黎曼几何简介-USTC

3 度规相容联络
7
3. 李希张量 Ricci Tensor：
标曲率定义为：
Ricµν = Rλ µλν
R = gµν Ricµν
3.2 Levi-Civita Connection
{}
无挠率的联络显然是 Γλ µν =
λ , 满足 Γλ µν = Γλ νµ，只有对称 µν
的贡献。物理上经常计算这个联络，即假设流行上无挠率。本质上是因为这
Hodge Star 可以保证构造出满足上面条件的 m-form，即能写成 f ΩM 的形式。
5.1 Hodge Star
若 m 维流形 M 上有度规 g，可以定义 Ωr, Ωm−r 之间的同构映射，就 是 Hodge Star 操作 (∗ : Ωr → Ωm−r)
√
∗(dxµ1
∧ dxµ2
∧ · · · ∧ dxµr ) =
−
1 gµν R) 2
=
∇µGµν
=
0
其中 G 是爱因斯坦张量，若这个张量和能动量张量成正比，就给出了
爱因斯坦场方程。
由以上的这些关系，m 维流形上的黎曼曲率张量的自由度有 F (m) =
1 12
m2(m2
−
1)
个，例如
2
维流形上只有一个自由度
R1212，且分量统一表示
成：
R Rkλµν = 2 (gkµgλν − gkν gλµ)
∇V [g(X, Y )] = V k[(∇kg)(X, Y ) + g(∇kX, Y ) + g(X, ∇kY )] = 0
3 度规相容联络
5
于是有条件 (∇kg)µν = 0，可化简为：
∂λgµν − Γk λµgkν − Γk λν gkµ = 0 满足这个条件的联络称为度规相容联络（metric connection）。对上式 轮换指标并加和得到：
黎曼几何简介
Yi-Ning You 2018 年 1 月 4 日
1 度规张量
微分流形 M 上的两个矢量之间的内积，需要定义成坐标变换无关的量，
因此需要在拓扑意义上指定内积操作，这是引入度规张量的目的。
在 M 上的黎曼度规 g 是 (0, 2) 型张量，满足：对 U, V ∈ TpM , gp(U, V ) = gp(V, U ); gp(U, U ) ≥ 0 取等号当且仅当 U = 0. 若后面的条件改为：若对任 意 U ∈ TpM , gp(U, V ) = 0, 则 V = 0, 这样的度规称为伪黎曼度规（pseudoRiemann metric）。这样定义的度规与坐标系选取无关，是纯粹拓扑意义上
Ricµν = Ricνµ 还有 Bianchi Identity：
Rk λµν + Rk µνλ + Rk νλµ = 0
(∇kR)ξ λµν + (∇µR)ξ λνk + (∇ν R)ξ λkµ = 0 第二 Bianchi 恒等式对 ξ, µ 缩并，再对 λ, ν 缩并，有：
4 广相导引
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∇µ(Ricµν
−∂λgµν + ∂µgνλ + ∂ν gλµ + T k λµgkν + T k λν gkµ − 2Γk (µν)gkλ = 0
其中 T k λµ = 2Γk [λµ] = Γk λµ − Γk µλ, 称为挠度张量 (torsion tensor)，
具有反称性
Tk
λµ
=
−T k
µλ；Γk
(µν)
的坐标导数有关，根本原因是，若变化率 ♢V W
正于
∂V ∂xµ
，
则 ♢V W = 0 可能只是由于 V 在保持平行，不能反映出 W 的变化。
2.1 协变导数
定义协变导数
∇V W = V µ∇eµ (W ν eν ) = V µ(∇eµ W ν )eν + V µW ν (∇eµ eν )
到这里括号的两个式子没有定义，我们赋予两个结构：
2 平行移动
3
∇X f
=
X[f ]
=
X
µ
∂f ∂xµ
∇eµ eν = eλΓλ µν
其中 Γλ µν 称为联络系数，是另外给定的结构。 故协变导数的结构为：
∇V W
=
V µ(∂W λ ∂xµ
+ W ν Γλ
µν )eλ
可见这个式子不含有 V 的导数。
由于矢量和对偶矢量的内积是实函数，可以证明对对偶矢量（one-form）
的。
由于 g 是 (0,2) 型张量，在局部坐标下可以表示维 g(p) = gµν(p)dxµ ⊗
dxν ，其中
gµν (p) =
gp
(
∂ ∂xµ
,
∂ ∂xν
).
