高二数学上学期第二次月考试题理试题 2

一中2021—2021学年上学期高二第二次月考
理科数学
一、选择题：此题一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.=A {x |1>x }，=B {x |0322
<--x x }，那么=⋃B A
A ．{x |1-<x 或者1≥x }
B ．{x |31<<x }
C ．{x |3>x }
D ．{x |1->x } 2.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，假设1064=+a a ，那么9S = A ．20
B ．35
C ．45
D ．90
3．“2<x 〞是“0)1ln(<-x 〞的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.m ,n 是两条不同直线，α,β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是 A.假设α,β垂直于同一平面，那么α与β平行 B.假设m ,n 平行于同一平面，那么m 与n 平行
C.假设α,β不平行，那么在α内不存在与β平行的直线
D.假设m ,n 不平行，那么m 与n 不可能垂直于同一平面 5.图1是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为
A ．
37π3cm B ．3
5π
3cm C ．π93cm D ．π33cm 6.函数x
x x f -+=11
log )(2，假设)2,1(1∈x ，),2(2+∞∈x ，那么
A ．0)(1<x f ,0)(2<x f
B ．0)(1<x f ,0)(2>x f
C ．0)(1>x f ,0)(2<x f
D ．0)(1>x f ,0)(2>x f
7.点),(b a M 在圆O ：12
2
=+y x 外，那么直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是
图1
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
8.设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≤-≥+,012,03,0y x x y x 那么y x z -=的最大值为
A. 2
B.4
C.6
D.
3
2 9.阅读图2的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值是 A ．15 B ．945 C ．245 D ．105
10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 假设6)(2
2
+-=b a c ，3
π
=C ，那么ABC ∆的面积是
A. 3
B.
239 C. 2
3
3 D.33 11.?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马； 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥ABC P -为鳖臑，PA ⊥平面ABC , 2==AB PA ，22=AC , 三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上, 那么球O 的外表积为
A ．π12
B ．π16 C. π20 D ．π24
12.点)2,0(A ，抛物线C ：ax y =2
)0(>a 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，
与其准线相交于点N ，假设5:1:=MN FM ，那么a 的值等于 A ．4 B ．21 C. 1 D ．4
1
二、填空题：此题一共4个小题，每一小题5分，一共20分.
13.在区间[53，-]上随机取一个实数x ，
那么事件“4)2
1
(1≤≤x 〞发生的概率为 ． 图2
14.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，那么实数λ＝ ．
15.1F ,2F 是双曲线122
22=-b
y a x (0>a ,0>b )的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形
21F MF ，假设边1MF 的中点P 在双曲线上，那么双曲线的离心率是 ．
16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 12a =, 对任意,p q ∈N *, 都有p q p q a a a +=+，那么
()60
(1
n S f n n n +=
∈+N *)的最小值为 ． 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. (本小题满分是10分)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且53=a ,22515=S . (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设n b n
a n 22+=，求数列}{n
b 的前n 项和n T .
18.(本小题满分是12分) 函数4
3
cos 3)3
sin(cos )(2+
-+⋅=x x x x f π
,R x ∈. (1)求)(x f 的最小正周期；
(2)求)(x f 在闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值.
19.(本小题满分是12分) 如图3，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，31==AA AC ，
60=∠ABC .
(1)证明：1AB AC ⊥； 〔2〕求二面角B C A A --1的正切值.
A
A 1
B 1
C 1
20.(本小题满分是12分)某地区2021年至2021年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：
(2)利用(1)中的回归方程，分析2021年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线a t b y
ˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑==---=n
i i
n
i i i
t t
y y t t
b
1
2
1
)()
)((ˆ，t b y a
ˆˆ-=.
21.(本小题满分是12分) 假如函数)(x f 在其定义域内存在0x ，使得
)1()()1(00f x f x f +=+成立，那么称函数)(x f 为“可分拆函数〞．
〔1〕试判断函数x x f 1
)(=是否为“可分拆函数〞？并说明你的理由； 〔2〕设函数1
2lg )(+=x a
x f 为“可分拆函数〞，务实数a 的取值范围．
22.(本小题满分是12分)点)2,0(-A ，椭圆E ：122
22=+b
y a x (0>>b a )的离心率为23，
F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为
3
3
2，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q OPQ ∆的面积最大时，求l 的
方程.
一中2021—2021学年上学期高二第二次月考
