高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线课堂探究新人教A版选修4_12017102754

二平面与圆柱面的截线
课堂探究
探究一椭圆的度量性质
圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关．
【典型例题1】已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截
面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间距离和截面与母线所夹的角．思路分析：根据题意可知长轴长及短轴长，进而求出离心率，从而得出截面与母线的夹角．
12
解：易知长半轴长a＝＝6，短半轴长b＝r＝3，两焦点间距离2c＝2 a2－b2＝2 62－32
2
＝6 3.
c 3
椭圆离心率e＝＝.
a 2
设截面与母线的夹角为φ，
3 π
则cos φ＝.∴φ＝.
2 6
综上，截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长为12，短轴长为6，两焦点间距离为6 3，截面π
与母线所夹的角为.
6
探究二探讨椭圆的性质
探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要熟知Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，
综合应用切线长定理、三角形的相似与全等，解直角三角形，以及平行射影的性质．【典型例题2】如图所示，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2，P1P2为⊙O1的一条直径，Q1，Q2分别为P1，P2在平面β内的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂直平分，求证：F1F2＝2 a2－b2.
证明：如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，
1
则四边形ABHG1是矩形．
∴G1H＝AB.
∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，
∴P 1Q1 P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．
∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径．
∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.
又由切线长定理，知G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.
又G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.
∴F1F2＝G2H.
在Rt△G1G2H中，G2H ＝G G2G H2＝2a＝
2 ，
2－2b 2 a2－b2
121
故F1F2＝2 a2－b2.
2。