度规的性质，在其他课程中已经学到：
1. 度规 gµν 的逆表示成 gµν ，矩阵元满足 gµν gνλ = δµλ
2. 度规的行列式表示为 det(gµν) = g，det(gµν) = g−1
3 度规相容联络
4
也有莱布尼茨法则：
∇X (f Y ) = X[f ]Y + f ∇X Y
∇X (T1 ⊗ T2) = (∇X T1) ⊗ T2 + T1 ⊗ (∇X T2)
协变导数在坐标变换下，联络系数的变换：取
2
组坐标
{eµ}
=
{
∂
∂ xµ
},
{fα}
=
{
∂
∂ yα
},
对后者的协变导数：
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
6. 嵌入度规 (Induced metric) 是子流形嵌入到维度更大流形上，获得的 度规结构：若 M 是 n 维 Riemann 流形 N 的 m 维子空间，有映射 f : M → N 将 M 嵌入到 N 中，（N 的度规已知），则：
∂fα ∂fβ gMµν (x) = gNµν (f (x)) ∂xµ ∂xν 例如当 M 是 S2, N 是 R3，N 有欧氏度规 δαβ，且嵌入映射：
对基矢量的变换，只需对上述矢量和对偶矢量的分量取常数：
∇eµ eν = eλΓλ µν
∇eµ dxν = −Γν µλdxλ 2.1.1 协变导数的性质
协变导数具有各种层次的线性性：
∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z
∇(X+Y )Z = ∇X Z + ∇Y Z
∇(fX)Y = f ∇X Y
ω = ων dxν
∇V ω
=
V µ( ∂ωλ ∂xµ
− ων Γν
µλ)dxλ
实际上，这里的推导需使用 ∇V ⟨ω, W ⟩ = ∇V (ωµW µ) = ⟨∇V ω, W ⟩ + ⟨ω, ∇V W ⟩，这里的对偶矢量可以看成度规诱导的 ωµ = gµνQν，也就是说 Q 才是流形上真实的矢量。同时，可以看出 ⟨ω, W ⟩ = gµνW µQν，也就是说矢 量-矢量积和矢量-1 form 的内积形式是统一的。
个联络可由度规直接算出。
实际上，给定一个组 (M, g)，与 g 相容的 Levi-Civita 联络唯一，这是
显然的，因为：
Γk
µν
=
1 2
gkλ(∂µgν
λ
+ ∂ν gµλ
−
∂λgµν )
在这个联络中，曲率张量有特殊对称性：
Rkλµν = −Rkλνµ Rkλµν = −Rkλνµ
Rkλµν = Rµνkλ
3.g(U, V ) ∈ R，故 g(U, ) ∈ Tp∗M ，诱导了一个 TP M → Tp∗M 的同构，
记 ωµ = gµνων, ωµ = gµνων，即度规矩阵元有升降指标的作用。
4.
在一般平直空间中做类比，两个无限小的矢量
dxµ
∂ ∂xµ
,
dxν
∂ ∂xν
，二者
之间的距离，如时空间隔，是：
1 16πG
∫
(−Ricµν
+
1 2
gµν
R)δgµν
√−gd4x
=
0
于是得出真空场方程：
Gµν = 0
若构造质量作用量：
∫ 1 SM = 2
T µν δgµν √−gd4x
整体变分 δ(SEH + SM ) = 0 给出场方程：
Gµν = 8πGTµν
5 含度规流形上的微分形式
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实际上，对 SEH 取一个标量规范不会改变场方程，即：
特征值的数目，其中 j = 1 是 Lorentz 度规，总可坐标伸缩为闵氏度规 η = diag(−1, 1, · · · , 1)
以后称呼流形和其上的度规组 (M, g) 是相应的黎曼或洛伦兹型的；在 洛伦兹型的流形上，将 TpM 分成三个子空间：g(U, U ) > 0 是 spacelike 的， = 0 是 lightlike 的，< 0 是 timelike 的。
Γk µν = Γk (µν) + Γk [µν] {}
=
k µν
+
1 2 (Tν
k
µ
+ Tµ
k
ν
+ Tk
µν )
{}
=
k
+ Kk µν
µν
3.1 曲率、挠率张量
1. 定义黎曼曲率张量作用在矢量上：
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ]Z
3 度规相容联络
6
分量表示为：
=
1 2
(Γk
µν
+ Γk