理科数学 参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13.
41 14. 2
1
15. 13+ 16. 292
三、解答题：
17.解： (1)设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，
由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+,225214
1515,
5211d a d a 解得: 11=a ,2=d . 12-=∴n a n . ………………………………5分
(2) n n n b n
n a n n
242
12222
12+⨯=
+=+=- ， n n b b b T +++=∴ 21
…………………………………10分
3
24322
)1(2)4144(21)
21(2)444(2
1
2
1
2-++⋅=+⋅⨯+--⨯=+++⨯++++⨯=+n n n n n n n n
18.解：(1)由，有)(x f ＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2
x ＋34
＝12sin x ·cos x －32cos 2
x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π3
所以，)(x f 的最小正周期ππ
==
2
2T . ……………………6分 (2)因为)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12,4ππ上是减函数，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
4,12ππ上是增函数. )4(π
-f ＝－1
4 ，)12(π
-f ＝－1
2，)4(π
f ＝1
4
所以，函数)(x f 在闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值为14，最小值为－12 . ……12分
19.解：(1)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以A A AB 1⊥, 在ABC ∆中1AB =,3=
AC , 60=∠ABC ,由正弦定理得 30=∠ACB .
所以
90=∠BAC ,即AB AC ⊥，所以A ACC AB 1平面⊥,
又因为A ACC C A 11平面⊂,所以1AB AC ⊥. …………………6分 〔2〕如下图，作1
AD AC ⊥交1A C 于D ，连接BD ， 因为A ACC AB 1平面⊥,由三垂线定理可得1BD AC ⊥, 所以ADB ∠为所求角，在1
Rt AAC ∆中，26
6
3311=
⨯=⋅=C A AC A A AD ， 所以36
2
6
1tan =
==
∠AD AB ADB . …………………12分
A 1
B 1
C 1
20.解：(1)由所给数据计算得t －＝1
7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y －＝1
7
×，
7
21
()941014928,i
i t
t =-=++++++=∑
=--∑=)()(7
1
y y t t
i i i
(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+
3×1.6=14,
1
2
1
()()
14
0.5,28
()n
i
i
i n
i
i t t y y b t
t ==--=
=
=-∑∑ 4.30.54 2.3a y bt =-=-⨯= . 所求回归方程为y t ＋2.3. …………………………6分
(2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2021至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. ………………9分
将2021年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ，故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. …………12分
21.解：〔1〕假设)(x f 是“可分拆函数〞，那么定义域内存在0x ， 使得
11110
0+=+x x ，即0102
0=++x x ，此方程的判别式0341<-=-=∆，
方程无实数解，所以)(x f 不是“可分拆函数〞． ……………5分
〔2〕因为函数1
2lg
)(+=x
a
x f 为“可分拆函数〞， 所以定义域内存在0x ，使得3lg
1
2lg 12lg 001a
a a x x ++=++， 即3
121200
1a a a x x ⨯+=++且0>a ， ………………7分 所以1
2323100++⋅=+x x a ，令02x t =，那么0>t ，
所以243231223)12(231233++=++
+⋅=++=t t t t t a ， 由0>t 得323<<a ，即a 的取值范围是)3,2
3
(． ………………12分
22.解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝3
2，
所以a ＝2，b 2
＝a 2
－c 2
E 的方程为x 2
4＋y 2
＝1. …………4分 (2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).
将y ＝kx －2代入x 2
4
＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kxΔ＝16(4k 2
－3)>0，
即k 2>3
4时，2214116k k x x +=+,2
214112k x x +=⋅. …………6分
从而|PQ |＝212
2124)(1x x x x k -++＝4k 2＋1·4k 2
－34k 2
＋1
. 又点O 到直线PQ 的间隔 d ＝2
k 2＋1
.
所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2
－3
4k 2
＋1
. … …………9分 设t k =-342，那么0>t ， 当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2
时等号成立，且满足Δ>0.所以，当OPQ ∆的面积最大时，l
的方程为y ＝72x －2或者y ＝－7
2
x －2. ………………12分
14
4
442≤+=+=∆t t t t S OPQ
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

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奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

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博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

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百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。