λ
λ
=-，………………9分 因为5
cos ,5
||||m n m n m n ⋅<>=
=
⋅，求得12λ=， 所以E 为BD 的中点． ………………12分 20 (1)解 由题意，知c a ＝22
，所以a 2＝2b 2
. ……1分
又2b ＝2b ，得b ＝1. ……2分
所以曲线C 2的方程：y ＝x 2
－1，椭圆C 1的方程：x 2
2
＋y 2
＝1. ……3分
(2) 解 设直线MA 的方程：y ＝k 1x －1，直线MB 的方程：y ＝k 2x －1，……8分 由(2)知k 1k 2＝－1，M(0，－1)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x －1，y ＝x 2
－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝－1，或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝k 1，
y ＝k 2
1－1， ……9分
所以A(k 1，k 2
1－1)．
同理，可得B(k 2，k 2
2－1)．……10分
故S 1＝12|MA|·|MB|＝12
1＋k 21·1＋k 2
2|k 1||k 2|.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x －1，
x 2
2
＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝－1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4k
11＋2k 2
1，y ＝2k 21
－1
1＋2k 21
，
所以D(4k 11＋2k 21，2k 2
1－1
1＋2k 21
)．
同理，可得E(4k 21＋2k 22，2k 2
2－1
1＋2k 22)．……11分
故S 2＝1
2
|MD|·|ME|
＝121＋k 21·1＋k 22|16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22)
， S 1S 2＝λ＝(1＋2k 2
1
)(1＋2k 22
)16＝5＋2(1k 21＋k 2
1)
16≥9
16
，……13分 则λ的取值范围是[9
16
，＋∞)．……14分
21．解：(1)()f x 的反函数为ln ,y x = …………………2分
设切点为()00,ln ,x x 则切线斜率为0
00
ln 1,x k x x == 故01
,.x e k e
==
…………………4分 （2）不妨设2
222
,0,;22
a b
a b a b e e e e a b A B e
A B +⎛⎫- ⎪
+⎝
⎭>-=-=-<∴< ()2
222
2
,a b a b b a
a b
a b a b
a
b
e
a b e e a b e e e e e
A C e
a b a b
a b
+--++⎛⎫--+ ⎪--+-⎝⎭-=-==---
令()2(0),x
x
m x x e e x -=-+>则()20,x
x
m x e e
-'=--<所以()m x 在()0,+∞上单减，
故()()00,m x m <=取,2
a b
x -=则220,;a b b a
a b e e A C ----+<∴< …………………8分 12
1,2211a b a b a b a b a b a b a b e e e e a b e e e a b e e e e ---+---->⇔>==--+++令()21,21
x
x n x e =-++则
()()()()()2
22
1120,2121x
x
x x e e
n x n x e e -'=
-=≥∴++在()0,+∞上单增，故()()00,n x n >=取,x a b =-则
2
10,.21
a b a b B C e ---+>∴>+ 综合上述知，.A C B << ……………………12分
22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，………3分 所以∠EDC ＝∠DCB ， …………4分 所以BC ∥DE ．
…………5分 （Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED
由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ．…………6分 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，
因为AC=BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，
所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ， …………8分
在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π
7
， ………9分
所以∠BAC ＝2x ＝2π
7
． ………10分
23.
24. 解：（1）当2a =时，不等式为214x x -+-≥， …………2分
不等式的解集为17,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
； ……………5分 A D
B
F C E
（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，
∴1012
a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =,所以()11
10,02m n m n +=>> …………7分
所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫
+=++≥ ⎪⎝
⎭. ……………10分 —。