νµ)
是联络的后两个
指标的对称贡献。
可以反解出：
{}
Γk (µν) =
k µν
+
1 2 (Tν
k
µ
+ Tµ
k
ν)
{}
其中 k 称为 Christoffel Symbol:
µν
{}
k µν
=
1 2
gkλ
(∂µ
gνλ
+
∂ν gµλ
−
∂λgµν )
联络系数的整体可以写为对称和反称项的分解：
2. 定义挠率张量的作用为：
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] 分量表示为：
T λ µν = ⟨dxλ, T (eµ, eν )⟩ = Γλ µν − Γλ νµ
这与前面的定义是完全相同的。物理意义如下图，将 δµ 沿 εµ 平行移 动到 δµ′ ，将 εµ 沿 δµ 平行移动到 εµ′ ，如果四个矢量不闭合，表示流形上 有挠率。
λµeν
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
=
Γ˜ γ
∂xν αβ ∂yγ eν
上面两个结果相对照，得到：
Γ˜ γ
αβ
=
∂xλ ∂yα
∂xµ ∂yβ
∂yγ Γν ∂xν
λµ
+
∂2xν ∂yα∂yβ
∂yγ ∂xν
3 度规相容联络
由于联络系数的具体形式在上面并未赋予，我们进一步从物理角度提出 要求：在 V 上平行移动的矢量 X, Y 的矢量积 g(X, Y ) 应不变：
ds2 = g(dxµ ∂ , dxν ∂ )
∂xµ
∂xν
= dxµdxν gµν
物理中也称这个为度规。 5. 度规矩阵是对称的，故其特征值都是实数。对度规矩阵对角化，得到 的对角元：都是正数时，称为 Riemann metric，总可坐标伸缩为欧氏度规
1
2 平行移动
2
δ = diag(1, · · · , 1) 若有正有负数，则称为 Pseudo-Riemann metric，用（i,j）表示正负
Rk λµν = ⟨dxk, R(eµ, eν )eλ⟩ = ∂µΓk νλ − ∂ν Γk µλ + Γη νλΓk µη − Γη µλΓk νη
具有性质 RK λµν = −Rk λνµ 物理意义如下图，从 p 沿 2 个不同方向将 V0 平行移动到 r 处，若矢量 VC′, VC 不重合，表示流形上有曲率，曲率张量可以描述二者之间的差别。
S˜EH
=
1 16πG
∫
(R
+
√ Λ) −g
d4x
5 含度规流形上的微分形式
在流形一章中，我们给出了流形上微分形式的积分。在有度规时，我们 定义正定体积元：
√ ΩM = |g|dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxµ
可以证明它不随坐标系改变，于是对函数的积分：
∫ f ΩM
M
也是不变的。同时 f ΩM 给出 M 上的一个任意满足条件的 m-form，积 分相当于 M 上这一 m-form 的积分。
f : (θ, ϕ) → (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)
gµν dxµ
⊗
dxν
=
δαβ
∂fα ∂xµ
∂fβ ∂xν
dxµ
⊗
dxν
= dθ ⊗ dθ + sin2 θ dϕ ⊗ dϕ
2 平行移动
矢量 W 在切矢量 V 生成的参数曲线上的变化率，在研究平行移动的
时候不应与 V
|g| εµ1µ2···µr (m − r)!
dx νr+1 ···νm
νr+1
∧ · · · ∧ dxνm
例如：
√
∗1 =
|g| m!
εµ1
···µm
dxµ1
4 广相导引
爱因斯坦场方程给出：
Gµν = 8πGTµν
其中 G 的选取使得此方程能在牛顿极限下退化为牛顿引力 ∆Φ = 4πGρ，而 T 是能动量张量，即对给定能动量的系统，可以解出时空度规。
从最小作用量原理可导出此方程，构造真空作用量：
∫ 1 SEH = 16πG
R√−gd4x
在度规的变分 gµν → gµν + δgµν ，δSEH = 0 导出：
带入坐标变换
fα
=
e ∂xµ
∂yα µ
∂xµ ∇fα fβ = ∇fα ∂yβ eµ
∂xµ
∂xµ
=
fα[ ∂yβ
]eµ
+
∂yβ
∇ e (
∂xλ ∂yα
eλ )
µ
∂2xµ
∂xµ ∂xλ
= ∂yα∂yβ eµ + ∂yβ ∂yα ∇eλ eµ
=
∂2xµ ∂yα∂yβ eµ
+
∂xµ ∂yβ
∂xλ ∂yα
Γν